2019-2020年高考备考：2018年高考数学试题分类汇编----选择填空压轴题-中高考前沿
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08-三角函数--三角恒等变换)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08三角函数三角恒等变换)一、选择题1. ( 2018北京文)在平面坐标系中， A B , C D , ?F , G H 是圆x 2 y^ 1上的四段弧(如图) 点P 在其中一段上，角:-以Ox 为始边，OP 为终边, 若tan ， cos 〉：：：sin ,则P 所在的圆弧是()A . AB B .C DC . ?FD . G H1. 【答案】C【解析】由下图可得，有向线段 线段MP 为正弦线，有向线段 JI2. (2018天津文)将函数y =sin(2x)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数510( )则函数的单调递增区间满足： 2k 2x 乞2k k Z , 2 2 f即kx 乞k k Z ,4 4令k=0可得函数的一个单调递增区间为 ，二，选项A 正确，B 错误;IL 4 4函数的单调递减区间满足： 2k 2x_2k 「「3 k Z ,223 —即kx 乞kk Z ，令k =0可得函数的一个单调递减区间为44(A) 在区间［-二，二］上单调递增4 4z、 JI H(C )在区间［―,—］上单调递增4 2兀(B) 在区间［一,0］上单调递减4(D )在区间［一，上单调递减2 .【答案】A【解析】由函数-sin 2x 匸I 5丿的图象平移变换的性质可知 将yd 2x -的图象向右平移-个单位长度之后的解析式为:10in 2 l x sin2x . d n c y 二sin ~IL 乙 10 5OM 为余弦线，有向 AT 为正切线.选项C, D错误；故选A .3-(2018天津理)将函数心心茅的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函3 .【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知:则函数的单调递增区间满足： 2k n-n < 2x^2k n n k Z ,2 2v ; 即 k n x _kn k Z ,44f令k =1可得一个单调递增区间为',］4 4」函数的单调递减区间满足： 2k n n _ 2x_2k n 匕Z ，即k n — _ x_k n k 三Z2 2 4 4令k =1可得一个单调递减区间为 ,|5n ,7n 〔故选A .IL 4 42 24. (2018全国新课标i 文) 已知函数f x =2cos x-sin x 2，则()A . f(x )的最小正周期为 n 最大值为3B . f (x )的最小正周期为 n 最大值为4C . f(x )的最小正周期为2n 最大值为3D . f (x )的最小正周期为2冗，最大值为44、答案：B解答：f (x)二 2cos 2 x 「(1「cos 2 x) 2 二 3cos 2 x 1 -最小正周期为兀，最大值为45. (2018全国新课标n 文) 若f(x)二cosx-si nx 在［0, a ］是减函数，则a 的最大值是()" n _ n3 nA .B .C .D . n4 2 45•【答案】C L f 咒 \ n 【解析】因为 f x 二 cosx —si nx 二 2 cos I x ，所以由 0 • 2k ： x^-~ 2^: , k - ZI 4丿 4 得二 2^<^1- 2^：, k ，Z ，因此［0,a ：-,- , 0：：：a •，从而a 的最大值为 止，数( )(A)在区间［聖，竺］上单调递增4 4 (C) 在区间［5，—］上单调递增4 2(B)在区间［——，二］上单调递减4 3兀(D) 在区间［一，2二］上单f y =sin2xn 的图象向右平移丄个单位长度之后的解析式为: 10y =sin2x喘 n -in2x ，4 4144」 4 4故选C.8.答案：Csin x.故选C.二、填空1. （ 2018北京理）设函数f （x ）冗= cos( x )『> 0)，若 f (x)乞6 n f （）对任意的实数x 都成立，则 43的最小值为 ___________ .21.【答案】-3 【解析】 Qu n 对任意的实数x 都成立，所以f n 取最大值,226. (2018全国新课标n 理) nB .-2nA.-46 .【答案】A 若f （x ）=cosx -sinx 在［-a, a ］是减函数，则 a 的最大值是（ ）3n C.—4【解析】因为 所以由0・2k- f Ji) f x =cosx_sinx= .2cosix _ ,I 4丿 3 x 才 _ 2k 二，k 三 Z 得一才 2k 二 x 2k 二 k 三 Z ,因此 Iv,a ]u i-n,-3n"'4 4」,.-a :::a,—a _ -n ,4a±, 4n.0 ::: a ，从而a的最大值为4n，故选A . 47. （2018全国新课标川文、理）若 sin :-= 则 cos2> 二()7.答案：B解答: 7 B.-922cos2： =1-2s in冷故选B.8. （2018全国新课标川文） 函数f （x ）坦吟的最小正周期为（1 ta n x31B.—2C .二解答: f(x) tanx cosx1 tan2 x.21cos xsinxcosx =5^ xcosx =」sin 2x ，二 f (x)的周期2 — 2 2sin x cos x• ' ■ =8k k Z , Q门-0 ,-当k =0时，■■取最小值为一•3 32. （2018江苏）已知函数y=sin （2x 「）（）的图象关于直线 x 对称，则「的值是 22 3▲. 2.【答案】-n6【解析】由题意可得sini 2 n 二1，所以—nk n ,（3丿32k n k Z ，因为，所以k=0，二6 2 2 63.（2018全国新课标I 文） 已知角的顶点为坐标原点，始边与,B 2, b , 且 cos 2:B-T3. 答案：B4.(2018全国新课标I 理)已知函数f(x)=2sinx 十sin2x ，则f(x )的最小值是 _______________________ 4. 答案： (3)2解答:f(x) =2sinx sin2x ，•. f(x)最小正周期为 T =2二，•.f '(x) = 2(cosx cos2x) =2(2cos 2 x cosx T)，令 f '(x) = 0，即 2cos 2 x cosx -1 = 0，1 、cosx = ~ j 或 cos x = -1.r 1n 5•••当cos 二一，为函数的极小值点，即X 二一或X 二一二，2 3 3当 cosx = T, x = _：53厂 兀 3厂，• f (3 ')一2f (一)= 2， f (0) = f (一：)= 0， f (二)=o • f (x)最小值为- 一 V 一 .x 轴的非负半轴重合，终边上2、5解答：由cos2 : 2二 2cos :- -1 3可得2cos :- 1 ，化简可2tan 二■ 1得 tan5; 5 时 a -b =—;当 tana 5当 tan二5吕时，仍有此结果.