抛物线的焦点与准线
抛物线 焦点 用途
抛物线是指平面内与一个定点F和一条定直线l（F∉l）的距离相等的点的轨迹，其中点F被称为抛物线的焦点，直线l被称为抛物线的准线。
抛物线在实际生活和生产中具有广泛的应用，以下是一些常见的用途：
- 光学设计：抛物线可以用于设计照相机和望远镜等光学设备中的镜片，利用其焦点处发出的光线可以形成平行光束。
- 建筑设计：抛物线形状的拱桥、大棚等建筑结构能够更好地承受压力和重力，具有更高的稳定性和安全性。
- 数学研究：抛物线是数学中的重要曲线之一，其性质和定理在几何、代数、微积分等领域中都有着广泛的应用。
总之，抛物线的焦点和用途涉及到多个领域和学科，对于数学、科学、工程等领域都有着重要的意义。
高三抛物线定理知识点
高三抛物线定理知识点抛物线是高中数学中重要且常见的曲线。
在高三阶段，学生需要掌握抛物线定理，并且能够灵活运用于解决相关问题。
本文将介绍高三抛物线定理的基本概念以及其应用。
一、抛物线的定义与特点抛物线是由平面上距离一个定点距离相等的点构成的图形。
该定点称为焦点，到直线称为准线。
1. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
2. 焦距：焦点到准线的距离称为焦距，用f表示。
3. 定义域与值域：抛物线的定义域为实数集，值域为y≥d，其中d为抛物线与其准线的最低点的纵坐标。
二、顶点与对称轴在抛物线中，顶点是其中最高（或最低）的点。
对称轴是过焦点和顶点的直线。
1. 顶点：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的顶点的横坐标和纵坐标。
2. 对称轴：对称轴的方程为 x = h。
三、抛物线的一般方程抛物线的一般方程为 y = ax² + bx + c，其中a≠0。
在高三阶段，学生需要了解如何通过抛物线的顶点和焦点坐标来确定抛物线方程。
四、抛物线的焦点与准线的关系抛物线的焦点坐标为（f，0），其中焦距f的计算公式为 f = 1/4a。
准线的方程为 x = -f。
五、抛物线的平移抛物线可以通过平移进行位置上的变换。
1. 抛物线上下平移：将抛物线原方程中的常数c进行上下平移。
2. 抛物线左右平移：将抛物线原方程中的常数b进行左右平移。
六、抛物线的应用抛物线的定理在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
1. 抛物线光学：在光学实验中，抛物线是一种能够将平行光线聚焦于焦点的曲线形状。
2. 抛物线运动：在物理学中，抛物线也描述了平抛运动的轨迹，如投掷物体的运动。
七、高三抛物线定理解题方法1. 根据已知条件绘制抛物线，并确定抛物线的顶点、焦点和准线。
2. 列出抛物线的一般方程，并代入已知条件，解出未知变量。
3. 运用抛物线定理或几何特性，解答相关问题。
八、总结高三抛物线定理是数学中重要的知识点，掌握抛物线的基本概念、性质以及应用方法对于高中数学学习具有重要意义。
抛物线相关公式总结大全
抛物线相关公式总结大全抛物线是一种二次曲线，其具体形态由焦点、直线和定点确定。
在数学中，我们常常使用一些公式来描述和计算抛物线的性质。
下面是抛物线相关公式的总结：1. 标准方程公式：抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是抛物线的参数，决定了抛物线的形状和位置。
2. 顶点坐标公式：抛物线的顶点坐标可以通过标准方程公式中的x值公式得到： x = -b / (2a)将x代入标准方程公式中得到顶点坐标：(x, y)3. 平移和缩放公式：当抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c时，可以通过平移和缩放来改变抛物线的位置和形状：- 上下平移：y = ax^2 + bx + c + k，其中k为上下平移的位移值。
- 左右平移：y = a(x - h)^2 + k，其中h为左右平移的位移值。
- 缩放：y = a(x - h)^2 + k，其中a为缩放系数。
当a>1时，抛物线变窄，当0<a<1时，抛物线变宽。
4. 焦点和准线坐标公式：抛物线的焦点和准线可以通过标准方程公式的参数a来求解： - 焦点坐标：F(h, k + 1/4a)，其中h和k为标准方程公式中顶点的坐标。
- 准线坐标：y = k - 1/4a5. 弦与切线公式：- 弦长公式：当给定抛物线上的两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)时，可以使用以下公式计算弦长：L = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)- 切线斜率公式：抛物线上任意点(x, y)处的切线斜率可以通过求导得到：m = dy/dx = 2ax + b以上是抛物线的一些常见公式和相关内容。
了解这些公式可以帮助我们更好地理解和运用抛物线的性质，进一步探索其在数学和物理等领域中的应用。
抛物线知识点
抛物线知识点1、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：标准方程22y px = ()0p > 22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =- ()0p >图形顶点()0,0 对称轴x 轴 y 轴 焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 准线方程2px =- 2p x = 2p y =- 2p y = 离心率1e = 范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤3.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 4.焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；例：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．由⎩⎨⎧+==142x y xy 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6．又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则 ()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A。
