函数展开成幂级数
简明微积分函数展开为幂级数
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！1
l lim| an1| lim(n1)!0 n an n 1
收敛半径 R 1 , n! l
收敛区间(为 ，)
对于任x、 何 (0有 1 限 ) 数
第五节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导
数，则称幂级数
f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n
为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6)
2 ! n !
间接展开法 利用一些已知的函数展开式、 幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积 分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级 数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项
Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂 就是函f (数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成 幂级
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1 x5 (1)n1 x2n1
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]
无穷级数-函数展开成幂级数
二项展开式:
m
m(m − 1) 2 (1 + x) = 1 + m x + x +L 2! m (m − 1)L(m − n + 1) n + x + L ( − 1 < x < 1) n!
注 1°在 x = ± 1处收敛性与 m 的取值有关 .
2° m 为正整数时, 得二项式定理: m ( m − 1) 2 m x +L + xm (1 + x ) = 1 + mx + 2!
(1 + x )F ′( x ) = mF ( x ),
F ( 0) = 1
x ∈ (−1,1)
∫0
x
x m F ′( x ) dx = ∫ d x， 0 1+ x F ( x)
ln F ( x ) − ln F (0) = m ln(1 + x ),
∴ F ( x ) = (1 + x )m ， x ∈ ( −1,1) m(m − 1) 2 m (m −1)L(m − n + 1) n F(x) = 1+ m x + x +L + x +L n! 2!
2° 麦克劳林级数
m ( m − 1) 2 m(m − 1)L(m − n + 1) n x +L+ x +L 1 + mx + n! 2! x ∈ (−1,1) an n+1 =1 R = lim = lim n→ ∞ a n + 1 n→ ∞ m − n
3° 设和函数为 F ( x ) , − 1 < x < 1 m 下证 : F ( x ) = (1 + x ) .
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式
设函数f(x)在一些展开点x=a处展开成幂级数，即
f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+a3(x-a)^3+...
其中a0、a1、a2...是展开系数，可以通过求导或其他数学方法求得。
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
其中n是展开到的项数，!表示阶乘。
这个展开式在整个实数集上都
收敛，可以表示e^x在任意点处的值。
以sin(x)为例
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... + (-1)^n *
x^(2n+1)/(2n+1)! + ...
这个展开式也在整个实数集上收敛，可以表示sin(x)在任意点处的值。
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ... + (-1)^(n-1)*
x^n/n + ...
这个展开式在，x，<1时收敛，可以表示ln(1+x)在(-1,1)范围内的值。
总结起来，函数的幂级数展开式是将一个函数展开成幂函数的形式的
级数，展开系数可以通过求导或其他数学方法求得。
幂级数展开能够在展
开点的一些邻域内或者整个实数集上收敛，可以表示函数在一些点或一些
范围内的值。
11-5函数展开成幂级数
an
f ( n) (0) n!
n 2k 0, ( k 0,1, 2, ) k ( 1) , n 2k 1 ( 2k 1)!
k 2k 1
x , 2 sin x ~ ( 1) ( 2k 1)! k 0
收敛半径 R .
3° x ( , ), 余项满足
?
答：不一定.
反例：
1 x2 , f ( x ) e 0,
x0 x0
且 f ( n ) (0) 0 ( n 0,1,2,) 在 x = 0点任意可导,
f ( x )的麦克劳林级数为 0 x
n 0 n
该级数在( ,)内收敛，且其和函数S ( x ) 0.
三、函数展开成幂级数的方法
展开方法
直接展开法 — 用泰勒公式
间接展开法 — 用已有展开式
1. 直接展开法
f ( x ) 展开成x的幂级数的步骤：
1º求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, · · ·; 2º 写出幂级数
n
f ( n ) ( 0) n x , 并求收敛半径 R ; n! n 0
例3 将
展开成 x 的幂级数
(m: 任意常数) .
解 1 f (0) 1, f (0) m ,
f (0) m( m 1) ,
f ( n ) (0) m( m 1)( m 2) ( m n 1) ,
2° 麦克劳林级数
m( m 1)( m n 1) n m( m 1) 2 F ( x ) 1 mx x x n! 2! x (1,1) an n1 R lim lim 1 n a n 1 n m n
12-5 函数展开成幂级数
f (x)在什么条件下能展开为幂级数; f (x) 的展开式在什么范围内成立; f (x) 的展开式是否唯一; f (x) 的展开式如何确定.