三，即a=三,b 二注，此 5 5 5 已知tan （5 •【答案】32【解析】「 5兀tan :I 丿 1 +tana tan =4tan 「- tan4ta n* —1丄，解方程得 55 二 1 tan 二3tan 、； 2 6 • （2018全国新课标n 理） 16 •【答案】-―2【解析】Qsin 二亠cos ： =1 , 已知 sin a ■ cos 3 二1, cos a sin 3 = 0 ,贝U sin( a B)=2 2 1「sin ：「亠［cos 1 , 因此 sin (a + P )=sin a cos B +coso (sin11 2 1 2 111cos 1 sin1 •2 244 427• (2018全国新课标川理) 函数f (x ) = cos.”3x+ n 在〔0 ,冗］的零点个数为 _____________ •' * I 6丿 7 •答案：3ii k解答：由 f(x) =cos(3x • —) =0，有 3x k 「「一(k ・Z)，解得 x，由6623 9k 兀ji得 k 可取 0,1,2 ,••• f(x)=cos(3x —)在［0,二］上有 3 个零点•三、解答题1 • （2018北京文）已知函数f x 二sin2 x3 sin xcosx •n1 •!答案】(1) n ；( 2) n3【解析】(1) f x」—cos2x3sin 2x 二 3sin 2x 211 :: \cos2x sin 2x —— 2 2 所以f x 的最小正周期为(2)由(1 )知 f x 二sin 2x 「■n,I 6)2 ，所以 2x —n -5n ,2m —6 ］ 6因为 X E J-n , mIL 3要使得f（x ）在上的最大值为I ，即昭%〕在匸討上的最大值为1 •所以2m十n ，即m _n 所以m的最小值为n2. (2018上海)设常数 R ，函数 f(x )二 asin2x • 2cos?(1 )若f(x )为偶函数，求a 的值；(2)若〔匚〕、、3 1，求方程f(x ) = 1- .2在区间［「，门上的解。
2020年高考数学专题+一+第一关+以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题 (2)
2020年高考数学专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形， ，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ） A.B.C.D.【答案】A【解析】由图可知， ，得，解得， ，故选A。
S ABC -AB 4,4AB SA SB SC ====ABC32222OB OD DB =+()224r r=+3r =d ∴=【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的体积为（ ） A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得PA,PB ，PC 两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥P-ABC 是正棱锥，P 在底面的身影是底面正三角形的中心O ，由 面PAO ，再由 ，可知 面PBC,所以可知 ，即PA,PB,PC 两两垂直，由于是球外接球，所以正三棱锥P-ABC 可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以。
类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（ ） A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】D.【解析】由已知条件得：1121sin 602AA ⨯⨯⨯⨯=12AA =，∵2222cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴BC =，设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R ==，∴球的表面积等于248ππ=.【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ∆的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ∆的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．【举一反三】【陕西省榆林市2018届高考模拟第一次测试】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（ ） A. 13B.C.D. 2【答案】A【解析】因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心， 即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长， 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1=13， 所以球的直径为：13． 故答案为：A 。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)
（2）方法一：由（1）得 f x ax2 a 1 x 1 ex ax 1 x 1 ex ．
若
a
1 ，则当
x
1 a
,1
时，
f
x
0
；当
x
1,
时，
f
x
0
．
所以 f x 在 x 1处取得极小值．
若 a 1，则当 x 0,1 时， ax 1 x 1 0 ， f x 0 ． 所以 1 不是 f x 的极小值点． 综上可知， a 的取值范围是 1, ．
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4．（2018 浙江）已知函数 f(x)= x −lnx． （Ⅰ）若 f(x)在 x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2； （Ⅱ）若 a≤3−4ln2，证明：对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点．
2
2
所以 2 不是 f x 的极小值点．
综上可知，
a
的取值范围是
1 2
,
．
3．（2018 江苏）记 f (x), g(x) 分别为函数 f (x), g(x) 的导函数．若存在 x0 R ，满足 f (x0 ) g(x0 ) 且 f (x0 ) g(x0 ) ，则称 x0 为函数 f (x) 与 g(x) 的一个“S 点”．
4．.答案：（1）略；（2）略.
