高三一轮复习单元检测(函数导数、三角函数)

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高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形 3.2 导数的应用第2课时导数与函数的极值、最值教师用书

第2课时导数与函数的极值、最值题型一用导数解决函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值例1 (1)(2016·绍兴模拟)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )(2)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案(1)C (2)D解析(1)由f′(x)图象可知，x＝0是函数f(x)的极大值点，x＝2是f(x)的极小值点，故选C.(2)由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．命题点2 求函数的极值例2 (2016·台州模拟)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．命题点3 已知极值求参数例3 (1)(2016·杭州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.(2)(2016·福州质检)若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间(12，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，52)B ．[2，52)C ．(2，103)D ．[2，103)答案 (1)－7 (2)C解析 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.(2)若函数f (x )在区间(12，3)上无极值，则当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈(12，3)时，y ＝x ＋1x 的值域是[2，103)；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x恒成立，a ≤2；当x ∈(12，3)时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在(12，3)上有极值点，实数a 的取值范围是(2，103)．思维升华 (1)求函数f (x )极值的步骤 ①确定函数的定义域； ②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝0(2)函数y ＝2x －1x2的极大值是________．答案 (1)C (2)－3解析 (1)∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，∵由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0. 当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点． (2)y ′＝2＋2x3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1，x >0时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. ∴当x ＝－1时，y 取极大值－3. 题型二用导数求函数的最值例4 已知a ∈R ，函数f (x )＝a x＋ln x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0，e]上的最小值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝1x＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，x ∈(0，＋∞)．因此f ′(2)＝14，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为14.又f (2)＝ln 2－12，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2－12)＝14(x －2)，即x －4y ＋4ln 2－4＝0.(2)因为f (x )＝ax＋ln x －1，所以f ′(x )＝－a x2＋1x＝x －ax2，x ∈(0，e]．令f ′(x )＝0，得x ＝a .①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在区间(0，e]上单调递增，此时函数f (x )无最小值． ②若0<a <e ，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )在区间(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，e]时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间(a ，e]上单调递增，所以当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e，则当x ∈(0，e]时，f ′(x )≤0，函数f (x )在区间(0，e]上单调递减，所以当x ＝e 时，函数f (x )取得最小值ae.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )在区间(0，e]上无最小值；当0<a <e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ln a ；当a ≥e 时，函数f (x )在区间(0，e]上的最小值为ae .思维升华求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________________．答案 (－∞，72)解析由题意知，f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f (－23)＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.题型三函数极值和最值的综合问题例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x2x ，a ln x x(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和[23，1)上单调递减，在[0，23]上单调递增．因为f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a . 故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.思维升华求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0) D ．(－3,0)答案 C解析由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得， x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)．3．利用导数求函数的最值典例 (15分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论．规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[3分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.[5分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞.[6分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . [7分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[9分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[13分]综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[15分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.1．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( )A.283 B ．6 C.263 D ．7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的极大值为f (－2)＝283.2．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2 答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.3．(2016·温州模拟)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0 D ．不存在答案 A解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x且x >0.令f ′(x )>0，得x >1. 令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，f (1)＝12－ln 1＝12.4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.*5.(2016·安阳模拟)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34(a ，b ，c ∈R )的导函数为f ′(x )，若不等式f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( )A ．－8122 B.13 C ．2 D ．5答案 C解析由已知可得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}可知a >0，且－2,3是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则由根与系数的关系知2b 3a ＝－1，c3a ＝－6，∴b ＝－3a2，c ＝－18a ，此时f (x )＝ax 3－3a 2x 2－18ax －34，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈(－2,3)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，∴f (3)为f (x )的极小值，且f (3)＝27a －27a2－54a －34＝－115，解得a ＝2，故选C.6．(2016·奉化模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于( )A.14B.13C.12 D ．1 答案 D解析由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f (1a)＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18D ．17或18答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去． ∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．答案 (22，＋∞) 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数递减；当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数递增．∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0，解得a >22. ∴a 的取值范围是(22，＋∞)． 9．(2016·宁波模拟)已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．答案 2解析由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ，可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1± 2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2. 10．(2016·杭州模拟)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．答案－4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0.即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4. f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.11．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝x －x －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.综上，f (x )的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)，f (x )的极大值为92＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.12．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在[1e，e]上的最大值．解 (1)f ′(x )＝a x－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a －2b ＝0，f ＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2， f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1，令f ′(x )<0，得1<x ≤e，∴f (x )在[1e，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12. *13.(2017·杭州调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a >0，b ∈R )．(1)设a ＝1，b ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若对任意的x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小．解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x. ∵a ＝1，b ＝－1，∴f ′(x )＝2x 2－x －1x ＝x ＋x －x (x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴f (x )的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)．(2)由题意可知，f (x )在x ＝1处取得最小值，即x ＝1是f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0，∴2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x (x >0)，则g ′(x )＝1－4x x. 令g ′(x )＝0，得x ＝14. 当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， ∴g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0，∴g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0，故ln a <－2b .。

