2004图论复习题答案

2004图论复习题答案

图论复习题答案

一、

判断题，对打√，错打

1．无向完全图是正则图。( √ )

2．零图是平凡图。( )

3．连通图的补图是连通图. ( )

4．非连通图的补图是非连通图。( )

5．若连通无向简单图G中无圈，则每条边都是割边。( √ )

6．若无向简单图G是（n，m）图，并且m=n-1，则G是树。( ) 7．任何树都至少有2片树叶。( )

8．任何无向图G都至少有一个生成树。( )

9．非平凡树是二分图。( √ )

10．所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。( )

11．任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。( √ )

12．3,3

K是欧拉图也是哈密顿图。( )

13．二分图的对偶图是欧拉图。( )

14．平面图的对偶图是连通图。( √ )

15．设G*是平面图G的对偶图，则G*的面数等于G的顶点数。( )二、填空题

1．无向完全图K6有 15 条边。

2．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有 4 个。

3．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有 10 片树叶。

4．若连通无向图G是（n，m）图，T是G的生成树，则基本割集

有 n-1 个，基本圈有 m-n+1 个。

5．设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要

加 k / 2 条边。

6．连通无向图G是（n，m）图，若G是平面图，则G有 m-n+2 个面。

三、解答题

a

1．有向图D 如图1所示，利用D 的邻接矩阵及其幂运算 求解下列问题：

（1） D 中长度等于3的通路和回路各有多少条。 （2） 求D 的可达性矩阵。 （3） 求D 的强分图。 解： （1）

M=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000101000000001

010******* M 2

=⎥⎥

⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡010*******

00010

1000001000

M 3

=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000

010*******

0001010000 M 4

=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡00010

01000

100000100000010

由M 3可知，D 中长度等于3的通路有5条，长度等于3的回路有3

条。

（2）

I+M+M 2+M 3+M 4

=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡100000100000100

0001000001

+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡000101000000001

010*******

+⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡010000001000010

1000001000

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000

01000010000001010000

+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡00010

010*******

010*******

= ⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡21020

1301011111

020*******

D 的可达性矩阵为

a

b

e 图1

R=B （I+M+M 2+M 3+M 4

）=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎣⎡110101*********

1101011011

（3）R T

=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111

1111100100

1111100101

R×R T

=⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡11010

11010

001001101000001

由矩阵R×R T 可知，该有向图的强分图有：{a}，{ b ，d ，e}，{ c}

2．画出有1个4次顶点，2个2次顶点，4个1次顶点的所有非同构的

树。

3．用Kruskal 算法求图2所示带权图的最小生成树，并计算它的权。

C （T ）=25

4．试画出带权为1,2,3, 4,5,7,的最优二元树,

并计算它的权。

m （T ）=（1+2）⨯4+3⨯3+（7+4+5）⨯2=53 5．出席某次国际学术报告会的六个成员

654321,,,,,P P P P P P 被分在一组。他们的情况是：

1P 会讲汉语、法语和日语； 2P 会讲德语、日语和俄语；

3P 会讲英语和法语；

4P 会讲汉语和西班牙语；

5P 会讲英语和德语； 6P 会讲俄语和西班牙语。

怎样把他们安排在一张圆桌旁坐下，使得每个人都能和他两旁的人交谈？

解 构造无向图>=

},,,,,{654321P P P P P P V =，}|),{(会讲同一种语言与j i j i P P P P E =，

则得无向图如图所示。

由该图得一条哈密顿回路：1352

PP P P

四、证明题

1． 设T 是完全二元树，T 中有m 条弧和t 片树叶，证明：m = 2(t -1)。

证明： 设完全二元树T 有n 个顶点。因为它有t 片树叶，所以除树叶以外的顶点有t n -个。由于完全二元树中，根和分支点的引出次数为2，每片树叶的引出次数为0，故所有顶点的引出次数之和为)(2t n -，它等于边数m 。又因为1-=n m ， 故有1)(2-=-n t n ，解得12-=t n 。因此

)1(2221-=-=-=t t n m 。

3

2P

4P 65