贝叶斯公式和条件概率的区别和联系
1.5 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
条件概率全概率与贝叶斯公式(解析版)
专题29条件概率全概率与贝叶斯公式目录专题29条件概率全概率与贝叶斯公式..........................................................................................1【题型一】条件概率性质.................................................................................................................1【题型二】古典概型中的条件概率：取球型................................................................................3【题型三】条件概率：“医护”分配型...........................................................................................4【题型四】条件概率列表型.............................................................................................................6【题型五】全概率公式基础型.........................................................................................................7【题型六】贝叶斯公式.....................................................................................................................9【题型七】概率综合题...................................................................................................................11培优第一阶——基础过关练...........................................................................................................14培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................16培优第三阶——培优拔尖练.. (19)【题型一】条件概率性质【典例分析】已知()()()111,,.324P A P B A P B A ===∣∣则()P B =（）A ．712B ．724C ．512D ．524【答案】C【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得()P BA 和()P BA ，从而求得()P B .【详解】由题知，()2()13P A P A =-=，()()()111()()223P BA P B A P BA P A P A ==⇒=⨯=∣，()21133)3(()P A BA P B P A =-==-，又()()()111(()4412P BA P B A P BA P A P A ==⇒=⨯=∣，则()()115312()12P BA P B P BA ===++.故选：C1.设A ，B 是两个事件，()0P A >，()0P B >，则下列结论一定成立的是（）A ．()()1PB A P A B =B ．()()()P AB P A P B =C ．()()P B P B A ≤D ．()()P AB P B A ≤【答案】D【分析】应用条件概率公式及独立事件的概率关系()()()P AB P A P B =，结合概率的性质判断各项的正误.【详解】A ：由()()1P B A P A B =，而()()0,1P B A P A B ≤≤，则()()()()1()()P AB P AB P B A P A B P A P B ====，即()()()P AB P A P B ==时成立，否则不成立，排除；B ：当A ，B 是两个相互独立的事件，有()()()P AB P A P B =，否则不成立，排除；C ：由()()()()P AB P B P B A P A ≤=且()01P A <≤，故()()()P AB P A P B ≥时成立，否则不成立，排除；D ：由()()()P AB P B A P A =，而()01P A <≤，则()()P AB P B A ≤，符合；故选：D2.已知随机事件A ，B 的概率分别为(),()P A P B ，且()()0≠P A P B ，则下列说法中正确的是（）A ．(|)()<P AB P AB B ．(|)(|)P B A P A B =C ．(|)()(|)()P A B P B P B A P A =D ．(|)0=P B B 【答案】C【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】由条件概率知：()()(|)P AB P A B P B =，因为()(]0,1P B ∈，所以()()(|)()P AB P A B P AB P B =>，故A 不正确；()()()()(|),(|)P AB P AB P B A P A B P A P B ==，()P A 与()P B 不一定相等，所以(|)(|)P B A P A B =不一定成立，故B 不正确；()()()()(|),(|)P AB P AB P B A P A B P A P B ==，所以()()(|)()(|)()P AB P A B P B P B A P A P A ==，故C 正确；()()(|)0P B P B B P B =≠，故D 不正确.故选：C.3.已知A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列说法正确的是（）A ．()()()P B A P B A P A +=B ．若()()1P A P B +=，则A ，B 对立C ．若A ，B 独立，则()()P A B P A =D ．若A ，B 互斥，则()()1P A B P B A +=【答案】C 【分析】利用条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行分析判断，即可得到答案；【详解】对A ，()()()()()1()()P AB P AB P A P B A P B A P A P A ++===，故A 错误；对B ，若A ，B 对立，则()()1P A P B +=，反之不成立，故B 错误；对C ，根据独立事件定义，故C 正确；对D ，若A ，B 互斥，则()()0P A B P B A +=，故D 错误；故选：C【题型二】古典概型中的条件概率：取球型【典例分析】袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（）A ．23B ．14C ．521D ．523【答案】C【分析】记:i A 骰子掷出的点数为i ，()1,2,3i =，事件B:取出的球全是白球，分别求出()()2P A B P B ，，利用条件概率公式即可求解.【详解】记:i A 骰子掷出的点数为i ，()1,2,3i =，事件B:取出的球全是白球，则()16i P A =,()37|ii i C P B A C =，所以()()()123333312317771111311111|666676763510i i i C C C P B P A P B A C C C ===⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=∑所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：()()()2211567|12110P A B P A B P B ⨯===.1.袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件:A 甲和乙至少一人摸到红球，事件:B 甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率()P B A =（）A ．925B ．25C ．45D ．89【答案】D【分析】求出()P AB 和()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，事件:AB 甲、乙只有一人摸到红球，则()1242C A 85525P AB ==⨯，()2491525P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此，()()()82582599P AB P B A P A ===.故选：D.2.一个袋子中有2个红球和3个白球，这些小球除颜色外没有其他差异．从中不放回地抽取2个球，每次只取1个．设事件A =“第一次抽到红球”，B =“第二次抽到红球”，则概率(|)P B A 是（）A ．25B ．14C ．15D ．12【答案】B【分析】利用古典概率公式求出事件A 及事件AB 的概率，再利用条件概率公式计算得解.【详解】依题意，2()5P A =，211()5410P AB ⨯==⨯，所以1()110(|)2()45P AB P B A P A ===.故选：B 3.袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为（）A ．13B ．23C ．12D ．15【答案】B【分析】利用条件概率求解.【详解】设“第一次摸到红球”的事件为A ，设“第二次摸到白球”的事件为B ，则()()21221,42433p A p AB ⨯====⨯，所以在第一次摸到的是红球的条件下，第二次第二次摸到白球的概率为：()()()123|132p AB p B A p A ===.故选：B【题型三】条件概率：“医护”分配型【典例分析】将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A 表示事件“医生甲派往①村庄”；B 表示事件“医生乙派往①村庄”；C 表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）A ．事件A 与B 相互独立B ．事件A 与C 相互独立C ．5(|)12P B A =D ．5(|)12P C A =【答案】D【分析】由古典概率公式求出(),(),(),(),()P A P B P C P AB P AC ，再利用相互独立事件的定义判断A ，B ；用条件概率公式计算判断C ，D 作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有2343C A 36=个基本事件，它们等可能，事件A 含有的基本事件数为322332A C A 12+=，则121()363P A ==，同理1()()3P B P C ==，事件AB 含有的基本事件数为22A 2=，则21()3618P AB ==，事件AC 含有的基本事件数为211222C C C 5+=，则5()36P AC =，对于A ，1()()()9P A P B P AB =≠，即事件A 与B 相互不独立，A 不正确；对于B ，1()()()9P A P C P AC =≠，即事件A 与C 相互不独立，B 不正确；对于C ，()1(|)()6P AB P B A P A ==，C 不正确；对于D ，()5(|)()12P AC P C A P A ==，D 正确.故选：D【变式训练】1.有甲乙丙丁4名人学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶，短道速滑、花样滑冰3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率（）A ．16B ．14C ．29D ．136【答案】A【分析】用事件A 表示“甲被安排到了冰壶”，以A 为样本空间，利用古典概率公式求解作答.【详解】用事件A 表示“甲被安排到了冰壶”，B 表示“乙被安排到了冰壶”，在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶就是在事件A 发生的条件下，事件B 发生，相当于以A 为样本空间，考查事件B 发生，在新的样本空间中事件B 发生就是积事件AB ，包含的样本点数22()A 2n AB ==，事件A 发生的样本点数223323()C A A 12n A =+=，所以在甲被安排到了冰壶的条件下，乙也被安排到冰壶的概率为()21(|)()126n AB P B A n A ===.故选：A2.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则()P A B =（）A ．29B ．13C ．49D ．59【分析】利用条件概率公式有()()()P B A P A B P B ⋂=，结合排列组合数分别求出()P B 、()P B A ⋂即可得结果.【详解】由()()()P B A P A B P B ⋂=，而1344327()464C P B ⋅==，4443()432A PB A ⋂==，所以()29P A B =.故选：A3.2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （A |B ）＝（）A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】A求出()P A ()P AB =，()P B ，然后由条件概率公式计算．【详解】由题意444()4A P A =，()()P AB P A =，3443()4P B ⨯=，∴44434()24(|)43()94A P AB P A B P B ===⨯．故选：A ．【题型四】条件概率列表型【典例分析】已知某家族有A 、B 两种遗传性状，该家族某位成员出现A 性状的概率为415，出现B 性状的概率为215，A 、B 两种遗传性状都不出现的概率为710．则该成员在出现A 性状的条件下，出现B 性状的概率为（）A ．14B ．38C ．12D ．34【答案】B【分析】记事件:E 该家族某位成员出现A 性状，事件:F 该家族某位成员出现B 性状，求出()P EF ，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件:E 该家族某位成员出现A 性状，事件:F 该家族某位成员出现B 性状，则()415P E =，()215P F =，()710P E F =，则()()3110P E F P E F =-=，又因为()()()()P E F P E P F P EF =+-，则()()()()110P EF P E P F P E F =+-=，故所求概率为()()()11531048P EF P F E P E ==⨯=.故选：B.【变式训练】1.某射击选手射击一次击中10环的概率是45，连续两次均击中10环的概率是12，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是（）A ．25B ．58C ．12D ．45【分析】设该选手第一次射击击中10环为事件A ，第二次射击击中10环为事件B ，则P （A ）45=，1()2P AB =，某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是：()(|)()P AB P B A P A =．【详解】解：某选手射击一次击中10环的概率是45，连续两次均击中10环的概率是12，设该选手第一次射击击中10环为事件A ，第二次射击击中10环为事件B ，则()45P A =，1()2P AB =，∴某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是：1()52(|)4()85P AB P B A P A ===．故选：B ．2.甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.8，在目标被击中的条件下，甲､乙同时击中目标的概率为（）A ．2144B ．1223C ．1225D ．1121【答案】B【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.