2020年高考数学试题分类汇编统计

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湖南省各地市2020年高考数学最新联考试题分类汇编(17)选修系列

湖南省各地市2020年高考数学最新联考试题分类汇编（17）选修系列一、填空题:9．（湖南省十二校2020届高三第二次联考理）(几何证明选讲)如图，圆0的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交PA 于点F ，且△COF ～△PDF ，PB=OA=2，则．PF= ．【答案】3 10．（湖南省十二校2020届高三第二次联考理）(坐标系与参数方并呈)极坐标系中，曲线 =-=θρθρcos sin 4和l 相交于点A ，B ，则|AB|= ．【答案】2311．（湖南省十二校2020届高三第二次联考理）(不等式选讲)已知半圆的直径AB=2R ，P 是弧AB 上一点，则2|PA|+3|PB|的最大值是．【答案】213R11．（湖南省十二校2020届高三第二次联考文）设极点与坐标原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，已知直线l 的极坐标方程是：)3sin(πθρ-=a ，R a ∈圆，C 的参数方程是θθθ(,sin 22,cos 232⎩⎨⎧+=+=y x 为参数），若圆C 关于直线l 对称，则a= . 【答案】-210. （湖南师大附中2020届高三第六次月考理）直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y tx （其中为参数），圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 .【解析】θθρsin 2cos 2-=Θ，θρθρρsin 2cos 22-=∴，02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆，即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．024=+-∴y x l 的普通方程为直线，圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++， ∴直线上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-15．(湖南省长沙市2020年高考模拟试卷一文科)（优选法和试验设计初步4-7）一个单峰函数()x f y =的因素x 的取值范围是[20，30]，用黄金分割法安排试点，x 1，x 2，x 3，x 4 …中，若x 1<x 2，x 1，x 3依次是好点，则x 4= 。

【好题汇编】五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编专题01-集合与常用逻辑用语-(原卷版)

专题01集合与常用逻辑用语考点01元素、集合之间的关系1．（2024·上海·高考真题）设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A =．2．（2023·全国·统考高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．3．（2022·全国·统考高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉考点02集合之间交并补运算1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{3,1,0}--D ．{1,0,2}-2．（2024·全国·高考甲卷文）若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,3,4B ．{}2,3,4C ．{}1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,93．（2024·全国·高考甲卷理）已知集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,54．（2024·北京·高考真题）已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（）A ．{}11x x -≤<B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <21．（2020·全国·统考高考真题）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B ⋂中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6考点03充要条件的判定1．（2024·天津·高考真题）设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点04命题的判定及应用1．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题2．（2021·全国·统考高考真题）已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨。