解答：（1）
f
( x)
1 2x
1 x
，不妨设
f
( x1 )
f
(x2 )
t ，即 x1, x2 是方程
1 2x
1 x
t 的两
根，即
x1 ,
2020年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线选择
2020年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线选择一、选择题1、〔2018湖南文数〕5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，那么点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12解析：抛物线的准线为：x=－2，点P 到准线距离为4＋2＝6，因此它到焦点的距离为6。
.2、〔2018全国卷2理数〕〔12〕椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．假设3AF FB =，那么k =〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕2 【答案】B【命题意图】本试题要紧考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分不作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，应选B.3、〔2018陕西文数〕9.抛物线y 2＝2px 〔p >0〕的准线与圆〔x －3〕2＋y 2＝16相切，那么p 的值为 [C]〔A 〕12〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕4解析：此题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px 〔p >0〕的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px 〔p >0〕的准线与圆〔x －3〕2＋y 2＝16相切，因此2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px 〔p >0〕的准线与圆〔x －3〕2＋y 2＝16相切与点〔-1,0〕 因此2,12=-=-p p4、〔2018辽宁文数〕〔9〕设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,假如直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为〔A 〔B 〔C 〕12 〔D 〕12解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，那么一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：bc -，()1b ba c∴⋅-=-，2b ac ∴=220c a ac --=，解得c e a ==. 5、〔2018浙江理数〕〔8〕设1F 、2F 分不为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.假设在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的渐近线方程为〔A 〕340x y ±= 〔B 〕350x y ±= 〔C 〕430x y ±= 〔D 〕540x y ±=解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中查找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案选C ，此题要紧考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对运算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 6、〔2018辽宁文数〕〔7〕设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，假如直线AF 斜率为，那么PF =〔A 〕〔B 〕 8 〔C 〕 〔D 〕 16解析：选B.利用抛物线定义，易证PAF ∆为正三角形，那么4||8sin30PF ︒== 7、〔2018辽宁理数〕 (9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，假如直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(C)12+ (D) 12【答案】D【命题立意】此题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编13-等式与不等式(含解析)
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
【详解】法1：由基本不等式有 ，
同理 ， ，
故 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设 ，则 ，
由排列不等式可得：
，
而 ，
故 不可能均大于 .
取 ， ， ，
则 ，
故三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．①B．②C．①②D．①②③
21．（2019·天津·高考真题）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为
A．2B．3C．5D．6
22．（2019·浙江·高考真题）若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是
四、解答题
43．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
44．（2021·全国·统考高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
江苏省2018年高考数学复习押题测试题
2018年江苏省高考数学数学复习押题二数学（必做题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．ii515+-=_________． 2．以下伪代码：Read xIf x≤ 0 Then ()f x ← 3x Else()f x ←8 End If Print ()f x根据以上算法，可求得(3)(2)f f -+的值为 ____． 3．已知函数R ∈-=x x x x f ,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,3 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,232C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,656 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≤≤π+πZ k k x k x ,65262 4．已知向量(2,3)=a ，(1,2)=-b ，若m n +a b 与2-a b 共线，则n m等于（ ）A ．2-；B ．2C ．21-D ．215．设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ） A ．()()2,02,-+∞UB ．()(),20,2-∞-UC ．()(),22,-∞-+∞UD ．()()2,00,2-U6. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r 等于（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．60．0．7. 规定{}⎩⎨⎧<<=,,,,,min a b b b a a b a 若函数{}()min ,f x x x t =+的图象关于直线21-=x 对称，则t 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．18．正三棱锥P —ABC 的高PO=4，斜高为25PO 的中点且平行于底面的截面的面积为________．9．已知经过函数xbe ax x f +=)(图象上一点)2,1(-P 处的切线与直线x y 3-=平行，则函数)(x f 的解析式为___________．10．设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为______. 11．某商品进货规则是:不超过100件,按每件b 元；若超过100件,按每件(b-20)元.现进货不超过100件花了a 元,若在此基础上再多进13件,则花费仍为a 元,设进货价都是每件整元,则b=________________．12．已知数列{}n a 满足11a =， )()41(*1N n a a n n n ∈=++，12321444-⋅++⋅+⋅+=n n n a a a a S Λ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得_________45=-n nn a S ．13．已知点O 为ABC ∆内一点，且n m +=（其中0<m 、0<n ），若3:2:=∆∆AOC AOB S S ，则=nm． 14．在平面直角坐标系中，已知)0,1(),0,(),1,4(),3,1(+--a N a P B A ，若四边形PABN 的周长最小，则a = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形.已知ο60,22,2,2,4=∠====PAB PD PA AD AB ,设平面PBC 与平面PAD 的交线为L .（Ⅰ）证明ABCD L 平面//；（Ⅱ）证明是BPA ∠平面PBC 与平面PAD 所成二面角的一个平面角,并求其二面角的大小.16．（本小题满分14分） 已知函数2()sin()sin()2cos 662x f x x x ππωωω=++--，其中ω是使()f x 能在3x π=处取得最大值时的最小正整数． (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)设ABC ∆的三边,,a b c 满足2b ac =且边b 所对的角θ的取值集合为A ，当x A ∈时，求()f x 的值域．17．（本小题满分15分）某地区预计明年从年初开始的前x 个月内，对某种商品的需求总量f(x)（万件）与月份x 的近似关系为：)12*,)(235)(1(1501)(≤∈-+=x N x x x x x f 且. （Ⅰ）写出明年第x 个月的需求量g(x)（万件）与月份x 的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？（Ⅱ）如果将该商品每月都投放市场P 万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问P 至少为多少万件？18．（本小题满分16分）已知正方形的外接圆方程为22240x y x a +-+=，A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列，正方形一边CD 所在直线的方向向量为(3，1)．（Ⅰ）求正方形对角线AC 与BD 所在直线的方程；（Ⅱ）若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线E 经过正方形在x 轴上方的两个顶点A 、B ，求抛物线E 的方程．19．（本小题满分16分）设3x x f =)(，等差数列{}n a 中73=a ,12321=++a a a ，记S n =()31+n a f,令n n n S a b =，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和为T n . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式和n S ； （Ⅱ）求证：31<n T ； （Ⅲ）是否存在正整数m,n,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列？若存在，求出m,n 的值，若不存在，说明理由.20．（本小题满分16分） 已知函数1()2x f x +=定义在R 上.（Ⅰ）若()f x 可以表示为一个偶函数()g x 与一个奇函数()h x 之和，设()h x t =，2()(2)2()1()p t g x mh x m m m =++--∈R ，求出()p t 的解析式；（Ⅱ）若2()1p t m m ≥--对于[1,2]x ∈恒成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）若方程(())0p p t =无实根，求m 的取值范围.江苏省2018年高三数学模拟试题一数 学（附加题）21．（选做题）从A ，B ，C ，D 四个中选做2个，每题10分，共20分． A ．选修4—1 几何证明选讲已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝DC,过点D 作AC 的平行线DE,交BA 的延长线于点E ．求证： (Ⅰ)△ABC ≌△DCB (Ⅱ)DE·DC ＝AE·BD ．B ．选修4—2 矩阵与变换设M 是把坐标平面上的点)1,2(),1,1(-Q P 分别变换成点)3,4(),3,2(11-Q P ． （Ⅰ）求矩阵M 的特征值及相应的特征向量；（Ⅱ）求逆矩阵1M -以及椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．C ．选修4—4 参数方程与极坐标已知某圆的极坐标方程为：06)4cos(242=+--πθρρ．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程； （Ⅱ）若点P(x ，y)在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．D ．选修4—4 不等式证明设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证ma a a 9111321≥++ ． AB CED22．（必做题（本小题满分10分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ． （Ⅰ）求文娱队的人数；（Ⅱ）写出ξ的概率分布列并计算E ξ．23．（必做题（本小题满分10分）过点A(2,1)作曲线42)(-=x e x f 的切线l ．（Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）求切线l,x 轴,y 轴及曲线所围成的封闭图形的面积S ．江苏省2018年高三数学模拟试题二参考答案一、填空题1．i -；2．-1； 3．B 4．C5．D6．A7．D8．33；9．12125)(+--=x e x x f ；10．4；11．160；12．n ；13．23；14．25=a ． 二、解答题15．证明：（Ⅰ）PAD BC AD BC 平面////⇒因为平面PBC 与平面PAD 的交线为L L BC //⇒ 所以ABCD L 平面//（Ⅱ）在PAD ∆中，由题设22,2==PD PA 可得222PD AD PA =+于是PA AD ⊥在矩形ABCD 中，AB AD ⊥.