【详解】根据题意,记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,目标被击中为事件C ,则()()0.6,0.8P A P B ==，所以，()()()()()1110.610.80.92P C P A P B =-=--⨯-=，()()()0.60.80.48P AB P A P B ==⨯=，则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.60.80.921223P ⨯==.故选：B.3.．某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为0.7，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为0.5，已知第一次击中目标的概率为0.8，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（）A ．1425B ．1433C ．2833D ．2539【答案】C【分析】设出事件，利用全概率公式计算出()()()()()0.66P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=，再利用条件概率公式计算出答案.【详解】设第一次击中目标为事件A ，第二次击中目标为事件B ，则()0.7P B A =，()0.5P B A =，()0.8P A =，所以()0.2P A =，故()()()()()()()0.80.70.20.50.66P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅=⨯+⨯=，则()()()()()0.70.8280.660.6633P A P B A P AB P A B P B ⋅⨯====故选：C 【题型五】全概率公式基础型【典例分析】长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．110B ．38C ．25D ．2225【答案】A【分析】令1A =“玩手机时间超过2h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查一人，利用全概率公式计算即可.【详解】令1A =“玩手机时间超过2h 的学生”，2A =“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查一人，此人近视”，则12A A Ω=，且1A ，2A 互斥，()10.4P A =，()20.6P A =，()1|0.6P B A =，()0.3P B =，依题意，()()()()()()11222||0.40.60.6|0.3P B P A P B A P A P B A PB A =+=⨯+⨯=，解得()21|10P B A =，所以所求近视的概率为110．故选：A1.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2:3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（）A ．0.132B ．0.112C ．0.868D ．0.888【答案】C【分析】记事件B 表示从仓库中随机提出的一台是合格品，i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，i 1,2=，分别求出()()()()1212,,|,|P A P A P B A P B A ，再由全概率公式即可求解.【详解】设从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B ，事件i A 表示提出的一台是第i 车间生产的，i 1,2=，由题意可得()120.45P A ==，()20.6P A =，()1|0.85P B A =，()2|0.88P B A =由全概率公式得()()()()()1122||0.40.850.60.880.868P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=所以该产品合格的概率为0.868故选：C.2.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为（）A ．0.0415B ．0.0515C ．0.0425D ．0.0525【答案】D【分析】设B ＝“任取一个零件为次品”，Ai ＝“零件为第i 台车床加工”(i ＝1，2，3)，利用全概率的公式求解.【详解】解：设B ＝“任取一个零件为次品”，Ai ＝“零件为第i 台车床加工”(i ＝1，2，3)，则Ω＝A 1∪A 2∪A 3，A 1，A 2，A 3两两互斥．根据题意得P (A 1)＝0.25，P (A 2)＝0.3，P (A 3)＝0.45，P (B |A 1)＝0.06，P (B |A 2)＝P (B |A 3)＝0.05.由全概率公式，得P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.故选：D3.设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为110，115，120，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.2【答案】A【分析】以1A ，2A ，3A 分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，求得()1P A ，()2P A ，()3P A ，由条件概率和全概率公式可得答案.【详解】以1A ，2A ，3A 分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，()1510P A =，()2310P A =，()3210P A =，()11|10P B A =，()21|15P B A =，()31|20P B A =，则由全概率公式，所求概率为()()()()()()112233()|||P B P A P B A P A P B A P A P B A =++5131210.08101010151020=⨯+⨯+⨯=，故选：A.【题型六】贝叶斯公式【典例分析】一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（）A ．13B ．23C ．34D ．14【答案】B【分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可求解.【详解】设A 表示“考生答对”，B 表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得()()()()()121113342P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=.又由贝叶斯公式得()()()()1123132P B P A B P B A P A ⨯===.故选：B1.通信渠道中可传输的字符为AAAA ，BBBB ，CCCC 三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA ，则传输的字符是AAAA 的概率为________．【答案】0.5625【分析】以B 表示事件“收到的字符是ABCA ”，123,,A A A 分别表示传输的字符为AAAA ，BBBB ，CCCC ，根据已知得到()1P B A ，()2P B A ，()3P B A ，利用贝叶斯公式可计算求得()1P A B .【详解】以B 表示事件“收到的字符是ABCA ”，1A 表示事件“传输的字符为AAAA ”，2A 表示事件“传输的字符为BBBB ”，3A 表示事件“传输的字符为CCCC ”，根据题意有：()10.3P A =，()20.4P A =，()30.3P A =，()10.60.20.20.60.0144P B A =⨯⨯⨯=，()20.20.60.20.20.0048P B A =⨯⨯⨯=，()30.20.20.60.20.0048P B A =⨯⨯⨯=；根据贝叶斯公式可得：()()()()()111310.01440.30.56250.01440.30.00480.40.00480.3i ii P B A P A P A B P B A P A =⨯===⨯+⨯+⨯∑.