2019届北师大版(文科数学) 概率、统计和统计案例 (3)

2019届北师大版（文科数学） 概率、统计和统计案例 (2) 单元测试 一、选择题 1．设事件A，B，已知P(A)＝15，P(B)＝13，P(A∪B)＝815，则A，B之间的关系一定为( ) A．两个任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件

解析：选B．因为P(A)＋P(B)＝15＋13＝815＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．故选B． 2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( ) A．0．95 B．0．97 C．0．92 D．0．08 解析：选C．记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0．92． 3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A．110 B．310

C．710 D．35 解析：选C．“取出的2个球全是红球”记为事件A，则P(A)＝310．因为“取出的2个球不全是红球”为事件A的对立事件，所以其概率为P(A)＝1－P(A)＝1－310＝710． 4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1．49元，1．31元，2．19 元，3．40元，0．61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )

A．12 B．25

C．34 D．56 解析：选B．设事件A为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元”，甲、乙两人抢到红包的所有结果为{1．49，1．31}，{1．49，2．19}，{1．49，3．40}，{1．49，0．61}，{1．31，2．19}，{1．31，3．40}，{1．31，0．61}，{2．19，3．40}，{2．19，0．61}，{3．40，0．61}，共10种情况．其中事件A的结果一共有4种情况，根据古典概型概率计算公式，得P(A)＝410＝25，即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是25．故选B． 5．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A．15 B．25

C．16 D．18 解析：选B．如图，

在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝615＝25． 6．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是( )

A．12 B．13

C．14 D．18 解析：选C．易知过点(0，0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4个，由古典概型知概率为416＝14． 二、填空题 7．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 30 60 100 110 130 140

概率P 110 16 13 730 215 130

其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________． 解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P＝110＋16＋13＝35． 答案：35 8．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，若红球有21个，则黑球有________个．

解析：摸到黑球的概率为1－0．42－0．28＝0．3．设黑球有n个，则0.4221＝0.3n，故n＝15． 答案：15 9．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率为________． 解析：将2名男生记为A1，A2，2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1，A2A1共12种情况，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2这4种情况，则其发生的概率为412＝13． 答案：13 10．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________． 解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．

设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件N－表示“A1和B1全被选中”，由于N－＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(N－)＝212＝16，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P(N－)＝1－16＝56． 答案：56 三、解答题 11．如图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L1的人数 6 12 18 12 12

选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率； (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径． 解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0．44． (2)选择L1的有60人，选择L2的有40人， 故由调查结果得频率为 所用时间 (分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60

L1的频率 0．1 0．2 0．3 0．2 0．2 L2的频率 0 0．1 0．4 0．4 0．1 (3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6， P(A2)＝0．1＋0．4＝0．5， 因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1 ． 同理，P(B1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8， P(B2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9， 因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2． 12．根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于等于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2017年10月上旬的空气质量指数情况： 时间 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 269 (1)求10月上旬市民不适合进行户外活动的概率； (2)一外地游客在10月上旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率． 解：(1)该试验的基本事件空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，基本事件总数n＝10． 设事件A为“市民不适合进行户外活动”，则A＝{3，4，9，10}，包含基本事件数m＝4．所以P(A)＝410＝25， 即10月上旬市民不适合进行户外活动的概率为25． (2)该试验的基本事件空间Ω＝{(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，(8，9)，(9，10)}，基本事件总数n＝9， 设事件B为“适合连续旅游两天的日期”， 则B＝{(1，2)，(5，6)，(6，7)，(7，8)}，包含基本事件数m＝4， 所以P(B)＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49．

1．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“”表示未购买． 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁

100 √ √ √ 217 √ √ 200 √ √ √ 300 √ √ 85 √