又A AB PA =I ，所以⊥AD 平面PAB 又PB L PA L PAB L AD L ⊥⊥⇒⊥⇒,//平面 即是BPA ∠平面PBC 与平面PAD 所成二面角的一个平面角在PAB ∆中 ο60,2,4=∠==PAB PA AB 090=∠⇒BPA所以平面PBC 与平面PAD 所成二面角的大小为090．16．解：(Ⅰ)11()cos cos (1cos )2222f x x x x x x ωωωωω=++--+12(sin cos )12sin()1226x x x πωωω=--=-- ……2分 由题意得2362k πππωπ-=+，Z k ∈，得62k ω=+，Z k ∈当0k =时，最小正整数ω的值为2，故2ω=． ……6分 (Ⅱ)因ac b =2且 θcos 2222ac c a b -+= 则21cos 2≥+=+a c c a θ 当且仅当acc a =，c a =时，等号成立 则21cos ≥θ，又因),0(πθ∈，则30πθ≤< ，即 }30|{π≤<=x x A ……10分 由①知：()2sin(2)16f x x π=--因30π≤<x ，则 2662x πππ-<-≤， 1sin(4)126x π-<-≤ 2()1f x -<≤，故函数)(x f 的值域为(2,1]-． ……14分17．解：（Ⅰ）)(251133211501)1()1(万件=⨯⨯⨯==f g 当2≥n 时，g(x)=f(x)-f(x-1))237()1(1501)235)(1(1501x x x x x x ----+=)]37392()35332[(150122-+-++-=x x x x x )12(251)672(1501+-=-=x x x x 当x=1时，g(x)=g(1)也适合上式)12)(12(251)(≤∈+-=∴+x N x x x x g 且 又2536]2)12([251)(2=-+≤x x x g Θ 等号当且仅当x=12-x 即x=6时成立，即当x=6时，2536)(max =x g （万件） ∴6月份该商品的需求量最大，最大需求量为2536万件. （Ⅱ）依题意，对一切}12,,2,1{Λ∈x ，有)()()2()1(x f x g g g Px =++≥Λ)12,2,1()235)(1(1501Λ=-+≥x x x P 令]81369)433(2[1501)23335(1501)(22+--=-+=x x x x h150171)8()(max ==∴h x h 150171≥∴P 答每个月至少投入150171万件可以保证每个月都足量供应.18．解：(Ⅰ) 由（x －12）2+y 2=144－a(a<144),可知圆心M 的坐标为(12，0)， 依题意，∠ABM=∠BAM=π4 ，k AB = 13, 设MA 、MB 的斜率k.则1(1,),(1,)3AB MA k ==u u u r u u u r 且cos ,AB MA =u u u r u u u r , 解得AC k =2，BD k =－ 12 ．∴所求BD 方程为x+2y －12=0，AC 方程为2x －y －24=0．(Ⅱ) 设MB 、MA 的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝－12 ，设圆半径为r ，则A （12＋,55r ），B （12－5r ，5r ）， 再设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由于A ，B 两点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧（5r ）2=2p(12－5r )）2=2p （12r ）∴ r=45 ，p=2．得抛物线方程为y 2＝4x.19．解:（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由 7213=+=d a a ,12331321=+=++d a a a a ,解得11=a ，d =3∴23-=n a n ∵3xx f =)(∴S n =()31+n a f=131+=+n a n(Ⅱ) )13)(23(+-==n n S a b n n n∴)131231(31)13)(23(11+--=+-=n n n n b n ∴31)1311(31<+-=n T n (Ⅲ)由(2)知，13+=n nn T∴13,411+==m m T T m ，13+=n nn T∵n m T T T ,,1成等比数列 ∴ 1341)13(2+=+n n m m 即n n mm 4312+=+6 当1=m 时，7nn 43+=，n =1，不合题意；当2=m 时，413n n 43+=，n =16，符合题意；当3=m 时，919n n 43+=，n 无正整数解；当4=m 时，1625n n 43+=，n 无正整数解； 当5=m 时，2531n n 43+=，n 无正整数解； 当6=m 时，3637nn 43+=，n 无正整数解； 当7≥m 时，010)3(1622>--=--m m m ，则1162<+mm ，而34343>+=+n n n ，所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. 综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列.20．解:（Ⅰ）假设()()()f x g x h x =+①，其中()g x 偶函数，()h x 为奇函数，则有()()()f x g x h x -=-+-，即()()()f x g x h x -=-②，由①②解得()()()2f x f x g x +-=，()()()2f x f x h x --=.∵()f x 定义在R 上，∴()g x ，()h x 都定义在R 上. ∵()()()()2f x f x g x g x -+-==，()()()()2f x f x h x h x ---==-.∴()g x 是偶函数，()h x 是奇函数， ∵1()2x f x +=，∴11()()221()2222x x x x f x f x g x +-++-+===+， 11()()221()2222x x x x f x f x h x +-+---===-.由122xxt -=，则t ∈R ， 平方得222211(2)2222x x x x t =-=+-，∴2221(2)222x x g x t =+=+，∴22()21p t t mt m m =++-+. …………6分 （Ⅱ）∵()t h x =关于[1,2]x ∈单调递增，∴31524t ≤≤. ∴222()211p t t mt m m m m =++-+≥--对于315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴222t m t +≥-对于315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令22()2t t t ϕ+=-，则212()(1)2t tϕ'=-，∵315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴212()(1)02t t ϕ'=-<，故22()2t t t ϕ+=-在315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴max 317()()212t ϕϕ==-，∴1712m ≥-为m 的取值范围. …………10分 （Ⅲ）由（1）得22(())[()]2()1p p t p t mp t m m =++-+，若(())0p p t =无实根，即22[()]2()1p t mp t m m ++-+①无实根，方程①的判别式2244(1)4(1)m m m m ∆=--+=-.1°当方程①的判别式0∆<，即1m <时，方程①无实根. ……………12分2°当方程①的判别式0∆≥，即1m ≥时，方程①有两个实根22()21p t t mt m m m =++-+=-±即22210t mt m +++±=②，只要方程②无实根，故其判别式22244(10m m ∆=-+<，即得10--<③，且10-<④，∵1m ≥，③恒成立，由④解得2m <，∴③④同时成立得12m ≤<．