09 高二数学重难点知识汇总 抛物线
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结抛物线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程学和其他领域。
在高中数学课程中，学生需要学习抛物线的基本性质、方程形式以及与实际问题的应用。
本文将对高中抛物线的知识点进行总结，包括抛物线的定义、性质、方程形式和常见问题解析等内容。
一、抛物线的定义抛物线是平面上一类特殊曲线，其定义可以从几何和代数两个角度来解释。
从几何角度看，抛物线是所有与一个定点（焦点）到平面上一条直线（准线）的距离之比等于到该直线距离平方的曲线。
从代数角度看，抛物线可以用二次函数的形式来表示，即f(x) = ax² + bx + c （a≠0）。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于准线对称，焦点也是准线的对称中心。
2. 定义域和值域：抛物线的定义域为全体实数，值域取决于抛物线开口的方向。
3. 零点和判别式：抛物线的零点为方程f(x) = ax² + bx + c = 0的实根，判别式Δ=b²-4ac 可用于判断抛物线的零点情况。
a）当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实根；b）当Δ=0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有一个实根；c）当Δ<0时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实根。
4. 单调性：抛物线的开口方向决定了其单调性，开口向上时，抛物线是向上开口并且在焦点处取得最小值；开口向下时，抛物线是向下开口并且在焦点处取得最大值。
5. 导数和凸凹性：抛物线的导数为二次函数f'(x) = 2ax + b，凹凸性取决于a的正负：当a>0时，抛物线朝上凹；当a<0时，抛物线朝下凸。
三、抛物线的方程形式1. 标准形式：对于抛物线f(x) = ax² + bx + c，当a≠0时，可以通过平移坐标轴的方法使其化简为标准形式y = x²，此时焦点为原点(0,0)。
2. 顶点形式：通过平移坐标轴的方法，将抛物线的顶点移动至坐标原点，得到顶点形式y = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
高二数学知识点抛物线公式
高二数学知识点抛物线公式抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有独特的性质和应用。
在高二数学学习中，学生需要掌握抛物线的各种知识点和公式。
下面我将为大家详细介绍高二数学中与抛物线相关的知识点和公式。
一、抛物线的定义和性质抛物线是平面上一点到定点的距离与这个点到某一条定直线的距离相等的轨迹，这个定直线称为准线，定点称为焦点。
抛物线的主轴是垂直于准线的直线，焦点到准线的垂直距离称为焦距，抛物线的对称轴是准线的垂直平分线。
根据抛物线的定义和性质，我们可以得出以下结论：1. 抛物线是对称的，关于对称轴对称；2. 抛物线在焦点处有最小值，称为顶点；3. 镜面反射定律成立，入射角等于反射角。
二、标准形式的抛物线方程标准形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
对于标准形式的抛物线方程，我们可以根据已知条件求解抛物线的性质。
1. 抛物线开口方向的判断通过 a 的正负可以判断抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口向上；- 当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标可以通过方程的顶点公式求解：顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
3. 抛物线与 x 轴的交点抛物线与 x 轴的交点可以通过方程的因式分解求解：令 y = 0，解方程 ax^2 + bx + c = 0，求得 x 的值。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴可以通过方程的对称轴公式求解：对称轴方程为 x = -b/2a。
三、一般形式的抛物线方程一般形式的抛物线方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
与标准形式相比，一般形式的抛物线方程可以通过平移和缩放变换得到。
1. 抛物线的平移如果抛物线方程中有(h, k) 的平移，则原来的抛物线方程变为：y = a(x - h)^2 + k。
高二数学抛物线知识点
高二数学抛物线知识点在高二数学学习中，抛物线是一个重要的几何图形，具有很多特殊的性质和应用。
本文将重点介绍高二数学中与抛物线相关的知识点，帮助学生更好地理解和运用抛物线的概念。
