数列的概念及简单表示方法练习精选

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(2021年整理)数列概念及简单表示方法训练题(带详细答案)

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数列的概念及简单表示方法训练题（带详细答案）【基础练习】1．下列数列(1） 1，51,41,31,21（2）,21,31,41,511是同一个数列吗? 答：不是同一个数列,因为这些数对应的顺序不同.2。

下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号内的数（1)()()1,3,6,10,15,21,28,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;(2）()()3,5,9,17,33,65,129,⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（3)()1,4,9,16,25,36,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.3.下面数列中递增数列是 (1)(2）(6），递减数列是（4）(7），常数数列是（3） ,摆动数列是（5） .（1）0,1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;(2）82,93,105,119,129,130,132;（3）3,3,3,3,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（4）100，50，20，10，5，2,1，0。

高中数学-数列的概念与简单表示法练习

高中数学-数列的概念与简单表示法练习基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．在数列{a n}中，a n＋1＝a n＋2＋a n，a1＝2，a2＝5，则a6的值是________．解析由a n＋1＝a n＋2＋a n，得a n＋2＝a n＋1－a n，∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－5，a6＝a5－a4＝－3.答案－32．若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝nn＋1，则1a5＝________.解析当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝nn＋1－n－1n＝1n n＋1，∴1a5＝5×(5＋1)＝30.答案303．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋n＋1，则通项a n＝______.解析由a n＋1－a n＝n＋1，可得a n－a n－1＝n，an－1－a n－2＝n－1，a n－2－a n－3＝n－2，…a3－a2＝3，a2－a1＝2，以上n－1个式子左右两边分别相加得，an－a1＝2＋3＋…＋n，∴a n＝1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝n n＋12＋1.答案n n＋12＋14．(·贵阳模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2－1，则a3＝________.解析a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.答案105．已知a1＝1，a n＝n(a n＋1－a n)(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式是________．解析法一(构造法)由已知整理得(n＋1)a n＝na n＋1，∴an＋1n＋1＝ann，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ann是常数列．且ann＝a11＝1，∴a n＝n.法二(累乘法)：n≥2时，anan－1＝nn－1，an－1an－2＝n－1n－2.…a 3 a 2＝32，a2a1＝21，两边分别相乘得ana1＝n，又因为a1＝1，∴a n＝n.答案n6．(·蚌埠模拟)数列{a n}的通项公式a n＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．解析易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令a n≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．答案10或117．(·广州模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，则数列{a n}的通项公式为________．解析∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋ (3)－2an－1＝n－13，两式左右两边分别相减得3n－1a n＝13，∴a n＝13n(n≥2)．由题意知，a1＝13，符合上式，∴a n＝13n(n∈N*)．答案a n＝1 3n8．(·淄博二模)在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．解析每行的第二个数构成一个数列{a n}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，a n－a n－1＝2(n－1)－1＝2n－3，等式两边同时相加得a n－a2＝2n－3＋3×n－22＝n2－2n，所以a n＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)，所以a9＝92－2×9＋3＝66.答案66二、解答题9．(·梅州调研改编)已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{a n}满足f(log2a n)＝－2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：数列{a n}是递减数列．(1)解∵f(x)＝2x－2－x，f(log2a n)＝－2n，∴a2n＋2na n－1＝0，解得a n＝－n±n2＋1.∵a n＞0，∴a n＝n2＋1－n.(2)证明an＋1an＝n＋12＋1－n＋1n2＋1－n＝n2＋1＋nn＋12＋1＋n＋1＜1.∵a n＞0，∴a a＋1＜a n，∴数列{a n}是递减数列．10．设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1＝a(a≠3)，a n＋1＝S n＋3n，n∈N*.(1)设b n＝S n－3n，求数列{b n}的通项公式；(2)若a n＋1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．解(1)依题意，S n＋1－S n＝a n＋1＝S n＋3n，即S n＋1＝2S n＋3n，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 不适合上式，故a n ＝⎩⎨⎧a ，n ＝1，2×3n －1＋a －32n －2，n ≥2.a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2 ＝2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝411－2n，则满足a n ＋1＜a n 的n 的取值为________．解析由a n ＋1＜a n ，得a n ＋1－a n ＝49－2n －411－2n＝89－2n11－2n＜0，解得92＜n ＜112，又n ∈N *，∴n ＝5.答案 52．(·湖州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵数列{a n }是递增数列，又a n ＝f (n )(n ∈N *)，∴⎩⎨⎧3－a >0，a >1，f 8>f7⇒2<a <3.答案 (2,3)3．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析依题意得数列{a n }是周期为3的数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案 28 二、解答题4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值； (2)设a 1>0，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫lg10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2， ① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2， ② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2. ③若a 2＝0，由①知a 1＝0. 若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④ 由①④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上可得，a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.(2)当a 1>0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1， ∴(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴a n＝a1(2)n－1＝(2＋1)·(2)n－1.令b n＝lg 10a1 an，则b n＝1－lg(2)n－1＝1－12(n－1)lg 2＝12lg1002n－1.∴数列{b n}是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b1>b2>…>b7＝lg 108>lg 1＝0，当n≥8时，b n≤b8＝12lg100128<12lg 1＝0，故n＝7时，T n取得最大值，且T n的最大值为T 7＝7b1＋b72＝71＋1－3lg 22＝7－212lg 2.。