2020高考真题数学分类汇编—集合、常用逻辑用语含答案

2020高考真题数学分类汇编—集合、常用逻辑用语一、选择题（共19小题）1．（2020•天津）设全集{3U =-，2-，1-，0，1，2，3}，集合{1A =-，0，1，2}，{3B =-，0，2，3}，则()(U A B =⋂ )A ．{3-，3}B ．{0，2}C ．{1-，1}D ．{3-，2-，1-，1，3 }2．（2020•北京）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1，2}D ．{1，2}3．（2020•山东）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%4．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．65．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315}B x x =<<，则A B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 6．（2020•浙江）已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则(P Q = )A ．{|12}x x <B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x <D ．{|14}x x <<7．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{|||3A x x =<，}x Z ∈，{|||1B x x =>，}x Z ∈，则(A B = )A ．∅B ．{3-，2-，2，3}C ．{2-，0，2}D ．{2-，2}8．（2020•新课标Ⅲ）已知集合2{|340}A x x x =--<，{4B =-，1，3，5}，则(A B = )A ．{4-，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3} 9．（2020•山东）设集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<，则(A B = )A ．{|23}x x <B ．{|23}x xC ．{|14}x x <D ．{|14}x x <<10．（2020•新课标Ⅲ）设集合2{|40}A x x =-，{|20}B x x a =+，且{|21}A B x x =-，则(a = )A ．4-B ．2-C ．2D ．411．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则()(UA B =)A ．{2-，3}B ．{2-，2，3)C ．{2-，1-，0，3}D ．{2-，1-，0，2，3}12．（2020•天津）设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2020•天津）已知函数()sin()3f x x π=+．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()2f π是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③14．（2020•上海）命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）；命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =，则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件15．（2020•北京）已知α，R β∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．（2020•浙江）设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈； ②对于任意的x ，y T ∈，若x y <，则yS x∈．下列命题正确的是( ) A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则ST 有4个元素17．（2020•新课标Ⅲ）已知函数1()sin sin f x x x=+，则( ) A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的图象关于直线x π=对称D ．()f x 的图象关于直线2x π=对称18．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件19．（2020•上海）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二．多选题（共1小题）20．（2020•山东）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且()0(1i P X i p i ==>=，2，⋯，)n ，11ni i p ==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑．( )A ．若1n =，则()0H X =B ．若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C ．若1(1i p i n==，2，⋯，)n ，则()H X 随着n 的增大而增大D ．若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且21()(1j m j P Y j p p j +-==+=，2，⋯，)m ，则()()H X H Y三．填空题（共5小题）21．（2020•上海）已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则A B = ． 22．（2020•江苏）已知集合{1A =-，0，1，2}，{0B =，2，3}，则AB = ．23．（2020•上海）集合{1A =，3}，{1B =，2，}a ，若A B ⊆，则a = ． 24．（2020•新课标Ⅲ）关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图象关于y 轴对称． ②()f x 的图象关于原点对称． ③()f x 的图象关于直线2x π=对称．④()f x 的最小值为2．其中所有真命题的序号是． 25．（2020•新课标Ⅲ）设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是． ①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝2020高考真题数学分类汇编—集合、常用逻辑用语参考答案一、选择题（共19小题）1．（2020•天津）设全集{3U =-，2-，1-，0，1，2，3}，集合{1A =-，0，1，2}，{3B =-，0，2，3}，则()(U A B =⋂ )A ．{3-，3}B ．{0，2}C ．{1-，1}D ．{3-，2-，1-，1，3 }【解答】解：全集{3U =-，2-，1-，0，1，2，3}，集合{1A =-，0，1，2}，{3B =-，0，2，3}，则{2UB =-，1-，1}，(){1U A B ∴=-⋂，1}，故选：C ．2．（2020•北京）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则(AB = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1，2}D ．{1，2} 【解答】解：集合{1A =-，0，1，2}，{|03}B x x =<<，则{1A B =，2}，故选：D ．3．（2020•山东）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x ，只喜欢游泳的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，由题意，可得60x z +=，96x y z ++=，82y z +=，解得46z =． ∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C ．4．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：集合{(,)|A x y x =，*y N ∈，}y x ，{(,)|8}B x y x y =+=， {(A B x ∴=，*)|,}{(1,7)8,y xy x y N x y ⎧∈=⎨+=⎩，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． AB ∴中元素的个数为4．故选：C ．5．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315}B x x =<<，则AB 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315)B x x =<<， {5A B ∴=，7，11}， AB ∴中元素的个数为3．故选：B ．6．（2020•浙江）已知集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则(PQ = )A ．{|12}x x <B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x <D ．{|14}x x <<【解答】解：集合{|14}P x x =<<，{|23}Q x x =<<，则{|23}PQ x x =<<．故选：B ．7．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{|||3A x x =<，}x Z ∈，{|||1B x x =>，}x Z ∈，则(AB = )A ．∅B ．{3-，2-，2，3}C ．{2-，0，2}D ．{2-，2}【解答】解：集合{|||3A x x =<，}{|33x Z x x ∈=-<<，}{2x Z ∈=-，1-，1，2}， {|||1B x x =>，}{|1x Z x x ∈=<-或1x >，}x Z ∈，{2A B ∴=-，2}．故选：D ．8．（2020•新课标Ⅲ）已知集合2{|340}A x x x =--<，{4B =-，1，3，5}，则(AB = )A ．{4-，1}B ．{1，5}C ．{3，5}D ．{1，3}【解答】解：集合2{|340}(1,4)A x x x =--<=-，{4B =-，1，3，5}，则{1AB =，3}，故选：D ．9．（2020•山东）设集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<，则(AB = )A ．{|23}x x <B ．{|23}x xC ．{|14}x x <D ．{|14}x x <<【解答】解：集合{|13}A x x =，{|24}B x x =<<， {|14}AB x x ∴=<．故选：C ．10．（2020•新课标Ⅲ）设集合2{|40}A x x =-，{|20}B x x a =+，且{|21}AB x x =-，则(a = )A ．4-B ．2-C ．2D ．4【解答】解：集合2{|40}{|22}A x x x x =-=-，1{|20}{|}2B x x a x x a =+=-，由{|21}AB x x =-，可得112a -=，则2a =-．故选：B ．11．（2020•新课标Ⅲ）已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则()(UA B =)A ．{2-，3}B ．{2-，2，3)C ．{2-，1-，0，3}D ．{2-，1-，0，2，3}【解答】解：集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则{1A B =-，0，1，2}，则(){2UAB =-，3}，故选：A ．12．（2020•天津）设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由2a a >，解得0a <或1a >，故1a >”是“2a a >”的充分不必要条件，故选：A ．13．（2020•天津）已知函数()sin()3f x x π=+．