高中数学1-1集合的含义与表示同步检测北师大版必修1
高一数学北师大必修1：1《集合的含义与表示》
§1集合的含义与表示1 •列出满足“大于5而小于10〃的所有整数6、7、8、9・2•实数可以分为有理数、无理数；有理数可以分为整鑿、分数；整数可以分为正整数、负整数、零・3 •到一个定点的距离等于定长的点的集合是Jg—1 •集合的含义(1)一般地，指定的某些对象的命体称为集合.集合中的每个对象叫作这个集合的元素.(2)集合与元素的表示通常用大写字母A, B, C,…表示集合;通常用小写字母a, b, c,…表示集合中的元素.2 •元素与集合的关系3.常用数集及表示符号4.集合的表示方法列举法把集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法5.集合的分类1・''高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗?〃高个子〃是一个含糊不清的概念,具有相对性,多高才算高【提示】?同样地「小河流〃的〃小〃具体指什么,是流量还是长度?它们都没有明确的标准，也就是说,它们都是一些不能够确定的对象•因此,它们都不能构成集合.2・''由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有6个元素”这一说法是否正确？【提示】在1,2,2,4,2,1中，只有3个不同的埶对象）1,2,4 ,并且都是确定的不同对象•因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素.集合中元素的特性例已知集合人={1,0, a},若gA,【思路点拨］ 如果令2二1 , 0或“ ---求实数a 的值.【解析】(1)若Q二1 ,则a= ±1 ,当“ 1时，集合A中有两个相同元素1 ,舍去；当3= - 1时，集合A中有三个元素1,0 , - 1 ,符合.(2)若“2 二o ,贝h 二0 ,此时集合A中有两个相同元素0 ,舍去.(3)若a2 = a ,贝％ = 0或1 ,不符合集合元素的互异性，都舍去. 综上可知:a= - 1.题后感悟根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值, 再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验,特别是互异性,最易被忽略•另外,在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运甩变式训练 1 •判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)｛a, b, c, d｝与｛d, c, b, a｝是两个不同的集合；(2)集合｛1,*,£0.50,0.71｝中有5个元素；(3)0与1之间的全体无理数构成一个集合；(4)集合A=｛(1, 一3)｝与B = ｛( —3,1)｝是同一集合.【解析］⑴不正确.因为集合中的元素具有无序性,即对于元素不要求顺序/只要是相同几个元素即可,故｛" , b , c , d｝与｛d z c z b , a｝是两个相同的集合.(2)不正确.对于一个集合，它的元素是互异的z而j=0.50 z因此z此种表示不能构成集合•要想表示集合,应写作｛1, £ 0.71｝,含有4个元素.(3)正确•符合集合中元素的特性,它是一个无限数集.⑷不正确.A二｛(1 z - 3)｝表示的是由点(1 z - 3)组成的单元素点集，B二｛( -3,1)｝表示的是由点(・3,1)组成的单元素点集，而(1 ,・3)和(-3,1)是不同的两个点,因此A与B是不同的集合.元素与集合的关系例酥设集合A={xlx = 2k, keZ}, B = {xlx = 2k+1, kGZ}.若aWA, bGB,试判断a+b与A, B的关系.【思路点拨】因为A是偶数集z B是奇数集，所以a是偶数z b是奇数，从而a + b是奇数.【解析】*.aGA , /.a = 2k1(k i eZ)..*bGB , .*.b = 2k2 + l(k2^Z)..*.a + b 二2(k] + k2) + 1.又・k]十k2GZ ,.*.a + bGB ,从而a + b 毎A.题后感悟判断一个元素是不是某个集合的元素z就是判断这个对象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质,反之,如果一个元素是某个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质.2 •所给下列关系正确的个数是（）变式训练①71 ER；②盯毎Q；③OWN+；④1—41毎仃・A. 1 B. 2C. 3D. 4【解析】•・• 71是实数，是无理数，•••①②正确，N +表示正整数集,而0不是正整数；I ■ 41是正整数，二③④错误.【答案】B集合的表示方法例❸« 用适当的方法表示下列集合(1)比4大2的数；(2)方程x? + y2—4x + 6y+13 = 0 的解集；⑶不等式x-2>3的解的集合；(4)二次函数y = x2— 1图象上所有点组成的集合.［思路点拨］解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么,有限个还是无限个.【解析】（1）比4大2的数显然是6 ,故可表示为{6}.⑵方程x? + y2 - 4x + 6y + 13 = 0可化为(x - 2)2 + (y + 3)2 = 0・•・図=2 ・方程的解集为{Q #・3)}.〔y=_3(3)由x - 2>3 ,得x>5.故不等式的解集为{xlx>5}.(4)''二次函数y = x2 -啲图象上的点"用描述法表示为{(x z y)ly = x2-l}.(1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存题后感悟在明显规律的集合,可采用列举法•应用列举法时要注意：①元素之间用“，〃而不是用〃、〃隔开;②元素不能重复;③不考虑元素顺序.(2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.变式训练 3 •用适当的方法表示下列集合⑴二元二次方程组蔭孑的集合;⑵大于4的全体奇数组成的集合；(3)A=｛(x, y)lx+y = 3, xGN, yGN｝；⑷一次函数y=2x+1图象上所有点组成的集合.【解析】⑴列举法:｛(0,0) z (1,1)｝；⑵描述法：｛xlx = 2k+ 1 z k>2 z kEN｝；(3)列举法：因为xWN z yGN , x + y 二3 ,所以A 二{(0,3) z (1,2) z (2,1) , (3,0)}；⑷描述法:{(x z y)ly二2x + 1 }・1•集合的概念可以从以下几个方面来理解(1)集合是一个“整体";(2)构成集合的对象必须具有“确定"且“不同"这两个特征.这两个特征不是模棱两可的.判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合.2.对集合中元素三个特性的认识(1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的•即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的•要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的•如方程(x— 1尸=0的解构成的集合为｛1｝,而不能记为｛1,1｝.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素.(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合｛a, b, c｝与｛b, a, c｝是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系.【注意】集合中元素的互异性在解题中经常用到•如已知两个集合的关系, 求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性.3.使用描述法必须注意(1)写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是什么：是数，或是有序实数对(点人或是集合，或是其他形式；(2)准确说明集合中元素的共同特征；(3)所有描述的内容都要写在集合符号内，并且不能出现未被说明的字母.但是，如果从上下文的关系看，表示代表元素的范围，女RxER是明确的，则xWR可以省略，只写其元素x；(4)用于描述的语句力求简明、准确，多层描述时，应准确使用“且"、“ 或”等表示描述语句之间关系的词.下列说法：①集合｛xGNIx3 = x｝用列举法表示为｛— 1,0,1｝；②实数集可以表示为｛xlx为所有实数｝或決｝；③方程组卜+尸3的解集为仪=1, y = 2｝・ [x—y= —1其中正确的有（)A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【错解】A【错因] 对于描述法表示集合z—应清楚符号"｛Xlx的属性｝〃表示的是所有具有某种属性的X的全体z而不是部分；二应从代表元素入手,弄清楚代表元素是什么.