数学建模期末试卷A及答案
数学建模期末考试2018A试的题目与答案
数学建模期末考试2018A试的题⽬与答案华南农业⼤学期末考试试卷（A 卷）2012—2０１3学年第⼆学期考试科⽬：数学建模考试类型:(闭卷）考试考试时间: 12０分钟学号姓名年级专业⼀、(满分１2分）⼀⼈摆渡希望⽤⼀条船将⼀只狼、⼀只⽺、⼀篮⽩菜从河岸⼀边带到河岸对⾯、由于船得限制、⼀次只能带⼀样东西过河、绝不能在⽆⼈瞧守得情况下将狼与⽺放在⼀起；⽺与⽩菜放在⼀起、怎样才能将它们安全得带到河对岸去? 建⽴多步决策模型，将⼈、狼、⽺、⽩菜分别记为i = 1、２、3、４、当i 在此岸时记ｘｉ＝１、否则为0；此岸得状态下⽤s =（x 1、ｘ2、x 3、x 4)表⽰。
该问题中决策为乘船⽅案、记为d= （ｕ1， u ２， u 3, u ４)、当i 在船上时记u i = 1、否则记u i ＝ 0。
(１）写出该问题得所有允许状态集合；（3分）（２) 写出该问题得所有允许决策集合；（３分)(３) 写出该问题得状态转移率。
（3分)(4）利⽤图解法给出渡河⽅案、 (3分）解：（１） S={（1,1,1，1）， (1，1，1，0）， (1，1，0，1）, (1，0，１，1）,（1,0，1，０）｝及她们得5个反状（3分）(２） D ＝ {(１，1，０，０），（1,0，1，０), （1，0，０,１），（１,0,０,0）｝（6分)（3） s k+1 = s k + （—1） k d ｋ (９分)(4）⽅法:⼈先带⽺、然后回来、带狼过河、然后把⽺带回来、放下⽺、带⽩菜过去、然后再回来把⽺带过去.或: ⼈先带⽺过河、然后⾃⼰回来、带⽩菜过去、放下⽩菜、带着⽺回来、然后放下⽺、把狼带过去、最后再回转来、带⽺过去。
（１２分)1、⼆、(满分12分) 在举重⽐赛中、运动员在⾼度与体重⽅⾯差别很⼤、请就下⾯两种假设、建⽴⼀个举重能⼒与体重之间关系得模型:（1）假设肌⾁得强度与其横截⾯得⾯积成⽐例。
6分（2）假定体重中有⼀部分就是与成年⼈得尺⼨⽆关、请给出⼀个改进模型。
数学建模试卷及参考答案
数学建模试卷及参考答案一、选择题1. 已知函数 $y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$，求导数函数 $y'$ 的值。
A) $6x^2 - 10x + 3$\B) $6x - 10x^2 + 3$\C) $6x - 10x + 3$\D) $6x^2 - 10x^2 + 3$答案：A2. 设矩形的长为 $x$，宽为 $y$，满足 $x^2 + y^2 = 25$。
当矩形的面积最大时，求矩形的长和宽。
A) 长为 4，宽为 3\B) 长为 5，宽为 3\C) 长为 4，宽为 2.5\D) 长为 5，宽为 2.5答案：A3. 一条直线过点 $A(1,2)$ 和点 $B(3,-1)$，与另一条直线 $2x + y - 4 = 0$ 平行。
求该直线的方程。
A) $2x - y + 3 = 0$\B) $2x - y - 3 = 0$\C) $-2x + y - 3 = 0$\D) $2x - y - 5 = 0$答案：B4. 已知函数 $y = e^x$，求 $y$ 的微分值。
A) $e^x$\B) $e^x + C$\C) $e^x - C$\D) $C \cdot e^x$答案：A5. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，途中经过两座相距 60 公里的城市。
假设两座城市间有一辆以每小时90 公里的速度行驶的列车，两车同时出发。
求两辆车首次相遇的时间。
A) 0.5 小时\B) 1 小时\C) 1.5 小时\D) 2 小时答案：A二、填空题6. 已知函数 $f(x) = \sin(x)$，求函数 $g(x) = f^{\prime}(x)$。
答案：$g(x) = \cos(x)$7. 若直线 $3x + ky = 2$ 与直线 $2x - y = 3$ 相垂直，则 $k$ 的值为\_\_\_。
答案：$k = 6$8. 设抛物线 $y = ax^2 - 3x + 2$ 的顶点为 $(2,1)$，则 $a$ 的值为\_\_\_。
《数学建模》期末考试试卷三与参考答案
《数学建模》期末考试试卷 班级 姓名 学号一、某工厂生产A 、B 、C 三种产品，三种产品对于材料费用、劳动力和电力的单位消耗系数，资源限量和单位产品价格如下表。
模型。
并准确写出用LINGO 软件求解的程序。
（15分）二、用单纯形方法求如下线性规划问题的最优解。
（15分） S x x x x x x s t x x x x x x 123123123123max 32463590..345600,0,0=++++≤⎧⎪++≤⎨⎪≥≥≥⎩三、（20分）某工厂要安排A 、B 、C 三种产品生产，生产这些产品均需要三种主要资源：技术服务、劳动力和行政管理。
每件产品所需资源数、资源限量以及每单位产品利润如下表。
试确定这三种产品的产量使总利润最大，建立线性规划问题的数学模型。
现设置上述问题的决策变量如下：321,,x x x 分别表示A 、B 、C 、D 型产品的产量，则可建立线性规划模型如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++≤++++=0,0,03006226005410120.4610max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x S 利用LINGO10.0软件进行求解，得求解结果如下：Objective value: 800.0000 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 100.0000 0.000000 X3 0.000000 2.666667 Row Slack or Surplus Dual