抛物线方程焦点到准线的距离
抛物线方程焦点到准线的距离全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：抛物线是一种重要的数学概念，它在几何学和代数学中有着重要的应用。
在准线上找到焦点到抛物线的距离是解决许多几何和代数问题的关键步骤之一。
本文将介绍抛物线方程焦点到准线的距离的计算方法，并探讨它的数学意义和应用。
让我们来回顾一下抛物线的一般方程：y = ax^2 + bx + c。
在这个方程中，a、b、c分别代表抛物线在坐标轴上的位置和形状。
而抛物线的焦点到准线的距离，也称为焦距，可以通过以下公式计算：f = 1 / 4af代表焦距，a代表抛物线的常数项。
这个公式告诉我们，在已知抛物线方程的情况下，只需找到a的值，即可计算出焦距的大小。
这对于解决一些几何学问题，如判断抛物线焦点的位置，有着重要的作用。
现在让我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个抛物线的方程为y = 2x^2 + 4x + 1，我们要计算这个抛物线焦点到准线的距离。
根据上面的公式，我们可以发现a的值为2，那么焦距f就等于1/4*2=1/2。
这个计算结果告诉我们，在这个例子中，抛物线焦点到准线的距离为1/2。
这个距离的大小可以帮助我们更好地理解抛物线的形状和位置，进而解决一些相关的数学问题。
第二篇示例：抛物线是一种常见的二次曲线，在数学里有着重要的应用。
抛物线方程描述了一个物体在空中抛出后的轨迹，它有许多重要的性质和特点。
其中一个重要的性质就是抛物线焦点到准线的距离，这个距离对于抛物线的形状和特性起着至关重要的作用。
让我们来看一下抛物线的一般方程。
一般来说，抛物线的方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
抛物线的焦点可以表示为(h, k)，准线可以表示为y = k - p，其中p为焦距。
抛物线的焦点到准线的距离可以表示为|k - p - c|。
为了更清楚地理解抛物线焦点到准线的距离，我们可以通过一个实例来进行说明。
假设我们有一个抛物线的方程为y = x^2，则焦点为(0, \frac{1}{4})，准线为y = -\frac{1}{4}。
抛物线标准方程、焦点坐标和准线方程
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抛物线上的点到准线的公式
抛物线上的点到准线的公式抛物线是我们经常在日常生活中见到的一种曲线，它具有很多特点。
其中，抛物线上的点到准线的公式是一个非常重要的概念。
首先，我们来了解一下什么是抛物线。
抛物线是一种二次曲线，它的特点是与一个固定点（称为焦点）的距离与一条直线（称为准线）的距离相等。
这个固定点和直线也是抛物线的两个重要元素。
对于抛物线上的任意一点，它到准线的距离与它到焦点的距离有一定的关系。
这个关系可以用抛物线上点的坐标以及焦点和准线的位置公式来表示。
具体来说，对于一个一般式的抛物线y = ax² + bx + c，其中a不等于0，它的焦点坐标为（0，1/4a），准线的方程为y = -1/4a。
则抛物线上一点P（x,y）到准线的距离为：d=|y + 1/4a|这个公式可以用来求解抛物线上任意一点到准线的距离。
我们可以举一个具体的例子来说明这个公式的应用。
比如，我们考虑一个经典的抛物线问题：一个小球从高度为h的位置抛出，落地时的位置距离投掷点为d。
假设空气阻力可以忽略不计，抛物线与地面平行。
则小球到达地面时的速度为：v²=2g(h-d)其中，g是重力加速度，v是速度。
根据这个公式，我们可以计算出小球到达地面时的速度。
然后，我们可以使用抛物线上点到准线的公式，计算小球飞行过程中离地距离最远的点到准线的距离，从而得到小球的最远飞行距离。
这个例子说明了抛物线上点到准线的公式的实际应用价值。
通过这个公式，我们可以解决很多关于抛物线的实际问题，从物理学到工程学、建筑学等各个领域。
总之，抛物线上点到准线的公式是抛物线的重要性质之一，具有很广泛的应用价值。
掌握这个公式可以帮助我们更好地理解抛物线的性质，并解决很多实际问题。
抛物线准线方程式
抛物线准线方程式
抛物线的准线方程公式：y=-p/2。
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示、标准方程表示等等。
准线特点：
在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0。
在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0。
在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0。
在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0。
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抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、 高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.公式：抛物线c bx ax y ++=2的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为ab ac y 4142--= 二、 试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）．（1）求字母a ，b ，c 的值； （2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．