高中数学选择性必修二专题4 1 数列的概念与简单表示法(含答案)同步培优专练

专题4.1 数列的概念与简单表示法知识储备知识点一数列及其有关概念思考1数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？【答案】不是.顺序不一样.思考2根据你对于数列的定义的理解，看看能不能回答下面的问题：(1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}.思考3数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别在哪儿？【答案】数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.知识点二通项公式思考1数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？【答案】100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项a n＝n，从而第100项应为100.思考2上例中的a n＝n当序号n取不同的值，就可得到不同的项，所以可以把a n＝n当作数列1,2,3,4，…的项的通用公式，这个公式就叫通项公式.你能把通项公式推广到一般数列吗？【答案】如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.思考3数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？【答案】如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.知识点三数列的分类(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按项的增减趋势分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列. 知识点四递推公式思考1 (1)已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，则a 4＝________. (2) 已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，且有a n ＋2＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *)，则a 4＝________. 【答案】(1)53 (2)3思考2 上例是一种给出数列的方法，叫递推公式.你能概括一下什么叫递推公式吗？【答案】如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.思考3 我们已经知道通项公式和递推公式都能给出数列.那么通项公式和递推公式有什么不同？【答案】通项公式和递推公式都是给出数列的方法.已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项. 知识点五数列的表示方法思考1 以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？【答案】(1)解析法、列表法、图象法.数列可以用通项公式、图象、列表等方法来表示. (2)对数列2,4,6,8,10,12，…可用以下几种方法表示： ①通项公式法：a n ＝2n .②递推公式法：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.③列表法：④图象法：思考2 归纳一下数列的表示方法.【答案】数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法.能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是递增数列 D ．数列()11nn ⎧⎫-⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭是摆动数列【答案】D【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列． 2．已知数列12，23，34，…，1n n +，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项【答案】C 【解析】由1nn +＝0.96，解得n ＝24. 3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【答案】C【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6D ．231log 3log 325+【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5. 5．已知递减数列{a n}中，a n＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是() A．R B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，0]【答案】C【解析】a n＋1－a n＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第6项C．第5项D．第5项和第6项【答案】D【解析】a n＝－n2＋11n＝－2112n⎛⎫-⎪⎝⎭＋1214，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，a n取最大值．故选D.7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，a n.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝()A．n2B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)【答案】C【解析】由题意得a k＝nk.k≥2时，a k－1a k＝2211(1)1nnk k k k⎛⎫=-⎪--⎝⎭.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n＝n21111112231n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝n211n⎛⎫-⎪⎝⎭＝n(n－1)．故选C.8．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{a n}，数列{b n}满足b1＝2，当n≥2时，b n＝a b n－1，则b6的值是()A．9 B．17C．33 D．65【答案】C【解析】∵b n＝a b n－1，∴b2＝a b1＝a2＝3，b3＝a b2＝a3＝5，b4＝a b3＝a5＝9，b5＝a b4＝a9＝17，b6＝a b5＝a17＝33.二、多选题9．(多选)一个无穷数列{a n }的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是( ) A ．a n ＝nB ．a n ＝n 3－6n 2－12n －6C ．a n ＝12n 2－12n ＋1 D ．a n ＝26611n n -+ 【答案】AD【解析】对于A ，若a n ＝n ，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意；对于B ，若a n ＝n 3－6n 2－12n ＋6，则a 1＝－11，不符合题意；对于C ，若a n ＝12n 2－12n ＋1，当n ＝3时，a 3＝4≠3，不符合题意；对于D ，若a n ＝26611n n -+，则a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，符合题意．故选A 、D. 10．(多选)数列{F n }：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A ．S 5＝F 7－1 B ．S 5＝S 6－1 C ．S 2 019＝F 2 021－1 D ．S 2 019＝F 2 020－1【答案】AC【解析】根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1，S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1，S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…，所以S 2 019＝F 2 021－1.故选A 、C.11．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（） A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin 2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+【答案】BD【解析】因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为{}n a ，其前n 项和为*,n S n ∈N ，则（）A ．20220a =B ．357202111115051011a a a a ++++=C ．232156S =D ．246489800a a a a ++++=【答案】BCD【解析】根据数列前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,，则奇数项为：2112-，2312-，2512-，2712-，2912-，，偶数项为：222，242，262，282，2102，，所以通项公式为221,(2,(2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数）为偶数），对于A ， 22020020==2a ，故A 错误；对于B ，35720211111a a a a ++++22222222=++++31517120211----1111224466820202022⎛⎫=++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111*********20202505100222202211⎛⎫=⨯-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，()()2313232422S a a a a a a =++++++222212323122+++-=，由()()22221211236n n n n +++++=，所以()()2323231461112215626S ++⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，24648a a a a ++++()222221242922421224=⨯+⨯+⨯++⨯=++()()242412241298006+⨯+=⋅=，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________．【答案】9【解析】由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9.14．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1nn +，则a n ·a n ＋1·a n ＋2＝________. 【答案】3n n + 【解析】a n ·a n ＋1·a n ＋2＝1n n +·12n n ++·23n n ++＝3n n +. 15.数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，且S 2＝3，则a 1＋a 3的值为________．【答案】-1【解析】∵S n ＋S n －1＝2n －1(n ≥2)，令n ＝2，得S 2＋S 1＝3，由S 2＝3得a 1＝S 1＝0，令n ＝3，得S 3＋S 2＝5，所以S 3＝2，则a 3＝S 3－S 2＝－1，所以a 1＋a 3＝0＋(－1)＝－1.16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.【解析】因为OA 1＝1，OA 2，OA 3…，OA n ，…，所以a 1＝1，a 2，a 3…，a n . 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前多少项和最大．【解析】（1）当1n =时，11321132a S ==-+=；当2n ≥时，()()()22132132111n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-+----+⎣⎦332n =-；所以：32,1332,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）因为()22321321n S n n n n =-+=--+()216257n =--+；所以前16项的和最大．18．在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.【解析】（1）令22107,293107,291100n a n n n n =--++=---=，解得10n =或112n =-（舍去）.所以10107a =- （2）229105293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，由于*n ∈N ，所以最大项为213a = 19．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n +1 +2a n a n +1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式；（3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？【答案】(1)见解析（2）121n a n =-（3）50【解析】（1）由已知可得11a =，213a =，315a =，417a =，519a =.（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为121n a n =-. （3）令119921n =-，解得50n =，故199是这个数列的第50项.20．已知数列2299291n n n ⎧⎫-+⎨⎬-⎩⎭. (1)求这个数列的第10项； (2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．【解析】(1)设a n ＝f (n )＝2299291n n n -+-＝(31)(32)(31)(31)n n n n ---+＝3231n n -+.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3231n n -+＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3231n n -+＝1－331n +，且n ∈N *，∴0<1－331n +<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3231n n -+<23， ∴3196,9662,n n n n +<-⎧⎨-<+⎩∴7,68,3n n ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间1233⎛⎫⎪⎝⎭，内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 21．已知函数f (x )＝x －1x.数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n >0.求数列{a n }的通项公式．【解析】∵f (x )＝x －1x，∴f (a n )＝a n －1n a ，∵f (a n )＝－2n .∴a n －1na ＝－2n ，即2n a ＋2na n －1＝0. ∴a n ＝－n.∵a n >0，∴a n－n .22．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n n (n ∈N *)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．【解析】存在最大项．理由：a 1＝12，a 2＝2222＝1，a 3＝2332＝98，a 4＝2442＝1，a 5＝2552＝2532，….∵当n≥3时，221122(1)2(1)22nnnna n na n n++++=⨯=＝1211n⎛⎫+⎪⎝⎭2<1，∴a n＋1<a n，即n≥3时，{a n}是递减数列．又∵a1<a3，a2<a3，∴a n≤a3＝9 8 .∴当n＝3时，a3＝98为这个数列的最大项．。