【正解】①由X? = X ,即x(x2 - 1) = 0 ,得X = 0或X = 1或X = - 1 ,因为・1 N z故集合｛xWNIx3二X｝用列举法表示应为｛0,1｝・②集合表示中的符号"｛｝〃已包含”所有”、”全体”等含义，而符号〃R〃已表示所有的实数，正确的表示应为｛xlx为实数咸R③方程组匸二的解是有序实数对,x — y———1 而集合｛x=l z y二2｝表示两个方程的解集, 正确的表示应为｛(1,2)｝或｛(x, y)^二;｝【答案】 D 1 y_2 J1•下列关系中，正确的个数为（）①g GR；② Q；③ 1 — 31 N；A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B2•已知A={xl3-3x>0},则下列各式正确的是（④i-ieQ.A.3GAB.1GAC.OGAD.-l G A【解析】集合A表示不等式3 - 3x>0的解集.显然3,1不满足不等式，而0 , -1满足不等式，故选C.【答案】c3•已知集合A={1, a?},实数a不能取的值的集合是【解析】由互异性知再1 ,即aM±l ,故实数a不能取的值的集合是{1; -1}.【答案】{1，-1}4 •以方程x2 —2x —3 = 0和方程x2—X—2=0的解为元素的集合中共有多少个2•已知A={xl3-3x>0},则下列各式正确的是（）元素? 【解析】••方程x? - 2x - 3二0的解是X]二-1 z X2 = 3 ,方程Q - X - 2二0的解是X3 = - 1 / X4=2,・•・以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为-],2,3 ,共有3个元素.。
1.1.1 集合的概念与表示(北师大版2019必修第一册)分册训练解析版
1.1.1集合的概念与表示分层练习基础巩固一、单选题1．已知M 是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ） A ．{x |x =1} B ．{x |x =2} C ．{1，2} D ．{1，2，3}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成， 所以{}1,2,3M =. 故选：D2．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人 C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义分析判断即可. 【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于C ，π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位， 不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合； 故选：D.3．已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据,x A x B ∈∈，所以x y -可取1,0,1-，即可得解. 【详解】由集合{}0,1A =，{},B x y x A y A =-∈∈， 根据,x A y B ∈∈， 所以1,0,1x y -=-， 所以B 中元素的个数是3. 故选：C4．已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（ ） A ． {}0,1 B ． {}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D 【解析】 【分析】通过解方程进行求解即可. 【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =， 所以{}1,0,1A =-， 故选：D5．给出下列四个关系：π∈R ， 0∉Q ，0.7∈N ， 0∈∅，其中正确的关系个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系. 【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集， ∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅， ∴正确的个数为1 . 故选:D .6．已知{1}A x x m =∈-<Z ∣，若集合A 中恰好有5个元素，则实数m 的取值范围为（ ）A ．4<m ≤5B ．4≤m<5C ．3≤m<4D ．3<m ≤4【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出集合A ，进一步得到m 的范围. 【详解】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-，可得3<m ≤4. 故选：D 二、多选题7．给出下列说法，其中正确的有（ ） A ．中国的所有直辖市可以构成一个集合；B ．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；C ．正偶数的全体可以构成一个集合；D ．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的确定性依次判断每个选项得到答案. 【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A 正确；高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B 错误； 正偶数的全体可以构成一个集合，C 正确；大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D 错误. 故选：AC.8．已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值可能是（ ）A ．98B ．1C ．0D ．23【答案】AC 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合A 有且只有一个元素求得a 的值. 【详解】当0a =时，{}2|3203A x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意.当0a ≠时，9980,8a a ∆=-==，符合题意.故选：AC 三、填空题9．用符号∈或∉填空：3.1___N ，3.1___Z ， 3.1____*N ，3.1____Q ，3.1___R . 【答案】 ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ 【解析】 【分析】由元素与集合的关系求解即可 【详解】因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数， 所以有：3.1N ∉；3.1Z ∉；*3.1N ∉；3.1Q ∈；3.1R ∈. 故答案为：∉，∉，∉，∈，∈.10．设集合{}1A x xy xy =-，，，其中x ∈Z ，y Z ∈且0y ≠，若0A ∈，则A 中的元素之和为_____. 【答案】0 【解析】 【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解. 【详解】因为0A ∈，所以若0x =，则集合{}0,0,1A =-不成立．所以0x ≠． 若因为0y ≠，所以0xy ≠，所以必有0xy -1=，所以1xy =． 因为x ∈Z ，y Z ∈，所以1x y ==或1x y ==-． 若1x y ==，此时{}1,1,0A =不成立，舍去．若1x y ==-，则{}1,1,0A =-，成立．所以元素之和为1100-+=． 故答案为：0. 四、解答题11．设集合{}22,3,42A a a =++，集合{}20,7,42,2B a a a =+--，这里a 是某个正数，且7A ∈，求集合B ． 【答案】B ＝{0，7，3，1}． 【解析】 【分析】解方程2427a a ++=即得解. 【详解】解：由题得2427a a ++=， 解得1a =或5a =-. 因为0a >，所以1a =. 当1a =时， B ＝{0，7，3，1}. 故集合B ＝{0，7，3，1}．12．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m 的同学． 【答案】(1)能；有限集； (2)能；无限集； (3)能；有限集. 【解析】 【分析】根据集合的基本概念即得. (1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集； (2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集； (3)因为我们班身高大于1.7m 的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m 的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m 的同学是有限的，故该集合为有限集.培优提升一、单选题1．