中心对称图形——平行四边形(复习)

第四讲中心对称图形——平行四边形(复习)

学习要点与方法点拨：

一、复习《中心对称图形——平行四边形》这一章的概念（包括旋转、中心对称、平行四边形、

矩形、菱形、正方形和三角形的中位线）和这些图形的性质以及判定方法；

二、在掌握好基础知识后，进行知识延伸，补充延伸题型和解题思路，并学习综合各知识点的

综合题的解题方法。

课前复习：

1，旋转的概念，旋转的性质（3个）；中心对称的概念，中心对称的性质（2个，1，具有图形旋转的一切性质，2，两个图形对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分）；

2，平行四边形的概念和性质（2个），平行四边形的判定方法（4个）；

3，矩形的概念和性质（2个），矩形的判定方法（3个）；

4，菱形的概念和性质（3个），菱形的判定方法（3个）；

5，正方形的概念和性质（具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质），正方形的判定方法（3个）；

6，三角形中位线的概念；三角形的中位线的性质（2个）。

模块精讲

一、平行四边形的角平分线

我们已经学习和平行四边形有四个重要的性质，那么，除了这四个性质外，平行四边形还有其他的隐藏技能吗？

我们学习的四个性质是初中阶段关于平行四边形的全部官方性质。但是，它还有其他的隐藏技能，比如说角平分线。 A D 例1，如图在平行四边形ABCD中，DE

平分∠ADC并交BC于E。求证：△DCE

是等腰三角形。

我们看到题目中有平行线和角平分线，

就可以联想到等腰三角形。

由等腰三角形还可以解决一些线段长度 B E C

的问题。

例2，平行四边形ABCD中，CD=10，BC=12，DE平分∠ADC，则BE的长为___________。

这两个例题是一个基础，如果，我们再画一条角平分线呢？看下面这道题。

例3，如图，平行四边形ABCD中，CD=10，AD=12，AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，交BC于F、E，则EF的长为_____________。

A D A D

我们在扩展一些思路，在例1中，除了△CDE

这个等腰三角形，我们还能构造其他的等腰三角形 F

吗？我们看右边这图，把DE和AB分别延长，交

于点F，你能看出还有几个等腰三角形吗？

特别提醒一下，关于三角形的角平分线构造出等腰三角形这个性质，不是官方认证的几何定理，我们在选择填空题中可以使用，但是，在解答题中，还是要一步一步写出步骤证明的。

我们再继续扩展思路，如果画出两条角平分线，还能得出什么新的结论吗？

例4，如图，平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，BF平分∠ABC交DC于F，求证：四边形BEDF为平行四边形。

D F C A F D

G

A E

B B E C

解决了这个例题，我们可以得出一般结论，任何平行四边形的一组对角的平分线都是平行的吗？

答案是不一定，我们可以看一个特殊的例子。

所以，我们只能说：平行四边形的一组对角的角平分线平行或者重合。

我们解决了一组对角的平分线的情况，那如果是在两个邻角作平分线，能得出什么结论吗？

例5，如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BF平分∠ABC交AD于F，AE于BF相交于点G，求证：AE⊥BF。

我们这一节中，根据平行四边形的角平分线可以得出三个结论：

①平行四边形的角平分线可以构造等腰三角形；

②平行四边形的一组对角的角平分线平行或者重合。

③平行四边形的一组邻角的角平分线互相垂直。

攻略：

两个对角的角平分线平行或重合平行四边形＋角平分线等腰三角形

两个邻角的角平分线互相垂直

二、坐标系中的平行四边形

这一节我们学习平行四边形与坐标系结合的一些题型。

例6，如图，平行四边形OABC的顶点O、A、C的坐标分别是(0,0), (3,1), (1,2)，则B点的的坐标是

由平行四边形的性质：对边平行且相等OC平移到AB

再利用平移的性质，O(0,0)平移到A(3,1) 对应B(1,2)平移到(? , ?)

那么，利用另外两组对边呢？

例7，已知平行四边形的三个顶点O、A、C的坐标分别是(0,0), (3,1), (1,2)，则第四个顶点的坐标是______________。

大家先思考一下这个题目和例6是一样的吗？

思路：先确定对角线，再分类讨论。每个可能的对角线可以确定一个顶点的坐标。

例8，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(2,3), (3,1), (1,2)，则第四个顶点D的坐标是多少？

A, ( 0, 4 ) B, ( 4, 2 ) C, ( 2, 0 ) D，以上都是

我们已经学习了平行四边形的顶点坐标的求法，现在我们把思维在扩展一下，平行四边形的四个顶点的坐标还能得出什么性质吗？

我们先看例8中的平行四边形ABCD的四个顶点，坐标分别是A(2,3), B(3,1), C(1,2)，D(0,4)。

当这四个点的位置确定后，我们有：

A、B两点的横纵坐标之差 = C、D两点的横纵坐标之差

简写为A - B = C – D

移项得

A + C =

B + D

这个等式可以理解为：

平行四边形在坐标系中，相对的两个顶点的横坐标(或纵坐标)之和相等。

这样我们在计算第四个顶点的坐标是就非常方便了，比如例8，我们可以得到方程：

横坐标：

纵坐标：

即第四个顶点D的坐标为( 0, 4 )