故答案为：0.5625.2.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．【答案】0.80【分析】设“中途停车修理”为事件B ，“经过的是货车”为事件1A ，“经过的是客车”为事件2A ，则12B A B A B =+，然后代入贝叶斯公式计算.【详解】设“中途停车修理”为事件B ，“经过的是货车”为事件1A ，“经过的是客车”为事件2A ，则12B A B A B =+，12()3P A =，21()3P A =，1(|)0.02P B A =，2(|)0.01P B A =，由贝叶斯公式有1111122()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A +=20.023210.020.0133⨯=⨯+⨯0.80=.故答案为：0.803.已知在自然人群中，男性色盲患者出现的概率为7%，女性色盲患者出现的概率为0.5%．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______．【答案】1415【分析】以事件A 表示“选出的是男性”，则事件A 表示“选出的是女性”，以事件H 表示“选出的人是色盲患者”.由已知得()()12P A P A ==，()7%P H A =，()0.5%P H A =.根据贝叶斯公式可求得答案.【详解】解：以事件A 表示“选出的是男性”，则事件A 表示“选出的是女性”，以事件H 表示“选出的人是色盲患者”.由题意，知()()12P A P A ==，()7%P H A =，()0.5%P H A =.由贝叶斯公式，可知此色盲患者是男性的概率为()()()()()()()()()17%14211157%0.5%22P H A P A P AH P A H P H P H A P A P H A P A ⨯====+⨯+⨯.故答案为：1415.【题型七】概率综合题【典例分析】2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E 处，小华在如图的街道F 处，老年公寓位于如图的G 处，则下列说法正确的个数是（）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率为1835④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A ：小明经过F 事件B ；从F 到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则2()15P B A =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数m ，并确定向上或向右各走的步数n ，则最短路径的走法有nm C ，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F 且从F 到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，所以最短路径条数为133C =条，错误；对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为3735C =条，正确；对于③，小明到F 的最短路径走法有246C =条，再从F 处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到F 处和小华会合一起到老年公寓的概率为63183535⨯=，正确；对于④，由题意知：事件A 的走法有18条即18()35P A =，事件A B ⋂的概率()62435335P A B ⨯⋂==⨯，所以()()()2|9P A B P B A P A ⋂==，错误.故说法正确的个数是2.故选：B.【变式训练】1.．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以12,A A 和3A 表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（）①事件1A 与2A 相互独立；②1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件；③24(|)11P B A =；④()922P B =；⑤14(|)9P A B =A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】先判断出1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且不满足()()()1212P A A P A P A =⋅，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.【详解】显然，1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，且()1515232P A ==++，()2215235P A ==++，而()()()12120P A A P A P A =≠⋅，①错误，②正确；()2215235P A ==++，()214451155P A B =⨯=，所以24(|)11P B A =，③正确；()()()()()()()1122331541349211115101122P B P B A P A P B A P A P B A P A =⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯=④正确；()()()111552119922P A B P A B P B ⨯===，⑤错误，综上：结论正确个数为3.故选：C2．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（）A ．18B ．78C ．17D ．67【答案】C【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，记事件A 为“有一枚正面朝上”，则()78P A =，记事件B 为“另外两枚也正面朝上”，则AB 为“三枚都正面朝上”，故()18P AB =，故()()()118778P AB P B A P A ===.即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是17.故选：C.【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力．3．如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =A ．415B ．730C ．15D ．16【答案】C【分析】分别求出事件A 与事件B 的基本事件的个数，用()|P B A =()AB P P A （）计算结果.【详解】由题意知，事件A 共有4454C A =120个基本事件，事件B ：“局部等差”数列共有以下24个基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分别为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个，含3，2，1的局部等差数列的同理也有3个，共6个.含3，4，5的和含5，4，3的与上述（1）相同，也有6个.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个，含4，3，2的同理也有2个.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个，含5，3，1的也有上述4个，共24个，()24|120P B A ∴==15.故选C.培优第一阶——基础过关练1.已知7(3|)P A B =，7()9P B =，则()P AB =（）A ．37B ．47C ．13D ．2749【答案】C【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.【详解】因为7(3|)P A B =，7()9P B =，所以(7(31()))73|9P AB P A B P B ==⨯=.故选：C2．