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =， 所以{0,1,2}A B ⊗=--， 故集合A B ⊗中的元素个数为3， 故选：C.2．若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =. 故选：A.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A ．4∈M B ．2M ∈ C ．0M ∉ D ．4M -∉【答案】A 【解析】【分析】分别对x ，y ，z 的符号进行讨论，计算出集合M 的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论；①、x y 、、z 全部为负数时，则xyz 也为负数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=-； ②、x y 、、z 中有一个为负数时，则xyz 为负数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ③、x y 、、z 中有两个为负数时，则xyz 为正数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ④、x y 、、z 全部为正数时，则xyz 也正数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； 则{4,0,4}M =-；分析选项可得A 符合． 故选：A. 二、填空题4．集合12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，的元素个数为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据集合得表示可知：3x + 是12的因数，即可求解. 【详解】由12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，可知，3x + 是12的因数，故31,2,3,4,6,12x +=±±±±±± ，进而可得x 可取0,1,3,9,1,2,4,5,6,7,9,15--------，故答案为：125．若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________． 【答案】{}0,1##{}1,0 【解析】 【分析】讨论集合A 中的条件2210ax x -+=属于一次方程还是二次方程即可求解. 【详解】①若0a =，则210x -+=，解得12x =，满足集合A 中只有一个元素，所以0a =符合题意；②若0a =/，则2210ax x -+=为二次方程，集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆，解得1a =.故答案为：{}0,1. 三、解答题6．已知{}2|20,R M x ax x x =-+=∈．根据下列条件，求实数a 的值构成的集合．(1)当M =∅；(2)当M 是单元素集（只含有一个元素的集合）； (3)当M 是两个元素的集合. 【答案】(1)1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)1,08⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)1,08a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）由判别式小于0可得（方程为一元二次方程）； （2）由二次项系数为0或一元二次方程的判别式为0柯得； （3）由方程为一元二次方程，且判别式大于0可得． (1)M =∅，180a ∆=-<，18a >，所以a 的范围是1(,)8+∞；(2)0a =时，{2}M =，满足题意，180a ∆=-=，18a =，此时{4}M =，满足题意，(3)由题意方程有两个不等实根，0a ≠且0∆>，解得18a <且0a ≠，所以a 的范围是1{|8a a <，0}a ≠．拓展创新1．已知集合2{,}A m m =，若1A ∈，则实数m 的值是__________ 【答案】1-【解析】 【分析】由1A ∈，分1m =，21m =两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解 【详解】 由题意，1A ∈（1）若1m =，则{1,1}A =，和集合中元素的互异性矛盾，不成立； （2）若21m =，则1m =±，由（1）1m ≠ 若1m =-，则{1,1}A =-，1A ∈，成立 故实数m 的值是1- 故答案为：1- 2．已知*k N ∈，记集合{1101100112222,1,,,,01}k k k k k k k A x x a a a a a a a a ---==⨯+⨯++⨯+⨯==或，例如{{}110102,1,01}2,3A x x a a a a ==+===或，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A 2的各元素之和，则该游戏的激活码为________． 【答案】22 【解析】 【分析】由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1，由此求得集合{}24,5,6,7A =，故而可得答案. 【详解】解：由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1， 所以当100a a ==时，41+0+04x =⨯=； 当1010a a ==，时，41+21+06x =⨯⨯=； 当1001a a ==，时，41+20+115x =⨯⨯⨯=， 当1011a a ==，时，41+21+117x =⨯⨯⨯=，所以{}24,5,6,7A =，该游戏的激活码为4+5+6+722=， 故答案为：22.3．已知集合{}0,2A =，()()(){}21110B x ax x x ax =---+=，用符号A 表示非空集合A中元素的个数，定义,,A B A BA B B A A B ⎧-≥=⎨-<⎩※，若1A B =※，则实数a 的所有可能取值构成集合P ，则P =______．（请用列举法表示） 【答案】{}0,1,2- 【解析】 【分析】由集合的新定义结合题意求出a 的值，再用列举法表示即可 【详解】∵2A =，1A B =※， ∴1B =或3B =， 当1B =时，0a =或1a =.当3B =时，()()()21110ax x x ax ---+=有3个解，所以210x ax -+=只有一个解不为1和1a， 则240a ∆=-=，解得2a =±，当2a =时，2210x x -+=，则此时1x =，不符合题意； 当2a =-时，2210x x ++=，则此时1x =-，符合题意； 所以2a =-，11,,12B ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，故{}0,1,2P =-. 故答案为：{}0,1,2-．4．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数：定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C B C A -≥⎧=⎨->⎩，若{1,2}A =，{}22()(2)0,B x x ax x ax x R =+++=∈，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，S =__________； 【答案】{0,22,2}- 【解析】 【分析】根据新定义得出集合B 中元素个数，再由方程根的个数分析求解． 【详解】由已知()2C A =，而*1A B =，则()1C B =或3，试卷第11页，共11页 11显然22()(2)0x ax x ax +++=的一个解是0x =， 若()1C B =，则0a =，满足题意；若()3C B =，则0a ≠，方程已有两个根0x =和x a =-，220x ax ++=有两个相等的实根且不为0和a -，280a ∆=-=，22a =±22a =220x ax ++=的解为342x x ==- 22a =-220x ax ++=的解为342x x ==．均满足题意． 综上{0,2,22}S =-． 故答案为：{0,2,2}-．12 试卷第12页，共1页。
高中数学 1-1集合的含义与表示 北师大版必修1
4．要注意从实际出发，从感性认识提高到理性认识；要 注意运用对比的方法，反复比较几个意义相近或有从属关系 的概念，要注意结合直观图形来说明较抽象的概念和性质； 要注意将知识的学习和能力的培养紧密结合起来；努力在知 识发生的过程中和运用知识解决问题的过程中提高自己的能 力．
§1 集合的含义与表示
学习方法指导 思路方法技巧 课堂巩固训练
(2)一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对 象的全体，而非个别对象．例如对于集合{x∈R|x≥0}，就是 指“所有不小于 0 的实数”，而不是指“x 可以在不小于 0 的 实数范围内取值”，也不是指“x 是不小于 0 的一个实数或某 些实数”，也不是指“x 是不小于 0 的任一实数值”…….