综上，m 的取值范围为2m <. ……………16分三、附加题21A ．（1）∵DE 2=EF·EC ，∴DE : CE=EF : ED ．∵∠DEF 是公共角，∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ．∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ．∴∠P=∠EDF ．（2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，∴ΔDEF ∽ΔPEA ． ∴DE : PE=EF : EA ．即EF·EP=DE·EA ．∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB ．∴CE·EB=EF·EP ． 21B ．解（Ⅰ）由条件得矩阵2003M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， A B C E D它的特征值为2和3，对应的特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦及01⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （Ⅱ）1102103M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 椭圆22149x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程为221x y +=． 21C ．解：（Ⅰ）x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0；22x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ )(为参数α （Ⅱ）x ＋y ＝4＋2sin （4πα+） 最大值6，最小值2 ． 21D ．证明：321111a a a ++)111)((1321321a a a a a a m ++++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=)()()(31133123321221a a a a a a a a a a a a m m m9)2223(1=+++≥ 当且仅当3321m a a a ===时，等号成立． 22．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有（7-x ）人，那么只会一项的人数是（7-2 x ）人．(I)∵107)0(P 1)1(P )0(P ==-=≥=>ξξξ， ∴103)0(P ==ξ．即103C C 2x 722x 7=--． ∴103)x 6)(x 7()2x 6)(2x 7(=----． ∴x=2． 故文娱队共有5人． (II) 54C C C )1(P 251412=⋅==ξ，101C C )2(P 2522===ξ， ξ的概率分布列为∴10125411030E ⨯+⨯+⨯=ξ =1． 23．解：（Ⅰ）032=--y x ； （Ⅱ）42141e -．。
2020年高考数学试题分类汇编——三角函数选择
2020年高考数学试题分类汇编——三角函数选择〔2018上海文数〕18.假设△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，那么△ABC 〔A 〕一定是锐角三角形. 〔B 〕一定是直角三角形.〔C 〕一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，因此角C 为钝角〔2018湖南文数〕7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分不为a ，b ，c ，假设∠C=120°，c=2a ，那么 A.a ＞b B.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定【命题意图】此题考查余弦定理，专门角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。
〔2018浙江理数〕〔9〕设函数()4sin(21)f x x x =+-，那么在以下区间中函数()f x 不．存在零点的是 〔A 〕[]4,2-- 〔B 〕[]2,0- 〔C 〕[]0,2 〔D 〕[]2,4解析：将()x f 的零点转化为函数()()()x x h x x g =+=与12sin 4的交点，数形结合可知答案选A ，此题要紧考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题〔2018浙江理数〕〔4〕设02x π＜＜，那么〝2sin 1x x ＜〞是〝sin 1x x ＜〞的〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件 解析：因为0＜x ＜2π，因此sinx ＜1，故x sin 2x ＜x sinx ，结合x sin 2x 与x sinx 的取值范畴相同，可知答案选B ，此题要紧考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题〔2018全国卷2理数〕〔7〕为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像〔A 〕向左平移4π个长度单位 〔B 〕向右平移4π个长度单位〔C 〕向左平移2π个长度单位 〔D 〕向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题要紧考查三角函数图像的平移. 【解析】sin(2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，因此将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，应选B.〔2018陕西文数〕3.函数f (x )=2sin x cos x 是[C](A)最小正周期为2π的奇函数 〔B 〕最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数 〔D 〕最小正周期为π的偶函数解析：此题考查三角函数的性质f (x )=2sin x cos x=sin2x ，周期为π的奇函数〔2018辽宁文数〕〔6〕设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，那么ω的最小值是〔A 〕23 〔B 〕 43 〔C 〕 32〔D 〕 3 解析：选C.由，周期243,.32T ππωω==∴=〔2018辽宁理数〕〔5〕设ω>0,函数y=s in(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，那么ω的最小值是〔A 〕23 (B)43 (C)32(D)3 【答案】C【命题立意】此题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活把握的程度。
2020高考数学压轴题(高二、高三)作业压轴题分类汇编与详解