2、2012年山东潍坊市24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷24、如图所示，过点F （0，1）的直线y=kx+b 与抛物线交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．（1）求b 的值． （2）求x 1?x 2的值．（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论． （4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．第22题图4、2010年南通市中考试题（五中月考）28．（本小题满分14分）(2010年南通市)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （－4，3）、B （2，0）两点，当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C （0，－2）的直线l 与 x 轴平行，O 为坐标原点．（1）求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）以A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A ，判断直线l与⊙A 的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB 上的点D 的横坐标为－1，P （m ，n ）是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的动点，当△PDO 的周长最小时，求四边形CODP 的面积． 5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22．（14分）已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过点A（－2，0）、B （0，1）两点，且对称轴是y 轴，经过点C （0，2）的直线l 与x 轴平行，O 为坐标原点，P 、Q为抛物线c bx ax y ++=2（0≠a）上的两动点。
（1）求抛物线的解析式;（2）以点P 为圆心，PO 为半径的圆记为⊙P ，判断直线l 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论; （3）设线段9=PQ ，G 是PQ 的中点，求点G 到直线l 距离的最小值。
6、（2012四川资阳9分）抛物线21y=x +x+m 4的顶点在直线y=x+3上，过点F （－2，2）的直线交该抛物线于点M 、N两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B ．（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；（2）(3分)设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF ＝NB ；（3）(3分)若射线NM 交x 轴于点P ，且PA ×PB ＝1009，求点M 的坐标． 抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C （1，1），可设解析式为y ＝a （x －1）2+1，又因抛物线过原点，可得a ＝－1，所以y ＝－（x －1）2+1，化简得y＝－x 2＋2x ，即可求字母a ，b ，c 的值；（2）由FM ＝FP ，PM 与直线5y =垂直，可得5334y -=-，∴14y =，代入y ＝－x 2＋2x ，解得1x =±P坐标为（1+14）或（1，14），所以分两种情况，通过计算可得△PFM 为正三角形；（3）由PM ＝PN 可得54y -（第28题）整理得，23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【答案】．（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）∵FM ＝FP ，PM 与直线54y =垂直，∴533444y -=-，∴14y =，把14y =代入y ＝－x 2＋2x ，解得1x =±∴点P 坐标为（114）或（1，14），当点P 坐标为（1+14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM为正三角形，当点P 坐标为（1-14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，∴当点P 坐标为（1，14）或（1，14）时，△PFM 为正三角形；（3）存在，∵PM ＝PN ，∴ 54y -，两边同时平方得，2255162y y -+＝()()221x y t -+-∵y ＝－x 2＋2x ，∴23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形 【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t 的字母系数方程，本题有一定的区分度．【推荐指数】★★★★★2、2012年山东潍坊市24．(本题满分ll 分)解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，由⎩⎨⎧+-==-++=c b a cc b a 2401240 解得⎩⎨⎧=-==4110a c b 所以1412-=x y ．……3分 (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为点M 、N 在抛物线上，所以,141,141222211-=-=x y x y ，所以x 22=4(y 2+1)； 又ON 2=x 22+y 22=4(y 2+1)+y 22=(y 2+2)2，所以ON =22y +，又因为y 2≥－l ，所以0N =2+y 2．……5分设ON 的中点E ，分别过点N 、E 向直线1l 作垂线，垂足为P 、F ，则 2222y NP OC EF +=+=， 所以ON =2EF ， 即ON 的中点到直线1l ，的距离等于0N 长度的一半，所以以ON 为直径的圆与1l 相切．