一次函数第二讲

一次函数一、正比例函数知识库1．形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫比例系数． 正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式．2．正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx ． 当k>0时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x•的增大而增大； 当k<0时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x•的增大而减小．3．根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象．例1：已知y=（k+1）x+1 k 是正比例函数，求k 的值．分析：由正比例函数的定义可知k+1≠0且k-1=0即可解：根据题意得：k+1≠0且k-1=0，解得：k=1 ∴k=1例2：根据下列条件求函数的解析式①y 与x 2成正比例，且x=-2时y=12．②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小．分析：①根据正比例函数的定义，可设y=kx 2，然后由x=-2、y=12求得k 的值．•②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数；则k 2-4=0，y 随x 的增大而减小，则k+1<0． 解：①设y=k x 2 （k ≠0）∵x=-2时y=12 ∴（-2）2k=12 ∴k=3 ∴y=3x 2②由题意得：k 2-4=0 ∴k=2或k=-2∵y 随x 的增大而减小， ∴k+1<0 ∴k=-2 ∴y 与x 的函数关系式是：y=-x☆我能选1．下列关系中的两个量成正比例的是（ ）A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度；B ．正方形的面积与边长C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D ．人的体重与身高2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A ．y=4x+1B ．y=2x 2C ．．3．下列说法中不成立的是（ ）A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；B ．在y=-2x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ）A ．m=-3B ．m=1C ．m=3D ．m>-35．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2•的大小关系是（ ）A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．以上都有可能☆我能填6．形如___________的函数是正比例函数．7．若x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x 2K 是正比例函数，则k=_________．8．正比例函数y=kx （k 为常数，k<0）的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________．9．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．☆我能答10．写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数？（1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x（个）之间的函数关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温x（•℃）•与高度y（km）的关系；（3）圆面积y（cm2）与半径x（cm）的关系．探究园11．在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为-•2，求△POA的面积（O 为坐标原点二、一次函数的概念．形如y=kx ＋b （k ≠0）的函数，称y 是x 的一次函数；特殊地，若b=0,即y=kx （k ≠0）的函数，称y 是x 的正比例函数。

易错点：忽视对k 、b 的讨论。

例1．下列函数关系中（0k ≠且为常数），（1）3y k x =-、（2）(2)y k x =+、（3）、23y x x =+（4）3y kx =+、（5）23y x k =+、（6）5y k =，是y 关于x 的一次函数有（ ）例2．下列函数关系中，是y 关于x 的正比例函数的有（ ）（1）3x y -=；（2）xy 8-=；（3）正方形周长y 和一边的长x ； （4）圆的面积y 与半径x ；（5）长a 一定时矩形面积y 与宽x ；（6）15斤梨售价20元．售价y 与斤数x ．例3．已知函数()m x m y 1-=，m 为 时，函数是正比例函数。

例4. 已知y-3与x 成正比例函数，且x=2时，y=7．(1)求y 与x 之间的函数关系式．(2)求当x=2时y 的值．(3)求当y=-3时x 的值．知识点1：y=kx ＋b （k ≠0）的图象及其位置1、图象：一条直线；2、与坐标轴的交点：①y=kx ＋b （k ≠0）交x 轴于（kb -，0）,交y 轴于（0，b ）； ②y=kx （k ≠0）过坐标原点（只有这一个交点），即（0，0）。

3、位置：由待定系数b k ,决定。

①k 的作用：当0>k 时，过一、三象限，当0<k 时，过二、四象限；反之，由图象经过的象限也可决定k 的正负；②b 的作用：决定与轴的交点位置。

反之，由图象与y 轴的交点位置也可决定b 的正负；例5．已知直线m x y +=2与两坐标轴所围成的三角形面积为24．（1）求m 的值；（2）当x 取什么值时，0>y ？例6．直线23+-=x y 上有点P 到x 轴的距离为3，则点P 的坐标为 。

知识点3：y=kx ＋b （k ≠0）的性质k ＞0时，y 随x 的增大而增大，从左到右直线上升。

k ＜0时，y 随x 的增大而减小，从左到右直线下降。

反之，图象自左向右是上升还是下降可以决定k 的正负。

例7．已知一次函数4)36(-++=n x m y ，求；（1）m 为何值时，y 随x 增大而减小；（2）n 为何值时，函数图像与y 轴的交点在x 轴下方；（3）m ，n 分别取何值时，函数图像经过原点；（4）若31=m ，5=n ，求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标； （5）若图像经过一、二、三象限，求m ，n 的取值范围． 例8．如果一次函数b kx y +=的自变量x 的取值范围是62≤≤-x ，相应函数值的范围是911≤≤-y ，则此函数的解析式为 ．知识点4：多个一次函数图象的位置关系1、平行：几个k 相等；2、相交：几个k 互不相等。