一、抛物线的定义与基本性质1. 定义：抛物线是平面上一条曲线，其上每一点到定点（焦点）的距离等于该点到定直线（准线）的距离。
2. 基本性质：- 抛物线关于准线对称。
- 抛物线开口方向由系数a的正负决定。
- 当抛物线开口向上时，焦点在抛物线的上方。
- 当抛物线开口向下时，焦点在抛物线的下方。
二、抛物线的标准方程及相关公式1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
2. 焦点坐标的计算公式：焦点坐标为（-b/2a, 1-（b^2-4ac）/4a）。
3. 准线方程的计算公式：准线方程为x = -b/2a。
三、抛物线与二次函数的关系1. 抛物线是二次函数的图像：抛物线可以看作是二次函数y = ax^2 + bx + c的图像。
2. 抛物线的最值点：最值点为抛物线的顶点，坐标为（-b/2a, f(-b/2a)）。
四、抛物线的平移和缩放1. 左右平移：将抛物线的方程中的x替换为(x - h)，即可实现左右平移h个单位。
2. 上下平移：将抛物线的方程中的y替换为(y - k)，即可实现上下平移k个单位。
3. 垂直缩放：将抛物线的方程中的a替换为ka，即可实现垂直方向上的缩放。
五、抛物线的应用1. 物理学中的抛体运动：抛物线是自由落体运动的轨迹，可以用来描述抛体在无空气阻力的情况下的运动轨迹。
2. 工程学中的抛物线天桥：抛物线形状的桥梁设计，可以减少材料用量，提高桥梁的稳定性和美观性。
3. 经济学中的成本与收益关系：某些经济模型中，成本与收益之间的关系符合抛物线的特征。
六、抛物线的相关定理1. 切线定理：抛物线上任一点处的切线与焦点的连线垂直。
2. 弦线定理：抛物线上任一点处的弦线与焦点的连线夹角等于弦线与准线的夹角。
抛物线知识点汇总及考点例题
抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 。
2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切 考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。
考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（ ）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-， 练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时， ＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（ ） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。
完整版)抛物线知识点归纳总结
完整版)抛物线知识点归纳总结抛物线是一种经典的二次函数图像，具有许多重要的特点和性质。
以下是对抛物线知识点的详细总结。
1.定义：抛物线是平面上一点P到定点F的距离等于点P到定直线上一点的距离的轨迹。
2.构成：抛物线由平面上的点集组成，由对称轴与焦点决定。
3. 表达式：一般形式的抛物线方程是y=ax^2 + bx + c，其中a、b、c是实数且a不等于0。
4.开口方向：抛物线开口方向由a的正负决定，如果a大于0，抛物线开口向上；如果a小于0，抛物线开口向下。
5.对称轴：抛物线的对称轴是一条与抛物线的开口方向垂直的直线，由方程x=-b/2a给出。
6. 焦点：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的定点F，其坐标为((-b/2a), (4ac-b^2)/4a)。
7.直径：抛物线的直径是通过焦点且与抛物线相交于两点的直线。
8.非退化抛物线：当a不等于0时，抛物线是非退化的，并且它的对称轴是直线x=-b/2a。
9.顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，它是通过对称轴的纵坐标最小（或最大）的点。
10.切线：抛物线上任意一点的切线是通过该点并且与抛物线仅有一个交点的直线。
11.弦：抛物线上的弦是通过抛物线上两个点并且与抛物线仅有两个交点的线段。
12. 与X轴交点：抛物线与X轴的交点可通过求解方程ax^2 + bx +c = 0得到。
13.与Y轴交点：抛物线与Y轴的交点是抛物线上当x=0时的点，即把x替换为0后求解方程得到。
14.对称性：抛物线具有关于对称轴对称的性质，即对称轴上的一点关于对称轴上的另一点的映射是自身。
15.焦点和直角三角形：抛物线上两点和焦点构成的三角形是直角三角形。
16.抛物线的图像：抛物线的图像是一个开口朝上或朝下的弧线，形状可以通过方程中的系数来确定。
17.抛物线的平移：抛物线可以通过平移来改变其位置，平移的方式是通过方程中的常数项来实现。
18.抛物线的拉伸/压缩：通过改变抛物线方程中的a的值，可以改变抛物线的宽度。
高二抛物线所有知识点
高二抛物线所有知识点抛物线是数学中的一个重要概念，高二学生在学习数学时会接触到抛物线的相关知识点。