高考数学压轴题目录一、专题篇二、零点问题三、倍值区间问题四、恒成立问题五、不等式证明问题六、圆锥曲线七、数列八、概率统计一、专题篇1.不等式证明之切线放缩法1.题目特点已知函数）题目中的取等条件往往是“”，根据取等条件，此时我们可以考虑使用切线放缩，2.解题步骤①求出函数：②证明③最后采取累加法即可得证备注：在证明②的过程中，我们一般采取两种方式：一是直接构造函数证明；二是因式分解来证明。
不管是构造函数来证明还是因式分解来证明，都要紧紧抓住取等条件来因式分解，其中因式分解来证明时，切点处的切线值等于这点的函数值，所以要证明的不等式必有一个因式“或）”，而构造函数来证明时，因为切线斜率等于直线的斜率，所以导函数必有一个因式“或3.例题精讲已知函数，（1）求函数（2）判断函数的零点个数，并说明理由（3）已知数列满足：，，且，若不等式在时恒成立，求实数的最小值解：（3）由题意可知猜测可能是时，（实际上不用猜测，就是所有变量相等时，取最大值，第一问已经给了提示），接下来就是三步走喽！①求函数②证明切线和函数的大小关系，根据不等号的方向（要取最大值），所以证明（）我们采用两种方式来证明方法一：直接因式分解来证明要证只需证即证，则上式一定有一个因式，所以利用一下长除法或者凑公因式法，不难分解出只需证即证显然成立！方法二：构造函数来证明令）则易知上式有一个根，则上式一定有一个因式同样的采取长除法或者凑公因式法都可以将因式分解成令，易知单调递增，而，由零点存在性定理可知：必有一个，使得，则，单调递增，单调递减，，单调递增所以证毕！③采用累加法可得将上述个式子累加可得所以解得，此时的最小值为4.配套练习1.，求证：2.已知，且2.换元法解决复杂函数零点问题1.已知函数的图像恰有三个不同的公共点（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是解：由题意可知整理可得由函数的图像可知：上述一元二次方程要有两个根，情形一：当，，代入检验可知，不满足题意情形二：当，，代入检验可知，不满足题意情形三：当，，解得：综上所述：解答时间备注：一些复杂的函数零点问题的小题，我们往往可以通过一些代数变形（一般都是同除的操作比较多），出现一些相同的结构（例如上题：两边同除“”以后，在两个括号内”）相同的结构”，把原函数的零点问题等价转化成一个新函数的零点问题（一般新函数是一个二次函数），先画出“”这个函数的图像，根据函数图像和题目零点个数得到的取值范围，然后再利用“”的取值范围，求出参数的取值范围秋季高二创新班在“导数之零点问题”的专题中专门讲过这一个小类型，现把秋季创新班讲义中的两道习题作为练习，共给大家练练手配套练习：1.若关于的方程，且，其中，2.已知函数的图象与的图象有四个不同的交点，从小到大依次为，求值3.抽象函数的导数问题准备工作求下列函数的导函数1.3.例题精讲：1.定义在上的函数满足：，若对任意正数，，则实数的取值范围是解：看到“”和“”前面都是常数，且“”前面的系数是，且中间是“”号，这个时候构造原函数就应该有“”这个结构，由题意可知：我需要研究的是函数的单调性，所以就只需要去研究的正负了，则基于上面的分析，等式两边会同时乘以“”，一是化分式为整式，这样利于求导；二是会出现“”这个结构，则令此时，单调递增，，单调递减所以当然这个也是设计好的，此时则，单调递减，不信我们来求一下，由基本不等式可知则又单调递增，则解得备注：抽象函数导数问题，一般是利用条件条件，构造出一个原函数，而题目所给的等式或者是不等式，就是原函数的导数或导函数的局部，然后利用原函数的单调性，求解一些不等式或等式问题，秋季高二创新班在“抽象函数的导数问题”这一节中专门讲过构造，先将秋季讲义上的习题，选出来，供大家练习配套练习：1.已知函数，，若对任意正数都有，则的取值范围是2.（2013辽宁理）函数满足，，则当时，则当时，（）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值3.已知函数的导函数为，若函数满足，且，的解集为4.分析通项法证明数列不等式典例分析：1.已知函数与（1与直线，求实数的值（2时，恒成立，求实数的取值范围（3）求证：）证明：（3）分析：观察要证的不等式两边，都是关于“”的函数，如果把不等式的两边同时看作两个数列的前“”项和，令的前“”项和，的前“”项和为则，如果则，，，将上述“”个不等式相加即可得到所以我们的重心就是证明要证明这个，那就简单很多了，这个时候，第二问该发挥它的铺垫作用了，由（2）可知即这不就证明结束了吗？上面整个过程就是两个字“套路”！题目如果没有给我们第二问，难道我们就不能做了吗？（当然正规考试都会给一个提示，比如这个题目第二问，就是在为第三位做铺垫），我们也是可以自己独立做出来的，这个时候我们可以令“，则只需证这个时候求导硬干就可以了，则此时单调递增，惨啦，我们想求最大值，竟然求不出来，那就说明我们构造的函数不好，再回过头来看看，要证我们不妨设）解得即证令此时单调递减，这样不也证明结束了，所以其实有没有第二问，对我们做题影响不大，有第二问更好，没有我们也可以独立完成，上面的分析说明，我们在最后构造函数时，有的时候不一定是直接构造，可能需要做一点代数变形，但是变形也不难，基本上就是将对数整合在一起，变成”，注意新元“”，代入要证明的不等式中，最后再构造函数即可备注：上面的方法，我们可以把它叫做“分析通项法”，即题目要我们证明：（或，其中和是关于变量“”的函数，这个时候，我们可以把看作数列的前“”项和，看作数列的前“”项和，我们可以考虑，要证只需证最后来构造一个函数证明即可配套练习：1.已知数列（1）求证：（22.求证：3.）4.5.指数结构的数列放缩1.证明：易证易知同理可得则又证毕！备注：碰到指数结构的数列放缩题目，取对数是一个基本的操作，而后往往是利用切线放缩一下，将原数列的求和转化成一个等比数列的求和解答时间变式：求证：变式：二、零点问题1.函数处取得极值（1）求的单调区间（2）若在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围解：（2）由题意可知由（1）可知，单调递减，则，解得取一个则，则由零点存在性定理可知：必有一个，一个，此时有两个零点，满足题意综上所述：解答时间2.设函数（1）求证：当恒成立（2）讨论关于的方程根的个数解：（2）由题意可知等价于令，则此时，，单调递减，，单调递增则时，此时，无零点，此时时，易证则取易证取，则由零点存在性定理可知：必有一个，一个，使得，，此时有两个零点综上所述：当当时，此时只有一个零点；当时，此时有两个零点解答时间3.已知函数，为自然对数的底数）（1在点处的切线平行于轴，求的值（2）当公共点个数解：（2）由题意可知等价于（指数找基友的操作）（也可以等价于①当，②当时，无公共点，注意讨论与的大小关系）令情形一：当，无零点情形二：当，，单调递减，单调递增则时，此时②当时，此时，无零点时，此时，取，且，则由零点存在性定理可知：一个，使得，此时有两个零点情形三：当，，单调递增，单调递减则取且，则，则，使得，此时零点只有一个综上所述：当时，有一个公共点；当时，没有公共点；当解答时间4.已知函数时，判断函数的零点个数，并证明你的结论证明：令令（）易知此时（两个取等条件不一样，所以不可能等于零）则零点个数为零解答时间5.已知函数上的减函数（1）求的最大值（2）讨论关于解：（1）由题意可知则（2）令，则此时，，单调递减，，单调递增则情形一：当时，此时，无零点情形二：当，此时，一个零点情形三：当时，易证则取，则易证取由零点存在性定理可知：必有一个，一个，使得，，此时有两个零点综上所述：①当时，此时只有一个零点；③当时，此时有两个零点解答时间6.