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()2f π是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【解答】解：因为()sin()3f x x π=+，①由周期公式可得，()f x 的最小正周期2T π=，故①正确；②51()sin()sin 22362f ππππ=+==，不是()f x 的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数sin y x =的图象上的所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象，故③正确．故选：B ．14．（2020•上海）命题p ：存在a R ∈且0a ≠，对于任意的x R ∈，使得()()f x a f x f +<+（a ）；命题1:()q f x 单调递减且()0f x >恒成立；命题2:()q f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =，则下列说法正确的是( ) A ．只有1q 是p 的充分条件 B ．只有2q 是p 的充分条件C ．1q ，2q 都是p 的充分条件D ．1q ，2q 都不是p 的充分条件【解答】解：对于命题1q ：当()f x 单调递减且()0f x >恒成立时，当0a >时，此时x a x +>，又因为()f x 单调递减，所以()()f x a f x +< 又因为()0f x >恒成立时，所以()()f x f x f <+（a ），所以()()f x a f x f +<+（a ），所以命题1q ⇒命题p ，对于命题2q ：当()f x 单调递增，存在00x <使得0()0f x =，当00a x =<时，此时x a x +<，f （a ）0()0f x ==，又因为()f x 单调递增，所以()()f x a f x +<，所以()()f x a f x f +<+（a ），所以命题2p ⇒命题p ，所以1q ，2q 都是p 的充分条件，故选：C ．15．（2020•北京）已知α，R β∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：当2k n =，为偶数时，2n απβ=+，此时sin sin(2)sin n απββ=+=，当21k n =+，为奇数时，2n αππβ=+-，此时sin sin()sin απββ=-=，即充分性成立，当sin sin αβ=，则2n απβ=+，n Z ∈或2n αππβ=+-，n Z ∈，即(1)k k απβ=+-，即必要性成立，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件，故选：C ．16．（2020•浙江）设集合S ，T ，*S N ⊆，*T N ⊆，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y S ∈，若x y ≠，则xy T ∈； ②对于任意的x ，y T ∈，若x y <，则yS x∈．下列命题正确的是( ) A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则ST 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则ST 有4个元素【解答】解：取：{1S =，2，4}，则{2T =，4，8}，{1S T =，2，4，8}，4个元素，排除C ．{2S =，4，8}，则{8T =，16，32}，{2ST =，4，8，16，32}，5个元素，排除D ；{2S =，4，8，16}则{8T =，16，32，64，128}，{2ST =，4，8，16，32，64，128}，7个元素，排除B ；故选：A ．17．（2020•新课标Ⅲ）已知函数1()sin sin f x x x=+，则( ) A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的图象关于直线x π=对称D ．()f x 的图象关于直线2x π=对称【解答】解：由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|x x k π≠，}k Z ∈，故定义域关于原点对称；设sin x t =，则1()y f x t t ==+，[1t ∈-，1]，由双勾函数的图象和性质得，2y 或2y -，故A 错误；又有11()sin()(sin )()sin()sin f x x x f x x x-=-+=-+=--，故()f x 是奇函数，且定义域关于原点对称，故图象关于原点中心对称；故B 错误； 11()sin()sin sin()sin f x x x x xπππ+=++=--+；11()sin()sin sin()sin f x x x x xπππ-=-+=+-，故()()f x f x ππ+≠-，()f x 的图象不关于直线x π=对称，C 错误；又11()sin()cos 22cos sin()2f x x x xx πππ+=++=++；11()sin()cos 22cos sin()2f x x x xx πππ-=-+=+-，故()()22f x f x ππ+=-，定义域为{|x x k π≠，}k Z ∈，()f x 的图象关于直线2x π=对称；D 正确；故选：D ．18．（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．则“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，若m ，n ，l 在同一平面，则m ，n ，l 相交或m ，n ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．而若“m ，n ，l 两两相交”，则“m ，n ，l 在同一平面”成立．故m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的必要不充分条件，故选：B ．19．（2020•上海）“αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：（1）若αβ=，则2222sin cos sin cos 1αβαα+=+=， ∴ “αβ= “是“22sin cos 1αβ+= “的充分条件；（2）若22sin cos 1αβ+=，则22sin sin αβ=，得不出αβ=， ∴ “αβ=”不是“22sin cos 1αβ+=”的必要条件， ∴ “αβ=”是“22sin cos 1αβ+=”的充分非必要条件．故选：A ．二．多选题（共1小题）20．（2020•山东）信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1，2，⋯，n ，且()0(1i P X i p i ==>=，2，⋯，)n ，11ni i p ==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑．( )A ．若1n =，则()0H X =B ．若2n =，则()H X 随着1p 的增大而增大C ．若1(1i p i n==，2，⋯，)n ，则()H X 随着n 的增大而增大D ．若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，⋯，m ，且21()(1j m j P Y j p p j +-==+=，2，⋯，)m ，则()()H X H Y【解答】解：A ．若1n =，则11P =，故1212()log 1log 10H x p p =-=-⨯=，故A 正确；B ．若2n =，则121p p +=，121222121121()(log log )[log (1)log (1)]H x p p p p p p p p =-+=-+--，设22()[log (1)log (1)]f p p p p p =-+--，01p <<，则22211()[(1)(1)]2(1)21pf p log p p log p p log ln p p ln p-'=-+--+-=---，令()0f p '<，解得112p <<，此时函数()f p 单调递减，令()0f p '>，解得102p <<，此时函数()f p 单调递增，故B 错误； C ．若1(1,2,,)i P i n n ==⋯，则2211()H x n log log n n n=-=，由对数函数的单调性可知，()H x 随着n 的增大而增大，故C 正确；D ．依题意知，12(1)m P Y p p ==+，221(2)m P Y p p -==+，322(3)m P Y p p -==+，⋯，1()m m P Y m p p +==+，122122212221()[()log ()()log ()m m m m H Y p p p p p p p p --∴=-+++++ 121()log ()]m m m m p p p p +++⋯+++，又1212222222()(log log log log )m m m m H X p p p p p p p p =-++⋯++⋯+， ∴2121222221222112()()m m m m m p p p H Y H X p log p log p log p p p p p p --=++⋯++++，又21212221121,1,,1m m m mp p p p p p p p p -<<⋯<+++， ()()0H Y H X ∴-<，()()H X H Y ∴>，故D 错误．故选：AC ．三．填空题（共5小题）21．（2020•上海）已知集合{1A =，2，4}，集合{2B =，4，5}，则AB = {2，4} ．【解答】解：因为{1A =，2，3}，{2B =，4，5}，则{2A B =，4}．故答案为：{2，4}．22．（2020•江苏）已知集合{1A =-，0，1，2}，{0B =，2，3}，则AB = {0，2} ．【解答】解：集合{0B =，2，3}，{1A =-，0，1，2}，则{0A B =，2}，故答案为：{0，2}．23．（2020•上海）集合{1A =，3}，{1B =，2，}a ，若A B ⊆，则a = 3 ．【解答】解：3A ∈，且A B ⊆，3B ∴∈，3a ∴=，故答案为：3．24．（2020•新课标Ⅲ）关于函数1()sin sin f x x x =+有如下四个命题： ①()f x 的图象关于y 轴对称．②()f x 的图象关于原点对称．③()f x 的图象关于直线2x π=对称．④()f x 的最小值为2．其中所有真命题的序号是 ②③ ．【解答】解：对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|x x k π≠，}k Z ∈，故定义域关于原点对称，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x -=-+=--=--；所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；对于③，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-，所以该函数()f x 关于2x π=对称，③对；对于④，令sin t x =，则[1t ∈-，0)(0⋃，1]，由双勾函数1()g t t t =+的性质，可知，1()(g t t t=+∈-∞，2][2-，)+∞，所以()f x 无最小值，④错；故答案为：②③．25．（2020•新课标Ⅲ）设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ①③④ ．①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【解答】解：设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．根据平面的确定定理可得此命题为真命题，2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有无数平面，此命题为假命题，3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的情况，此命题为假命题，4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；由复合命题的真假可判断①14p p ∧为真命题，②12p p ∧为假命题，③23p p ⌝∨为真命题，④34p p ⌝∨⌝为真命题，故真命题的序号是：①③④，故答案为：①③④，。