一、集合与元素 1．对集合概念的理解 . 集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念 应注意以下几点： ①集合是一个“整体”． ②构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的．其 中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个 特征不是模棱两可的；“不同”是指构成集合的各个对象互 不相同．
3．无序性：组成集合的元素没有次序，如集合{1,2,3}和 {3,2,1}表示同一个集合．
给定一个集合，它的元素必须具有确定性和互异性，这 是判定某些对象是否构成集合的标准．
三、集合的表示 1．列举法 列举法是把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的 方法．使用列举法时，必须注意以下几点：
(1)元素与元素之间必须用“，”隔开；(2)集合的元素必 须是明确的；(3)不必考虑元素出现的先后顺序；(4)集合的元 素不能重复；(5)集合的元素可以表示任何事物；(6)对含有较 多元素的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，可 用列举法表示，但是必须把元素间的规律，显示清楚后，才 能用省略号表示，如 N＋＝{1,2,3，…}．
北师大版高中数学必修一集合的含义与表示.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作集合的含义与表示1、若集合A={x ∈R|ax 2+ax+1=0}中只有一个元素,则a 等于( )A.4B.2C.0D.0或42．若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则实数k 的值是 ( )A.-2B.-2或-1C.2或-1D.±2或-13、设集合{}21,A x x k k Z ==+∈,5a =，则有（ ）A.∈a AB.-∉a AC.{}∈a AD.{}⊇a A4、已知集合A={x|x(x-a)<0},且1∈A,2∉A,则实数a 的取值范围是( )A.1≤a ≤2B.1<a<2C.1<a ≤2D.1≤a<25．已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A ⊆B,则a 等于( )A.1B.0C.-2D.-36．已知集合A={x|x ≥0},B={0,1,2},则( )A.A ⊆BB.B ⊆AC.A ∪B=BD.A ∩B=∅7．已知集合M ＝{a ，b ，c }，集合N 满足N ⊆M ，则集合N 的个数是( )．A ．6B ．7C ．8D ．98．A={}{}2(,)||1|(2)0,1,,1,2x y x y B o ++-==-，则（ ）A.A ⊇BB.A ⊆BC.A ∈BD.A ⋂B=∅9．已知集合}012|{2=+-=x ax x A 有且只有一个元素，则a 的值的集合．．(．用列．．举法表示．．．．)．是 . 10．已知全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，集合A ＝2|1x x x n Z n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭＝，、－， 则∁U A ＝________．11．现有含三个元素的集合，既可以表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________．12．已知集合{a|0≤a<4，a∈N}，用列举法可以表示为________13．已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}且1∈A，求实数a 的值．14．集合A ＝{x|－2≤x≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．15．已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R}．(1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来；(3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．16．已知集合}121{+≤≤+=a x a x P ，集合}52{≤≤-=x x Q（1）若3a =，求集合()R C P Q ⋂; （2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围参考答案1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．B7．C 8．D 9．{0，1} 10．{0} 11．－112．{}0,1,2,3 13．a ＝0 14．（1）m≤3（2）m ＜2或m ＞415．（1）98（2）23（3）a≥98或a ＝0. 16．(1)(){|24}R C P Q x x ⋂=-≤<;(2)a 的取值范围为(,2]-∞-。
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点
北师大版高一数学必修1第一单元集合的含义与表示常见考点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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北师大版高中数学必修一学同步课堂名师章节精讲集合的含义与表示Word
[读教材·填要点]1．集合的含义与标记一般地，指定的某些对象的全体称为集合，常用大写字母A，B，C，D，…标记．2．元素的定义、标记与特性(1)定义与标记：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，常用小写字母a，b，c，d，…标记．(2)特征：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．3．元素与集合的关系4．常见集合的符号表示5．集合的常用表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法．(2)描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．这种用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫作描述法．6．集合的分类按所含元素的个数分为：(1)有限集：含有限个元素的集合．(2)无限集：含无限个元素的集合．(3)空集∅：不含有任何元素的集合．[小问题·大思维]1．通过对集合含义的学习，你认为“我们班中聪明的同学”，“时尚的同学”，“所有的小河”，“很小的数”能组成一个集合吗？为什么？提示：不能，因为没有明确的标准．2．下列关系正确吗？①0∈N＋，②π∈R，③1∈Q，④0∈Z，⑤0∈N.提示：②③④⑤正确．3．你认为列举法和描述法分别适合表示什么特点的集合？提示：一般地，列举法适合表示有限集合(当元素个数不太多时)，描述法适合表示无限集或其元素不宜一一列举的集合．[研一题][例1](1)判断下列各组对象能否构成一个集合，如果能表示一个集合，判断它是有限集，还是无限集．①申办2012年奥运会的所有城市；②参加2013年全运会的所有省份；③2010年上海世博会的所有展馆；④大于0且小于1的所有的实数．(2)若集合M＝{0,1，x，x3}，则x应满足的条件是()A．x≠0B．x≠1C．x≠0且x≠1 D．x≠0且x≠±1[自主解答](1)①申办2012年奥运会的是几个确定的不同的城市，能构成集合，且为有限集；②参加2012年全运会的所有省份是确定的，能组成集合，且为有限集；③2010年上海世博会上的展馆是确定的，能组成集合，且为有限集； ④能构成集合，是无限集．(2)由集合M 的表示方法可知，该集合含有4个元素，这4个元素应互不相等． 由集合中元素的互异性，知⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≠1，x ≠x 3，x 3≠0，x 3≠1，解得x ≠0且x ≠±1.答案为D.[悟一法]利用集合中元素的三个基本特征，一方面可以利用确定性，判断一些对象是否能构成集合，另一方面可以利用确定性、互异性，解决与集合有关的问题．[通一类]1．给出下列说法：①所有中国的直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可构成一个集合； ③正偶数的全体可构成一个集合；④大于2 011且小于2 012的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填写序号)解析：①③正确，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，所以②错误；大于2 011且小于2 012的所有整数可构成集合，所以④错误．