某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A ．0.34B ．0.37C ．0.42D ．0.43【答案】C【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件A 表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则223124C 0.80.32C P =⨯=,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则1113224C C 0.80.250.1C P =⨯⨯=，故12()0.320.10.42P A P P =+=+=,故选：C3．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是920，连续两天顾客量超过1万人次的概率是720，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（）.A ．710B ．910C ．45D ．79【答案】D【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A ，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次”为事件B ，则9()20P A =，7()20P AB =，所以7()720()9()920P AB P B A P A ===，故选：D ．4．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（）A ．0.92B ．0.93C ．0.94D ．0.95【答案】B【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A ，买到的灯泡是乙厂产品为事件B ，则()0.6P A =，()0.4P B =，记事件:C 从该地市场上买到一个合格灯泡，则()0.95P C A =，()0.9P C B =，所以，()()()()()()()0.60.950.40.9P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+=⨯+⨯0.93=.故选：B.5．将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，A 表示事件“志愿者甲派往①社区”；B 表示事件“志愿者乙派往①社区”；C 表示事件“志愿者乙派往②社区”，则（）A ．事件A 、B 同时发生的概率为19B ．事件A 发生的条件下B 发生的概率为16C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与C 为互斥事件【答案】B【分析】根据互斥独立的概率公式乘法公式和判定方法，可判定A 、C 不正确；利用条件概率的计算公式，可判定B 正确，结合互斥事件的概念与判定，举例可判定D 错误.【详解】由题意，每个社区至少派1名志愿者的所有可能情况有1123243122C C C A 36A ⨯=种分法，事件A 表示志愿者甲派往①社区的分法有322332A C A 12+=，所以1()3P A =,同理可得1()3P B =，1()3P C =，则22A 1()()()3618P AB P A P B ==≠，所以A 、B 不相互独立，所以A 、C 不正确；又由1()118(|)1()63P AB P B A P A ===，所以B 正确；例如：事件D :甲、乙派到①，丙派到②，丁派到③和事件E :甲派到①，乙、丙派到②，丁派到③，此时事件A 与事件C 同时发生，所以A 与C 不互斥，所以D 错误.故选：B.6．目前，国际上常用身体质量指数()()22:kg :m BMI =身高体重单位单位来衡量成人人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为15；女员工中，肥胖者的占比为110．已知该公司男、女员工的人数比例为3:2，为了解员工肥胖原因，现从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）A ．34B ．35C ．45D ．910【答案】A【分析】记事件A 为“选到的员工为肥胖者”，事件B 为“选到的员工为男性”，求出()P AB 、()P A 的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件A 为“选到的员工为肥胖者”，事件B 为“选到的员工为男性”．则()3135525P AB =⨯=，()312145551025P A =⨯+⨯=，则()()()32532544P AB P B A P A ==⨯=．故选：A.7．从分别标有1,2,3,9,的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则在抽取第1张为偶数的前提条件下，抽到第2张卡片上的数也为偶数的概率为（）A ．38B ．16C ．112D ．124【答案】A【分析】设事件A 为第1张为偶数，事件B 为第2张为偶数，则()49P A =，()16P AB =，根据条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为第1张为偶数，事件B 为第2张为偶数，则()49P A =，()2429C 1C 6P AB ==，故()()()38P AB P B A P A ==.故选：A培优第二阶——能力提升练1．2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间[70,90)内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（）A ．频率分布直方图中的0.030x =B ．估计100名学生成绩的中位数是85C ．估计100名学生成绩的80%分位数是95D ．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于[)70,80，则后抽取的学生成绩在[)80,90的概率是415【答案】AC【分析】根据频率之和为1可判断A,根据中位数为面积在0.5的位置可判断B,根据百位数的计算可判断C ，根据条件概率的计算公式可判断D.【详解】对于A ：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10(0.0050.010.0150.040)1x ⨯++++=，解得0.030x =，故A 正确；对于B ：全校学生成绩的中位数为()()00050010001510=030500050010001510=0605........x ..++´<+++´>，，故中位数位于[]8090，之间，故中位数为()2260809080=33+´-，故B 错误，对于C ：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为0.29010950.4+⨯=分，故C 正确．对于D ：在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80)和[)80,90的学生人数之比为100.0151100.0302⨯=⨯，故[)70,80抽取了2人，[)80,90中抽取了4人，先抽取的学生成绩位于[)70,80，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，而此时学生成绩在[)80,90的个数有4个，故概率为45，故D不正确，故选：AC2．甲盒中有3个红球，2个白球；乙盒中有2个红球，3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件A 表示“从甲盒中取出的是红球”，用事件B 表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球，用事件C 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论正确的是（）A ．事件B 与事件C 是互斥事件B ．事件A 与事件C 是独立事件C ．()330P C 1=D ．