Ø引言
å 在收敛域内
¥
幂级数 an xn
n=0
求和 和函数
展 开?
例
ex
=1+ x +
x2
xn +!
+!(x Î R)
意义
2! n!
Ø研究问题
近似计算 理论研究
令
a0 = f (x0 )
令
a1 =
f ¢(x0 ) 1!
令
a2
=
f ¢¢(x0 ) 2!
令
an
=
f (n) (x0 ) n!
a0
=
f (x0 ), a1 =
f
¢( x0 1!
)
,
a2
=
f ¢¢(x0 ) , 2!
an
=
f (n) (x0 ) n!
f (x)能展开成(x-x0)的幂级数 ? f(x)在x0处有任意阶导数
成立,称上式为f (x)的泰勒展开式(x0=0时,称为麦克劳林展开式).
Ø定理
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 U(x0) 内具有各阶导数,
则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是:
在该邻域内f (x)的泰勒公式中的余项Rn( x)当 n ® ¥
时的极限为零,
即
lim
n®¥
x4
-!
( -1 < x £1)
二、函数展开成幂级数
（一）直接展开法 （二）间接展开法
二、函数展开成幂级数
（一）直接展开法 （二）间接展开法
人大微积分课件11-6函数展开成幂级数
需要考虑 1.如果能展开, a n 是什么?
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
二
泰勒级数
复习前面的两个公式 1.Toylor公式：
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 ) ( x x0 )
2
f ( x 0 ) 2!
( 1) 2! x
2
( n 0 ,1 , 2 , )
x
n
1 x
( 1) ( n 1) n!
lim
a n1 an
n n1
n
1,
R 1,
在 ( 1 ,1 ) 内,若
s( x ) 1 x ( 1) ( n 1) n!
x x0
n1
n0
( n 1 )!
n1
在 ( , ) 收敛
0,
lim
n
( n 1 )!
故 lim R n ( x ) 0 ,
n
x ( x0 R , x 0 R )
可展成点 x 0的泰勒级数.
三 函数展开成幂级数
1.直接法(泰勒级数法)
即 lim s n 1 ( x ) f ( x ), n
f ( x ) 的泰勒级数收敛于 f ( x ).
定理3
设 f ( x ) 在 U ( x 0 ) 上有定义, M 0 , 对
(n)
x ( x 0 R , x 0 R )恒有
| f
( x ) | M , n 0 ,1 ,
1 1 x
1 1 x
2
展开成 x 幂级数.
高等数学11-4函数展开成幂级数
1,
R 1,
牛顿二项式展开式
(1 x )
1 x
( 1) 2!
x
2
( 1)( n 1) n!
的取值有关
( 1 ,1 );
x
n
注意:
在 x 1 处收敛性与
1
收敛域为
. x (1,1)
1 1
i
R n ( x ) f ( x ) s n 1 ( x ), lim s n 1 ( x ) f ( x )
n
lim R n ( x ) lim [ f ( x ) s n 1 ( x )] 0 ;
n n
充分性
n
f ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
n
( f (x) =它的泰勒级数 证明
f (x)
f (x) 的泰勒公式中的余项趋于0)
,
必要性 设 f ( x )能展开为泰勒级数
i0
n
f
(i)
( x0 )
i!
( x x 0 ) R n ( x ) s n 1 ( x ) R n ( x ),
n0
f
(n)
( x0 )
n!
f
(n)
( x x 0 ) 称为 f ( x ) 在点 x 0 的泰勒级数.
n
n0
(0)
x 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数.
n
n!
问题
f ( x)
大学高数课件-函数展开成幂级数
f x0
( x0 2!