答案：①③2．由实数x 2，1，0，x 所组成的集合里最少有________个元素． 解析：若x 2＝x ＝1，即x ＝1，则集合中有2个元素．若x 2＝x ＝0，即x ＝0，则集合中也有2个元素，故集合里最少有2个元素． 答案：2[研一题][例2] 集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A ，B 中x ∈R ，y ∈R ), 选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD．(3，10)∈A，且2∈B[自主解答]集合A中元素y是实数，不是点，故只B、D不正确；集合B的元素(x，y)是点而不是实数，所以A不正确，选项C经验证正确．[答案] C[悟一法](1)判断一个元素是不是某个集合的元素就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征，若具有共同的特征，则属于这个集合，否则不属于．(2)当集合是用列举法表示时，若某一元素属于该集合，则该元素与集合中的某一元素相等，解决此问题时要注意集合中元素的互异性，故求解后要检验．[通一类]3．已知6∈{2，4，x，x2＋x}，则x等于()A．2 B．6C．2或6 D．－3或6解析：当x＝6时，集合为{2，4，6，42}；当x2＋x＝6，即x＝2或x＝－3，易知x＝2不合题意；当x＝－3时，集合为{2，4，－3，6}所以a＝6或－3.答案：D4．用符号∈或∉填空．(1)23________{x|x＜11}，2＋5________{x|x≤2＋3}．(2)3________{x|x＝n2＋1，n∈N}，(－1，1) ________{y|y＝x2}．(3)设x＝13－52，y＝3＋2π，M＝{m|m＝a＋b2，a∈Q，b∈Q}，则x________M，y________M.解析：(1)23＝12＞11.2＋5＝（2＋5）2＝7＋210＜7＋212＝（2＋3）2＝2＋ 3.∴填∉，∈.(2)设n2＋1＝3，n＝±2∉N，∴填∉.把(－1，1)代入y＝x2成立，但(－1，1)是有序实数对，而{y|y＝x2}是y的取值集合，∴填∉.(3)x＝13－52＝－341－5241，－341∈Q，－541∈Q.∴x∈M.∵πQ，∴y M.∴填∈，.答案：(1)∈(2)∈(3)∈[研一题][例3] 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于16的质数组成的集合A ； (2)方程x 2－2x ＋1＝0的解组成的集合B ；(3)平面直角坐标系中直线y ＝x 上的点组成的集合C ； (4)所有被3除余1的整数组成的集合D ； (5)E ＝{}（x ，y ）|x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋；(6)F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫61＋x ∈Z |x ∈N .[自主解答] (1)大于2且小于16的质数有3，5，7，11，13，故A ＝{}3，5，7，11，13； (2)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的解1，故B ＝{1}；(3)平面直角坐标系中直线y ＝x 上的点组成的集合是点集，故C ＝{}（x ，y ）|y ＝x ，x ∈R ； (4)这一集合中元素的属性为被3除余1且为整数，所以D ＝{}x |x ＝3n ＋1，n ∈Z . (5)∵x ＋y ＝4，x ∈N ＋，y ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. ∴E ＝{}（1，3），（2，2），（3，1）； (6)∵61＋x∈Z ，且x ∈N ， ∴1＋x ＝1，2，3，6. ∴x ＝0，1，2，5. 即61＋x＝6，3，2，1. ∴F ＝{}6，3，2，1.[悟一法](1)当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：①元素之间必须用“，”隔开；②集合的元素必须是明确的；③不必考虑元素出现的先后顺序；④集合中的元素不能重复；⑤集合中的元素可以是任何事物．(2)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．[通一类]5．给出下列说法：①在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy ＞0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{－2，2}； ③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与{x |y ＝1－x }是同一集合． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：在直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)， 即解集为{(2，－2)}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2}，故②不正确；集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，一个是实数对，一个是实数，故这两个集合不相同．③不正确．答案：A已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．[错解] 由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得：a ≤－1，[错因] 涉及关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的问题，易误认为其一定是关于x 的一元二次方程，即a ≠0，而丢掉二次项系数a ＝0的情况，导致错误，解决这类含参数的问题，一定要注意二次项，一次项系数是否为0的情况．[正解] 当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意．当a ≠0时，则关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程．由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1.综上可得，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}．1．下列各组对象中能构成集合的是( )A ．2013年中央电视台春节联欢晚会中吸引观众的演员B ．某校高一年级高个子的学生 C.2的近似值D ．2013年全国经济百强县 答案：D2．给出以下结论：①{2，4，6，8}与{4，8，2，6}是同一集合；②{y |y ＝x 2，x ∈R }与{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }是同一集合； ③{0，1}与{(0，1)}是不同集合． 其中正确的结论个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①正确；②中的两个集合不是同一集合，元素不一样；③中的两个集合也不是同一集合，也是元素不一样．答案：C3．给出下列关系：①12∈R ；②2Q; ③|－3|N ＋；④ |－3|∈N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由元素与集合的关系知①②正确，③④错误． 答案：B4．集合A ＝{x |mx 2＋2x ＋2＝0}中只有一个元素，则m 的值构成的集合为________． 解析：当m ＝0时，A ＝{－1}满足题意，当m ≠0时，由Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，A ＝{－2}，满足题意，综上可知，m ＝0，12.∴m 的值构成的集合为{0，12}．答案：{0，12}5．设A ＝{x －2，2x 2＋5x ，12}．若－3∈A ，则x ＝______． 解析：由题意可知：x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.当x －2＝－3时，x ＝－1，把x ＝－1代入集合A 中，x －2＝2x 2＋5x ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去．当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－32满足已知条件(x ＝－1舍去)，所以x ＝－32.答案：－326．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于3的整数组成的集合； (2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图像上所有点组成的集合．