概率论和数理统计结课论文

概率论与数理统计课程总结报告——概率论与数理统计在日常生活中的应用

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学号：

专业：电子信息工程

摘要：数学作为一门工具性学科在我们的日常生活以及科学研究中扮演着极其重要的角色。概率论与

数理统计作为数学的一个重要组成部分，在生活中的应用也越来越广泛，近些年来，概率论与数理统计知识也越来越多的渗透到经济学，心理学，遗传学等学科中，另外在我们的日常生活之中，赌博，彩票，天气，体育赛事等都跟概率学有着十分密切的关系。本文着眼于概率论与数理统计在我们生活中的应用，通过前半部分对概率论与数理统计的一些基本知识的介绍，包括概率的基本性质，随机变量的数字特征及其分布，贝叶斯公式，中心极限定理等，结合后半部分的事例分析讨论了概率论与数理统计在我们生活中的指导作用，可以说，概率论与数理统计是如今数学中最活跃，应用最广泛的学科之一。

关键词：概率论 数理统计 经济生活 随机变量 贝叶斯公式

基本知识

§1.1 概率的重要性质

1.1.1定义

设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率。

概率)(A P 满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规性：对于必然事件S 1)S (=P

（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n

k k

n k k

A P A P 1

1

)()(

（n 可以取）

1.1.2 概率的一些重要性质

（i ） 0)(=φP

（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n

k k

n k k

A P A P 1

1

)()(

（n 可以取）

（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P

（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）

（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

§1.2 随机变量的数字特征

1.2.1 数学期望

设离散型随机变量X 的分布律为k k p x X P ==}{，k=1,2，…若级数

∑∞

=1

k k k

p x

绝对收敛，则称级

数

∑∞

=1

k k k

p x

的和为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即∑=i

k k p x X E )(

设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分?

∞

∞

-dx x xf )(绝对收敛，则称积分?∞

∞

-dx x xf )(的

值为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即?

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(

定理 设Y 是随机变量X 的函数Y=)(X g (g 是连续函数)

（1）如果X 是离散型随机变量，它的分布律为k p X P ==}x {k ，k=1,2，…若

k k k

p x g ∑∞

=1

(）

绝对收敛

则有=)Y (E =

))((X g E k

k k

p x g ∑∞

=1

(）

（2）如果X 是连续型随机变量，它的分概率密度为)(x f ，若

?

∞

∞

-dx x f x g )()(绝对收敛则有

=)Y (E =))((X g E ?∞

∞

-dx x f x g )()(

数学期望的几个重要性质 (1)设C 是常数，则有C C E =)(;

(2)设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(X CE CX E =; (3)设X,Y 是两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+； (4)设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有)()()(Y E X E XY E =.

1.2.2 方差

定义 设X 是一个随机变量，若[]})({2

X E X E -存在，则称[]})({2

X E X E -为X 的方差，记为

D （x ）即D （x ）=[]})({2

X E X E -，在应用上还引入量)(x D ，记为)(x σ，称为标准差或均方差。

222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=

方差的几个重要性质

(1)设C 是常数，则有 ,0)(=C D

(2)设X 是随机变量，C 是常数，则有)(C )(2

X D CX D =，D(X))(=+C X D ;

(3)设X,Y 是两个随机变量，则有E(Y))}-E(X))(Y -2E{(X D(Y)D(X))(++=+Y X D 特别，若X,Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=+;

(4)0)(=X D 的充要条件是X 以概率1取常数E(X)，即1)}({==X E X P .

切比雪夫不等式：设随机变量X 具有数学期望2

)(σ=X E ，则对于任意正数ε，不等式

22

}-X P{ε

σεμ≤≥成立

§1.3 点估计

1.3.1 矩估计

用矩法求估计很古老的估计方法，是建立在独立同分布情形下的大数定律（样本均值趋向总体平均），它由K .Pearson 在20世纪初提出，其中心思想就是用样本矩去估计总体矩 。

总体X 分布函数的未知参数为12(,,,),T

m θθθθ=???如果总体的k 阶原点矩

12()(,,,),1,2,,k k m E X k m αθθθ=???=???存在，我们设总体的k 阶原点矩与它的样本的k 阶原点矩

相等

1

1,1,2,,n k

k i i A X k m n ===???∑

即121

1(,,,)(),1,2,,n

k

k k m i k i E X X A k m n αθθθ=???====???∑

从上面式子可得到关于未知量θ的解12??(,,,),1,2,,i n X X X i m θθ=???=???