)
(
x
x0
)n Rn (x)
)2
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x 把 x 换成 x2 , 得
• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, ) • (1 x)m 1 mx m(m 1) x2
2! m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1)
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n
x2n (1
x
1)
例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
第四节 函数展开成幂级数
201第四节 函数展开成幂级数一、泰勒级数前面讨论了这样一个问题，对于给定的幂级数，求出其收敛域并确定其和函数的性质，并在可能时求出和函数的表达式。
这节我们讨论该问题的反问题：给定函数()x f ，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，即是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数()x f 。
（如果能够找到这样的幂级数，就说()x f 在该区间内可展开成幂级数。
）解决这个问题有很重要的应用价值，因为它给出了函数()x f 的一种新的表达方式，并使我们可以用简单函数——多项式来逼近一般函数()x f 。
在第三章中我们已经学过泰勒公式：若函数()x f 在点0x 的某一邻域内具有直到()1+n 阶的导数，则在该邻域内()x f 的n 阶泰勒公式：()()()()()() +-''+-'+=200000!2x x x f x x x f x f x f()()()()x R x x n x f n n n +-+00!(1)成立，其中()x R n 为拉格朗日型余项。
()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ（之间与在x x 0ξ）如果令00=x ，就得到马克劳林公式：()()()()()()()x R x n f x f x f f x f n nn +++''+'+=!0!20002（2）202此时，()()()()11!1+++=n n n x n x f x R θ（10<<θ）公式说明，任一函数只要有直到()1+n 阶的导数，就可等于某个n 次多项式与一个余项的和。
下列幂级数()()()()() +++''+'+nn x n f x f x f f !0!20002（3）我们称为马克劳林级数。
那么它是否以函数()x f 为和函数呢？ 若令马克劳林级数（3）的前1+n 项和为()x s n 1+，即()()()()()()nn n x n f x f x f f x s !0!200021++''+'+=+那么，级数（3）收敛于函数()x f 的条件为()()x f x s n n =+∞→1lim由马克劳林公式与马克劳林级数的关系，可知()()()x R x s x f n n +=+1于是，当()0lim =∞→x R n n 时，有()()x f x s n n =+∞→1lim 。
函数能展开成幂级数的条件(一)
函数能展开成幂级数的条件(一)函数能展开成幂级数的条件•在多项式上的连续性如果函数在某一点的定义域内有n阶连续导数，则该函数在该点处的泰勒级数收敛，并且收敛到该函数的值。
即该函数在该点处可展开成幂级数。
•在整个区间上足够光滑如果函数在某一区间上有无穷阶导数，则该函数在该区间上可展开成幂级数。
•柯西-阿达玛公式如果函数在其收敛半径内是解析的，则该函数可展开成幂级数。
•该函数在其收敛半径上是一致收敛的如果函数在其收敛半径上是一致收敛的，则该函数可展开成幂级数。
•拐点如果函数在某一点有拐点，则该点处的函数不能展开成幂级数。
•收敛半径若幂级数在x=a处收敛，则收敛半径为|a|。
因此，函数能否展开成幂级数不仅取决于函数自身的性质，还与展开点的位置有关。
小结函数能否展开成幂级数有一定的条件，需要函数在展开点及其周围区域内足够光滑。
同时也需要注意展开点的位置对于收敛半径等参数的影响。
这些条件和注意事项可以在实际使用中加以考虑，以更好地应用幂级数展开。
•事例例如函数f(x)=e−1x2，在x=0处不可展开成幂级数，因为其在x=0处有拐点，不满足展开条件。
又如f(x)=ln(1+x)，在x=−1处无法展开成幂级数，因为其展开点在其收敛半径上，不满足一致收敛的条件。
•应用幂级数展开在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理中，可以利用幂级数展开对于复杂的物理现象进行近似计算。
在工程中，可以通过幂级数展开得到准确的函数逼近，并利用其对于复杂的模型进行快速而准确的计算。
结语以上对于函数能展开成幂级数的条件做出了简单的介绍，希望能对于读者有所帮助。
在实际应用中，需要综合考虑多方面因素，以确保幂级数展开的准确性和稳定性。
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应注意的问题:
如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的 麦克劳林级数. 但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳 林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以 及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.
称为函数f(x)的泰勒级数. 麦克劳林级数 在泰勒级数中取x0=0, 得
f (0) 2 f (n) (0) n f (0) f (0) x x x , 2! n!
此级数称为f(x)的麦克劳林级数.
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一、泰勒级数
泰勒级数
f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )3 . , 2! 3!
| x |n 1 e , | Rn ( x) | =| x n 1 | < e| x| (n 1)! (n 1)!
| x |n 1 而 lim = 0 ,所以 lim | Rn ( x)|= 0 ,从而有展开式 n n (n 1)!
e x =1 x
1 2 1 x x n (<x<). 2! n!
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二、函数展开成幂级数
函数展开成幂级数的步骤 •第一步 求出f (x)的各阶导数: f (x), f (x), , f (n)(x), ; •第二步 求函数及其各阶导数在x=0 处的值: f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), ; •第三步 写出幂级数
麦克劳林级数
f (0) 2 f (n) (0) n f (0) f (0) x x x ., 2! n!
显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0). 需回答的问题是: 除了x=x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)?
