椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质 (必背的经典结论)
点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切. 2
x
若P o (x 0, y 0)在椭圆— a x 2
若P o (X o , y 。)
在椭圆— a P 1P 2的直线方程是X °x 2 椭圆笃 a F 1PF 2
2 椭圆笃 a |MF 1| a a 2
2 y_ b 2 2 y 孑 2 y 孑
y °y X °X 1上，则过P o 的椭圆的切线方程是 2 a 1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 1. 1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF 2 YoY 1
P 1、Pa ，则切点弦 F 1, F 2，点P 为椭圆上任意一点 b 2理.
2 y_ b 2 eX o , | MF 2 | a eX o ( F, c,0) , F 2(c,0) M(x 。，y 。)
). 1 (a > b > 0 )的焦半径公式:
设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结
分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MFL NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点,
交于点M AP 和AQ 交于点N,贝U MFL NF. 2 AB 是椭圆令 a b 2 ~2 ， a b 2x 。 a 2y 。 k OM k AB
即K AB
AP 和 AQ A 1P 和 AQ
七 1的不平行于对称轴的弦，M (X o ,y 。)
为AB 的 b 若F 0(X 0, y °)在椭
x °x y °y
2 a b 2
2
X 。 2
a
若 F 0(X 0,y o )在
2 x
2
a
中占
I
八、
、?)
芯1内，则被Po 所平分的中点弦的方程
b
y 。2 b 2
2
X ~2 a
2
古1内，则过Po
的弦中点的轨迹方程
1. 2.
3. 4. 5. 6.
7.
8.
9.
10. 11. 12. 13.
2 2
双曲线
点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角.
PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
在左支)
x °x y °y 1
1
.
a
b
设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连 结AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M N 两点，贝U MF 丄NF. F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 1、A 为双曲线实轴上的顶点, x 2 y 2
、
亠、
2
2
1 (a >0,b >0)内，则被Po 所平分的中点弦的方
a b
yZ b 2 .
X o x y °y
~2 a
1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 12. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P
若P )(x o , y o )在双曲线
2
y
1 (a > 0,b > 0) b 2
上，则过P 。的双曲线的切线方程是
若P )(x o , y °)在双曲线
2
y
1 (a > 0,b > 0) b 2
外，则过Po 作双曲线的两条切线
切点为P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是
x °x a
y 0y
1.
2 双曲线笃 a
2
y
1 (a > 0,b >0)的左右焦点分别为
F 1
,
b 2
F 2,点P 为双曲线上任意一
点 F 1PF 2 ，则双曲线的焦点角形的面积为 S F 1PF 2
b 2cot 2
2 y
2
1 (a > 0,b > 0)的焦半径公式：
b 2
当 M(X 0,y °)在右支上时，IMFj ex 0 a , IMF 2 | ex 0 a .
当 M(x °,y 0
)在左支上时，| MF 1 | ex 0 a , | MF 21 ex 0
2
双曲线笃 a
(h(
c,0)
F 2(C ,0)
AP 和AQ 交于点 2
AB 是双曲线—2 a
点，则 K OM K AB
M, AP 和AQ 交于点N,贝y MF 丄NF.
2 ^7 1 ( a >0,b > 0) b b 2x °
a 2y 。 的不平行于对称轴的弦， M (X ° , y °)为AB 的中
，即 K AB
b 2x °
。
a y 。
过双曲线一个焦点 2
程曰 x 0x y °y x 0 程是 - 2 2 2" aba
若F 0(x °, y °)在双曲线
2
2
7.
y
1 (a >0,b >0)内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程
b
高三数学备课组
2
y 1 (a > b > 0)的两个顶点为 A 1( a,0) , A 2(a,0),与y 轴平行的直线
b
a c
，贝U
tan —cot
2 2
2
y
1 (a > b > 0) 上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 b
2a |AF 2||PA| 〔PF, 2a | AF 11,当且仅当A,F 2,P 三点共线时，等号成立.
2
2
椭圆
(x
：0
)
乂 2y
oL 1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是
a b
2. 3.