5-1第一节数列的概念与简单表示法练习题(2015年高考总复习)

第一节数列的概念与简单表示法时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.答案 C2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．－2解析由题可知S n ＝2(a n －1)，所以S 1＝a 1＝2(a 1－1)，解得a 1＝2.又S 2＝a 1＋a 2＝2(a 2－1)，解得a 2＝a 1＋2＝4. 答案 A3．(2014·济南模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．44B ．3×44＋1C ．3×44D ．44＋1 解析由a n ＋1＝3S n (n ≥1)得a n ＋2＝3S n ＋1，两式相减得a n ＋2－a n ＋1＝3a n ＋1，∴a n ＋2＝4a n ＋1，即a n ＋2a n ＋1＝4，a 2＝3S 1＝3，∴a 6＝a 244＝3×44.答案 C4．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2D.n 2(n －1)2解析设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2. 答案 D5．(2014·江西八校联考)将石子摆成如下图的梯形形状．即数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，所以a n ＝5＋(n ＋6)(n －1)2，所以a 2 012－5＝1 009×2 011.答案 D6．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 014的值是( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析 ∵a 1a 2＝2×7＝14，∴a 3＝4,4×7＝28，∴a 4＝8,4×8＝32，∴a 5＝2,2×8＝16，∴a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，∴从第三项起，a n 的值成周期排列，周期数为6,2 014＝335×6＋4，∴a 2 014＝a 4＝8.答案 A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }满足a st ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解析令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.答案 88．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是此数列中的第________项．解析将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n 组n 个，(11)，(12，21)，(13，22，31)，…，(1n ，2n －1，…，n 1)，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.答案 509．(2013·湖南卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 解析本题考查数列的通项及求和．令n ＝3得S 3＝－a 3－123，① 令n ＝4得S 4＝a 4－124，② 由②－①得a 3＝－116.当n 为偶数时，S n ＝a n －12n ，③ S n －1＝－a n －1－12n －1，④③－④得a n －1＝－12n ，⑤ 将⑤代入④得S n －1＝－12n ，故n 为奇数时，a n ＝－12n ＋1，S n ＝－12n ＋1；当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ， ∴S n －1＋a n ＝－a n －12n ，∴S n －1＝0，即当n 为偶数时，S n ＝0，故S 1，S 3，S 5，…，S 99构成了以S 1＝－14为首项，14为公比的等比数列．∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝S 1＋S 3＋…＋S 99＝－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14501－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 答案－116 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2或3.∴数列有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94的对称轴方程为n ＝52，又n ∈N *，∴n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n >0，S n 是数列{a n }的前n 项和，对任意n ∈N *，有2S n ＝p (2a 2n ＋a n －1)(p 为常数)．(1)求p 和a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)令n ＝1得2S 1＝p (2a 21＋a 1－1)．又a 1＝S 1＝1，得p ＝1；令n ＝2，得2S 2＝2a 22＋a 2－1.又S 2＝1＋a 2，得2a 22－a 2－3＝0，a 2＝32或a 2＝－1(舍去)， ∴a 2＝32；令n ＝3，得2S 3＝2a 23＋a 3－1.又S 3＝52＋a 3，得2a 23－a 3－6＝0，a 3＝2或a 3＝－32(舍去)，∴a 3＝2.(2)由2S n ＝2a 2n ＋a n －1，得2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(2a n －2a n －1－1)＝0.∵a n >0，∴2a n －2a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝12(n ≥2)．故{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，得a n ＝12(n ＋1)．12．(2014·青岛模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，求实数λ的最小值．解 (1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，② ②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，(n ＋1)a n ＋1na n＝3.∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)． ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n ·3n －2(n ≥2)．∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n ·3n －2，n ≥2.(2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n (n ＋1)，设f (n )＝n (n ＋1)2·3n (n ≥2，n ∈N *)，a n n ＋1＝132·1f (n )，则f (n ＋1)－f (n )＝2(n ＋1)(1－n )2·3n ＋1<0，∴1f (n ＋1)>1f (n )(n ≥2)，又132·1f (2)＝13及a 12＝12，∴所求实数λ的最小值为13.。