下面将详细介绍高二抛物线的所有知识点。
一、概述抛物线是指平面上一个动点到定点的距离与该点到一条定直线的距离之差等于常数的点的集合。
抛物线的形状呈现出一条弧线，它由定点（焦点）和定直线（准线）唯一确定。
二、抛物线方程1. 标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
2. 顶点坐标和对称轴抛物线的顶点坐标可通过完成平方来求得，顶点的横坐标为：x = -b/2a，纵坐标为：y = f(-b/2a)。
对称轴为与抛物线关于顶点对称的直线。
3. 焦点坐标和准线方程焦点的横坐标为：( -b/2a, c - b^2/4a )，纵坐标为：(c - b^2/4a)。
准线方程为：x = -b/2a + p，其中p为焦距。
4. 直径和焦半径直径是抛物线上通过焦点且垂直于准线的一条直线，焦半径是从焦点到抛物线上一点的线段。
三、抛物线的性质1. 对称性抛物线是关于对称轴对称的，也即它的两侧是完全对称的。
2. 单调性当a>0时，抛物线开口向上，且在顶点处取得最小值；当a<0时，抛物线开口向下，且在顶点处取得最大值。
3. 判别式和图像类型判别式Δ = b^2 - 4ac 可以判断抛物线的图像类型：Δ > 0 时，抛物线与x轴交于两点，图像开口向上或向下；Δ = 0 时，抛物线与x轴交于一点，图像开口向上或向下，顶点处有一个最值；Δ < 0 时，抛物线与x轴无交点，图像开口向上或向下。
四、抛物线的平移抛物线f(x)的平移变换为f(x - h) + k，其中(h, k)为平移的距离。
五、抛物线与实际应用抛物线在生活中有广泛的应用，例如：桥梁设计、喷泉设计、抛物面反光镜、运动物体的轨迹等。
六、典型题目解答1. 求抛物线的顶点坐标和对称轴方程。
解：已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，通过平方完成可以得到标准方程。
高二抛物线必背知识点讲解
高二抛物线必背知识点讲解抛物线是高中数学中的一个重要概念，也是高二阶段的必备知识点之一。
掌握抛物线的性质和相关的公式是解决与之相关问题的基础。
本文将为你详细介绍高二抛物线的必背知识点，包括抛物线的定义、性质以及常用公式等。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上一条特殊的曲线，其定义可由以下几个要素描述：- 定点（焦点）F，是抛物线上的一个确定点。
- 定直线（准线）L，是与抛物线相交于抛物线的两个分支的对称轴。
- 定义抛物线上的点P到焦点F的距离与点P到准线L的距离的比例保持不变。
2. 抛物线的性质抛物线具有以下几个重要性质：- 对称性：抛物线关于准线对称。
- 焦点性质：焦点是抛物线上所有点到准线距离与焦距的比例值保持不变的点。
- 直角性质：抛物线的准线与焦点连线之间的夹角是直角。
- 切线性质：过抛物线上一点的切线平行于准线，且焦点到切点的线段与准线垂直。
3. 抛物线的基本公式- 标准方程：y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为常数，并且a ≠ 0）。
标准方程可以用来描述抛物线的形状、位置和方向。
- 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)为抛物线的方程。
- 对称轴方程：x = -b/2a。
对称轴是与抛物线两支对称的直线。
- 焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（-b/2a，c - (b^2 - 1)/4a）。
- 焦距：抛物线的焦距为|4a|，用来确定焦点到准线的距离。
4. 抛物线的常见变形除了标准的抛物线方程之外，抛物线还有一些常见的变形形式：- 平移：将抛物线相对于坐标系的原点平移至任意位置。
- 平拉伸：通过调整a的值，控制抛物线在x轴和y轴方向上的缩放。
- 旋转：通过调整b的值，使抛物线绕着顶点旋转。
5. 抛物线的应用抛物线在现实生活中有许多应用，例如：- 炮弹的发射轨迹：抛物线方程可以用来描述炮弹在重力作用下的弹道轨迹。
- 卫星天线的调节：抛物线的反射性质可以用来调节卫星天线的接收角度。
高二数学抛物线知识点总结大全
高二数学抛物线知识点总结大全抛物线是数学中的一种曲线形状，具有许多重要的性质和应用。
在高中数学中，学生将学习关于抛物线的各种知识点，包括定义、性质、方程式、图像的绘制以及实际应用等方面。
本文将对高二数学中与抛物线相关的知识点进行总结和归纳。
1. 抛物线的定义：抛物线是平面上一个点到一个定点和一个定直线之间的距离相等的点的集合。
其中，定点称为焦点，定直线称为准线。
抛物线对称轴是过焦点和准线的垂直平分线。
抛物线的定义可以用数学的方式表示为：抛物线是平面上满足定点到焦点和准线的距离之比不变的点的集合。
2. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中，a、b、c为常数且a≠0。
这个方程中的a决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。
