气体动理论基础(一)

气体动理论（一）

热学

一、教学学时数：12学时

二、教学要求：（重点、难点）

1、理解理想气体的压强公式。通过推导气体压强公式，了解从提出模型、进行统计配件、建立宏观量与微观量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。

2、了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程。

3、了解M a x w e l l速率分布率及速率分布函数和速率分布曲线的物理意义。了解气体分子热运动的算术平均速率、方均根速率。

4、通过理想气体的刚性分子模型，理解气体分子平均能量按自由度均分定理，并会应用该定理计算理想气体的定压热容、定容热容和内能。

5、掌握功和热量的概念。理解准静态过程。掌握热力学第一定律。能分析、计算理想气体等融、等亚、等温过程和绝热过程中的功、热量、内能改变量及卡诺循环等简单循环的效率。

6、了解可逆过程和不可逆过程。了解热力学第二定律及其统计意义。

第六、七章属于热学部分。我们先了解一下热学的研究对象。当物体的温度发生变化时，物体的很多性质（如物体的体积、压强、弹性）随温度而变，与温度有关的物体性质的变化称为热现象。各种物体都是由大量的分子、离子或原子组成。这些分子不停地作无规则地运动——热运动。热现象正是组成物体的分子热运动的结果，即热现象是热运动的体现。热学的研究对象就是热运动的规律以及热运动对物体宏观性质的影响。

第六章前言：

气体动理论的研究方法是以物质的分子、原子结构和分子热运动概念为基础，运用统计的方法解释与揭示物质宏观热现象及其有关规律的本质，并确定宏观量与微观量之间的关系。

我们称分子、原子等为微观客体，每个分子都有一定的质量且它们在运动过程中，每一时刻都具有一定的动量、动能等，这些用来表征个别分子性质和运动状态的物理量称微观量。而由大量分子构成的物体称为宏观物体，如汽缸内的气体，有一定的质量、压强、体积、温度等，这些用来表征宏观物体性质和状态的物理量称为宏观量。

现介绍一下有关统计方法的一般概念：

取汽缸内的气体为研究对象，当宏观状态一定（V

,为一定值）

P.

T

时，它还可以处于不同的微观态，如分子所处的位置不同（假定分子被编入号码的），观测系统的某一物理量Ｍ时,Ｍ的测定值是随着微

观态的改变各次是不一样的

M = N

M N M N B B A A ......++=N N M i i ∑ 其中N A /N 当N →∞时，∞→N lim

N N A 叫做出现A M 的几率。它作为

A 状态发生可能性的量度,用W 1表示。把系统所有可能的几率相加：

W 1 +W 2+W 3+------=∑W i =1，此式称归一化条件。本章我们共讨

论八个问题。

一、 理想气体的状态方程

描述理想气体的状态，需要用状态参量来描述。

1、 状态参量——它是为了描述物体的状态，采用一些表示物体有关特性的物理量。

对于一定量的气体（质量M 一定、摩尔质量mol M 一定）的状态，

一般可用下列三个状态参量表示.

（1） 气体的体积V---它是气体分子所能达到的空间，与气体分子本身体积的总和不同，在国际单位制中，用3m 作单位，题目中有时用升作单位，13m =l 310。

（2） 压强P---它是气体作用在容器器壁单位面积的正压力,是气体分子对器壁碰撞的宏观表现。在SI 单位中，P 的单位用Pa 表示，1Pa =12/m N ，有时用标准大气压：cmHg Pa atm 761001325.115=?=

（3） 温度----它的概念比较复杂,它的本质与物质分子运动密切相关。温度的高低微观上反映了分子运动的剧烈程度,宏观上一般用温度表示物体的冷热程度.物理学中,常用的温度分度方法有两种

热力学温标T---K(SI)；摄氏温标t----0C 。它们之间的关系：=T

t

-

273

15

.

2、平衡态和平衡过程

日常经验告诉我们，一定质量的气体在一定容积的容器中，只要它与外界无能量交换，内部也无任何形式的能量转换，但可有能量交换，那么不论气体内各部分的原始温度如何，经相当时间后，终将达到气体内各部分具有相同温度和相同压强且密度均匀的状态。且长期维持这一状态不变。这一状态称气体的平衡态。由此知，当表征气体的一组状态参量V

,各具有一定的量值时，气体处于平

P.