高三数学复习数列的概念与简单表示法专项练习

高三数学复习数列的概念与简单表示法专项练习数列是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，以下是数列的概念与简单表示法专题训练，查字典数学网期望对考生有关心。

一、数列的概念及分类1.下列叙述正确的是()A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,能够表示为{n}C.数列0,1,0,1,是常数列D.数列是递增数列答案:D解析:数列中的项是有序的,故A错;B中通项为{n-1};C中数列为摆动数列,故选D.2.数列5,4,3,m,是递减数列,则m的取值范畴是()A.(-,3)B.(-,2)C.(1,+)D.(2,+)答案:A解析:依据递减数列的定义,只要后面的项比它的前一项小即可,因此m 的取值范畴是(-,3).3.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,,B.sin,sin,sin,C.-1,-,-,-,D.1,,,答案:C4.下面的数列中,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)1,2,3,4,5,6,7,(2)10,8,6,4,(3)1,0,1,0,1,0,(4)a,a,a,a,.解:(1)递增数列,因为从第2项起,每一项都大于它的前一项;(2)递减数列,因为从第2项起,每一项都小于它的前一项;(3)摆动数列,因为从第2项起,数列中有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项;(4)常数列.二、数列的通项公式及应用5.(2021河南南阳高二期中,1)已知数列,,则5是它的第()项.A.19B.20C.21D.22答案:C解析:数列,中的各项可变形为,,通项公式为an=,令=5,得n=21.故选C.6.把1,3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点能够排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是()A.27B.28C.29D.30答案:B解析:由已知从第二项起,每一项与前一项的差是这一项的项数,即a2-a1 =2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,以此规律得a6-a5=6,a7-a6=7.a7=7+a6=7+6+a5=13+15=28.7.数列{an}的通项公式an=,则-3是此数列的第项.答案:9解析:an=,令n=9,则a9=-3.-3是数列中第9项.8.已知数列的通项公式为an=2n2-n.(1)求那个数列的第8项,第10项;(2)试问:45是否是{an}中的项?3是否是{an}中的项?解:(1)an=2n2-n,当n=8时,a8=282-8=120;当n=10时,a10=2102-10=190.(2)an=2n2-n,令an=45,则有2n2-n-45=0,解得n=5或n=-(舍去),45是该数列的第5项.令an=3,则有2n2-n-3=0.该方程不存在正整数解,故3不是该数列中的项.9.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数.(1)a,b,a,b,(2),(3)-,-,(4),2,,8,,.解:(1)数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示,记为an=也可记为an=+(-1)n+1.(2)那个数列的前4项分别为,其分母差不多上序号n加上1,分子差不多上分母的平方减去1,故an=.(3)那个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故an=.课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