常数b和c决定了抛物线在坐标系中的位置。
3. 抛物线的顶点坐标：对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，抛物线的顶点坐标可以通过顶点公式 V(-b/2a , f(-b/2a)) 来求得，其中，f(-b/2a)表示将x = -b/2a代入抛物线方程得到的y值。
4. 抛物线与坐标轴的交点：抛物线与x轴的交点，即抛物线的根可以通过解方程 ax^2 + bx + c = 0 来求得。
根的个数和大小取决于方程的判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有一个重根；当Δ < 0时，方程没有实根。
5. 抛物线的图像与性质：抛物线的图像可以通过画出几个关键点来确定，例如焦点、准线上的点、顶点等。
抛物线的开口方向和焦点的位置决定了其图像的形状。
抛物线的图像是关于对称轴对称的。
在对称轴上的点与焦点的距离相等于对称轴和准线的距离。
6. 抛物线的平移和拉伸：对于标准方程 y = ax^2 + bx + c，如果在x方向上加上h，y方向上加上k，那么抛物线的方程将变为 y = a(x-h)^2 + k。
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高二数学重难点知识汇总
第九讲 抛物线
一．重难点讲解
知识点一 抛物线定义
平面内与一个定点F 和一条定直线()l F l ∉的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
(1)定义可归结为”一动三定”：一个动点设为M ；一定点F (即焦点)；一定直线l (即
准线)；一定值1（即动点M 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离之比为1）。
(2)定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上。
若F 在l 上，抛物线退化为过F 且垂直于l 的一条直线。
(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(也称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。
知识点二 抛物线的标准方程
抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。
如下图所示，分别建立直角坐标系，设出()0>=p p KF ，则抛物线的标准方程如下：
（1） （2）
（3） （4）
（1）()022>=p px y ，焦点：⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2p ，准线2:p x l -=； （2）()022>=p py x ，焦集点：⎪⎭⎫ ⎝⎛
2,0p ，准线2
:p y l -=； （3）()022>-=p px y ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ，准线2
:p x l =； （4）()022>-=p py x ，焦点：⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2,0p ，准线2:p y l =。
相同点：（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直， 垂足与焦点在对称轴上关于原点对称。
它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的4
1，即2
42p p =。
不同点：（1）图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为px 2±，左端为2y ；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x ；（2）开口方向在x 轴（或y 轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号。
总之，①参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2
p 等于焦点到抛物线顶点的距离。
②方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向。
二.典型例题分析
题型1 抛物线的定义及应用
【例1】 已知抛物线y x 42=，点P 是抛物线上的动点，点A 的坐标为（12，6）。
求点P 到点A 的距离与点P 到x 轴的距离之和的最小值。
解析由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线的距离d ，求PA 与点P 到x 轴的距离之和的最小值，转化成求2
p d PA -+的最小值。
答案 如右图易判断知点A 在抛物线外侧，