高考数学一轮复习单元评估检测2 函数、导数及其应用文北师大版-北师大版高三全册数学试题

单元评估检测(二) 函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·某某模拟)设函数f (x )＝1－3x＋1log 122x ＋1，则函数的定义域为( )【导学号：00090387】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C ．19D ．9 C3．(2017·某某模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜bD4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3B5．(2017·某某模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4C6．(2017·某某模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价(元) 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量(件)400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位：元/件)应为( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0D10．(2017·某某模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数g (x )＝|a x－2|的图象可能是( )图1D11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4D12．(2017·某某模拟)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________． (1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.－615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.【导学号：00090388】1816．(2017·某某模拟)某同学在研究函数f (x )＝x 2＋1＋x 2－6x ＋10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f (x )变形为f (x )＝x －02＋0－12＋x －32＋0＋12，则f (x )表示|PA |＋|PB |(如图2)，下列关于函数f (x )的描述正确的是________(填上所有正确结论的序号)图2①f (x )的图象是中心对称图形； ②f (x )的图象是轴对称图形； ③函数f (x )的值域为[13，＋∞)； ④方程f (f (x ))＝1＋10有两个解． ②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值X 围．(1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞) 18．(12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x 2·log 2x2. (1)某某数x 的取值X 围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值．[解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0，得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x 2·log 2x2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(12分)(2017·某某模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值．(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝1，f ′0＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1，g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0＝d ＝1，g ′0＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x －(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x ＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)求k 的值．(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值X 围．(3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2.(2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)．因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增，故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4，所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1，所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(12分)(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x－x e x .(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值X 围．[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x －ax 2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－A ．②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ；当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1；当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增，则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(12分)(2017·某某模拟)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)(a 为常数)．(1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，某某数a 的取值X 围． (2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 【导学号：00090389】[解] (1)根据题意知：f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝－2x 2－2x ，因为g (x )＝－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a ≥－4. 经检验：当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝2x ＋2x －1x ＋1≥0，x ∈[1，＋∞)．所以a 的取值X 围是[－4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根，即方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根．记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＞－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，g －1＞0，解得0＜a ＜12.所以x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12＜x 2＜0. 所以f x 2x 1＝x 22－2x 22＋2x 2ln x 2＋1－1－x 2.令k (x )＝x 2－2x 2＋2x ln x ＋1－1－x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.k ′(x )＝x 21＋x2＋2ln(x ＋1)，记p (x )＝x 21＋x2＋2ln(x ＋1)．所以p ′(x )＝2x 2＋6x ＋21＋x3，p ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，p ′(0)＝2.所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0使得p ′(x 0)＝0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0时，p ′(x )＜0；当x ∈(x 0,0)时，p ′(x )＞0.所以k ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0上单调递减，在(x 0,0)上单调递增，因为k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2＜0，k ′(0)＝0. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，k ′(x )＜0，所以k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减，即0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2.。

高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型

将函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单 4 位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式是
_
_______．
π 解析：函数 y＝sin2x 的图象向右平移个单位后得到 y＝sin2(x 4 π π － )＝sin(2x－ )＝－cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位可以 4 2 得到 y＝－cos2x＋1 的图象，由二倍角公式知 y＝2sin2x.
1 法二：将 y＝sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的倍， 2 纵坐标不变，得到 y＝sin2x 的图象； π π 再将 y＝ sin2x 的图象向左平移个单位，得到 y＝ sin2(x＋ )＝ 6 6 π π sin(2x＋ )的图象；再将 y＝sin(2x＋ )的图象上每一点的横坐标保 3 3 π 持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝2sin(2x＋ )的图象． 3
1 π 解：(1)y＝3sin( x－ )的周期 T＝4π. 2 4 π 振幅为 3，初相为－ . 4
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点列表：
x 1 π x－ 2 4 1 π 3sin( x－ ) 2 4 0 －－ π 4 π 2 0 0 3π 2 π 2 3 5π 2 π 0 7π 2 3π 2 4π
π (3)法一：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移个单位，得到 y＝ 3 π π sin(x＋ )的图象，再把 y＝sin(x＋ )的图象上的点的横坐标缩短到原 3 3 1 π 来的倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin(2x＋ )的图象，最后把 y＝sin(2x 2 3 π ＋ )上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y 3 π ＝2sin(2x＋ )的图象． 3
答案：0
1. y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx 振幅＋φ)(A>0， ω>0)，