Price 1 800.0000 1.000000 2 0.000000 3.333333 3 0.000000 0.6666667 4 60.00000 0.000000（1）指出问题的最优解并给出原应用问题的答案；（2）写出线性规划问题的对偶线性规划问题，并指出对偶问题的最优解；（3）灵敏度分析结果如下：Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase Decrease X1 10.00000 5.000000 4.000000 X2 6.000000 4.000000 2.000000 X3 4.000000 2.666667 INFINITY Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 120.0000 30.00000 60.000003 600.0000 600.0000 120.00004 300.0000 INFINITY 60.00000对灵敏度分析结果进行分析四、给定四个因素判别的正互反矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12/12/14/1212/13/12212/14321A 用和法求出其最大特征值和对应的特征向量，给出按照A 所得到的排序向量。
数学建模期末考试2018A试的题目与答案
数学建模期末考试2018A试的题⽬与答案华南农业⼤学期末考试试卷（A卷）2012-2013学年第⼆学期考试科⽬：数学建模考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业⼀、(满分12分)⼀⼈摆渡希望⽤⼀条船将⼀只狼.⼀只⽺.⼀篮⽩菜从河岸⼀边带到河岸对⾯.由于船的限制.⼀次只能带⼀样东西过河.绝不能在⽆⼈看守的情况下将狼和⽺放在⼀起；⽺和⽩菜放在⼀起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建⽴多步决策模型,将⼈、狼、⽺、⽩菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下⽤s =（x1.x2.x3.x4）表⽰。
该问题中决策为乘船⽅案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。
(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）(3) 写出该问题的状态转移率。
（3分）(4) 利⽤图解法给出渡河⽅案. （3分）解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分）(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）(3) sk+1 = sk+ (-1) k dk（9分）(4)⽅法：⼈先带⽺.然后回来.带狼过河.然后把⽺带回来.放下⽺.带⽩菜过去.然后再回来把⽺带过去。
或: ⼈先带⽺过河.然后⾃⼰回来.带⽩菜过去.放下⽩菜.带着⽺回来.然后放下⽺.把狼带过去.最后再回转来.带⽺过去。
（12分）. .21、⼆、(满分12分) 在举重⽐赛中.运动员在⾼度和体重⽅⾯差别很⼤.请就下⾯两种假设.建⽴⼀个举重能⼒和体重之间关系的模型：（1）假设肌⾁的强度和其横截⾯的⾯积成⽐例。
6分（2）假定体重中有⼀部分是与成年⼈的尺⼨⽆关.请给出⼀个改进模型。
2024年数学建模a题
2024年数学建模a 题一、单选题1.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．103．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位5．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.306.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞7.袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．568．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]9.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.2525 5 D.511.已知双曲线C 的渐近线方程为230x y ±=，且C 经过点(6,22-，则C的标准方程为（ ）A. 221188x y -=B. 22194x y -= C. 221818y x -= D. 22149y x -=二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
数学模型 吕跃进 数学建模A试卷及参考答案
数学建模A试卷参考答案一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分）1、什么是数学模型？(5分)答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2、数学建模有哪几个过程？(5分)答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。
3、试写出神经元的数学模型。
答：神经元的数学模型是其中x＝（x1， (x)m）T输入向量，y为输出，wi是权系数；输入与输出具有如下关系：θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分）二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分）1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。