()12P C A =【答案】CD【分析】根据互斥的概念及独立事件概率公式可判断A 、B ；根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式即可判断C 、D.【详解】解：当从甲中取出白球时，乙中取出的可能是红球，也可能是白球，所以选项A 错误；因为甲盒中有3个红球，2个互斥白球，所以()35P A =，()25P B =，若甲中拿出的是红球，则乙中有3个红球，3个白球，若甲中拿出的是白球，则乙中有2个红球，4个白球，所以()3395630P AC =⨯=，()2245630P BC =⨯=，()332213565630P C =⨯+⨯=，因为()()()P AC P A P C ≠⨯，所以事件A 与事件C 不是独立事件，故选项B 错误；选项C 正确；因为()()()9130325P AC P C A P A ===，故选项D 正确.故选：CD3．已知事件,A B 满足()()0.5,0.2P A P B ==，则（）A ．若B A ⊆，则()0.5P AB =B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若()0.2P BA =∣，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，则()0.9P AB =【答案】BC【分析】根据事件的关系以及运算，互斥事件的概率加法公式，独立事件的概率公式，条件概率的概率公式等即可求出．【详解】对A ，因为B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，错误；对B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.7P A B P A P B +=+=，正确；对C ，因为()()()0.2P AB P BA P A ==∣，所以()0.1P AB =，而()()0.5,0.2P A P B ==，。
全概率公式和贝叶斯公式的区别与联系
全概率公式和贝叶斯公式的区别与联系全概率公式和贝叶斯公式是两个概率论中的重要公式，用于计算条件概率。
它们之间存在一定的区别和联系。
区别：1.针对的问题不同：全概率公式用于计算一个事件的概率，在已知相应条件下，求解它的概率；而贝叶斯公式则用于反向推理，已知事件发生的条件概率，来求解与之相关的条件概率。
2.公式形式不同：全概率公式的数学形式为P(A) =∑P(A|B_i)P(B_i)，其中B_i为互斥事件，且∑P(B_i) = 1；贝叶斯公式的数学形式为P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A)。
3.用途不同：全概率公式主要用于解决复杂事件的概率计算问题，将复杂事件分解为多个互斥事件的概率计算；贝叶斯公式则主要用于从已知的条件概率出发，反向计算待求条件概率。
联系：1.全概率公式是贝叶斯公式的基础，两者结合可以构成贝叶斯推断的完整过程。
2.贝叶斯公式可以通过全概率公式来推导得到，即根据全概率公式将条件概率表达式代入到贝叶斯公式中，可以得到贝叶斯公式的形式。
拓展：除了上述区别与联系之外，全概率公式和贝叶斯公式还能够应用于其他许多领域。
例如：1.在机器学习中，贝叶斯公式可以用于通过已知标签的数据集来计算新样本的后验概率，进而进行分类。
2.在信号处理中，贝叶斯滤波器可以通过贝叶斯公式将先验信息与测量得到的观测信息相结合，来实现对信号的滤波和估计。
3.在金融领域中，贝叶斯公式可以用于根据市场观测信息来更新关于资产价格走势的先验概率，从而进行风险度量和投资决策。
这些应用扩展了全概率公式和贝叶斯公式的应用范围，使得它们在不同领域中都能够有效地处理概率计算和推理问题。
概率公式从基本概率公式到条件概率公式一览无余
概率公式从基本概率公式到条件概率公式一览无余概率是数学中涉及不确定性的重要概念，用来描述事件发生的可能性大小。
概率公式是研究概率的基础，其中包括基本概率公式和条件概率公式。
本文将从基本概率公式开始，逐步介绍和解释各个公式的概念和应用。
一、基本概率公式基本概率公式是概率计算的基础，在概率论的发展中起到了重要的作用。
它表达了一个事件发生的概率与该事件包含的样本点数目的比例关系。
基本概率公式可以表示为：P(A) = N(A) / N其中，P(A)表示事件A发生的概率；N(A)表示事件A包含的样本点数目；N表示样本空间中所有可能的样本点数目。
二、条件概率公式条件概率公式是在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率公式可以表示为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
三、乘法法则乘法法则是概率论中的重要定理，用于计算多个事件同时发生的概率。
根据乘法法则，如果事件A和事件B是相互独立的，那么它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
四、加法法则加法法则是概率论中的另一个重要定理，用于计算多个事件至少有一个发生的概率。
根据加法法则，如果事件A和事件B是互斥的（即事件A和事件B不可能同时发生），那么它们至少有一个发生的概率等于它们各自发生的概率之和。
P(A∪B) = P(A) + P(B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
五、贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的重要推论，用于根据已知条件计算逆条件概率。
贝叶斯公式可以表示为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
条件概率与贝叶斯公式
7 10
3 3 9 10
2 9
3 10
例 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球， 先后两次从袋中各取一球（不放回）
(1) 已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的 概率；
(2) 已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的 概率。
解 设 Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2)
(2)
由于
P(A1A2)
A32 A120
1 15
P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 2 )170
3 3 9 10
2 9
3 10
所以 P(A1|A2)PP (A (A 1A 2)2)9 2
例 一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球， 取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球， 如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率．
(1) 已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的 概率；
(2) 已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的 概率。
解 设 Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2)
(1) P(A2| A1)92
(2)
由于
P(A1A2)
A32 A120
1 15
P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 2 )
P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4，
于是所求概率为
P(B|A)P(AB)0.40.5. P(A) 0.8
例 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余 年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分 别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：
(2) P (B |A )1P (B |A ).