解：(1)绝对值不大于3的整数是－3，－2，－1，0，1，2，3，共有7个元素，用列举法表示为{－3，－2，－1，0，1，2，3}；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为{53，－2}；(3)一次函数y ＝x ＋6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．一、选择题1．下列四个关系式中，正确的是( ) A ．∈{a } B ．a {a }C ．a ∈{a ，b }D ．{a }∈{a ，b }答案：C 2．有下列说法：(1)0与{0}表示同一个集合；(2)由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； (3)方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； (4)集合{x |4<x <5}是有限集． 其中正确的说法是( ) A ．只有(1)和(4) B ．只有(2)和(3) C ．只有(2)D ．以上四种说法都不对解析：0∈{0}；方程(x －1)2(x －2)＝0的解集为{1，2}；集合{x |4<x <5}是无限集，只有(2)正确．答案：C3．(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．下面六种表示法：①{x ＝2，y ＝1}；②{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1}；③{(2，1)}；④(－1，2)；⑤{2，1}；⑥{(x ，y )|x ＝2，或y ＝1}．能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解集是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②③D ．②③⑥解析：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝1的解是一对有序实数，即是一个点，因此解集应是一个点的集合．用列举法表示为{(2，1)}，用描述法表示为{(x ，y )}|x ＝2，且y ＝1}或{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1}．①和⑤是列举法，①中代表两个方程，而不是一个点，⑤中代表两个数．⑥为描述法，但⑥中元素是无数个点，表示两条直线x ＝2及y ＝1上的所有点．④不是集合．答案：C 二、填空题5．若A ＝{－2，2，3，4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝__________． 解析：由已知B ＝{4，9，16}． 答案：{4，9，16}6．已知集合M ＝{a |a ∈Z ，且65－a ∈N ＋}，则M ＝______．解析：5－a 整除6，故5－a ＝1，2，3，6， 所以a ＝4，3，2，－1. 答案：{4，3，2，－1}7．已知含有三个实数的集合既可表示成{a ，ba ，1}，又可表示成{a 2，a ＋b,0}，则a 2 012＋a 2 013＝________.解析：依题意b ＝0，∴{a ，ba，1}＝{a,0,1}，{a 2，a ＋b,0}＝{a,0，a 2}，于是a 2＝1，∴a ＝－1或a ＝1(舍去)，故a ＝－1， ∴a 2 012＋a 2 013＝0. 答案：08．集合A ＝{x |x 2＋ax －2≥0，a ∈Z }，若－4∈A ，2∈A ，则满足条件的a 组成的集合为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧16－4a －2≥0，4＋2a －2≥0，解得－1≤a ≤72.又∵a ∈Z ，∴满足条件的a 组成的集合为{－1，0，1，2，3}． 答案：{－1，0，1，2，3} 三、解答题9．设集合A 含有3个元素a 2＋2a －3，2，3，集合B 含有2个元素2，|a ＋3|，已知5∈A 且5∉B ，求a 的值．解：因为5∈A ，所以a 2＋2a －3＝5， 解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|a ＋3|＝5，不符合题意，应舍去． 当a ＝－4时，|a ＋3|＝1，符合题意，所以a ＝－4. 10．数集A 满足条件：若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a ∈A .(1)若2∈A ，写出A 中的两个元素； (2)若A 为单元素集合，求出A 和a . 解：(1)若a ∈A ，a ≠－1，则11＋a∈A ， ∴当2∈A 时，11＋2＝13∈A ；当11＋a＝2即a ＝－12时，2∈A .综上可知，A 中还有的两个元素为－12和13；(2)∵A 为单元素集合，则必有：a ＝11＋a， 即a 2＋a －1＝0解得：a ＝－1－52或a ＝－1＋52.∴A ＝{－1－52}，a ＝－1－52或A ＝{－1＋52}，a ＝－1＋52.做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
2020-2021学年高中数学北师大版必修1课后练习：1.1 集合的含义与表示 Word版含解析
§1集合的含义与表示课后篇巩固提升A组基础巩固1。
下列各组对象能组成一个集合的是（）①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中,所有横坐标与纵坐标相等的点;③所有不小于3的正整数;④√3的所有近似值。
A.①②B.③④C。
②③ D.①③解析:①④不符合集合中元素的确定性。
故选C.答案:C2。
下列集合中为⌀的是()A。
｛0} B.｛⌀｝C。
｛x｜x2+4=0｝D。
{x｜x+1≤2x}解析：集合{0｝中有一个元素0；集合｛⌀｝中有一个元素⌀；集合{x|x+1≤2x｝表示满足不等式x+1≤2x的x的集合，不是空集；集合｛x|x2+4=0}表示方程x2+4=0的解集,而该方程无解，故该集合为⌀.答案:C3.（改编题）下列集合的表示方法中,不同于其他三个的是（) A。
{x｜x=2 018}B。
{2 018｝C.{x=2 018}D.{y｜(y-2 018）2=0}解析：A,B,D对应的集合中只有一个元素2 018,故它们是相同的集合,而C中虽只有一个元素,但该元素是用等式作为元素，而不是实数2 018，故选项C与其他三个选项不同。
答案：C4。
由a2，2—a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A。
1 B。
—2 C.6 D。
2解析:当a=1时,由a2=1，2-a=1，4组成一个集合A，A中含有2个元素;当a=-2时，由a2=4，2—a=4，4组成一个集合A，A中含有1个元素；当a=6时,由a2=36,2-a=-4，4组成一个集合A,A中含有3个元素;当a=2时,由a2=4，2-a=0，4组成一个集合A，A中含有2个元素。
故选C。
答案：C5。
定义集合运算A☉B=｛z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B｝,设集合A={0，1｝,B=｛2，3},则集合A☉B的所有元素之和为()A.0 B。
6C。
12 D.18解析：根据A☉B的定义,当x=0时z=0;当x=1时，若y=2,则z=6，若y=3,则z=12。
高中数学 第一章 集合 1.1 集合的含义与表示学业分层测评 北师大版必修1(2021年最新整理)
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1.1 集合的含义与表示(建议用时：45分钟）[学业达标]一、选择题1．给出下列关系：(1)错误!∈R；(2)错误!∈Q；(3)－3∉Z;（4)－错误!∉N。
其中正确的个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】正确的有错误!∈R，－错误!∉N，错误的有错误!∈Q，－3∉Z。
【答案】B2．下列叙述正确的是（)A．方程x2＋2x＋1＝0的根构成的集合为{－1,－1}B．{x∈R｜x2＋2＝0｝＝错误!C．集合M＝{（x，y）|x＋y＝5，xy＝6}表示的集合是{2,3｝D．集合｛1,3,5｝与集合｛3，5,1｝是不同的集合【解析】选项A中的集合不符合元素的互异性,错误；选项B中,｛x∈R｜x2＋2＝0}＝错误!＝∅，正确；选项C中的集合是{（2，3），（3，2)｝，错误；选项D中的集合是相等的集合，错误．故选B。
【答案】B3．集合A中含有两个元素a－3与2a－1，则实数a不能取的值是( ）A．±1B．0 C．－2 D．2【解析】由集合中元素的互异性可知a－3≠2a－1，即a≠－2。