解释曲线为什么是你画的那种形状。
(5分)（2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。
根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。
(5分)答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间．（2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1．2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。
(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分)答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。
如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD 的中心为坐标系原点。
记 H 为脚A,C 与地面距离之和，G 为脚B,D 与地面距离之和，θ为AC连线与X轴的夹角，不妨设H(0)>0 , G(0)=0,(为什么?)令Xf(θ) = H(θ) - G(θ) 图二则f是θ的连续函数,且 f(0)=H(0)>0将方凳旋转 90°,则由对称性知H(π/2)=0, G(π/2)=H(0)从而 f(π/2)= -H(0) < 0由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使 f(θ) = 0(二)命题对长凳也成立，只须记 H 为脚A,B 与地面距离之和，G 为脚C,D 与地面距离之和，θ 为AC 连线与X 轴的夹角将θ旋转1800同理可证。
高中数学建模试题及答案
高中数学建模试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 数学建模的一般步骤不包括以下哪一项？A. 问题提出B. 模型假设C. 模型求解D. 数据收集答案：D2. 在数学建模中，模型的验证通常不包括以下哪一项？A. 模型的逻辑性检验B. 模型的适用性检验C. 模型的稳定性检验D. 模型的美观性检验答案：D3. 以下哪一项不是数学建模中常用的方法？A. 微分方程B. 线性规划C. 概率论D. 文学创作答案：D4. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的要素？A. 模型的假设B. 模型的变量C. 模型的参数D. 模型的结论答案：D5. 数学建模中，以下哪一项不是模型的分类？A. 确定性模型B. 随机性模型C. 静态模型D. 动态模型答案：C6. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的构建过程？A. 模型的假设B. 模型的建立C. 模型的求解D. 模型的发表答案：D7. 数学建模中，以下哪一项不是模型的分析方法？A. 数值分析B. 符号计算C. 图形分析D. 文字描述答案：D8. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的优化方法？A. 线性规划B. 非线性规划C. 动态规划D. 统计分析答案：D9. 数学建模中，以下哪一项不是模型的应用领域？A. 工程技术B. 经济管理C. 生物医学D. 音乐艺术答案：D10. 在数学建模中，以下哪一项不是模型的评估标准？A. 模型的准确性B. 模型的简洁性C. 模型的可解释性D. 模型的复杂性答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 数学建模的一般步骤包括：问题提出、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析、模型验证和______。
答案：模型报告2. 在数学建模中，模型的假设应该满足______、______和______。
答案：科学性、合理性、可行性3. 数学建模中，模型的求解方法包括解析方法和______。
答案：数值方法4. 数学建模中，模型的分析方法包括______、______和______。
数学建模期末考试2018A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012—2０１3学年第 二 学期 考试科目：数学建模考试类型:(闭卷）考试 考试时间: 12０ 分钟学号 姓名 年级专业一、(满分１2分） 一人摆渡希望用一条船将一只狼、一只羊、一篮白菜从河岸一边带到河岸对面、由于船得限制、一次只能带一样东西过河、绝不能在无人瞧守得情况下将狼与羊放在一起；羊与白菜放在一起、怎样才能将它们安全得带到河对岸去? 建立多步决策模型，将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1、２、3、４、当i 在此岸时记ｘｉ ＝ １、否则为0；此岸得状态下用s =（x 1、ｘ2、x 3、x 4)表示。
该问题中决策为乘船方案、记为d= （ｕ1， u ２， u 3, u ４)、当i 在船上时记u i = 1、否则记u i ＝ 0。
(１） 写出该问题得所有允许状态集合；（3分）（２) 写出该问题得所有允许决策集合；（３分)(３) 写出该问题得状态转移率。