已知函数（1）当时，求函数的极小值（2）试讨论曲线轴公共点的个数解：（1）由题意可得此时单调递增，，单调递减，单调递增则的极小值为（2）情形一：当时，则此时只有一个零点情形二：当单调递减，，单调递增，单调递减而，又取，且，则由零点存在性定理可知：必有一个，一个，此时零点有三个情形三：当时，此时，，单调递增单调递减，，单调递增而取，，则由零点存在性定理可知：必有一个，此时只有一个零点情形四：当而，由零点存在性定理可知：必有一个，使得，此时只有一个零点情形五：当单调递增，，单调递减，单调递增而取，则由零点存在性定理可知：必有一个，此时只有一个零点时，有三个零点；②当时，有一个零点；解答时间三、倍值区间问题1.已知函数（1）当时，求证：（2）若在上存在极值，求的取值范围（3）当是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（3）因为则则，，单调递减，单调递增情形一：当，时，此时解得情形二：当，时，此时①当，此时解得②当时，此时令），则此时单调递增而，，由零点存在性定理可知：必有一个，使得，则，，单调递减，单调递增注意到，，此时时满足题意情形三：当时，此时，将上述两式相乘可得令，则此时，，单调递增，，单调递减所以则，，不满足题意情形四：当时，此时，由时，只有一个零点综上所述：存在唯一的一组，满足题意解答时间四、恒成立问题1.设实数恒成立，则的最小值为解：方法一：直接构造（比较容易上手）令则令（，），易知单调递增且由零点存在性定理可知：必有一个，易知此时①而将②式代入①式可得而可以取到任意正数，则恒成立由均值不等式可知所以只需解得方法二：同构操作（纯代数解答，比较严谨，适合大题书写）由题意可知令），此时等价于情形一：当，，满足题意，易知在时，单调递增，且，，此时等价于，整理可得则方法三：反函数操作（数形结合，适合小题）由题意可知注意到函数与函数对称，则此时只需整理可得则解答时间2.设函数，（为实数），若存在实数，使得的取值范围是解：由题意可知令情形一：当，单调递增而当情形二：当，单调递增，单调递减则此时易知，则解答时间3.设函数处的切线（1）求（2）求证：（3）设，其中，若恒成立，求的取值范围解：（3）由题意可知则易知单调递增，而，单调递增情形一：当，单调递增则情形二：当，由零点存在性定理可知：必有一个，使得，，单调递减则综上所述：解答时间4.设函数的最小值为（1）求（2）若，求的取值范围解：（1（2时①当时，此时②当时，此时令（），则易证（，且），则此时，单调递增单调递增时，此时，则此时即（Ⅱ）当时，同理可得则成立时，此时令，则此时，，单调递减，，单调递增则时，此时，与条件矛盾综上所述：解答时间5.已知函数（1）证明：（2）若时，恒成立，求实数的取值范围解：（2）情形一：当，则，，此时则单调递减，，单调递减此时则成立，满足题意情形二：当，则由情形一可知：，单调递减则即而所以存在一个，使得此时，不满足题意综上所述：解答时间五、不等式的证明问题1.求证：证明：要证只需证时，易知，又则成立解答时间2.已知函数（1）判断在的单调性（2）若，证明：证明：方法一：同构操作要证只需证令（），则令，则，单调递增此时，则，单调递增证毕！方法二：直接放缩时，易证则证毕！解答时间3.已知函数（1）若不存在极值点，求的取值范围（2）若，证明：解：（2）易知要证只需证易证只需证即证易证，则此时只需证等价于证显然成立，则等号无法同时成立，证毕解答时间4.已知函数）（1）求函数的单调区间（2）若（i）若不等式对任意的的取值范围（ii）若是两个不相等的正数，且以，求证：解：（ii）由题意可知则单调递增注意到，要证即证而在上单调递增，只需证又令（，则此时单调递增，证毕！解答时间5.已知函数（1）讨论的单调性（2）若解：（2）令则只需证即证等价于证只需证即证这是显然成立，证毕！解答时间6.已知函数，（1）若存在极小值，求实数的取值范围（2）设是的极小值点，且，证明：解：（1）由题意可知情形一：当，单调递增，无极小值情形二：当（）易知单调递增，而取且，则由零点存在性定理可知：必有一个，使得，此时，单调递减，单调递增此时有极小值综上所述：（2）由（1）可知则此时要证只需证易证此时证毕！解答时间7.已知函数）证明：函数的零点等价于的零点而则，单调递减单调递增不妨设此时想构造一个函数我们希望这个函数单调（其实这个函数前面的系数是正数，所以只可能是单增）”是为了出现齐次式，便”这个结构，且函数，说白了，就是希望的零点是函数解得而分子的判别式解得此时假设函数的极值点为，则我们构造函数，其实我们会发现，经过上面的分析，一般，所以构造的函数一般都是令，单调递增，则此时则此时就可以出现两个不等式①②同理有③④此时有两种搭配①和③，②和④情形一：①和③搭配有整理可得上述的形式已经很美观了，不过我们仍然可以使用一下基本不等式，此时有解得⑥结论⑥也比较好看了情形二：③与④搭配有则整理可得上述结论⑦有点丑，我们可以运用基本不等式把结论整好看一点，由基本不等式可知解得⑧这个结论⑧就比较美观了！至此，我们就有⑤⑥⑦⑧四个结论了，因为结论⑥和⑧结构相同，所以我们可以进一步讨论一下结论⑥和结论⑧哪一个更紧（1）当结论⑥更紧时，此时有解得（2）当结论⑧更紧时，此时有解得好了，逼逼的也差不多了，该结束啦！解答时间8.已知函数（1）若有唯一解，求实数的值（2时，（参考数据：，）解：（1）由题意可知情形一：当，单调递增注意到，有无穷多解，不满足题意情形二：当，单调递增，，单调递减则解得（2）由题意可知，只需证令），则，。
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路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
2019-2020年备考
见微知著，闻弦歌而知雅意
2019-2020届备考
青霄有路终须到，金榜无名誓不还！
2019-2020年备考
2018各卷选择填空压轴
1.（浙江）9．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非
零向量a与e的夹角为π 3，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|
的最小值是
A．3−1 B．3+1 C．2 D．2−3
2.天津文（8）在如图的平面图形中，已知
1.2,120OMONMON
,2,2,BMMACNNA则·BCOM的值为
（A）15 （B）9
（C）6 （D）0
3.天津理(8)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，
120BAD
，1ABAD. 若点E为边CD上的动点，则uuuruurAEBE的
最小值为
(A) 2116 (B) 32 (C) 2516 (D)
3
4.（浙江）10．已知123,,,aaaa成等比数列，且
1234123ln()aaaaaaa．若1
1a
，则
A．
1324,aaaa B．1324,aaaa C．1324
,aaaa
D．
1324
,aaaa
5.江苏14．已知集合*{|21,}AxxnnN，*{|2,}nBxxnN．将
AB
的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}na．记nS为数列
{}na
的前n项和，则使得112nnSa成立的n的最小值为 ▲ ．
6.全国卷三文(12．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球
面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥
DABC
体积的最大值为
A．123 B．183 C．243 D．543
7.全国卷二文16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，
SA与圆锥底面所成角为30，若SAB△的面积为8
，则该圆锥的体积
为__________．
8.全国卷二理16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余
弦值为78，SA与圆锥底
面所成角为45°，若SAB△的面积为515，则该圆锥的侧面积为
__________．