练习数列的概念与简单表示法练习题及答案解析精品文档

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

2021年新高考数学专题练习--第5章第1讲数列的概念与简单表示法

2021年新高考数学专题练习--第五章数列第一讲数列的概念与简单表示法练好题﹒考点自测1.下列说法正确的是( )A.数列{}的第k项为1+B.数列的项数是无限的C.数列的通项公式的表达式是唯一的D.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}2.[2021十堰模拟]图5-1-1是谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形,在所给的四个三角形图案中,阴影小三角形的个数构成数列{a n}的前4项,则{a n}的通项公式可以是( )图5-1-1A.a n=3n-1B.a n=2n-1C.a n=3nD.a n=2n-13.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-1,则a1+a3+a5+a7+a9= ( )A.40B.44C.45D.494.已知数列{a n}中,a1=3,a2=6,a n+2=a n+1-a n,则a2 021等于( )A.6B.-6C.3D.-35.[2020山东泰安4月模拟]在数列{a n}中,a1=100,a n+1=a n+3n(n∈N*),则通项公式a n= .6.[2016浙江,6分]设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1= ,S5= .7.[2021安徽省四校联考]已知数列{a n}的首项a1=m,其前n项和为S n,且满足S n+S n+1=2n2+3n,若数列{a n}是递增数列,则实数m的取值范围是.拓展变式1.[2018全国卷Ⅰ,5分]记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6= .2.(1)[2020 四川德阳二诊]已知数列{a n}满足21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·a n=(n-1)·2n+1+2(n∈N*),则数列{a n}的通项公式a n= .(2)已知数列{a n}中,a1=,a n+1=a n+()n+1,则a n= .3.[2021福建五校第二次联考][多选题]已知数列{a n}满足0<a1<1,a n+1-a n=ln(4-a n),则下列说法正确的是( )A.数列{a n}先增后减B.数列{a n}为递增数列C.a n<3D.a2 020>(2)[2020 海口4月检测]设数列{a n}满足:a1=2,a n+1=(n∈N*).则该数列前2 019项的乘积a1a2a3a4…a2 019= .答案第一讲数列的概念与简单表示法1.A 根据数列的表示方法可知,求数列的第k项就是将k代入通项公式,经验证知A正确;数列的项数可能是有限的,也可能是无限的,并且数列的通项公式的表达式不是唯一的,故BC不正确;集合中的元素具有无序性,而数列中每一个数的位置都是确定的,故D不正确.所以只有A正确.2.A 题图中的阴影小三角形的个数构成数列{a n}的前4项,分别为a1=1,a2=3,a3=3×3=32,a4=32×3=33,因此{a n}的通项公式可以是a n=3n-1.故选A.3.B 因为S n=n2-1,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-1-(n-1)2+1=2n-1,又a1=S1=0,所以a n=所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=44.故选B.4.B 依次写出数列的各项:3,6,3,-3,-6,-3,3,6,3,-3,….所以数列{a n}以6为周期循环.又2 021=6×336+5,故a2 021=a5=-6.故选B.5.·3n+,n∈N*由a n+1=a n+3n(n∈N*)得,a n+1-a n=3n(n∈N*),分别令n=1,2,3,4,…,n-1(n≥2),得到(n-1)个等式:a2-a1=3,a3-a2=32,a4-a3=33,…,a n-a n-1=3n-1.将这(n-1)个等式累加可得a n=a1+3+32+…+3n-1=100+=·3n+(n≥2).显然a1=100适合上式,故通项公式a n=·3n+,n∈N*.6.1 121 由解得由a n+1=S n+1-S n=2S n+1得S n+1=3S n+1,所以S n+1+=3(S n+),所以{S n+}是以为首项,3为公比的等比数列,所以S n+=×3n-1,即S n=,所以S5=121.7.(,) 解法一由S n+S n+1=2n2+3n可得,S n-1+S n=2(n-1)2+3(n-1)(n≥2),两式相减得,a n+a n+1=4n+1(n≥2),∴a n-1+a n=4n-3(n≥3),∴a n+1-a n-1=4(n≥3),∴数列a2,a4,a6,…是以4为公差的等差数列,数列a3,a5,a7,…是以4为公差的等差数列.将n=1代入S n+S n+1=2n2+3n可得a2=5-2m,将n=2代入a n+a n+1=4n+1(n≥2)可得a3=4+2m,∵a4=a2+4=9-2m,∴要使得任意n∈N*,a n<a n+1恒成立,只需要a1<a2<a3<a4即可.∴m<5-2m<4+2m<9-2m,解得<m<,∴实数m的取值范围是(,).解法二当n=1 时,2a1+a2=5,∵a1=m,∴a2=5-2m.当n≥2时,由S n+S n+1=2n2+3n ①,得S n-1+S n=2(n-1)2+3(n-1) ②.①-②得,a n+a n+1=4n+1(n≥2)③,∴a n-1+a n=4n-3(n≥3)④.③-④得,a n+1-a n-1=4(n≥3),∴数列{a n}的偶数项成等差数列,奇数项从第三项起是等差数列,且公差都是4.易知a3=4+2m,∴a2k=a2+4(k-1)=5-2m+4k-4=4k-2m+1,a2k+1=a3+4(k-1)=4+2m+4(k-1)=4k+2m .若对任意n∈N*,a n<a n+1恒成立,则当n=1 时,由a1<a2,解得m<;当n=2k+1时,由a2k+1<a2k+2,即4k+2m<4k-2m+5,解得m<;当n=2k时,由a2k<a2k+1 ,即4k-2m+1<4k+2m ,解得m>.∴实数m的取值范围是(,).1.-63 解法一因为S n=2a n+1,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;当n=2时,a1+a2=S2=2a2+1,解得a2=-2;当n=3时,a1+a2+a3=S3=2a3+1,解得a3=-4;当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2a4+1,解得a4=-8;当n=5时,a1+a2+a3+a4+a5=S5=2a5+1,解得a5=-16;当n=6时,a1+a2+a3+a4+a5+a6=S6=2a6+1,解得a6=-32.所以S6=-1-2-4-8-16-32=-63.解法二因为S n=2a n+1,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n+1-(2a n-1+1),所以a n=2a n-1,所以数列{a n}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以a n=-2n-1,所以S6==-63.2.(1)n(n∈N*) 在21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·a n=(n-1)·2n+1+2(n∈N*)中,令n为n-1,得21·a1+22·a2+23·a3+…+2n-1·a n-1=(n-2)·2n+2(n≥2).两式相减得2n a n=n·2n,即a n=n(n≥2).当n=1时,a1=1,适合a n=n.故a n=n,n∈N*.(2)-解法一将a n+1=a n+()n+1两边同时乘以2n+1,得2n+1·a n+1=(2n·a n)+1.令b n=2n·a n,则b n+1=b n+1,将上式变形,得b n+1-3=(b n-3).所以数列{b n-3}是首项为b1-3=2×-3=-,公比为的等比数列.所以b n-3=-·()n-1,即b n=3-2·()n.于是a n==-.解法二将a n+1=a n+()n+1两边同时乘以3n+1,得3n+1a n+1=3n a n+()n+1.令b n=3n·a n,则b n+1=b n+()n+1,所以b n-b n-1=()n,b n-1-b n-2=()n-1,…,b2-b1=()2.将以上各式累加,得b n-b1=()2+…+()n-1+()n(n≥2).又b1=3a1=3×==1+,所以b n=1++()2+…+()n-1+()n==2·()n+1-2(n≥2),又b1=满足上式,所以b n=2·()n+1-2.故a n==-.3.(1)BCD 由a n+1-a n=ln(4-a n)得a n+1=a n+ln(4-a n).设函数f(x)=x+ln(4-x)(0<x<4),则f '(x)=1-=,当0<x<3时,f '(x)>0,当3<x<4时,f '(x)<0,故f(x)在(0,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,所以f(x)≤f(3)=3.则a n+1=f(a n)≤3,当且仅当a n=3时“=”成立,此时{a n}为常数列且a n=3,与0<a1<1矛盾,所以a n<3,C正确.由a n<3可知ln(4-a n)>0,所以a n+1-a n>0,所以数列{a n}为递增数列,A错误,B正确.因为0<a1<1,所以a2=a1+ln(4-a1)>ln 4>1,a3=a2+ln(4-a2)>ln 4+ln(4-ln 4)>1+ln 3>2,a4=a3+ln(4-a3)>2+ln(4-2)=2+ln 2>,所以a2 020>a4>,故D 正确.故选BCD.(2)3 解法一由a1=2得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,…,显然该数列中的数从a5开始循环,周期是4.a1a2a3a4=1,a2505·=3.020=a4=.故a1a2a3a4…a2 019=(a1a2a3a4)解法二因为a n+1=,所以a n+2===-.于是a n+4=-=a n,即{a n}是周期为4的周期数列.由a1=2得a 2=-3,a3=-,a4=,a1a2a3a4=1.故a1a2a3a4…a2 019=·==3.。