1.3-条件概率与贝叶斯公式
例 一盒中混有，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得
的是一只红球，试求该红球是新球的概率。
解:设 A=“从盒中随机取到一只红球”
B = “从盒中随机取到一只新球”
红白
nA 60
nAB 40
新 40 30
P(B | A) nAB 2 nA 3
旧 20 10
解 A={(男, 男), (男, 女), (女, 男)}， B={(女, 女), (男, 女), (女, 男)}. C={(男, 女), (女, 男)}.
显然，P ( A ) = P ( B ) = 3/4。现在 B 已经发生，排 除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的 缩小到现在的 B = B，而事件相应地缩小到 C ={(男, 女)，(女, 男)}，因此
B={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
AB {(2, 2)}, AB {(1, 3),(3,1)} 于是所求概率为 P( A | B) P( AB) 1 36 1 , P(B) 6 36 6 P( A | B) P( AB) 2 36 1 . P(B) 30 36 15
其他概率的性质如单调性,减法公式,加法公式等 条件概率同样具备.
计算条件概率有两种方法:
(1) 在缩减的样本空间A中求B的 概率，就得到P(B|A).
P(B | A) nAB 2
nA 3
(2) 在Ω中,先求P(AB)和P(A),在按定义计算P(B|A)
P(B | A) P( AB) 0.4 2 P( A) 0.6 3
（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率； （2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.
解 设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}，
1.3 条件概率与贝叶斯公式
A , A B A B , (i j ).
i i 1
i j
n
3
按概率的可加性及乘法公式有
B B ( Ai ) B ( A1 B A2 B An B),
n i 1 n
P( B) P( AiB) P( AiB) P( Ai ) P( B | Ai ).
P( A1 A2 | B) P( A1 | B) P( A2 | B), A1 A2 .
其他概率的性质如单调性,减法公式,加法公式等 条件概率同样具备.
计算条件概率有两种方法: (1) 在缩减的样本空间A中求B的 概率，就得到P(B|A).
nAB 2 P ( B | A) nA 3
解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai = {第i次取出 的是黑球}，i=1, 2, 3，则有 A=A1 A2 A3．由题意得
b bc P( A1 ) , P( A2 | A1 ) , ab abc b 2c P( A3 | A1 A2 ) , a b P( A1 A2 A3 ). a b a b c a b 2c
2 2 / 4 P ( AB ) P( A | B) p( A) 3 3/4 P( B)
1.3.1 条件概率与乘法公式
定义1 设 A，B为随机试验 E 的两个事件， 且 P(A)＞0，则称
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
为在事件 A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.
