数理统计课程论文

大学生考试成绩的量化分析

摘要：本文以某某大学化学化工学院2009级高等代数成绩为样本，结合概率论理论基础及统计学原理，探讨学生成绩的整理、成绩分布曲线的描绘以及怎样研究分布曲线所包含的“教”与“学”两方面的信息的方法。

关键词：正态分布频数直方图数字特征值优度检验偏度

一、引言

目前，考试仍然是高校教学过程中不可或缺的组成部分，对教与学双方而言，考试均起着检查工作成果进而评价绩效、查漏补缺的重要作用。考试是反馈教学信息，检测和评价教学质量，调控教学过程的重要手段。大学生在校期间的考试成绩可从多个层面折射出学生学习努力的程度、教师教学的效果、试卷的质量和学校教学管理水平等。

正态分布是连续随机变量概率分布的一种，对于一门课程的考核从掌握参照的角度来说，如果命题设计的合理，学生分数一般服从或近似服从正态分布。当然并不是所有考试都要求其分布为正态分布，这要根据考试的目的和性质等因素来决定。

对于大学成绩，已经不再是诸如各种竞赛性测验和择优录取的升学测验等选拔性的测验，而是一种成就测验，即合格水平测验。从而，目的在于考核学生是否达到了预定的教学目标和要求，反映了学生的学习功效。此时，不要求学生成绩呈现正态分布，反而希望学生成绩的分布能呈现负偏态分布。从学校的教育目的的角度来看，合格水平测验具有普遍意义、更重要的测验。因此，学生成绩测验呈现负偏态分布时，说明教学恰恰是成功的教学。

本文对某某大学化学化工学院2009级高等代数成绩加以统计，运用英国统计学家K.Pearson提出的2 检验方法进行了实证分析，得到合理的结论。

二、学生成绩分布直方图、成绩分布曲线

在刚得到数据时，各种数据信息是杂乱无章的，本文通过对数据进行由低到高分组分类得到各组的频数，求出各组的比例，然后编制出频数直方图，并求出数字特征。

某某大学化学化工学院2009级高等代数成绩表（百分制）

2.1数据整理

本文将所得数据采用百分制方法，按将从小到大分成了5组。利用excel软件编制累积次数表如下：

2.2 绘制频数直方图

建立以分数为横坐标，频数为纵坐标的直角坐标系，分别以组距为宽，频数为高作矩形构成分数频数直方图如下：

2.3

成绩散点图及频数趋势

用横坐标表示第几个分组，纵坐标表示该组内的频数，绘制成绩散点图级频数趋势，如下图：

2.4 数字特征

随机变量完全有它的概率分布(函数)描述，而确定其分布函数一般来说是相当麻烦的。在实际问题中，有时只需知道随机变量的某些数字特征就够了。以下是本文根据搜集的数据，利用数理统计的知识，结合计算机，分析算出的数字特征：

三、 分布拟合优度检验

3.1 正态性检验

本文将成绩总体分成5类，由上述数据整理可以得出每类情况出现的频率。记i A 为对该总体进行的分类，()j P A 为各种情况出现的频率，i P 为各种情况出现的概率。

原假设0H ：()j P A =i P ，i =1,2,3,4,5 其中i P ≥0,且i P 之和等于1. 被择假设1H ：()j P A =i P 等式不完全成立

2χ=()

2

1

k

i i i i

n np np =-∑

若在0H 成立时对充分大的n ，检验统计量2χ近似服从自由度为1k -的2χ分布。由于统计量2χ度量的是观测频数i n 与理论频数i np 的偏离程度，2χ值大，表示偏离的程度大，偏离的程度越大越倾向于拒绝原假设0H 。对给定的显著水平α（0<α<1），该检验的拒绝域为：

W ={2χ≥21αχ-(1)k -}

本文用搜集的108个数据作为容量为108的样本的一个样本值,设：

0H ：2009级高等代数成绩服从N ( 65.97335.36)，

1H ：2009级高等代数成绩不服从N ( 65.97335.36)，

由2χ-拟合优度检验法的要求,将实数轴分成5个不相交的区间： [)0,20,

[)20,40,[)40,60 ,[)60,80 ,[]80,100

如前面数据整理所述。用()F x 表示N ( 65.97,335.36)的分布函数，P 表示在

0H 为真的条件下数据落入个区间的理论概率，即公式中的i p ：

1P =F ()20=Φ()2.5103-≈0.006

2P =F ()40-F ()20=Φ()1.4181--Φ()2.5103-≈0.0718 3P =F ()60-F ()40=Φ()0.3260--Φ()1.4181-≈0.2929 4P =F ()80-F ()60=Φ()0.7661-Φ()0.3260-≈0.4087 5P =F ()100-F ()80=Φ()1.8583-Φ()0.7661≈0.1892