【答案】C4．已知集合S＝{a,b，c}中的三个元素a,b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【解析】由集合元素的互异性可知,三边长a，b,c互不相等,从而△ABC一定不是等腰三角形．【答案】D5．设集合A＝{1,2，3，4}，B＝｛1，2，3｝，x∈A且x∉B，则x＝( ）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】∵集合A＝{1，2，3，4}，B＝｛1,2,3｝，又x∈A且x∉B，∴x＝4,故选D。
1.1.1集合的概念与表示+-2024-2025学年高一上学期数学+北师大版(2019)必修第一册》
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集合的分类
有限与无限
由有限个元素组成的集合叫做有限集．由无限个元素组成的集合叫做无限集．
自然数集
由数组成的集合叫做数集．所有自然数组成的集合叫做自然数集，记作N．
正整数集
所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+或N*．
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集合的有关概念
1．集合的概念
一般地，我们把指定对象的全体称为集合，通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母,b ,c ,…表示．
2．集合与元素的关系
（1）如果是集合A的元素，就说属于A，记作：∈A；
（2）如果不是集合A的元素，就说不属于A，记作：∉A，
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例2
用描述法表示下列集合（1）小于10的所有有理数组成集合A（2）所有奇数组成集合B（3）平面内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成集合C
答
A={x∈Q|x＜10}B={x|x=2n-1,n∈N}C={M∈||MO|=r}
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(2)无穷大的概念
“∞”读作“无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”， “+∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为：(-∞, +∞）
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2017-2018学年高中数学北师大必修1：课时跟踪检测一
课时跟踪检测（一） 集合的含义与表示层级一 学业水平达标1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体．其中能构成集合的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A ①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．2．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N *中最小的数是1；②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2；④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D 集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.4．将集合⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )| ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝5，2x －y ＝1表示成列举法，正确的是( ) A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2,3)解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以表示成列举法为{(2,3)}．5．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( )A ．{1,1}B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}解析：选B 方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0，∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．6．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z.正确的个数为________．解析：①②⑥是正确的，③④⑤是错误的．答案：37．已知集合M ＝{3，m ＋1}，且4∈M ，则实数m 等于________．解析：∵4∈M ，∴4＝m ＋1，∴m ＝3.答案：38．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17________A ；－5________A ；17________B .解析：令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z.所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z. 所以－5∉A .令6m －1＝17得，m ＝3∈Z ，所以17∈B .答案：∈ ∉ ∈9．用适当的方法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；(3)梯形的全体构成的集合；(4)所有非负偶数的集合；(5)所有能被3整除的数的集合；(6)方程(x －1)(x －2)＝0的解集；(7)不等式2x －1＞5的解集．解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．(3){x |x 是梯形}或{梯形}．(4){0,2,4,6,8，…}．(5){x |x ＝3n ，n ∈Z}．(6){1,2}．(7){x |2x －1＞5}．10．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．解：∵2∈A ，由题意可知，11－2＝－1∈A ； 由－1∈A 可知，11－(－1)＝12∈A ； 由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.层级二 应试能力达标 1．下列命题不．正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R}是指第二和第四象限内的点集．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D ①的元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，种类不同；③32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点，所以①②③④都不正确．2．下面四个判断，正确的个数是( )(1)0∈∅；(2){0}是空集；(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪x ＋y ＝12x ＋2y ＝－2是空集； (4){x 2＋y ＋1＝0}是空集；A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个 解析：选B 由空集的定义知(3)正确，(1)、(2)、(4)错误．3．集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：选B 若a ＝2，则6－a ＝6－2＝4∈A ，符合要求；若a ＝4，则6－a ＝6－4＝2∈A ，符合要求；若a ＝6，则6－a ＝6－6＝0∉A ，不符合要求．∴a ＝2或a ＝4.4．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝xx ＝k 4＋12，k ∈Z ，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( )A ．x 0∈NB ．x 0∉NC ．x 0∈N 或x 0∉ND ．不能确定 解析：选A M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝2k ＋14，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝k ＋24，k ∈Z ， ∵2k ＋1(k ∈Z)是一个奇数，k ＋2(k ∈Z)是一个整数，∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N ，故选A.5．