2020年全国各地高考数学试题分类汇编2 函数文

2020年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数一、选择题1 ．（2020年高考重庆卷（文））函数21log (2)y x =-的定义域为（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(2,3)(3,)+∞UD ．(2,4)(4,)+∞U【答案】C2 ．（2020年高考重庆卷（文））已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则(lg(lg 2))f =（）A ．5-B ．1-C ．3D ．4【答案】C3 ．（2020年高考大纲卷（文））函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（）A ．()1021x x >- B ．()1021xx ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A4 ．（2020年高考辽宁卷（文））已知函数())()21ln1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫=+++=⎪⎝⎭则（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D5 ．（2020年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==,则（）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<【答案】A6 ．（2020年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为（）A ．(-∞,1)B ．(1, + ∞)C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】B7 ．（2020年上海高考数学试题（文科））函数()()211f x x x =-≥的反函数为()1fx -,则()12f -的值是（）A 3B ．3C ．12D ．12-【答案】A 8 ．（2020年高考湖北卷（文））x 为实数,[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数()[]f x x x =-在R 上为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数【答案】D9 ．（2020年高考四川卷（文））设函数()x f x e x a =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数).若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立,则a 的取值范围是（）A ．[1,]eB ．[1,1]e +C ．[,1]e e +D ．[0,1]【答案】A10．（2020年高考辽宁卷（文））已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（）A ．2216a a --B ．2216a a +-C ．16-D ．16【答案】C 11．（2020年高考北京卷（文））下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（）A ．1y x=B ．x y e-=C ．21y x =-+D ．lg ||y x =【答案】C12．（2020年高考福建卷（文））函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A13．（2020年高考浙江卷（文））已知a.b.c ∈R,函数f(x)=ax 2+bx+c .若f(0)=f(4)>f(1),则（）A ．a>0,4a+b=0B ．a<0,4a+b=0C ．a>0,2a+b=0D ．a<0,2a+b=0【答案】A 14．（2020年高考山东卷（文））已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,xx x f 1)(2+=,则=-)1(f（）A ．2B ．1C ．0D ．-2【答案】D15．（2020年高考广东卷（文））函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是（）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞UD ．[1,1)(1,)-+∞U【答案】C 16．（2020年高考陕西卷（文））设a , b , c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（）A ．·log log log a c c b a b =B ．·log lo log g a a a b a b =C ．()log ?l g o lo g a a a b c bc =D ．()log g og o l l a a a b b c c +=+【答案】B17．（2020年高考山东卷（文））函数1()123xf x x =-++的定义域为（）A ．(-3,0]B ．(-3,1]C ．(,3)(3,0]-∞--UD ．(,3)(3,1]-∞--U【答案】A 18．（2020年高考天津卷（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（）A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]【答案】C19．（2020年高考湖南（文））函数f(x)=㏑x 的图像与函数g(x)=x 2-4x+4的图像的交点个数为______（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C20．（2020年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D;21．（2020年高考陕西卷（文））设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有（）A ．[-x ] = -[x ]B ．[x + 12] = [x ] C ．[2x ] = 2[x ]D ．1[][][2]2x x x ++=【答案】D22．（2020年高考安徽（文））函数()y f x =的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x L ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===L ,则n 的取值范围为（）A ．{}2,3B ．{}2,3,4C ．{}3,4D ．{}3,4,5【答案】B 23．（2020年高考湖北卷（文））小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是【答案】C 24．（2020年高考湖南（文））已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于____ （） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B 二、填空题25．（2020年高考安徽（文））定义在R 上的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=.若当01x ≤≤时.()(1)f x x x =-,则当10x -≤≤时,()f x =________________.距学校的距离距学校的距离距学校的距离时间时间时间时间OOOO距学校的距离【答案】(1)()2x x f x +=-26．（2020年高考大纲卷（文））设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时，____________.【答案】-127．（2020年高考北京卷（文））函数f(x)=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________.【答案】(-∞,2)28．（2020年高考安徽（文））函数21ln(1)1y x x=++-的定义域为_____________.【答案】(]0,129．（2020年高考浙江卷（文））已知函数f(x)=x-1 若f(a)=3,则实数a= ____________.【答案】1030．（2020年高考福建卷（文））已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f ________ 【答案】2- .31．（2020年高考四川卷（文））lg 5lg 20+的值是___________.【答案】132．（2020年上海高考数学试题（文科））方程91331xx+=-的实数解为_______. 【答案】3log 4 三、解答题33．（2020年高考江西卷（文））设函数1,0()1(1),11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩ a 为常数且a ∈(0,1).(1) 当a=12时,求f(f(13)); (2) 若x 0满足f(f(x 0))= x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点,证明函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;(3) 对于(2)中x 1,x 2,设A(x 1,f(f(x 1))),B(x 2,f(f(x 2))),C(a 2,0),记△ABC 的面积为s(a),求s(a)在区间[13,12]上的最大值和最小值. 【答案】解:(1)当12a=时,121222(),(())()2(1)333333f f f f ==-=＝(2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤⎪-⎩当20x a ≤≤时,由21x x a=解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当2a x a <≤时由1()(1)a x x a a -=-解得21ax a a =-++2(,),a a ∈ 因222211()1111a a af a a a a a a a a a =•=≠-++-++-++-++ 故21ax a a =-++是f(x)的二阶周期点; 当21a x a a <<-+时,由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+ 因1111()(1)2122f a a a a =•-=----故12x a=-不是f(x)的二阶周期点; 当211a a x -+≤≤时,1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =•-=≠-++--++-++-++ 故211x a a =-++是f(x)的二阶周期点.因此,函数()f x 有且仅有两个二阶周期点,121a x a a =-++,2211x a a =-++. (3)由(2)得222211(,),(,)1111a a A B a a a a a a a a -++-++-++-++则2322221(1)1(222)(),()212(1)a a a a a a s a s a a a a a ---+'=•=•-++-++ 因为a 在[13,12]内,故()0s a '>,则11()[]32s a 在区间，上单调递增，故111111()[]32333220s a 在区间，上最小值为s()=，最大值为s()=34．（2020年高考安徽（文））设函数22()(1)f x ax a x =-+,其中0a >,区间{}|()0I x f x =>.(Ⅰ)求I 的长度(注:区间(,)αβ的长度定义为βα-;(Ⅱ)给定常数()0,1k ∈,当11k a k -≤≤+时,求I 长度的最小值.【答案】解:(1)令2()-10f x x a a x ⎡⎤=+=⎣⎦（）解得 10x = 221ax a =+ 2|01a I x x a ⎧⎫∴=<<⎨⎬+⎩⎭ I ∴的长度212-1a x x a=+ (2) ()0,1k ∈ 则0112k a k <-≤≤+< 由 (1)21aI a =+ 2221'0(1)a I a -=>+,则01a << 故I 关于a 在(1,1)k -上单调递增,在(1,1)k +上单调递减.()1221-1-2211-k kI k kk ==+++ 22111kI k +=++（）min21-22kI k k =++。

2020年高考数学试题分类汇编：复数

2020年高考数学试题分类汇编：复数【考点阐述】复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．【考试要求】（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．【考题分类】（一）选择题（共18题）1．（安徽卷理1）复数 32(1)i i +=（） A ．2B ．－2C ．2i D ． 2i -【标准答案】：A 。

【试题解析】：=+23)1(i i 2)2)((=-i i2．（福建卷理1）若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（） A.1B.2C.1或2D.-1【标准答案】B 【试题解析】由2320aa -+=得12a =或,且101a a -≠≠得2a ∴=【高考考点】虚数的有关概念及二次方程的解【易错提醒】对于纯虚数一定要使虚部不为0才可,往往很多考生就忽视了这点. 【学科网备考提示】对于书上的概念一定要熟记,特别注意易错点.3．（广东卷理1文2）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（）A ．(15)，B ．(13)，C ．(1D ．【标准答案】Ｃ【解析】本题考查复数的基本概念及复数模的求法，同时考查利用函数思想求范围。