交椭圆于 P l 、P 2时A l P i 与A 2P 2交点的轨迹方程是
2 过椭圆笃
a
交椭圆于B,C 两点, 若P 为椭圆
(a >0, b >0)上任一点A(x o , y o )任意作两条倾斜角互补的直线
则直线
BC 有定向且k B C 学(常数).
a y 。
(a > b > 0)上异于长轴端点的任一点
,F 1, F 2是焦点，
4. 2 设椭圆笃
a 2
y
b 2 1 (a > b > 0) 的两个焦点为 F i 、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任
5. 意一点， sin sin
若椭圆
在△ PF 1F 2中，记
F 1PF 2
PF 1F 2
F 1F 2P
sin
c e .
a
2
y
1 (a > b > 0) b
2 的左、右焦点分别为 F 1、F 2,左准线为L ,则当0v e
1
时,
可在椭圆上求一点
P ,使得PR 是P 到对应准线距离 d 与PF a 的比例中
x
13
?右R )(x o , y °)在双曲线
a
X °X ~T a
y o y 椭圆与双曲线的对偶性质
(会推导的经典结论)
1.
PF 1F 2
PF 2F 1
2
x
P 为椭圆-7
a
6.
8. "2 2 2, 2
A a
B b
2 已知椭圆
冷
a
(1)^^
|OP |2
的最小值是
2
(AX0 By。C).
2
爲 1(a> b>0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ . b 1
i^QT
a2b2
J"
1 1
;(2) |0P| +|0Q|的最大值为2
a b a
4冷；(3)S OPQ
9.
2
过椭圆笃
a
2
a
2 y
b2 1 (a >b> 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN
10.
11.
12.
13.
14.
15. 的垂直平分线交
2
已知椭圆笃
a
x轴于P,则！^匚!
| MN |
线与x轴相交于点
2
设P点是椭圆冷
a
F1PF2
1 ( a > b> 0) ,A
2
a
P(X0,0),贝y —
、
B、
b2
是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分
X o
a2 b2
2
& 1( a>b>0)上异于长轴端点的任一点尸、F2为其焦点记
b2
，则⑴1呵叭W(2 ) S PF1F2 bf乜.
2 2 设A、B是椭圆冷爲a
b
,BPA
ab I cos
PBA
(1) | PA|
已知椭圆
1( a > b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB
e分别是椭圆的半焦
2
X
~2
a
2 2
c cos
,c、
-.(2) tan tan 1 e2.(3) S PAB
距离心率，则有
2a2b2一
~2 2 cot
b a
2
b1
(
a> b> °)的右准线l与X轴相交于点E，过椭圆右焦点F的
直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线I上，且BC X轴，则直线AC经过线
段EF的中点.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离
5.
心率）.
（注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 .）
17?椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18?椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项
高三数学备课组
双曲线
c
—a tan cot-). c a
则当1< e < ,2 1时，可在双曲线上求一点 P ,使得PR 是P 到对应准线距离 d
椭圆与双曲线的对偶性质
（会推导的经典结论）
1.
2 双曲线
笃
a
(a >0,b >0)的两个顶点为 A( a,0) , A 2(a,0)，与y 轴平
2.
行的直线交双曲线于 2 2
P 1、P 时A P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是
y
1 .
a b
1 （a > 0,b > o ）上任一点 A （x 0, y 0）任意作两条倾斜角互补
3.
的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线BC 有定向且k BC
孥° （常数）.
a y 。
2
若P 为双曲线务 a
占 1 （a >0,b >0）右（
或左）支上除顶点外的任一点
F 2是焦点,
PF 1F 2 PF 2F 1
tan — cot
— 2 2
4.
1 ( a > 0,b >0) 的两个焦点为戶、F 2,P （异于长轴端点）
双曲线上任意一点, 在厶PF 1F 2中，记 F 1PF 2
PF 1F 2 F 1F 2P
则有 岂匚
(sin sin )
C e .
a
2 若双曲线令
a
b 2
1
( a >0,b
>0
)
的左、右焦点分别为 F 1、巨左准线为
L ,
13.