已知集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 63－x ∈Z ，x ∈N *，用列举法表示C ＝________. 解析：由题意知3－x ＝±1，±2，±3，±6，∴x ＝0，－3,1,2,4,5,6,9.又∵x ∈N *，∴C ＝{1,2,4,5,6,9}．答案：{1,2,4,5,6,9}6．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝(0,2)，则集合A *B 的所有元素之和为________．解析：依题意，A *B ＝{0,2,4}，其所有元素之和为6.答案：67．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，求a .解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意．∴a ＝－32.8．含有三个实数的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2，b a ，a ，若0∈A 且1∈A ，求a 2 016＋b 2 016的值． 解：由0∈A ，“0不能做分母”可知a ≠0，故a 2≠0，所以b a ＝0，即b ＝0.又1∈A ，可知a 2＝1或a ＝1.当a ＝1时，得a 2＝1，由集合元素的互异性，知a ＝1不合题意．当a 2＝1时，得a ＝－1或a ＝1(由集合元素的互异性，舍去)．故a ＝－1，b ＝0，所以a 2 016＋b 2 016的值为1.。
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1-1集合的含义与表示
基 础 巩 固
一、选择题
1. 下列各组对象不能构成集合的是( )
A．著名的中国数学家
B．北京四中2012级新生
C．奇数的全体
D．2012年伦敦奥运会所设的所有比赛项目
[答案] A
[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否能构成集合．因为B、C、D中所给的对象都
是确定的，从而可以构成集合；而A中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位
数学家怎样才算作著名，故不能构成集合．
2．集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
[答案] A
[解析] ∵x<5且x∈N，∴x＝0,1,2,3,4，特别注意0∈N.
3．(2012·石家庄高一检测)用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
[答案] B
[解析] ∵x2－2x＋1＝0，∴x＝1.故集合为单元素集合．故选B.
4．由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值可以是( )
A．0 B．－1
C．1 D．－1或1
[答案] B
[解析] 验证法：若x＝0时，x2＝0，不合题意；
若x＝1时，x2＝1，不合题意；
若x＝－1时，x2＝1，符合题意，故选B.
5．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
[答案] B
[解析] 根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长不相等，故选B.
- 2 -
6．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，
Q＝{1,2,6}，则P＋Q
中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．7 D．6
[答案] B
[解析] 列举法：P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，共8个元素．
二、填空题
7．集合{x∈Z|(x－1)2(x＋1)＝0}用列举法可以表示为________．
[答案] {－1,1}
[解析] ∵方程(x－1)2(x＋1)＝0的解有三个：－1,1,1，而作为解集，集合中元素只能
是－1,1.
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
[答案] 2
[解析] ∵－5是方程x2－ax－5＝0的根，
∴25＋5a－5＝0，
∴a＝－4，
∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，
∴x＝2，∴该集合中所有元素之和为2.
三、解答题
9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
[分析] 分别令－3＝a－3或－3＝2a－1→解方程求a→检验得a的值．
[解析] ∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
能 力 提 升
一、选择题
1．(2012·温州高一检测)由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的
取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
[答案] C
[解析] 解法一：验证法：若a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足集合中元素的互异性；若
a＝－2或2时，a2＝4，也不满足集合中元素的互异性，故a
＝6，选C.
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解法二：直接法：由集合中元素的互异性可知，a2≠4，
∴a≠±2.
又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，
∴a≠1且a≠－2，故选C.
2．(2012·开平高一检测)定义集合A、B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，
x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B
中的所有元素数字之和为( )
A．9 B．14 C．18 D．21
[答案] B
[解析] ∵x1∈A，x2∈B，A*B＝{x|x＝x1＋x2}，则x1＋x2的和如下表所示：
∴A*B＝{2,3,4,5}，故所有元素数字之和为2＋3＋4＋5＝14.
二、填空题
3．(2012·济南高一检测)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝________.
[答案] {－2,2,4,5}
[解析] ∵x∈Z，∴x＝2，86－2＝2∈N满足条件．
x
＝4，86－4＝4∈N也满足条件，
同理：x＝5，x＝－2都满足条件，∴A＝{－2,2,4,5}．
4．能被5整除的正整数集合用描述法表示为________．
[答案] {x|x＝5n，n∈N＋}
[解析] 能被5整除的正整数是5的倍数．因而写成：x＝5n，其中n∈N＋.
三、解答题
5．若集合A中有且仅有三个数1、0、a，若a2∈A，求a的值．
[解析] 若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，∴a2≠0.
若a2＝1，则a＝±1，
∵由元素的互异性知a≠1，
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∴a＝－1时适合．
若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．
综上可知a＝－1.
6．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们的各自含义是什么？
[解析] (1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，
所以{x|y＝x2＋1}＝R.
集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图像知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．
7．设集合A的元素为实数，且满足①1∉A，②若a∈A，则11－a∈A，
(1)若2∈A，试求集合A；
(2)若a∈A，试求集合A；
(3)集合A能否为单元素集合？若能，求出该集合；若不能，请说明理由．
[解析] (1)由题意知：11－2＝－1∈A，11－－＝12∈A，而11－12＝2，∴A＝－1，12，2.
(2)由题意知：11－a∈A，11－11－a＝a－1a∈A，而11－a－1a＝a.∴A＝{a，11－a，a－1a}．
(3)假设A为单元素集合，则必有11－a＝a，
∴a为a2－a＋1＝0的根．
又∵a2－a＋1＝0无实解，
∴这样的a不存在，即A不可能是单元素集合．