总结一下，在这一节中，我们学习了：利用平行四边形的性质＋平移的性质 = 第四个点的坐标我们还推到出了一个结论，也就是 A + C = B + D。

在做选择题和填空题时，可以利用这个结论，快速得出第四个顶点的坐标。

另外，当四个的的位置，也就是顺序，不明确时，需要分3种情况讨论。

三、判定平行四边形

1，判定平行四边形之全等

我们在判定平行四边形时，经常用到的就是证明边或者角相等，而要证明两个边或者角相等最常用的就是利用全等三角形。

例9，如图，A、B、C、D四点在同一条直线上，AB = CD，线段AE与线段DF平行，AE = DF，求证：四边形EBFC是平行四边形。

D C

E F

A C D O

B E

例9图 A B

F 例10图

△ABE ≌△DCF △AEC ≌△DFB

这道题条件比较明显，我们再看一道条件比较隐蔽的题。

例10，如图，DE⊥AC，BF⊥AC，DE = BF，∠ADB = ∠DBC，求证：四边形ABCD是平行四边形。

①对角线②一组对边

总结：利用全等三角形是判定平行四边形的常用方法。但是，一般过程比较复杂一些。

2，判定平行四边形之对角线

有时我们也可以抛弃全等三角形，使用一些更简便的方法。

例11，如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别连接AF、BE交于G，连接CE、DF交于点H，连接EF、GH。证明：EF于GH互相平分。

A E D D C

F

G H

E

B F

C A B

例11 图例12 图

例12，如图，在平行四边形ABCD中，E、F是AC上的点，且AE = CF，连接DE、DF、BE、BF。证明：四边形BFDE是平行四边形。

你是不是一下子就想到了全等三角形。那如果这道题，不用全等三角形，还有什么简便的方法吗？

四、直角三角形斜边上的中线与三角形的中位线的综合

我们知道：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。这个是任何一个直角三角形都具有的性质。

如果要证明这个性质，我们之前的证明方法是：将中线延长，利用全等三角形来证明。现在我们学习了矩形的性质后，由矩形的性质就很容易得出这个结论了。

例13，如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点，AH为BC边上的高，连接DE、FE、DH、FH。求证：∠DHF = ∠DEF。

A B E H C

D F

D F A

例13图

P

B H E

C 例14 图

首先，∠DEF = ∠BAC，再由两个直角三角形

例14，如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA边的中点，AH ⊥ BC于H，△PDF为等边三角形。求证：△PDE ≌△PFH。

思路：线段的中点→中位线→平行且等于底边的一半

垂直＋中点→直角三角形斜边中心→利用中位线和斜边中线进行线角转化

课后巩固习题

1，在平行四边形ABCD中，AB = 12，BC = 8，BE平分∠ABC，交CD于E，则DE = __________。

2，如图，在平行四边形ABCD中，AB = 9，BE平分∠ABC，交CD于E，交AD的延长线于F，且DF = 3，则BC = ___________。

A B A B

F 题2图题3图

3，如图，在平行四边形ABCD中，AB = 12，BC = 8，BE、AF分别平分∠ABC、∠BAD，交CD于E、F，则EF = __________。

4，如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，交CD于E，DF平分∠ADC，交AB于F，AE与DF交于点G，且BC = 4，则下列说法中错误的是（）

A，AF = 4 B，CE = 2 C，AE⊥DF

A F

B A G B

G K

H

D E C D E F C

题4图题5图

5，如图，在平行四边形ABCD中，BE、AF分别平分∠ABC、∠BAD，交CD于E、F， BE、AF交于H，CG平分∠BCD，交AB于G，交BE于K，则下列说法错误的是( )

A，CG = CB B，AF ∥ CG C，BG = CE D，BE ⊥ CG

6，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是(1,4)、(-2,1)、(2,2), 则D点的坐标是( )

A, (6, 5) B, (5，5) C, (7, 5) D，(6, 6)

7, 平行四边形的顶点A、B、C的坐标分别是(1,4)、(-2,1)、(2,2), 则第四个顶点D的坐标不可能是( ) A, (-1, -1) B, (5, 5) C, (-3, 3) D, (-1, -2)

8，如图，平行四边形ABCD，BD，过A做AE ⊥ CD于E，交BD于G，过C作CF ⊥ AB于F，交BD于H，连接AH、CG，求证：四边形AHCG为平行四边形。

A F

B F

D C

H

G B

A

D E C E

题8图题9图

9，如图，平行四边形ABCD，分别延长DB、BD至E、F，是BE = DF，连接EA、EC、FA、FC。求证：四边形AECF是平行四边形。

10，如图，三角形ABC中，AB = AC，点D在AB上，过点D做BC的平行线，于AC交于点E，点F在BC上，且EF = EC。求证：四边形DBEF是平行四边形。

A A

D E

E

F

B F

C B M C

题10 图题11图

11，如图，在△ABC中，CE ⊥ AB于E，BF ⊥ AC于F，M为BC的中点，且EF = 7， BC = 10，则△EFM 的周长为_________。

12，如图，在五边形ABCDE中，∠ABC = ∠AED = 90°, ∠BAC = ∠EAD，点F、G、Q分别为边CD、AC、AD的中点。求证：△BGF ≌△FQE 。

A

G Q E

B

C F D

题12图

13，如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是___________ 。

题13图

14，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30o，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．

（1）试说明AC＝EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。

题14图

15，如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD 于点E．若AB=3，求矩形的另一个边BC的长。

题15图

16，如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

①∠BCD = 2∠DCF；②EF = CF；③S△BEC = 2S△CEF；④∠DFE = 3∠AEF．

题16图题17图

17，如图，在矩形ABCD中，AB=4 cm，AD=12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D 时停止(同时点Q也停止)，在这段时间，线段PQ有_____次平行于AB?

A．1 B．2 C．3 D．4

18，如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF等于BC的一半，连接CD和EF．（1）求证：DE = CF；（2）求EF的长．

题18图

19，如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE。求证：四边形BECD是矩形．

题19图

20，如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB ≌ △EPC；

（3）若矩形ABCD的边AB = 6，BC = 4，求△CPF的面积．