本文取置信水平α=0.05，用Pearson 检验方法验证本文所收集的某某大学化学化工学院2009级高等代数成绩是否服从正态分布。将上述数据代入公式得：

()

2

5

21

i i i i

n np np χ=-=≈∑

11.54

由于区间数m 5=，未知参数2l =，故自由度为12m l --=。 经过查表，

可以得出20.95χ2（）=5.9915。由于2χ>20.95χ2（）

，在拒绝域内，故应该拒绝原假设，即某某大学化学化工学院2009级高等代数成绩不服从正态分布。

3.2 检验的p 值

假设检验的结论通常是简单的，在给定的显著水平下，不拒绝原假设就是保留原假设。然而有时也会出现这样的情况：在一个较大的显著水平（比如

α=0.05）下得到拒绝原假设的结论，而在一个较小的显著水平（比如α=0.01）

下却回到相反的结论。

因此引进检验的p 值得概念有明显的好处。第一、它比较客观，避免了事先确定的显著水平；其次，有检验的p 值与人们心目中的显著性水平α进行比较可以很容易做出检验的结论：

如果α≥p ，则在显著水平α下拒绝原假设0H ； 如果α

这个p 值反映了数据与假设的分布拟合程度的高度，p 值越大，拟合越好。 本文中，以T 记服从()22χ的随机变量，则使用统计软件可以算出：

{}11.540.178717309p P T =>=

由上述结果可以看出，p 值相对于α较大，故拟合得较好。

四、 结论

1、运用正态分布科学地分析学生的成绩是一项重要意义的工作，是高校教学过程控制的一个重要环节，是衡量教学效果、保证教学质量的重要手段。成绩

的统计分析是挖掘成绩数据资料的有效途径，为教学管理和改革服务。通过对正态分布和正态分布率的分析,我们可以较方便地发现哪些班和哪些专业学生的学习存在问题,从而加强管理和强化学风教育.

2、偏态是统计学家K.Pearson 于1895年首次提出的，它是对数据分布的对称测度。而偏态系数是对数据分布不对称性的度量值。偏态系数可以描述分布的形状特征，其取值的正负反映的是： 当0β>时，分布为正偏或右偏， 当0β=时，分布关于其均值()E x 对称， 当0β<时，分布为负偏或左偏.

本文中偏度是负的，则成绩的分布呈低度负偏或左偏。说明总体分数较高，高分段学生很多，命题较易。

3、我们通过Excel 软件对上述成绩进行了正态分析得出了上述考试成绩的一些数字特征。对于大学成绩，已经不再是诸如各种竞赛性测验和择优录取的升学测验等选拔性的测验，而是一种成就测验，即合格水平测验。从而，目的在于考核学生是否达到了预定的教学目标和要求，反映了学生的学习功效。此时，不要求学生成绩呈现正态分布，反而希望学生成绩的分布能呈现负偏态分布。从学校的教育目的的角度来看，合格水平测验具有普遍意义、更重要的测验。因此，学生成绩测验呈现负偏态分布时，说明教学恰恰是成功的教学。比如本文所作的成绩检测，呈现出低度负偏态分布，从实际出发，达到了学校教育目的，是学校教育成功的表现。

4、实际中，成绩评价的主要依据仅是平均分和不及格率。而平均成绩是可以被教师通过考题的难度及考前复习所控制的。事实上,在很多学校的成人教学中,学生大面积缺课、从不完成作业等现象非常严重,但是考试成绩却高分很多,不及格率极低,可见由平均成绩和不及格率很难发现学生学习中的异常情况。诚然,不及格率高会给教师造成很多压力,但我们不应该因此而降低考试的难度,如果试题太容易,则用功和不用功的学生考试成绩相差无几的情况就会发生,勤奋学生的学习积极性会受到打击。更严重的是,如果各届学生之间口口相传,学生的学风可能一届比一届差,这将严重影响大学的教学质量。当然,不及格率过高也是不合适的。因此,保持试卷有一定的难度,而通过平时成绩适当地加以调整,控制较低的不及格率,这才是一种较为现实的做法。对学生而言,这样做既有一定的学习压力,又能保证大部分学生获得合格的成绩。如上所述，本文所采用的成绩数据不及格率达到了68.51%，均分65.97，良好地反映了学生的学习功效和教学成果。成绩众数为60分，如果将其归为不及格，则成绩分布呈正态分布，有理由怀疑是否应将60划为及格线。

总之,正态分布分析具有科学计算的精确性、规律性和客观真实性的特点,但是应正确地运用这一工具,不应该简单化地评价正态分布分析结果。例如,认为学生成绩不呈正态分布就是教师的教学有问题。正态分布分析和其他指标如平均分、标准差、及格率等若能有机结合来,就可以较好地获得学生学习状况的信息,从而有利于学校、学院和任课老师采取切实措施,提高教学质量。

参考文献

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