定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零, 即
n
lim Rn (x) = 0 (xU (x0 )) .>>>
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定理证明
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展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它 一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0=0的某邻域(R, R)内能展开成x 的幂级数, 即 f(x)=a0a1xa2x2 anxn ,
f (0) 2 f (n) (0) n f (0) f (0) x x x , 2! n!
并求出收敛半径R; •第四步 考察在区间(R, R)内时是否Rn(x)0(n). 如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(R, R)内有展开式
f (0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) f (0) x x x (R<x<R). 2! n!
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例3 将函数f(x)=(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数. 解 f(x)的各阶导数为 f (x)=m(1x)m1, f (x)=m(m1)(1x)m2, f(0)=1, f (0)=m, f (0)=m(m1), , f (n)(0)=m(m1)(m2) (mn1), , 于是得幂级数 所以
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对应 m = 1 , 1 ,1 的二项展开式分别为 2 2
1 x = 1 1 2 x
1 2 4 1 3 2 4 x
2
1 3 246 1 3 5 246
x
3
1 3 5
2 4 6 8 ( 1 x 1) 1 3 5 7 2 4 6 8
f (n) (0) f (0) 那么有 a0=f(0), a1=f (0), a2 = , . , , an = n! 2!
提示: f (x)=a12a2x3a3x24a4x35a5x4 , f (n)(x)=n!an(n1)n(n1)2an1x ,
提示: 收敛半径的确定: 由1<x2<1得1<x<1.
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例6 将函数f(x)=ln(1x)展开成x的幂级数. 解 f(x)=ln(1x)
= [ln(1 x)]dx =
0 x
1 dx 0 1 x
x
n =0
= [
0
x
(1)n x n ]dx =
展开成幂级数.
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一、泰勒级数
复习 根据泰勒中值定理, 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各 阶导数, 则在该邻域内有泰勒展开
f ( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) ( x x0 )2 2!
§11.4 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
函 数 f(x) 是 否 能 在 某 个 区 间 内 “ 展 开 成 幂 级 数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某 区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果 能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该区间内能
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求幂级数展开式的间接展开法 例4 将函数f(x)=cos x展开成x的幂级数. 解 已知
2n 1 x3 x5 n 1 x sin x = x (1) (<x<). 3! 5! (2n 1)!
对上式两边求导得
2n x2 x4 n x cos x =1 (1) (<x<). 2! 4! (2n)!
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一、泰勒级数
泰勒级数
f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )3 . , 2! 3!
麦克劳林级数
f (0) 2 f (n) (0) n f (0) f (0) x x x ., 2! n!
(1<x<1).
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则 F ( x) = 1 m x m(m 1) x 2
2! F ( x) = m 1 m 1 1 x
为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F ( x) ,1 < x < 1
m( m 1) ( m n 1) n! (m 1) ( m n 1) (n 1) ! x
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一、泰勒级数
泰勒级数 如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数
f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )3 , 2! 3!
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例2 将函数f(x)=sin x展开成x的幂级数. (n) ( x) = sin( x n ) 解 f
解 因为
所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0, 1, (n=0, 1, 2, 3, ),
2n 1 x3 x5 n 1 x 于是得级数 x (1) , 3! 5! (2n 1)!
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例1 将函数f(x)=ex展开成x的幂级数. 解 显然 f (n)(x)=ex(n=1, 2, ), f (n)(0)=1(n=1, 2, ). 于是得级数
1 x 1 2 1 x x n , 2! n!
它的收敛半径R=. 对于任何有限的数x、 (介于0与x之间), 有
x
n
n 1
(1 x) F ( x) = mF (x), F (0) = 1 x F ( x ) x m 0 F ( x) d x = 0 1 x d x ln F ( x) ln F (0) = m ln(1 x)
F ( x) = (1 x)
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m
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注: 逐项求导所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径.
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例5 将函数 f (x) = 1 例5 解 已知
解 因为
1 x 2
展开成 x 的幂级数.
1 =1 x x 2 x n (1<x<1), 1 x
把x换成x2, 得
1 =1 x 2 x 4 (1)n x 2n (1<x<1). 1 x 2
f (n) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x) , n!
f (n1) ( ) (x x0 )n1 (介于 x 与 x0 之间). 其中 Rn ( x) = (n 1)!
等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数.
n
x
4
1 1 x
=1
1 2
x
x
2
x
3
x
4
( 1 < x 1)
= 1 x x x (1) x ( 1 < x < 1) 1 x