6. 7. 8. 与PF 2的比例中项
2 2
x y
P
为双曲线— 牙1 (a >0,b > 0) 上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内
a b
定点，则IAF 2I 2a |PA| |PF i |,当且仅当A,F 2,P 三点共线且P 和A,F 2 在y 轴同侧时，等号成立.
2
y
孑 B 2b 2 x 2
X 2
双曲线冷
a 是 A 2a 2
1(a > 0,b >0)与直线Ax By C 0有公共点的充要条件
已知双曲线飞 a
OQ . 且0P 的最小值是- b 9. 过双曲线 1 2 |OQ| a 2b 2 2 2 a 2
x a 10. 11. 12. 两点，弦
C 2
. 2
V - 1 b 2
1
(b >a > 0), O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点, 1；
(2) |OP|2+|OQ|2
的最小值为譽厶；(3) S OPQ
b b a 2 y_ 1 ( a >0,b > 0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于 M,N MN 的垂直平分线交 x 轴于P,则1 PF 1 -
| MN | 2
2 x 已知双曲线一2 a 2 每 1 (a >0,b > 0) ,A 、 b B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂 直平分线与x 轴相交于点P(x 0,0),则x 0 2 设P 点是双曲线 a
其焦点记 F 1PF 2
2 设A 、B 是双曲线笃 a
PAB 率, 则有(1) | PA| tan tan
2 ,2 a b 亠 或X 。 a
a 2
b 2
2 x
已知双曲线—
a
2
b 2
，则(1) (a >0,b >0) IPF 1 IIPF 2I 2 工1
b 2 1 PBA 2 2ab |cos |
■ ""2 2 2__.
| a c cos | (a > 0,b > 0) BPA 2
e
.(3) S PAB
1 (a > 0,b > 0) 上异于实轴端点的任一点 -.(2) 1 cos 的长轴两端点, c 、 尸、F 2为 PF 1F
2 b 2cot —. 2 P 是双曲线上的一 e 分别是双曲线的半焦距离心 2a b 丄 cot b a
的右准线I 与x 轴相交于点E ，过双曲线
右焦点F 的直线与双曲线相交于 A 、B 两点，点C 在右准线I 上，且BC x 轴, 则直线AC 经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与
相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必
与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常
数e（离心率）.
（注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.
17. 双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18. 双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于 点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
高考数学椭圆与双曲线重要规律定理
椭圆与双曲线性质--（重要结论） 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22 O M AB b k k a ?=- ， 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于 点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 02y a x b K K AB OM = ?，即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - .
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(<
椭圆与双曲线的对偶性质92条
椭圆与双曲线的对偶性质92条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭 圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15．若PQ 是椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心直角的弦，则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,
椭圆和双曲线的方程、性质(学生)
第二讲椭圆和双曲线的方程、性质 教学目标：熟练运用椭圆、双曲线定义和性质解题。 1.一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一点，点A 在圆周上．把纸片折叠使点 A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当点A 运动时，点P 的轨迹 是 （ ）. 2.已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 （ ） A ． 2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．22 1189x y += 3.椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ??????， B ．3384??????， C ．112??????， D ．314?? ???? ， 4.若椭圆1C :1212212=+b y a x (011>>b a )和椭圆2C :122 2 222=+b y a x (022>>b a )的焦 点相同且12a a >.给出如下四个结论: ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点; ② 11 22 a b a b >; ③ 2 2212221b b a a -=-; ④1212a a b b -<-. 其中,所有正确结论的序号是( ) A.①③ B①③④ C ．①②④ D ．②③④ 5.过椭圆14 162 2=+y x 上一点P 作圆222=+y x 的两条切线，切点为B A ,，过B A ,的直线与两坐标轴的交点为N M ,，则MON ?的面积的最小值为（ ） A. 23 B. 32 C. 2 1 D. 2 6.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准 线分别交于A , B 两点, O 为原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积
椭圆与双曲线的经典性质100条
椭圆与双曲线的对偶性质100条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线 交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. ☆ 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. ☆ 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. ★ 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 16．若椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为 1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22 2211A B a b +=+ ;(2) L =
椭圆与双曲线二级结论
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
椭圆与双曲线的重要性质归纳总结