（3分)(4） 利用图解法给出渡河方案、 (3分）解：（１） S={（1,1,1，1）， (1，1，1，0）， (1，1，0，1）, (1，0，１，1）,（1,0，1，０）｝及她们得5个反状（3分）(２） D ＝ {(１，1，０，０）， （1,0，1，０), （1，0，０,１），（１,0,０,0）｝（6分)（3） s k+1 = s k + （—1） k d ｋ (９分)(4）方法:人先带羊、然后回来、带狼过河、然后把羊带回来、放下羊、带白菜过去、然后再回来把羊带过去.或: 人先带羊过河、然后自己回来、带白菜过去、放下白菜、带着羊回来、然后放下羊、把狼带过去、最后再回转来、带羊过去。
（１２分)1、 二、(满分12分) 在举重比赛中、运动员在高度与体重方面差别很大、请就下面两种假设、建立一个举重能力与体重之间关系得模型:（1） 假设肌肉得强度与其横截面得面积成比例。
6分（2） 假定体重中有一部分就是与成年人得尺寸无关、请给出一个改进模型。
数学建模a题答案
葡萄酒的质量葡萄酒的质量即葡萄酒优秀的程度，它是产品的一种特性，且决定购买者的可接受性。
因此，葡萄酒能够满足人类需求的各种特性的总和即构成了它的质量。
葡萄酒质量属性主要指：复杂性、协调性以及能够激发消费者感情的能力；复杂性意味着葡萄酒有浓郁的令人愉快的香气与滋味，及它的潜力与精巧性。
协调性是指各种感官成分的结合是平衡的，每一种成分与其它成分相比，它的存在及其含量是非常适宜的，而且它的复杂性、颜色强度、香气、滋味、后味是稳定一致的。
影响质量的因素葡萄酒是葡萄的发酵产品，所以葡萄酒的质量取决于原料的质量、所采用的加工工艺及相应的陈酿技术。
影响质量的因素有：——品种及其适应性；——适宜于品种良好生长的生态条件（包括土壤、大气候、微区气候）；——原料的质量：包括葡萄的成熟度（糖酸及其平衡、酚类、香味成分的种类及其比例）、葡萄的新鲜度及健康卫生状况；——酿酒工艺：采用的酵母菌、浸渍方式与发酵时间，发酵温度，分离时间，压榨方式等；——陈酿技术：采用的贮藏容器及贮藏时间，是否带酒脚贮藏，瓶贮与否及时间长短等。
葡萄酒质量的评价葡萄酒质量的评价是人们为了反映葡萄酒的客观性而人为采取的一些方法，主要包括感官指标，理化指标，卫生指标。
感官指标包括葡萄酒的外观（颜色、浓度、色调、澄清度、气泡存在与否及持续性）；香气（类型、浓度、和谐程度）；滋味（协调性、结构感、平衡性、后味等）；典型性（外观、香气与滋味之间的平衡性）；感官指标是评价葡萄酒质量的最终及最有效的指标。
理化指标指由葡萄酒的成分（糖、酒精、矿物质元素、干浸出物、有机酸等）所构成的指标。
卫生指标指葡萄酒中的微生物（酵母菌、细菌、大肠杆菌）和一些对人体健康有影响的限量成分。
下面主要论述酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒的影响酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒质量的关系酿酒行业很多人把葡萄园作为葡萄酒厂的第一车间，这个比喻充分说明了原料质量对成品质量的重要性。
葡萄酒厂关注葡萄质量的主要理化指标是糖含量和干浸出物。
2021数学建模期末试卷A及答案
2021数学建模期末试卷A及答案2021《数学建模》期末试卷A考试形式：开卷考试时间：120分钟姓名：学号：成绩： ___ 1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。
2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k，销售速率为常数r，r?k。
在每个生产周期T内，开始一段时间（0边生产边销售，后一段时间（T0?t?T?t?T0））只销售不生产，存贮量q(t)的变化如图所示。
设每次生产开工费为c1，每件产品单位时间的存贮费为c2，以总费用最小为准则确定最优周期T，并讨论r??k和r?k的情况。
3．（10分）设x(t)表示时刻t的人口，试解释阻滞增长（Logistic）模型x?dx?r(1?)x?xm?dt?x(0)?x0?中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。
4．（25分）已知8个城市v0，v1，…,v7之间有一个公路网（如图所示），每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？（2）求出该图的一棵最小生成树。
5．（15分）求解如下非线性规划:Max z?x1?2x1?x2s.t. 0?x2?x1?2226．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x与合金的膨胀系数y之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：表2 xi 37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 yi xi yi 3.40 3.00 40.5 41.01.70 1.80 3.00 41.5 1.902.27 42.0 2.35 2.10 42.5 2.54 1.83 43.0 2.90 1.53试建立合金的膨胀系数y与两种金属成分所占的百分比之和x的模型。
7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。
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1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。
(1)模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息。
(2)模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、合理的假设，使问题的
主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。