由于0＜a ＜2，故2115a<+<∴(z =4．（海南宁夏卷理2）已知复数z =1-i,则122--z zz =(A)2i(B)-2i(C)2(D)-2【标准答案】Ｂ【试题解析】将1=-z i 代入得()()221212222111i i z z i z i i i------====------，选Ｂ5．（海南宁夏卷文3）已知复数1z i =-，则21z z =-（） A. 2B. －2C. 2iD. －2i【标准答案】Ａ【试题解析】将1=-z i 代入得()22122111--===----i z iz i i，选Ａ6．（湖南卷理1）复数31()i i-等于( ) A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88ii i ii i--==-⋅=-,易知D 正确. 7．（江西卷理1）在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D .【解析】因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限， 8．（辽宁卷理4）复数11212i i+-+-的虚部是（）A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-9．（全国Ⅰ卷理4）设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】D 【解析】222a 1=0(a 1+2ai)i=(a 1)i 2a, a= 1.2a>0D⎧⎨⎩本题主要考查了复数的运算。

山西省各地市2020年高考数学最新联考试题分类汇编(13)概率

山西省各地市2020年高考数学最新联考试题分类汇编（13）概率一、选择题:8．(山西省太原市2020届高三下学期第一次模拟文)已知函数2()1f x og x = ，若在[1，4]上随机取一个实数x 0，则使得0()1f x ≥成立的概率为A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C5. (山西省太原市第五中学2020届高三4月月考理)如果随机变量），（21-~σξN ，且4.01-3-(=≤≤）ξP ，则()1P ζ≥等于（）A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1【答案】D8．(山西省2020届高三高考考前适应性训练文)一艘轮船从O 点的正东方向10km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间]10 ,5[内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是（）A ．212- B ．221-C ．12-D ．22-【答案】D 二、填空题:13．(山西省山大附中2020年3月高三月考理)已知不等式组2y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为M ，直线y x =与曲线212y x =所围成的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为 . 【答案】1615. (山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2020届高三第三次四校联考文)在区间[]5,2和[]4,2分别取一个数,记为,,b a 则方程)0,0(12222>>=+b a b y a x表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为【答案】32三、解答题:18. (山西省山大附中2020年4月高三月考文) (本小题满分12分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）. （1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．18.（1）甲相对稳定。