T

衡态。

气体的平衡态有时也称为热动平衡态，因为气体分子的热运动是永不停息的。正是通过分子的热运动和相互碰撞，使原来处于非平衡态的气体最后达到在宏观上表现为气体各部分密度均匀、温度均匀和压强均匀的热动平衡状态。

当气体与外界交换能量时，它的状态就要发生变化，气体从一个状态不断地变化到另一个状态，期间所经历的过渡方式称状态变化过程。若变化过程所经历的所有中间状态均无限接近平衡态，这个过程称准静态过程或平衡过程。显然，这一过程进行的无限缓慢。

3、理想气体的状态方程

表征气体状态的V T

P.

,间存在一定的关系式，这一关系式称气体的状态方程。

中学说过，一般气体，在压强不太大（与大气压相比），温度不

太低（与室温比较）的实验范围内，遵守Boyle-Mariotte 定律、Gay-Lussac 定律、Charles 定律。现把在任何情况下绝对遵守上述三条实验定律的气体称为理想气体。理想气体实际上是不存在的,它只是真实气体的初步近似,即在通常的压强和温度下可近似用这个模型来概括实际气体,且压强愈低,温度愈高,这种概括就愈精确。

理想气体的状态方程可从这三条实验定律导出，描述理想气体状态的三个参量的关系满足：

RT PV μ= （1）

其中μ为摩尔数：0

N N M M mol ==μ，molK T V P R 31.8000==为普适常数，它可由一摩尔理想气体在标准状态下0P 、0V 、0T 的值求得。其中0P =1 atm ;0V

=33104.22m -? ，0T =273.15K

(1)式的使用条件:1）、理想气体 ；2）、平衡态。即当理想气体经历一个非准静态过程中，（1）式不能用。

对(1)式的讨论:

1）由(1)式知，对给定气体，当T 一定时，V P ,的关系在V P -图上是一条等轴双曲线关系,由于V P ,只能取正值,所以只有一条曲线,这条曲线称为理想气体的等温线。

2）V P -图上任一点代表一个平衡态。（因为V P ,一定，由（1）式知，T 也一定，V T P .,为一定值代表一平衡态。）而V P ,图上任意一条曲线代表一个准静态过程。以后还会看到，V P ,图上任意闭合曲线代表一个循环过程。

3）比较V P ,图上任两点温度的高低就是比较这两点V P ,的乘积。

V P ,乘积大的那一点温度高。

如一定量的理想气体经历了三个等温过程，由（1）式知，右图中，123T T T >>，因为112233V P V P V P >>。

二、理想气体的压强公式

推导理想气体的压强公式需作一些统计的假设，首先来了解一下气体分子热运动的基本特征。

1、 气体分子热运动的基本特征

在标准状态下，通过推算得出：气体中两相邻分子之间的平均距离约是分子本身线度的10倍左右。因此，可把气体看作是彼此间有很大间距的分子集合。

由于气体分子的分布相当稀疏，故分子与分子之间的相互作用力，除在碰撞瞬间以外，极为微小，在两次碰撞之间，可看作是由分子惯性支配的自由运动。

气体分子热运动的基本特征在于气体分子之间的碰撞非常频繁，每秒钟几十亿次。每个分子不停地作杂乱无章的运动，对任意分子来说，忽而左，忽而右，忽而前，忽而后，有时速度大，有时速度小,因此，分子动量和动能也时大时小，运动轨道是一条极不规则的折线。在连续两次碰撞之间，分子的自由运动路程有长有短，

即对个别分子，微观量ε,,p

v及自由程都是偶然的量值。但事实证明，对大量分子组成的气体来说，除了在平衡状态下，分子的密度均匀分布的统计规律以外，分子的ε,,p

v及自由程等也都各自遵循着一定的统计分布规律。

2、理想气体分子模型

为了便于分析和讨论气体的基本现象，可用一个简易的理想模型来看待气体分子。

（1）气体分子大小与分子间的距离相比，可忽略不计，故气体分子可认为是大小不计的小球，所以它们的运动遵守牛顿运动定律。（2）把每个分子看作是完全弹性的小球，它们相互碰撞或与器壁相撞时，遵守能量守恒定律和动量守恒定律。

（3）由于气体分子分布的相当稀疏，除碰撞瞬间外，分子间的相互作用不计。

（4）为避免一些有关的复杂性，分子所受的重力不计。即把气体分子看作是自由的、无规则运动着的、无大小、不计重力的弹性球分子的集合。

3、统计的假设

气体在平衡态时，分子仍在作热运动。从气体分子空间分布到处均匀这一事实，可作如下假设：

分子沿任意方向的运动不比沿其他方向的运动更占优势。

可以想见：

《1》沿空间各方向运动的分子数目是相等的。

《2》从一个体积元飞向上下、左右、前后的分子数各为1/6。 《3》分子速度在各方向上的各种平均值相等。 例：2x V = 2y V =2z V = 312V ;又如：x V =y V =z V =0（因为对大量分子