(3)模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题
化为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。
4)模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出
进一步的简化或假设。
(5)模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。
(6)模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如
果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。
(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完
善。
2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。
设生产速率为常数k，销售速率为常数r，kr。
在每个生产周期T内，开始一段时间（00Tt）
边生产边销售，后一段时间（TtT0）只销售不
生产，存贮量)(tq的变化如图所示。设每次生产开工
费为1c，每件产品单位时间的存贮费为2c，以总费用最小为准则确定最优周
期T，并讨论kr和kr的情况。
单位时间总费用kTrkrcTcTc2)()(21，使)(Tc达到最小的最优周期)(2T21*rkrckc＝。
当kr时，rcc21*2T＝，相当于不考虑生产的情况；当kr时，*T，因为产量被
售量抵消，无法形成贮存量。
3．（10分）设)(tx表示时刻t的人口，
试解释阻滞增长（Logistic）模型
0)0()1(xx
xxxr
dt
dx
m
中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思
想。
t
——时刻；
)(tx
——t时刻的人口数量；
精选
可编辑
r
——人口的固有增长率；
m
x
——自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；
0
x
——初始时刻的人口数量
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。
且阻滞作用随人口数量增加而变大，从而人口增长率)(xr是人口数量)(tx的的减函数。
假设)(xr为)(tx的线性函数：
)0,0()(srsxrxr
，
其中，r称为人口的固有增长率，表示人口很少时（理论上是0x）的增长率。
当mxx时人口不再增长，即增长率0)(mxr，代入有mxrs，从而有
mxxrxr1)(
，
根据Malthus人口模型，有
0)0()1(xx
xxxr
dt
dx
m
4．（25分）已知8个城市v0，v1，…,v7之间有一个公路网（如图所示），
每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．
（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的
时间最短？
(1)0v到其它各点的最短路如下图：
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各点的父点如下：
v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
v0 v0 v0 v2 v3 v0 v5 v3
各点的最短路径及最短路长分别为：
v0: 0
v0→v1: 1
v0→v2: 2
v0→v2→v3: 3
v0→v2→v3→v4: 6
v0→v5: 4
v0→v5→v6: 6
v0→v2→→v3→v7: 9
(2)最小生成树如下图：
7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，
或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重
情况。
先把苹果编号1～12,把1～4和5～8放在天平两边:
（1）两边持平：就在9～12中,再把9和10放在天平两边,再平就在11或12中,若9
和10不平，则在9或10中；
（2）两边不平:假设1234重5678轻,则进行第二次称量125和349；若平了就在678
中且是轻的,再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的, 再称1与2即可；若
125轻349重,则坏的是5。
某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生
产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2
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小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小
时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？（建立模型
不计算）(10’)
解：（1）确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量
（2）确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大 max z=50x1+30x2
（3）确定约束条件：
4x1+3x2<120（木工工时限制） 2x1+x2>50（油漆工工时限制）
（4）建立的数学模型为：
max S=50x1+30x2
s.t. 4x1+3x2<120
2x1+ x2>50
x1, x2 >0