2020高考数学大一轮复习2020高考试题汇编第十三章概率与统计 Word版含解析

第十三章概率与统计第|一节概率及其计算题型140 古典概型1. (2021山东理18 (1 ) )在心理学研究中 ,常采用比照试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 ,具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组 ,一组接受甲种心理暗示 ,另一组接受乙种心理暗示 ,通过比照这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 ,现有6名男志愿者1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A 和4名女志愿者1B ,2B ,3B ,4B ,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示 ,另5人接受乙种心理暗示. (1 )求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.1.解析 (1 )记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ,那么48510C 5().C 18P M ==题型141 几何概型2. (2021江苏07 )记函数()f x =的定义域为D ．在区间[]4,5-上随机取一个数x ,那么x D ∈的概率是． 2.解析由题意260x x+- ,故[]2,3D =- ,所以()()325549P --==--．故填59．3. (2021全国1卷理科2 )如以下图 ,正方形ABCD 内的图形来自中|国古代的太极图 ,正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形的中|心成中|心对称. 在正方形内随机取一点 ,那么此点取自黑色局部的概率是 ( ). A.14 B. π8 C. 12 D. π4AB D3.. 解析设正方形的边长为2 ,那么圆的半径为1 ,那么正方形的面积为224⨯= ,圆的面积为2π1π⨯= ,图中黑色局部的面积为π2 ,那么此点取自黑色局部的概率为ππ248=.应选B.第二节随机变量及其分布题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率4. (2107天津理16 (2 ) )从甲地到乙地要经过3个十字路口 ,设各路口信号灯工作相互独立 ,且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. (2 )假设有2辆车独立地从甲地到乙地 ,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.4.解析 (2 )设Y 表示第|一辆车遇到红灯的个数 ,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数 ,那么所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+===(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差5． (2107浙江8 )随机变量i ξ满足()1i i P p ξ== ,()01i i P p ξ==- ,12i =，.假设12102p p <<< ,那么 ( ).A ．()()12E E ξξ< ,()()12D D ξξ<B ．()()12E E ξξ< ,()()12D D ξξ>C ．()()12E E ξξ> ,()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ> ,()()12D D ξξ>5. 解析依题意 ,列分布列1ξ1 0p1p11p -2ξ1 0p2p 21p -所以()11E p ξ= ,()()1111D p p ξ=-；()22E p ξ= ,()()2221D p p ξ=-．因为12102p p <<< ,所以()()12E E ξξ< ,()()()()21211210D D p p p p ξξ-=--+>⎡⎤⎣⎦.应选A ．6. (2021山东理18 )在心理学研究中 ,常采用比照试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 ,具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组 ,一组接受甲种心理暗示 ,另一组接受乙种心理暗示 ,通过比照这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 ,现有6名男志愿者1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A 和4名女志愿者1B ,2B ,3B ,4B ,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示 ,另5人接受乙种心理暗示.(1 )求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.(2 )用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 ,求X 的分布列与数学期望()E X . 6.解析 (1 )记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ,那么48510C 5().C 18P M ==(2 )由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4 ,那么56510C 1(0)C 42P X === ,4164510C C 5(1)C 21P X === ,3264510C C 10(2)C 21P X === ,2364510C C 5(3)C 21P X === ,1464510C C 1(4)C 42P X === ,因此X 的分布列为X 的数学期望()0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==5105101234221212142+⨯+⨯+⨯+⨯=. 7.. (2107山东理8 )分别从标有1 ,2 ,⋅⋅⋅ ,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次 ,每次抽取1张．那么抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ( ). A.518 B.49 C.59 D.797. 解析由于是不放回的抽取 ,两张卡片的数的奇偶性不同共有11542C C 种根本情况 ,总的根本领件共有98=72⨯种 ,那么所求事件的概率为12542C C 5989=⨯ .应选C. 8. (2107天津理16 )从甲地到乙地要经过3个十字路口 ,设各路口信号灯工作相互独立 ,且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. (1 )设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数 ,求随机变量X 的分布列和数学期望； (2 )假设有2辆车独立地从甲地到乙地 ,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 8.解析 (1 )随机变量X 的所有可能取值为0 ,1 ,2 ,3.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.(2 )设Y 表示第|一辆车遇到红灯的个数 ,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数 ,那么所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+===(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.9. (2021全国2卷理科13 )一批产品的二等品率为0.02 ,从这批产品中每次随机取一件 ,有放回地抽取100次 ,X 表示抽到的二等品件数 ,那么()D X = ． 9．解析有放回的抽取 ,是一个二项分布模型 ,其中0.02=p ,100n = , 那么()()11000.020.98 1.96D X np p =-=⨯⨯=.10. (2107全国3卷理科18 )某超市方案按月订购一种酸奶 ,每天进货量相同 ,进货本钱每瓶4元 ,售价每瓶6元 ,未售出的酸奶降价处理 ,以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验 ,每天需求量与当天最|||高气温 (单位：℃ )有关．如果最|||高气温不低于25 ,需求量为500瓶；如果最|||高气温位于区间[)2025， ,需求量为300瓶；如果最|||高气温低于20 ,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购方案 ,统计了前三年六月份各天的最|||高气温数据 ,得下面的频数分布表：以最|||高气温位于各区间的频率代替最|||高气温位于该区间的概率. (1 )求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶 )的分布列；(2 )设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元 ) ,当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶 )为多少时 ,Y 的数学期望到达最|||大值 ?10．解析 (1 )易知需求量x 可取200,300,500 , ()21612003035P X +===⨯；()3623003035P X ===⨯；()257425003035P X ++===⨯. 那么分布列为：【解析】X【解析】200【解析】300【解析】500【解析】P【解析】15【解析】25【解析】25(2 )①当200n ≤时：()642Y n n =-= ,此时max 400Y = ,当200n =时取到. ②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+= , 此时max 520Y = ,当300n =时取到.③当300500n <≤时 ,()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n -= 此时520Y <.④当500n ≥时 ,易知Y 一定小于③的情况. 综上所述当300n =时 ,Y 取到最|||大值为520.11. (2021北京理17 )为了研究一种新药的疗效 ,选100名患者随机分成两组 ,每组各50名 ,一组服药 ,另一组不服药.一段时间后 ,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据 ,并制成以以下图 ,其中 "*〞表示服药者 , " +〞表示未服药者.(1 )从服药的50名患者中随机选出一人 ,求此人指标y 的值小于60的概率；(2 )从图中A ,B ,C ,D 四人中随机选出两人 ,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数 ,求ξ的分布列和数学期望()E ξ；(3 )试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小. (只需写出结论 )11.解析 (1 )由图知 ,在服药的50名患者中 ,指标y 的值小于60的有15人 , 所以从服药的50名患者中随机选出一人 ,此人指标y 的值小于60的概率为150.350=. (2 )由图知 ,A ,B ,C ,D 四人中 ,指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.2224C 1(0)C 6P ξ=== ,112224C C 2(1)C 3P ξ=== ,2224C 1(2)C 6P ξ===. 所以ξ的分布列为ξ0 1 2故ξ的期望121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=. (3 )在这100名患者中 ,服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差. 12. (2021江苏23 )一个口袋有m 个白球 ,n 个黑球()*,2,m n n ∈N ,这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出 ,并放入如以下图的编号为1,2,3,,m n ⋅⋅⋅+的抽屉内 ,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉()1,2,3,,k m n =⋅⋅⋅+．(1 )试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；(2 )随机变量X 表示最|||后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数 ,()E X 是X 的数学期望 ,证明：()()()1nE X m n n <+-．12.解析 (1 )编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m n n p m n-+-+==+． (2 )随机变量 X 的概率分布为：随机变量X 的期望为：111C ()C n m nk n k n m nE X k -+-=+=⋅∑()()()1!11C 1!!m nnk n m n k k n k n +=+-=⋅--∑．