2021年高考数学专题复习第28讲数列的概念与简单表示法练习新人教A版

2021年高考数学专题复习第28讲数列的概念与简单表示法练习新人教A版[考情展望] 1.以数列的前n项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n项和Sn求通项an.一、数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n叫做数列的通项通项公式数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f(n)表达，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n判断数列递增(减)的方法(1)作差比较法：①若a n＋1－a n＞0，则数列{a n}为递增数列．②若a n ＋1－a n ＝0，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1－a n ＜0，则数列{a n }为递减数列． (2)作商比较法：不妨设a n ＞0. ①若a n ＋1a n＞1，则数列{a n }为递增数列． ②若a n ＋1a n＝1，则数列{a n }为常数列． ③若a n ＋1a n＜1，则数列{a n }为递减数列．三、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法．四、a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.已知S n 求a n 的注意点利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n ≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n ≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的形式表示．1．已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{a n }的通项公式的一项是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝2sinn π2C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数0，n 为偶数【解析】根据数列的前3项验证．【答案】 B2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30B ．31C ．32D ．33【解析】 a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31.【答案】 B3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列【解析】 ∵a n ＝nn ＋1＞0，∴a n ＋1a n ＝n ＋12n n ＋2＝n 2＋2n ＋1n 2＋2n＞1.∴{a n }为递增数列．【答案】 A4．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1] ＝n 2－(n －1)2＝2n －1.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1，2n －1 n ≥2.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝12n －1 n ≥25．(2011·浙江高考)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫nn ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.【解析】由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k ＋1，a k ≥a k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧kk ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥k ＋1k ＋1＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1kk ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥k －1k －1＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1化简得⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k －12≤10，解得10≤k ≤1＋10. 又k ∈N *，所以k ＝4. 【答案】 46．(xx·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.【解析】当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)， ∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， ∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， ∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1考向一 [083] 由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 【思路点拨】归纳通项公式应从以下四个方面着手： (1)观察项与项之间的关系； (2)符号与绝对值分别考虑； (3)规律不明显，适当变形．【尝试解答】 (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .规律方法1 1.求数列的通项时，要抓住以下几个特征.,1分式中分子、分母的特征；2相邻项的变化特征；3拆项后的特征；4各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想.2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用－1n或－1n ＋1来调整.考向二 [084] 由递推关系求通项公式根据下列条件，求数列的通项公式a n . (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a n ＋1＝n ＋2na n ，a 1＝4； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.【思路点拨】 (1)求a n ＋1－a n ，利用累加法求解． (2)求a n ＋1a n，利用累乘法求解． (3)利用(a n ＋1＋1)＝2(a n ＋1)构造等比数列求解．【尝试解答】 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以a n －a 1＝21－2n －11－2，即a n －a 1＝2n－2，所以a n ＝2n－2＋a 1＝2n－1. 当n ＝1时，a 1＝1也符合，所以a n ＝2n－1(n ∈N *)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋12. 所以当n ≥2时，a n ＝n n ＋12a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式，所以a n＝2n (n ＋1)(n ∈N *)．(3)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列．所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N *)．规律方法2 递推式的类型递推式方法示例a n ＋1＝a n ＋f (n ) 叠加法 a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n a n ＋1a n＝f (n ) 叠乘法a 1＝1，a n ＋1a n＝2na n ＋1＝pa n ＋q(p ≠0,1，q ≠0)化为等比数列 a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0) 化为等差数列a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1考向三 [085] 由a n 与S n 的关系求通项a n已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋b .(b 为常数)【思路点拨】先分n ＝1和n ≥2两类分别求{a n }，再验证a 1是否满足a n (n ≥2)．【尝试解答】 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2. 规律方法3 已知S n 求a n 时的三个注意点,1重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.2由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写” .3由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示“分写”，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.对点训练若S n 满足的条件变为如下形式，则又如何求a n? (1)S n ＝n 2＋n ＋1； (2)log 2(2＋S n )＝n ＋1.【解】 (1)①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n ＋1)－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ； ②当n ＝1时，a 1＝S 1＝3≠2×1，故a 1＝3不满足a n ＝2n .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝1，2n n ≥2.(2)∵log 2(2＋S n )＝n ＋1， ∴2＋S n ＝2n ＋1，即S n ＝2n ＋1－2，①当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－2)－(2n －2)＝2n，②当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2＝21，故a 1＝2满足a n ＝2n. ∴a n ＝2n.易错易误之十明确数列中项的特征，慎用函数思想解题 ———— [1个示范例] ———— [1个防错练] ————(xx·安阳模拟)已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]【解析】 ∵a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增， ∴a n ＋1－a n ＞0对∀n ∈N *都成立，此处在求解时，常犯“a n 是关于n 的二次函数，若{a n }单调递增，则必有k2 ≤1，k ≤2”的错误.,出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数.又a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，所以由2n ＋1－k ＞0，即k ＜2n ＋1恒成立可知k ＜(2n ＋1)min ＝3.【防范措施】 1.明确函数单调性与数列单调性的关系,1若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调.2若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在n ∈N *上的特殊函数.2.数列单调性的判断,一般通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断：,若a n ＋1＞a n ，则该数列为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则该数列为递减数列.(xx·济南模拟)已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，故对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，故－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其对称轴为n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需满足n ＝－λ2＜32即可，即λ＞－3.【答案】 (－3，＋∞)k23148 5A6C 婬38775 9777 靷•D #CV27251 6A73 橳35203 8983 覃128228 6E44 湄39753 9B49 魉1。