设()y x P ,，焦点()1,0F ，则P 到x 轴的距离即y 值。
设P 到准线1-=y 的距离为d ，则1-=d y 。
故1-+=+d PA y PA ，由抛物线定义知d PF =。
于是11-+=-+PF PA d PA ，
由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，PF PA +取最小值，为13。
故所求距离之和的最小值为()12161212
2=-+=-FA 。
规律总结 定义是解决问题的基础和灵魂，要善于思考定义和应用定义，本题如果设P 点坐标 为()y x ,，利用两点间距离公式求解，无法得到答案。
由抛物线定义可知，PF 等于P 点到准线的距离，当P 、A 、F 三点共线时，PF PA +的距离最小，这体现了数学中的转化思想 题型2 求抛物线的标准方程
【例2】 若动圆与圆（()1222
=+-y x 外切，又与直线01=+x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A.x y 82=
B.x y 82-=
C.x y 42=
D.x y 42
-=
解析 利用抛物线定义的条件。
答案 设动圆的半径为r ，圆心为()y x O ,'到点（2，0）的距离为1+r ，O '到直线1-=x 的距离为r ，所以O '到（2，0）的距离与到直线2-=x 的距离相等，由抛物线的定义知x y 82=。
故选A 。
规律总结 处理求轨迹方程的选择、填空类问题，可首先考虑画维由线的定义，或者经转化后联系圆锥曲线的定义来处理。
题型3 求抛物线的焦点坐标和标准方程
【例4】 已知抛物线的方程()02≠=a ax y ，求它的焦点坐标和准线方程。
解析 要根据a 的正负分类讨论。
答案 （1）当0>a 时，因为a p =2，所以2a p =，所以焦点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,4a F ，准线方程4a x -=。
（2）当0<a 时，()x a y --=2。
因为a p -=2，所以2a p -=。
所以焦点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--0,4a F ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛0,4a ，准线方程4a x -=。
综上所述，抛物线的焦点⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,4a F ，准线方程4a x -=。
规律总结 a 可能是正的，也可能是负的，因此一定要分0>a ，0<a 两种情况讨论，此类题易忽略0<a 。
题型4 实际应用问题
【例5】 一辆卡车高3m ，宽1.6m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值。
解析 要求拱宽a 的最小值，需建立适当的坐标系，写出抛物线方程，然后利用方程求解。
答案 以拱顶为原点，拱宽所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图，设抛物线方程为
()022>-=p py x ，则点B 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-4,2a a ，由于点B 在抛物线上， 所以2,4222
a p a p a =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以，抛物线方程为ay x -=2。
将点()y E ,8.0代入抛物线方程，得a
y 64.0-
=。
所以，点E 到拱底AB 的距离为364.044>-=-a a y a 。
解得21.12>a ，a Θ取整数，a ∴的最小值为13。
规律总结 实际问题中可由实际情况确立坐标系，要求坐标系要简单，建好坐标系后要由实际情况写出各点坐标及曲线方程，然后依题意解之即可。
三．规律方法总结
（1）批物线ax y =2
的焦点坐标、准线方程，不论0>a 还是0<a ,总有：焦点 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,4a F ，准线方程4a x -=。
（2）正确理解抛物线的定义：
抛物线定义中的定点F 不在定直线l 上，这一点不可忽视。
当l F ∈时，则动点P 到定点F
与到定直线l 的距离相等的轨迹是过F 且与l 垂直的一条直线。
（3）已知方程求抛物线的焦点、准线方程时，应先将方程化为标准形式。
（4）根据给定条件，求抛物线的标准方程时，由于标准方程有四种形式，故应先根据焦点位置或准线确定方程的形式，再用待定系数法求之。
当对称轴已知，焦点不确定时，可分类讨论，也可统一设方程。
如对称轴为x 轴的抛物线，标准方程可设为()02
≠=a ax y 。
（5）在解决有关抛物线上的点P 到焦点F 的距离问题时，常利用抛物线的定义转化为P 到到准线的距离。