的集合，气体分子沿各方向运动的几率相同，由于沿X 轴正向运动

的平均速率和沿X 轴负向运动的平均速率相等，所以，x V =y V =z V =0）

注：以上统计的论断，只有在平均的意义上才是正确的，气体的分子数愈多，准确率就愈高。如：在气体中取一足够大的竖直截面，我们认为向“右”飞行与向“左”飞行的分子数相同，这时即或有少数几百个、几千个甚至更多个分子的偏差，但在分子的总数中所占百分率仍是非常小的。

4、 理想气体的压强公式

从分子运动论的观点看：气体对器壁所作用的压强是大量分子对器壁不断碰撞的综合结果。

边长分别为3,2,1L L L 的长方形容器中，有N 个同类分子。每个质量

为m ，速度为,它们作无规则的热运动。在平衡状态下，器壁各处压强完全相同。现只考虑A 1面：

设任一气体分子a 的速度V = v v v k y x ++ ,a 分子撞击器壁1A 面

时，受到1A 沿x 反向作用力，就x 方向来看，a 分子每与1A 撞一次，分子动量的改变为x mv 2-,按动量定理，x mv 2-等于1A 面沿-x 方向作用

在a 上的冲量。由牛三知，分子a 对1A 面也必有一个沿x 正向的同样

大小的反作用冲量，a 分子从1A 面弹回，飞向A 2面，碰撞后在回到1A 面，在与1A 面作相继两次碰撞之间，在x 方向所经路径12L , 所需时间 x v L t 12=，t 为a 每与1A 面碰撞所需时间间隔。单位时间内a 分子与1

A 面碰撞ν=1

2L V X 次，因此a 分子在单位时间内作用在1A 面上的冲量总值为I a =x mv 212L V x 。a 为任一分子，考虑到容器中有N 个分子，则1A 面在单位时间内所到的冲量（由t F I ?=，1=?t 知，这也是1A 面受到的平均

力）：

F I ==ix mV 2∑12L V ix =12L mV ix ∑=21

ix V L m ∑。 注：每一个分子对器壁的碰撞是间歇的，不连续的。但事实上容器内所有分子对1A 面都在碰撞，且分子总数N 很大，因此，从时

间上说，碰撞是均匀的，先后参差的，从空间分布上说，是均匀的遍及整个1A 面的。其总的效果是使器壁受到一个连续而均匀的压强，

正如密集的雨点打到雨伞上，我们感到一个均匀的作用力。 按压强定义

32L L F P ==2321ix V L L L m ∑=N V V V L L L Nm Nx x x 22221321+--++ 令

n L L L N =321 ; n 为单位体积内的分子数，则2x v nm P =, 按统计的假

设

2x V =2y V =2z V =312V ，因此 ：23

1v nm P = 可以想见，其他各面所受压强也应如此，若为其他形状的容器，经推算也可得到上述结果。

现引入气体分子的平均平动动能： ω=221v m （2）

（两平字的含义：平动—只考虑平动，不考虑转动、振动等其它形式的运动；平均—是对大量气体分子统计平均的结果）

所以，上式也可以写成：

=P 23

n ω （3） （3）式表明；宏观量压强具有统计平均的意义，它和平均平动动能的关系是一个统计性的规律。分子数密度越大，ω越大，压强（气体分子对对器壁碰撞的宏观表现）越大。

三、气体分子平均平动动能与温度的关系

(3)式表示的是宏观量压强与气体分子平均平动动能的关系，现进一步讨论另一宏观量温度与平均平动动能的关系。

由（1）式PV =RT N N RT m N Nm RT M M mol 00== 因为 n V

N = 所以：

n k T T N R n P ==0 (4) 其中0N R

k = 称为Boltzmann 常数, K J k /1038.123-?=

（4）式表明的是宏观量P 和T 与分子数密度之间的关系。由（4）式知：在标准状态（15.273,1==T atm P ）下，任何气体的分子数密度都相同（kT

P n =）。 比较（3）、（4）式，有：

=KT 23 (5)

(5)式表明宏观量温度与气体分子平均平动动能有关。

对（5）式的讨论：

1）、温度T 具有统计意义：（5）式揭示了气体温度的统计意义：气体温度是气体分子平均平动动能的量度。温度是气体分子热运动的集体表现，具有统计意义，对个别分子，谈温度是无意义的。

2）、ω与气体的种类无关，只与T 有关。由（5）式知，若两种不同种类的气体有相同的温度，即是这两种气体的平均平动动能相等。若一种气体的温度高些，也就是这种气体分子的平均平动动能大些。