所以()()()()2!1C 1!!m nn k n m n k E X n k n +=+-<--∑()()()2!1=(1)C 2!!m nn k n m n k n n k n +=+-=---∑ ()()222121 1C C C =1C n n n n n m n n m nn ----+-+++++-()()12221121C C C C =1C n n n n n n n m n nm nn ------+-++++⋅⋅⋅+- ()()12221C C C ==1C n n n n n m n nm nn ---+-+++⋅⋅⋅+-()()12221C C =1C n n m n m n nm nn --+-+-++- ()()()11C 1C 1n m n nm n n n m n n -+-+=-+- , 即()()()1nE X m n n <+-．题型144 正态分布 - -暂无13. (2107全国1卷理科19 )为了监控某种零件的一条生产线的生产过程 ,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件 ,并测量其尺寸 (单位：cm )．根据长期生产经验 ,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ．(1 )假设生产状态正常 ,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数 ,求()1P X 及X 的数学期望；(2 )一天内抽检零件中 ,如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件 ,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 ,需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ )试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ )下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s === ,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸 ,1216i =⋯，，，．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查 ?剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据 ,用剩下的数据估计μ和σ (精确到0.01 )．附：假设随机变量Z服从正态分布()2,N μσ ,那么()–330.9974P Z μσμσ<<+=,160.99740.9592≈ 0.09≈．13. 解析 (1 )由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，之内的概率为0.9974 ,落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．()()016160C 10.99740.99740.9592P X==-≈ ,()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-= ,由题可知()~160.0026X B ，,所以()160.00260.0416E X =⨯=. (2 ) (i )尺寸落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026 ,由正态分布知尺寸落在()33μσμσ-+，之外为小概率事件 ,因此上述监控生产过程的方法合理．(ii )39.9730.2129.334μσ-=-⨯= ,39.9730.21210.606μσ+=+⨯= ,()()339.33410.606μσμσ-+=，，,因为()9.229.33410.606∉， ,所以需对当天的生产过程检查．因此剔除9.22 ,剔除数据之后：9.97169.2210.0215μ⨯-==．()()()()()222222[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+()()()()()222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+()()()()()22222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815-+-+-+-+-⨯≈.所以0.09σ=≈.第三节统计与统计案例题型145 抽样方式 - -暂无14. (2021江苏 3 )某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品 ,产量分别为200 ,400 ,300 ,100件．为检验产品的质量 ,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验 ,那么应从丙种型号的产品中抽取件． 14.解析按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取60300181000⨯=(件)．故填18．题型146 样本分析 - -用样本估计总体15. (2021北京理14 )三名工人加工同一种零件 ,他们在一天中的工作情况如以下图 ,其中点i A 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数 ,点i B 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数 ,123i =，，.①记1Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数 ,那么1Q ,2Q ,3Q 中最|||大的是_________.②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数 ,那么123p p p ，，中最|||大的是_________.OB 1B 2B 3A 3A 2A 1工作时间小时()零件数件()15. 解析联结11A B ,22A B ,33A B 比拟三者中点终坐标的大小 ,所以第|一问选1Q ,分别作1B ,2B ,3B 关于原点的对称点1B ' ,2B ' ,3B ' ,比拟直线11A B ',22A B ' ,33A B '斜率大小 ,可得22A B '2p16. (2021全国3卷理科3 )某城市为了解游客人数的变化规律 ,提高旅游效劳质量 ,收集并整理了2021年1月至|||2021年12月期间月接待游客量 (单位：万人 )的数据 ,绘制了下面的折线图 ,根据该折线图 ,以下结论错误的选项是 ( ). A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量顶峰期大致在7 ,8月份D ．各年1月至|||6月的月接待游客量相对7月至|||12月 ,波动性更小 ,变化比拟平稳16．解析由题图可知 ,2021年8月到9月的月接待游客量在减少 ,那么A 选项错误.应选A.17. (全国2卷理科18 )淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照 ,收获时各随机抽取了100个网箱 ,测量各箱水产品的产量 (单位：kg )的频率分布直方图如以下图.频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg(1 )设两种养殖方法的箱产量相互独立 ,记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg , 新养殖法的箱产量不低于50kg ,估计A 的概率；(2 )填写下面列联表 ,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3 )根据箱产量的频率分布直方图 ,求新养殖法箱产量的中位数的估计值 (精确到0.01 ). 附：)k22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ .17．解析 (1 )记： "旧养殖法的箱产量低于50kg 〞为事件B , "新养殖法的箱产量不低于50kg 〞为事件C ,由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62= ,()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66= ,()()()0.4092P A P B P C ==.(2 )箱产量50kg <箱产量50kg ≥旧养殖法 62 38 新养殖法3466由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ ,因为15.705 6.635> ,所以()2 6.6350.001P K ≈≥ ,从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3 )150.2÷= ,()0.10.0040.0200.0440.032-++= ,80.0320.06817÷= ,85 2.3517⨯≈ ,50 2.3552.35+= ,所以中位数为52.35.题型147 线性回归方程18. (2107山东理5 )为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米 )和身高y (单位：厘米 )的关系 ,从该班随机抽取10名学生 ,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系 ,设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．101225i i x ==∑ ,1011600i i y ==∑ ,ˆ4b =．该班某学生的脚长为24 ,据此估计其身高为 ( ).A. 160B. 163C. 166D.170 18. 解析 22.5x = ,160y = ,所以160422.570a =-⨯= ,从而24x =时 ,42470166y =⨯+=.应选C.题型148 独立性检验 - -暂无19. (全国2卷理科18 )淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量比照 ,收获时各随机抽取了100个网箱 ,测量各箱水产品的产量 (单位：kg )的频率分布直方图如以下图.频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg(1 )设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；(2 )填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3 )根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附：)k22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.19．解析(1 )记："旧养殖法的箱产量低于50kg〞为事件B, "新养殖法的箱产量不低于50kg〞为事件C,由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=,()0.06850.04650.01050.0085P C=⨯+⨯+⨯+⨯0.66=,()()()0.4092P A P B P C==.(2 )箱产量50kg<箱产量50kg≥旧养殖法62 38新养殖法3466由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ ,因为15.705 6.635> ,所以()2 6.6350.001P K ≈≥ ,从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3 )150.2÷= ,()0.10.0040.0200.0440.032-++= ,80.0320.06817÷= ,85 2.3517⨯≈ ,50 2.3552.35+= ,所以中位数为52.35.第十四章推理与证明第一节合情推理与演绎推理1. (2021全国2卷理科7 )甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀 ,2位良好 ,我现在给甲看乙、丙的成绩 ,给乙看丙的成绩 ,给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息 ,那么 ( ). A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 1．解析四人所知只有自己看到 ,老师所说及最|||后甲说的话．甲不知道自己成绩→乙、丙中必有一优一良 (假设为两优 ,甲会知道自己成绩；两良亦然 ).乙看了丙成绩 ,知道自己的成绩→丁看甲 ,甲、丁中也为一优一良 ,丁知道自己的成绩．应选D.2. (2021 全国1卷理科12 )几位大学生响应国|家的创业号召 ,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣 ,他们推出了 "解数学题获取软件激活码〞的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1 ,1 ,2 ,1 ,2 ,4 ,1 ,2 ,4 ,8 ,1 ,2 ,4 ,8 ,16 ,… ,其中第|一项为哪一项02 ,接下来的两项是02 ,12 ,再接下来的三项是02 ,12 ,22 ,依此类推.求满足如下条件的最|||小整数100N N >：且该数列的前N ( ). A.440B.330C.220D.1102. 解析设首|||项为第1组 ,接下来两项为第2组 ,再接下来三项为第3组 ,以此类推．设第n 组的项数为n ,那么n 组的项数和为()12n n + ,由题意得 ,100N > ,令()11002n n +> ,得14n ≥且*n ∈N ,即N 出现在第13组之后 ,第n 组的和为122112nn -=-- ,n 组总共的和为()12122212n n n n+--=--- ,假设要使前N 项和为2的整数幂 ,那么()12n n N +-项的和21k-应与2n --互为相反数 ,即()*21214k n k n -=+∈N ，≥ ,()2log 3k n =+ ,得n 的最|||小值为295n k ==， , 那么()2912954402N ⨯+=+=.应选A.题型149 归纳推理 - -暂无题型150 类比推理 - -暂无题型151 演绎推理第二节证明。