特别地，若几条直线交于y 轴上，则b 相等，交点坐标为（0，b ）点；若交于其它地方，则交点坐标为几个函数方程的公共解。

例9．已知直线y=kx ＋b 与直线y=2x －5交在y 轴上，且平行于直线y=－x ＋3，则该直线为 。

例10．把直线y=kx ＋b 向上平移2个单位，得到的直线y=－3x ＋m 与函数y=－5x －2的图象交于y 轴上，则k= ，b= 。

知识点5：用“待定系数法”求函数关系式前提：1、一次函数的一般表达式：y=kx ＋b （k≠0）条件：直线上任意两点的坐标；2、正比例函数（过坐标原点的直线）：y=kx （k≠0）条件：直线上除原点外的任意一点[可变形为k=y/x]；3、反比例函数（双曲线）：y=k/x （k≠0）条件：双曲线上的任意一点[可变形为k=xy]步骤：1、设（设出函数的一般表达式）2、列（根据已知点的坐标列出方程或方程组）3、解（解出方程，求出“待定系数”的值）4、答（将“待定系数”代入一般表达式中，得出函数的关系式）例11．已知一个一次函数的图像经过)1,1(-A 和)5,2(-B 两点，则这个一次函数的解析式为 ．例12．已知一次函数图像如图所示，那么这个一次函数的解析式是 。

例13．随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少．下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势．试用你所学的函数知识解决下列问题．（1）求入学儿童人数y （人）与年份x （年）的函数关系式；（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？ 年份（x ） 2000 2001 2002 …入学儿童人数（y ） 2520 2330 2140 …例14．如图表示，一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（写出自变量的取值范围）； （2）轮船和快艇的行驶速度分别是多少？（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？例15 . 某工厂有煤m 吨，每天烧煤n 吨．现已知煤烧3天后余102吨，烧煤8天后余煤72吨，问烧煤15天后余煤多少吨？巩固练习：1．已知方程752=+y x 给出了y 与x 的函数关系，则用自变量x 来表示函数y 的形式为_______.2．若x ，y 是变量，且2)1(k x k y +=是正比例函数，则k 值为________.3．在一次函数134--=x y .当12≤≤-y 时，x 的取值范围是_______. 4．已知函数x k y )1(+-=，满足0>x 时，0>y ，则k _____.5. 若点)p a 在正比例函数5y x =-的图象上，则a =＿＿＿．6.y 与x 成正比例，当x =3y =-，这个函数的解析式为 ．7. 已知y 与x 成正比例，当14x =时，56y =则12y =时x = ． 8.2y -与x 成正比，当2x =-时，4y =，则x = 时，4y =-．9．下列说法中，不正确的是（ ）A ．不是一次函数就一定不是正比例函数B ．正比例函数是一次函数C ．不是正比例函数就不是一次函数D ．一次函数不一定是正比例函数10．若函数32)2(--=m x m y 是正比例函数，则（ ）A ．2-=mB ．2±=mC ．2=mD ．2=m 11．如果n m x m y n +--=+12)2(为一次函数，且不是正比例函数，则（ ）A ．0,2=>n mB ．0,2=<n mC ．0,2=≠n mD ．0,02=≠≠n m m 且12．当5=x 时，一次函数k x y +=2与43-=kx y 的值相等，那么k 与y 的值分别是（）A ．73，773B ．-1，9C ．1，11D ．5，1513．正比例函数)0(>=k kx y ，当21-=x ，02=x ，33=x 时，对应的1y ，2y ，3y 之间的关系是（）A ．321y y y >>B ．321y y y <<C ．2123,y y y y >>D ．无法确定14．如果)0(≠=k kx y 的自变量增加4，函数值相应地减少16，则k 值（）A ．4B ．-4C ．41D ．41- 15.下列说法中不正确的是（ ）A 、在21y x =+时，y 与x 成正比例；B 、在12y x =-中，y 与x 成正比例；C 、在3xy =中，y 与1x成正比例； D 、在圆面积公式2S r π=中，S 与2r 成正比例16.下列关系式中，y 与x 成正比例的是（ ）A 、:3:5x y =B 、(1):2:5x y +=C 、2:57:2x y =D 、2:57:(2)x y =-17. 已知一次函数b kx y +=的图像经过)2,3(--A ，)6,1(B 两点。