i 1 i 1 i 1
n
n
3. 全概率公式的应用 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1 有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可 能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以 用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完 备事件组。
条件概率全概率公式和贝叶斯公式.ppt
2020年10月7日星期三
6
目录
上页
下页
返回
【例 11】某疾病 D 的医学检验结果可能为阳性(+)和阴性 ( )，其概率如下：
D
D
+
0.009
0.099
不 要
0.001
0.891
轻
由条件概率的定义可得易Fra bibliotekP( | D) P( D) 0.009 0.9, P(D) 0.009 0.001
5
目录
上页
下页
返回
关于条件概率，作如下几点说明：
(3) 计算条件概率可选择如下两种方法之一：① 在原 样 本 空 间 中 ， 先 计 算 P(AB), P(A) ， 再 按 公 式 P(B | A) P(AB) 计算；②由于事件 A 已经出现，它可以
P( A) 看成新的样本空间，因此可以在缩小后的样本空间 A 中 计算事件 B 发生的概率 P(B | A) ．
上页
下页
返回
事实上，设试验中样本点的总数为 n ，事件 A 所包
含的样本点的个数为 m(m 0) ，AB 所包含的样本点的个
数为 k ，则有
k
P(B
|
A)
k m
n m
P(AB) ． P( A)
n 一般地，人们将上述关系式作为条件概率的定义．
2020年10月7日星期三
3
目录
上页
下页
返回
一、 条件概率
11
目录
上页
下页
返回
a (m 1)c P( Am | A1A2 Am1) a b (m 1)c ,
b P( Am1 | A1A2 Am ) a b mc ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
贝叶斯公式和条件概率的区别和联系
【标题】贝叶斯公式与条件概率：深入探讨区别与联系
【导语】
贝叶斯公式和条件概率是概率论中两个重要的概念，它们在统计学、
机器学习以及人工智能等领域起到了至关重要的作用。本文将围绕贝
叶斯公式和条件概率展开讨论，探讨它们之间的区别和联系，帮助读
者深入理解这两个概念并将其应用于实际问题中。
【正文】
一、条件概率
条件概率是指在已知某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。
简言之，条件概率是事件 A 在另一事件 B 发生的条件下发生的概率，
用 P(A|B) 表示。其计算方法为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。条件概率
的应用可以帮助我们在已知某些信息的情况下预测事件的发生概率。
二、贝叶斯公式
贝叶斯公式是由概率论家贝叶斯提出的一种根据条件概率反推原事件
概率的方法。贝叶斯公式可以用于在得到新的证据后更新已有的概率
估计。贝叶斯公式的表达式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。其
中，P(A|B) 表示在已知事件 B 发生后事件 A 发生的概率，P(B|A) 表
示在已知事件 A 发生后事件 B 发生的概率，P(A) 和 P(B) 分别表示事
件 A 和事件 B 的独立概率。
三、区别与联系
条件概率和贝叶斯公式都是描述事件之间关联性的概率工具，但它们
在表达方式和应用场景上有所不同。条件概率是根据已知条件计算出
某事件发生的概率，它关注的是事件之间的依赖关系。而贝叶斯公式
则是根据已知条件和概率反推出原事件的概率，它关注的是在已知某
些信息后如何更新概率估计。
条件概率常用于事件发生的预测，它能够帮助我们计算在已知某些信
息下某事件发生的概率。在一批产品中有 80% 的产品是合格品，如果
我们已经知道某个产品是合格品，那么该产品是次品的概率是多少？
条件概率可以帮助我们得到答案。而贝叶斯公式则多用于更新概率估
计，即根据新的证据来更新先前的概率估计。在进行癌症检测时，如
果一位患者的初步检测结果显示阳性，但仅有1%的人口实际患有该癌
症，那么该患者患有该癌症的概率是多少？贝叶斯公式可以帮助我们
根据这一新的证据来更新患癌概率的估计。
条件概率和贝叶斯公式在具体问题中经常是相辅相成的。条件概率可
以帮助我们建立模型和预测事件的发生概率，而贝叶斯公式则能够根
据新的证据来修正和更新我们的模型。这两个概念结合起来，可以使
我们在处理概率问题时更加准确和全面。
【个人观点】
作为一种统计工具，贝叶斯公式和条件概率都在实际问题中得到了广
泛应用。个人认为，贝叶斯公式作为一种“更新概率”的手段，可以
帮助我们在实际问题中更好地处理不确定性和信息更新的情况。而条
件概率则更侧重于描述事件之间的依赖关系，帮助我们预测事件的发
生概率。在实际应用中，我们可以综合运用这两个概念，根据具体问
题的特点来选择合适的方法和工具。
【总结】
本文深入探讨了贝叶斯公式和条件概率的区别与联系。条件概率关注
事件之间的依赖关系，用于预测事件的发生概率；而贝叶斯公式是一
种根据条件概率和新证据来更新概率估计的方法。这两个概念在解决
概率问题时相辅相成，可以帮助我们更好地理解和应用概率论。通过
灵活运用贝叶斯公式和条件概率，我们可以为统计学、机器学习和人
工智能领域的问题提供准确而有力的解决方案。
【参考文献】
1. 李航. 统计学习方法[M]. 北京：清华大学出版社，2012年.
2. Mackay, D. J. C. Information Theory, Inference, and Learning
Algorithms (Vol. 7). Cambridge university press, 2003.
【声明】
本文仅代表个人观点，不构成任何投资、金融、法律等方面的建议。
读者应基于自己的判断力和风险承受能力做出决策。