2020年全国各地高中数学真题分类汇编—数列(含答案)

2020年全国各地⾼考真题分类汇编—数列1．（2020•浙江）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且≤1．记b1＝S2，b n+1＝S2n+2﹣S2n，n∈N*，下列等式不可能成⽴的是（）A．2a4＝a2+a6B．2b4＝b2+b6C．a42＝a2a8D．b42＝b2b82．（2020•北京）在等差数列{a n}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记T n＝a1a2…a n（n＝1，2，…），则数列{T n}（）A．有最⼤项，有最⼩项B．有最⼤项，⽆最⼩项C．⽆最⼤项，有最⼩项D．⽆最⼤项，⽆最⼩项3．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是等⽐数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）A．12B．24C．30D．324．（2020•新课标Ⅱ）如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12．设1≤i＜j＜k≤12．若k﹣j＝3且j﹣i＝4，则a i，a j，a k为原位⼤三和弦；若k﹣j＝4且j﹣i＝3，则称a i，a j，a k 为原位⼩三和弦．⽤这12个键可以构成的原位⼤三和弦与原位⼩三和弦的个数之和为（）A．5B．8C．10D．155．（2020•新课标Ⅱ）0﹣1周期序列在通信技术中有着重要应⽤．若序列a1a2…a n…满⾜a i∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整数m，使得a i+m＝a i（i＝1，2，…）成⽴，则称其为0﹣1周期序列，并称满⾜a i+m＝a i（i＝1，2…）的最⼩正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0﹣1序列a1a2…a n…，C（k）＝a i a i+k（k＝1，2，…，m﹣1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0﹣1序列中，满⾜C（k）≤（k＝1，2，3，4）的序列是（）A．11010…B．11011…C．10001…D．11001…6．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等⽐数列{a n}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则＝（）A．2n﹣1B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣17．（2020•新课标Ⅱ）数列{a n}中，a1＝2，a m+n＝a m a n．若a k+1+a k+2+…+a k+10＝215﹣25，则k＝（）A．2B．3C．4D．58．（2020•新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中⼼有⼀块圆形⽯板（称为天⼼⽯），环绕天⼼⽯砌9块扇⾯形⽯板构成第⼀环，向外每环依次增加9块．下⼀层的第⼀环⽐上⼀层的最后⼀环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层⽐中层多729块，则三层共有扇⾯形⽯板（不含天⼼⽯）（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块9．（2020•上海）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10＝a9，则＝．10．（2020•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＝﹣2，a2+a6＝2，则S10＝．11．（2020•浙江）已知数列{a n}满⾜a n＝，则S3＝．12．（2020•海南）将数列{2n﹣1}与{3n﹣2}的公共项从⼩到⼤排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为．13．（2020•江苏）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公⽐为q的等⽐数列．已知数列{a n+b n}的前n项和S n＝n2﹣n+2n﹣1（n∈N*），则d+q的值是．14．（2020•新课标Ⅰ）数列{a n}满⾜a n+2+（﹣1）n a n＝3n﹣1，前16项和为540，则a1＝．15．（2020•天津）已知{a n}为等差数列，{b n}为等⽐数列，a1＝b1＝1，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3）．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求证：S n S n+2＜S n+12（n∈N*）；（Ⅲ）对任意的正整数n，设c n＝求数列{c n}的前2n项和．16．（2020•海南）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1．17．（2020•江苏）已知数列{a n}（n∈N*）的⾸项a1＝1，前n项和为S n．设λ和k为常数，若对⼀切正整数n，均有S n+1﹣S n＝λa n+1成⽴，则称此数列为“λ﹣k”数列．（1）若等差数列{a n}是“λ﹣1”数列，求λ的值；（2）若数列{a n}是“﹣2”数列，且a n＞0，求数列{a n}的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a n}为“λ﹣3”数列，且a n≥0？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．18．（2020•新课标Ⅰ）设{a n}是公⽐不为1的等⽐数列，a1为a2，a3的等差中项．（1）求{a n}的公⽐；（2）若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．19．（2020•⼭东）已知公⽐⼤于1的等⽐数列{a n}满⾜a2+a4＝20，a3＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记b m为{a n}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100．20．（2020•新课标Ⅲ）设等⽐数列{a n}满⾜a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为数列{log3a n}的前n项和．若S m+S m+1═S m+3，求m．。

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七、统计
一、选择题
1．（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18
[27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是

A．16 B．13 C．12 D．23
【答案】B

【解析】从31.5到43.5共有22，所以221663P。
2.（陕西理9）设（1x，1y），（2x，2y），…，（nx，ny）是变量x和y的n个样本点，
直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以
下结论中正确的是

A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

D．直线l过点(,)xy
【答案】D
3.（山东理7）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54

根据上表可得回归方程ˆˆˆybxa中的ˆb为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销
售额为
A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元
【答案】B
4.（江西理6）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），
（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，

2），（13，1），1r表示变量Y与X之间的线性相关系数，2r表示变量V与U之间的线性相
关系数，则

A．210rr B．210rr C．210rr D．21rr
【答案】C
5.（湖南理4）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男女总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110

由22nadbcKabcdacbd算得，22110403020207.860506050K．
2
()PKk

0．050 0．010 0．001

k
3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的正确结论是
A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】C
二、填空题
6.（天津理9）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的
全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________
【答案】12
7.（辽宁理14）调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万
元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对
x

的回归直线方程：321.0254.0ˆxy.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，
年饮食支出平均增加____________万元.
【答案】0.254
8.（江苏6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方

差___2s
【答案】3.2
9.（广东理13）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和
182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的
身高为_____cm．
【答案】185
三、解答题
10.（北京理17）
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无
法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y
的分布列和数学期望。

（注：方差2222121nsxxxxxxnK，其中x为1x，2x，…… nx的
平均数）
解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为

;435410988x
方差为
.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222s
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同
学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16
种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件
“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事

件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=.81162
同理可得;41)18(YP;41)19(YP.81)21(;41)20(YPYP
所以随机变量Y的分布列为：

Y 17 18 19 20 21

P
81 41 41 41 8

EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）
=17×81+18×41+19×41+20×41+21×81
=19
11.（辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家
和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随
机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和
数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地
上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该
种植哪一品种？

附：样本数据nxxx,,,21的的样本方差])()()[(1222212xxxxxxnsn，其中x为
样本平均数．
解：
（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

4
8

13
44
4
8

22
44
4
8

31
44
4
8

4
8

11
(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70PXCCCPXCCCPXCCCPXCPXC





即X的分布列为
………………4分
X的数学期望为
181881
()012342.7035353570EX

………………6分
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

22222222
1
(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8xS


甲

甲
………………8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

222222222
1
(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8xS


乙

乙
………………10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本
方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

2020年高考数学试题分类汇编 统计

湖南省各地市2020年高考数学 最新联考试题分类汇编(17)选修系列