1. 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的 直线方程是 00221x x y y a b +=. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭 圆的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 2200002222x x y y x y a b a b +=+. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是2200222 2x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是002 21x x y y a b -=. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2， 则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b -=. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=， 则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点Ｐ处的外角. 2. PT 平分△PF 1F ２在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点． 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF １为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞ｂ>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点 角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（ａ＞ｂ＞0）的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结ＡＰ 和A Ｑ分别交相应于 焦点F 的椭圆准线于M 、Ｎ两点，则M Ｆ⊥NF ． 10. 过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点P 、Q, A １、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和 A １Q 交于点Ｎ,则MF ⊥NF ． 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，Ｍ),(00y x 为ＡB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Ｐo 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+． 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线ＰT 平分△P Ｆ１F 2在点Ｐ处的内角. 2. P Ｔ平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线ＰT 上的射影Ｈ点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点． 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切．(内切：Ｐ在右支；外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(ａ>0,b>0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(ａ>0，b ＞0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P ２,则切点 弦P 1P ２的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=(ａ＞０,ｂ>o)的左右焦点分别为F 1，F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则 双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=(ａ>0,b ＞o)的焦半径公式：（1(,0)F c -,2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 Ｐ、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结ＡP 和ＡＱ分别交 相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, Ａ１、A 2为双曲线实轴上的顶点，A １Ｐ和A 2Q 交 于点M,A ２P 和A 1Ｑ交于点Ｎ,则MF ⊥N Ｆ. 11. ＡＢ是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b>0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点,则 0202y a x b K K AB OM =?，即020 2y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(ａ>0,ｂ>0）内,则被P ｏ所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(ａ>0,ｂ＞0)内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b -=-．
椭圆与双曲线的经典性质100条讲课稿
椭圆与双曲线的经典性质100条
椭圆与双曲线的对偶性质100条 椭 圆 1．12||||2PF PF a += 2．标准方程：22 221x y a b += 3．11 || 1PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）. 9．椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行 的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. ☆ 10．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=. ☆ 11．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. ★ 12．AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为AB 的中 点，则2 2OM AB b k k a ?=-. 13．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14．若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+.
椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质 (必背的经典结论) 点P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PFF 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切. 2 x 若P o (x 0, y 0)在椭圆— a x 2 若P o (X o , y 。) 在椭圆— a P 1P 2的直线方程是X °x 2 椭圆笃 a F 1PF 2 2 椭圆笃 a |MF 1| a a 2 2 y_ b 2 2 y 孑 2 y 孑 y °y X °X 1上，则过P o 的椭圆的切线方程是 2 a 1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 1. 1 (a > b > 0)的左右焦点分别为 则椭圆的焦点角形的面积为 S F 1PF 2 YoY 1 P 1、Pa ，则切点弦 F 1, F 2，点P 为椭圆上任意一点 b 2理. 2 y_ b 2 eX o , | MF 2 | a eX o ( F, c,0) , F 2(c,0) M(x 。，y 。) ). 1 (a > b > 0 )的焦半径公式: 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝U MFL NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, 交于点M AP 和AQ 交于点N,贝U MFL NF. 2 AB 是椭圆令 a b 2 ~2 ， a b 2x 。 a 2y 。 k OM k AB 即K AB AP 和 AQ A 1P 和 AQ 七 1的不平行于对称轴的弦，M (X o ,y 。) 为AB 的 b 若F 0(X 0, y °)在椭 x °x y °y 2 a b 2 2 X 。 2 a 若 F 0(X 0,y o )在 2 x 2 a 中占 I 八、 、?) 芯1内，则被Po 所平分的中点弦的方程 b y 。2 b 2 2 X ~2 a 2 古1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
1 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是0 0221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是0 0221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是