，取12????(,,,)

T m θθθθ=???作为12(,,,)T m θθθθ=???的估计，就称?θ

为θ的矩估计。 关键要掌握两个式子（设总体的均值为μ，方差为2

σ，12,,,n X X X ???是来自总体X 的一个

样本）：可得总体X 的一阶，二阶原点矩为

12222

2=E(X)=,

()()[()],

E X D X E X αμασμ??==+=+? 而样本的一阶，二阶原点矩为

21211

11,n n

i i i i A X X A X n n =====∑∑

由此可得到

2

2

21

1,n

i i X X n μσμ==+=∑，

所以?X μ

=，其中由于上面无偏性有提到方差并不等于样本方差2S ，而是22

1?n S n

σ-=，矩估计

为21

1()1n i i X X n =--∑。 当矩估计不唯一时，我们可以根据下面的两个基本原则来选择是否用矩估计：a 、涉及到矩的阶数尽量小， 对总体X 的要求也尽量少； 比较常用到的矩估计的阶数一般是一、二阶数；b 、用的估计最好是最小充分统计量的函数，因为在各种统计问题中充分性原则都应是适合的。

矩估计的两个基本特点是1、由于矩估计是基于经验分布函数，而经验分布函数逼近真实分布函数的前提条件是样本容量较大，所以理论上，矩估计是以大样本为应用对象的；2、矩估计没有用到总体分布的任何信息时，本质上是一种非参数方法，对已知的总体分布，它不一定是一个好的估计。

1.3.2 极大似然估计

极大似然方法是统计中最重要、应用最广泛的方法之一。该方法在1821年由德国数学家Gauss 提出的，但并没有得到重视，在1922年R.A.Fisher 再次提出，并探讨研究了它的性质。它利用总体分布函数的相关信息，克服矩估计的一些不足。

总体X 的分布律或概率密度函数为(;),f x θθ∈Θ是未知参数，其中总体的样本是

12,,,n X X X ???，则

121

(;)(;,,,)(;)n

n i

i L x L x x x f x θθθ==???=

∏

为θ的似然函数。若统计量12???()(,,,)n

X X X X θθθ==???满足条件 ?(();)sup (;),L X X L x θθ

θ∈Θ

= ??()()()()min Y X Y X Y X Y X β

ββββ''--=--

则称?()X θ

为θ的极大似然估计。 极大似然法有许多优良的性质：相合性与渐进有效性、渐进正态性等等。可以计算一些比较复

杂的点估计。尽管如此，极大似然也有它的局限性，比如说：极大似然法一定要知道总体分布形式，并且一般情况下，似然方程组的求解比较复杂，一般需要在计算机上通过跌代运算方能计算出其近似解，且并不是通过求导数都获得极大似然估计值的，以及任何统计推断都应该依赖损失函数，但是极大似然方法没有考虑到损失函数。

§1.4贝叶斯公式

设n B B B ...,21是一系列互不相容的事件，且有

Ω== n

i i

B

1

, ....2,1,0)(n i B P i =>

则对任一事件A ，有 )

()()

()()(1

j

n

j j

i i i B A P B P B A P B P A B P ∑==

， ....2,1n i =

)(i B P 叫先验概率，也叫边缘概率，)(A B P i 叫后验概率（....2,1n i =）。

§1.5 中心极限定理

1.5.1林德伯格定理

设独立随机变量 n X X X ,,,21满足林德伯格条件，对于任意的正数ε,有

∑?

=-∞→=-n

i s x i i n

n n

i dx x f x S 1

220)()(1lim εμμ＞。

其中)(x f i 是随机变量i X 的概率密度,则当∞→n 时,我们有