………………………………………7分(3)过点M 作MH ⊥NP 交NP 于点H ，则MN 2=MH 2+NH 2=(x 2－x 1)2+(y 2－y 1)， 又y 1=kx 1,y 2=kx 2，所以（y 2－y 1)2=k 2(x 2－x 1)2 所以MN 2=(1+k 2)(x 2一x l )2；又因为点M 、N 既在y =kx 的图象上又在抛物线上，所以1412-=x kx ，即x 2－4kx －4=0， 所以22122216164k k k k x +±=+±=，所以(x 2－x 1)2=16(1+k 2)，所以MN 2=16(1+k 2)2，∴MN =4(1+k 2)…9分延长NP 交2l 于点Q ，过点M 作MS ⊥2l 交2l 于点S ， 则MS +NQ =y 1+2+y 2+2=2)(41414114122212221++=+-+-x x x x 又x 12+x 22=2[4k 2+4(1+k 2)]=16k 2+8，所以MS +NQ =4k 2+2+2=4(1+k 2)=MN即M 、N 两点到2l 距离之和等于线段MN 的长．……………………ll 分说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数. 3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷 考点：二次函数综合题。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）把点F 的坐标代入直线可以确定b 的值． （2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b 值，利用根与系数的关系可以求出x 1?x 2的值．（3）确定M 1，N 1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M 1F 2，N 1F 2，M 1N 12，然后用勾股定理判断三角形的形状．（4）根据题意可知y=﹣1总与该圆相切．． 解答：解：（1）∵直线y=kx+b 过点F （0，1），b=1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y k xy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得4x x 21-=. ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M 1的横坐标为x 1，N 1的横坐标为x 2，设M 1N 1交y 轴于F 1，则F 1M 1?F 1N 1=－x 1?x 2=4，而FF1=2，所以F 1M 1?F 1N 1=F 1F 2，另有∠M 1F 1F=∠FF 1N 1=90°，易证Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1=∠FN 1F 1＋∠F 1FN 1=90°，所以△M 1FN 1是直角三角形. ⑷存在，该直线为y=－1.理由如下： 直线y=－1即为直线M 1N 1.如图，设N 点横坐标为m ，则N 点纵坐标为214m ,计算知NN 1=211m +， =2114m +，得NN 1=NF同理MM 1=MF.那么MN=MM 1＋NN 1，作梯形MM 1N 1N 的中位线PQ ，由中位线性质知PQ=12（MM 1＋NN 1）=12MN ，即圆心到直线y=－1的距离等于圆的半径，所以y=－1总与该圆相切.点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）由点F 的坐标求出b 的值．（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值． （3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状. （4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置． 4、2010年南通市中考试题（五中月考）22．（本小题满分14分）（1）因为当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧=+=+.04,316c a c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,41c a ∴这条抛物线的解析式为y ＝41x 2-1. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y=kx+b ，得⎩⎨⎧=+=+-.02,34b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,21b k ∴这条直线的解析式为y ＝-21x+1. （2）依题意，OA =.54322=+即⊙A 的半径为5.?第22题解答用图而圆心到直线l 的距离为3+2=5. 即圆心到直线l 的距离=⊙A 的半径， ∴直线l 与⊙A 相切.（3）由题意，把x =-1代入y =-21x +1，得y =32，即D （-1，32）.由（2）中点A 到原点距离跟到直线y =-2的距离相等，且当点A 成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点D 作DH ⊥直线l 于H ，交抛物线于点P ，此时易得DH 是D 点到l 最短距离，点P 坐标（-1，-34）此时四边形PDOC 为梯形，面积为178. 略解过程如下：（以下过程是：证明当点D 、P 、H 三点共线时，△PDO 的周长最小） 如图1，过点P 作P H ⊥l ，垂足为H ，延长HP 交x 轴于点G ， 设P （m,n ）则1412-=m y P ， ∴22222222)141()141(+=-+=+=m m m GP OG OP，∴1412+=m OP∵141)2(14122+=---=-=m m y y PH H P ∴OP=PH要使△PDO 的周长最小，因为OD 是定值，所以只要OP+PD 最小， ∵OP=PH ∴只要PH+PD 最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。