最新数学：2.1.1数列的概念与简单表示法同步练习

2. 1数列嘚概念与简单表示法1、下列说法正确嘚是（）A.数列1，3，5，7可表示为{}7,5,3,1 B.数列1，0，2,1--与数列1,0,1,2--是相同嘚数列 C. 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1嘚第k 项是k 11+ D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集*N 嘚函数2、数列 ,28,21,,10,6,3,1x 中，由给出嘚数之间嘚关系可知x 嘚值是（）A. 12B. 15C. 17D. 183、已知数列嘚通项公式为1582+-=n n a n ，则3 （）A. 不是数列{}n a 中嘚项B. 只是数列{}n a 中嘚第2项C. 只是数列{}n a 中嘚第6项D. 是数列{}n a 中嘚第2项或第6项4、数列{}n a 嘚通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是（）A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项5、已知数列 ,12,,7,5,3,1-n ，则53是它嘚（）A. 第22项B. 第23项C. 第24项D. 第28项6、已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列7、已知数列(),11,,91,41,12nn ---，它嘚第5项嘚值为（） A. 51 B. 51- C. 251 D. 251- 8、数列 ,1,0,1,0,1嘚一个通项公式是（）A. ()2111+--=n n a B. ()2111+-+=n n a C. ()211--=n n a D. ()211nn a ---= 9、用适当嘚数填空：①2，1，，41，81，，321 ②,25,16,9,4,1--- ，49-③1，9，25，，81④1，0，21，0，31，0，，0，51，0 10、写出以下各数列嘚通项公式：① ,81,41,21,1-- ② ,1,0,1,0,1,0③ ,544,433,322,211 ④ ,6,7,8,9,10⑤ ,31,17,7,5,1⑥,6463,3635,1615,43 ⑦ ,301,201,121,61,21 ⑧ ,9999,999,99,911、数列{}n a 中，已知()*2,31N n n n a n ∈-+=。

(基础班)数列的概念与简单表示法练习卷

数列的概念与简单表示法基础知识回顾：1.数列的概念:按照一定______排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______.数列的第一项1a 也称为_______项，n a 是数列的第n 项，也叫数列的_______项。

如果数列}a {n 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，即)n (f a n =，那么这个式子就叫做这个数列的___________.数列的通项公式就是相应函数的解析式。

数列}a {n 中，n 21n a a a S +++= ，叫做数列}a {n 的_____________.2.数列的分类：项数有限的数列称为_________数列，项数无限的数列称为_________数列。

递增数列：对于任意的1n ≥,N n ∈，都有n 1n a a >+；递减数列：对于任意的1n ≥,N n ∈，都有n 1n a a <+；常数列：对于任意的1n ≥,N n ∈，都有n 1n a a =+。