3）、按（5）式，当T=0K 时，即热力学温度零度将是理想气体分子热运动停止时的温度。实际上,分子运动是永远不会停息的，因而可推断出，热力学温度零度是永远也不可能达到的。但是近代量子理论证实，即使在热力学零度时，组成固体点阵的粒子也还保持着某种振动的能量----零点能。至于气体，则在温度未达到热力学温度前，已变成液体和固体，（5）式早就不适用了。

四、方均根速率

我们知道气体分子的平均平动动能ω=

221v m ，其中： 2v =N v v v N 22221+++ ；它是给定气体在一定温度下分子运动速率平方的统计平均值。若把2v 再开方，就得到气体分子速度的又一种平均值——方均根速率 2v 。用Maxwell 分子速率分布函数可证明，

mol M RT mN RT m

KT v 33302===-----（6） 即对同一类气体T ↑,2v ↑；在同一温度下，M mol ↑,2v ↓。

五、能量按自由度均分原理

我们已讨论了气体分子的平均平动动能，在研究大量气体的无规则运动时，不能只考虑每个分子的平动，实际上气体分子具有一定的大小和比较复杂的结构，不能看作质点，因此，气体分子的运动不仅有平动，还有转动和同一分子内原子间的振动。在计算气体分子的能量时，应考虑到气体分子各种运动的能量，它是与气体分子的自由度有关的。

1、 自由度

一物体的自由度就是确定该物体在空间的位置所需要的独立坐标 数目。

（１） 质点：自由质点有三个自由度（x,y,z ）,若质点被限制在一个平面或曲面上运动，有平面或曲面方程，就少一个未知数，此时质点有两个自由度。若质点被限制在一直线或曲线上运动，只有一个自由度。如：把火车、轮船、飞机看作质点，它们分别有1、2、3个自由度。

（２） 一般情况下，把气体分子看成刚体。对刚体来说，平动、转动兼而有之，其质心位置需用三个独立坐标确定（x,y,z ），经过刚体内定点C 的轴线CA 的方位，需要α、β、γ三个方位角决定，但有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，所以确定CA 方位的自由度只有两个。由于刚体绕CA 转动，表征刚体转动还需要用一个角度θ。所

以，自由刚体有六个自由度。三个平动自由度，三个转动自由度。 气体分子的情况比较复杂，可以是单原子气体，也可是双原子、三原子或多原子气体。由于原子很小，单原子分子可视为一质点，有三个平动自由度；双原子分子若原子间的相互位置保持不变（可把分子看作是保持一定距离的两个质点组成的哑铃或刚性分子），质心位置需要三个平动自由度来决定，连线方位需两个，两质点以连线为轴的转动是不存在的，所以刚性双原子分子的自由度为5。三原子或多原子气体分子，若把分子看作是自由刚体，共有六个自由度。

注：以后的讨论会看到，事实上，双原子或多原子气体分子一般不是完全刚性的，原子间的距离在原子间的相互作用下，要发生变化，分子内部要发生振动。故除平动自由度、转动自由度外，还有振动自由度。

2、 能量按自由度均分原理 理想气体分子的平均平动动能为ω=2(2

1x v m +2y v +2z v ），按统计假设，大量分子作杂乱无章的运动时，各个运动方向的机会是均等的，即2x V = 2y V =2z V 也即： 222212121z y x v m v m v m == =ω3

1)21312=v m （ 由（4）式KT 23=ω式知：222212121z y x v m v m v m ===KT 2

1 即：气体分子的平均平动动能KT 2

3是均匀地分配在每一个平动自由度上的。

这一结论虽是对分子平动说的，但人们认为可以推广到气体分子的转动和振动------在平衡状态下，由于气体分子无规则运动的结果，可推论，任何一种可能的运动都不会比另一种可能的运动占有优

势，机会是完全均等的。而且平均说来，无论何种运动相应于每一个可能自由 度的平均动能都相等。这一能量分配所遵循的原理称为能量按自由度均分原理。

若把气体分子视为刚性的（只有平动和转动），一个分子的平均总动能ε=KT i 2

(7) 单原子分子ε=KT 2

3 双原子分子：ε=KT 2

5 三原子分子或多原子分子：ε=3KT

由振动学知，弹性谐振子在一周期内的平均动能和平均势能相等，由于分子内原子的小振动可视为弹性振子的简谐振动，所以对于每一个振动自由度，分子除有KT 21 的平均动能外，还有KT 21 的平均势能。所以，总的平均振动能量是KT 。