3.重要关系式：对于任意数列}a {n ，都有n a 与n S 的关系式⎩⎨⎧≥==)2n (,__________)1n (_____,a n 成立。

4、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．例题分析：例1.写出下列数列的一个通项公式：（1）0，53， 78-，35， 1124-… （2）1， 3， 6， 10， 15…例2.若数列的前四项为1，0，1，0，则下列表达式不能作为该数列的通项公式的是（） A ．2)1(1a 1n n +-+=B ．2n sina 2n π= C ．2n sina n π= D ．2cosn 1a n π-=例3. 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)； (2) 1a ＝1, 1+n a ＝22+n n a a (n ∈N)；例4. 根据各个数列的首项和递推公式，求数列的通项公式（1）a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ; (2)11=a ，)2()1(1≥=+-n na a n n n .例5.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________例6.数列{}的前n 项和为，若)1n (n 1a n +=，则S 5等于（思考S n =?）基础练习：1、已知数列{}2n n +，那么（）A ．0是数列中的一项B ．21是数列中的一项C ．702是数列中的一项D ．以上答案都不对 2、数列11，13，15，…，21n +的项数是（） A ．n B ．3n - C ．4n - D ．5n -3、若2n n a n =+，则n a 与1n a +的大小关系是（）A ．1n n a a +>B ．1n n a a +<C ．1n n a a +=D ．不能确定4、数列{}n a 满足143n n a a -=+且10a =，则此数列第5项是（） A ．15B ．255C ．16D ．635、已知数列1是它的（） A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项6、在数列{}n a 中，122n n na a a +=+对所有的正整数n 都成立，且712a =，则5a =（）A ．0B ．1C ．1-D ．2 7、在数列1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 应等于（） A ．11B ．12C ．13D ．148、在数列{}n a 中，113a =，()()1122nn n a a n -=-⋅≥，则5a =（）A ．163-B ．163C ．83-D ．839、一个数列{}n a ，其中13a =，26a =，21n n n a a a ++=-，那么这个数列的第5项是（） A ．6 B ．3- C ．12- D ．6-10、数列{}n a 中，276n a n n =-+，那么150是其第____________项．11、已知数列{}n a 的通项公式()()121n n n a n n ⎧⎪=⎨⎪-⎩为正奇数为正偶数，它的前8项依次为_________、_________、_________、_________、__________、___________、__________、_________．。

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.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n，求通项na．
2.数列2、5、22、…，则25是该数列的( )
A．第6项 B．第7项 C．第10项 D．第11项

3 已知数列an中aaaanNnnn1111且求数列的通项公式。

4 数列{an}中，a1＝3，an－anan＋1＝1(n＝1,2，…)，An表示数列{an}的前n项之积，则求
A2005。

5 在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a1000＝( )
A．5 B．－5 C．1 D．－1

6 已知函数＝2x－2－x，数列{an}满足＝－2n，求数列{an}通项公式．

7 已知数列{an}的通项公式是an＝na(n＋1)b，其中a、b均为正常数，那么an与an＋1的大小关
系是 ( )

)(xf
)(log2naf
A．an＞an＋1 B．an＜an＋1
C．an＝an＋1 D．与n的取值有关

8 已知数列{na}满足1a=1，1na=cna＋b,且2a=3,4a=15,求常数b、c的值。

9 设数列na满足11111(1).nnaana写出这个数列的前五项。

10.已知21a，nnaa21 写出前5项，并猜想na．

11．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) 1a＝0, 1na＝na＋(2n－1) (n∈N)；

(2) 1a＝1, 1na＝22nnaa (n∈N)；
(3) 1a＝3, 1na＝3na－2 (n∈N).
12．写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数：
（1） 1111,,,;234
（2） 2，0，2，0

13．设数列{an} 满足
1
1,1(1).11aannan



写出这个数列的前5项。

14. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数:
(1)41,31,21,1; (2)0,2,0,2.

(3)7,5,3,1 (4)515,414,313,2122222
15. 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式.
(1),0,1,0,1 (2)356,245,154,83,32
(3),7777,777,77,7 (4),31,25,19,13,7,1
(5),9,9,7,7,5,5,3,3,1 (6),15,7,3,1
(7),42,30,20,12,6,2 (8),9999.0,999.0,99.0,9.0

(9),316,3,34,31 (10),9910,638,356,154,32

16．已知数列,513,25,37,2,1
(1)写出这个数列的一个通项公式na;
(2)根据na判断数列}{na的增减性和有界性.

17.下列说法正确的是( )
A. 数列7,5,3,1可以表示为}7,5,3,1{
B. 数列2,1,0,1与数列1,0,1,2是相同的数列

C. 数列}1{nn的第k项为k11
D. 数列,8,6,4,2,0可记为}2{n
18.已知数列}{na中,)3(1,3,12121naaaaannn,则5a等于( )

A. 1255 B. 313 C. 4 D. 5
19.已知数列}{na的首项11a且)2(211naann,则4a等于( )
A. 1 B. 21 C. 2417 D. 81

20.已知数列}{na满足211nnaa,则数列}{na是( )
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列

21.已知数列}{na满足nnnaaa12,若8,151aa,则3a等于( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 3

22.数列,73,115,21,53的一个通项公式是___________.

23.数列}{na满足2)3(log22nan,则3log2是这个数列的第____项.
24.数列}{na的前n项的积为2n,则这个数列的第3项与第5项的和是________.
25.已知数列}{na的前n项和为nS,且)1(2nnaS,则2a_________.
26.数列}{na满足3,221aa,)1(2312naaannn,写出数列的前6项.

27.已知数列}{na的通项公式为1dncnan,且23,2342aa,求na和10a.

28.已知数列}{na满足11a,)2(111nnnaann,求na.

29.(1)已知数列}{na的前n项和nnSn322,求na.
(2)已知数列}{na的前n项和23nnS,求na.

30.已知数列}{na中,11a,33nnaa,22nnaa,求2007a.