2023年新高考数学一轮复习5-2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(真题测试)解析版

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（真题测试）一、单选题1．（2013·广东·高考真题（文））已知51sin()25πα+=，那么cos α=（） A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】由51sin 25πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，得 1cos 5α=.故选C ． 2．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）已知3tan 4α=，α为第三象限角，则cos α的值为（）A ．35B ．35 C ．45D ．45-【答案】D 【解析】【分析】根据同角三角函数的关系求解即可【详解】因为3tan 4α=，故sin 3cos 4αα=，即2216sin 9cos αα=，221616cos 9cos αα-=，所以216cos 25α=，因为α为第三象限角，故4cos 5α=-故选：D3．（2022·辽宁· ） A ．sin 4cos4- B ．sin4cos4-- C ．cos4sin 4- D ．sin4cos4+【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式和平方关系求解. 【详解】==cos4sin 4=-，故选：C4．（2007·山西·高考真题（理））α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（） A ．15B ．15-C ．513D ．513-【答案】D 【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系，得到22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，求解，再根据题意，即可得出结果. 【详解】因为5tan 12α=-，由同角三角函数基本关系可得：22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得：5sin 13α=±，又α是第四象限角，所以5sin 13α=-. 故选：D.5．（2020·全国·高考真题（理））已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（） AB ．23C ．13D【答案】A 【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A.6．（2014·全国·高考真题（理））设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则（） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】【详解】试题分析：利用诱导公式、三角函数的单调性即可得出．解：∵a=sin33°，b=cos55°=sin35°， ∴a ＜b ，又sin 35tan 35sin 35cos35=>，∴c ＞b ＞a ．故选C ．7．（2010·全国·高考真题（理））记0cos(80)k -=，那么0tan100=（）AB ．C D ．【答案】B 【解析】【详解】()0cos 80k -=,cos80k ∴=,从而22sin801cos 801k =-=-，sin 801tan 80cos80∴==，那么21tan100tan(18080)tan 80k k-=-=-=- 故选B ．8．（2022·安徽·高一期中）设0πα<<，1sin cos 2αα+=，则cos sin αα-=（）A ．12B ．12±C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】由条件两边平方结合同角关系可求2sin cos αα，结合同角关系求cos sin αα-.【详解】因为1sin cos 2αα+=，所以()21sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα=-，sin α与cos α异号．而已知0πα<<，所以sin 0α>，cos 0α<．因为()237cos sin 12sin cos 144αααα-=-=+=，所以取cos sin αα-=．故选：C. 二、多选题9．（2022·辽宁·凌源市实验中学高一阶段练习）已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是（） A ．()sin sin x x -= B ．3sin cos 2x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．cos sin 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．()tan tan x x π+=【答案】CD 【解析】【分析】由三角函数的诱导公式化简可得. 【详解】∵()sin sin x x -=-，故A 不成立；∵3sin cos 2x x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，故B 不成立；∵cos sin 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故C 成立；∵()tan tan x x π+=，故D 成立. 故选：CD.10．（2021·江苏·高一专题练习）在平面直角坐标系中，若α与β的终边关于y 轴对称，则下列等式恒成立的是（）A ．()sin sin απβ+=B ．()sin sin απβ-=C ．()sin 2sin παβ-=-D ．()sin 2sin παβ+=【答案】CD 【解析】【分析】根据α与β的终边关于y 轴对称可得()2k k Z αβππ+=+∈，利用诱导公式依次验证各个选项即可. 【详解】α与β的终边关于y 轴对称，()2k k Z αβππ∴+=+∈，对于A ，()sin sin απα+=-，()sin sin 2sin k βππαα=+-=，则()sin sin απβ+=不恒成立，A 错误；对于B ，()sin sin απα-=-，()sin sin 2sin k βππαα=+-=，则()sin sin απβ-=不恒成立，B 错误；对于C ，()sin 2sin παα-=-，()sin sin 2sin k βππαα-=-+-=-，则()sin 2sin παβ-=-恒成立，C 正确；对于D ，()sin 2sin παα+=，()sin sin 2sin k βππαα=+-=，则()sin 2sin παβ+=恒成立，D 正确. 故选：CD.11．（2022·云南玉溪·高一期末）已知(0,)θπ∈，sin cos θθ+= ）A ．sin cos 0θθ<B ．sin cos θθ-C ．cos θ=D ．sin θ=【答案】ABD 【解析】【分析】考虑角θ 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可. 【详解】由sin cos θθ+=…①，以及22sin cos 1θθ+= ，对等式①两边取平方得112sin cos 5θθ+= ，2sin cos 5θθ=- …②，()0,θπ∈ ，sin 0θ∴＞，由②，cos 0θ＜，由①②sin θ ，cos θ 可以看作是一元二次方程2205x -= 的两个根，解得sin θ=，cos θ= ，故A 正确，B 正确，C 错误，D 正确；故选：ABD.12．（2022·福建·+） A ．3B ．3-C ．1D ．1-【答案】ABCD 【解析】【分析】由题得原式cos 2sin |cos ||sin |αααα=+，再对α分四种情况讨论得解.【详解】cos2sin|cos||sin|αααα=+，当α在第一象限时，原式cos2sin=3c=os sinαααα+；当α在第二象限时，原式cos2sin=1cos si=nαααα+-；当α在第三象限时，原式cos2sin==3cos sinαααα+---；当α在第四象限时，原式cos2s=in=1cos sinαααα+--.故选：ABCD三、填空题13．（2011·重庆·高考真题（文））若cosα=﹣，且α∈（π，），则tanα=______．【答案】【解析】【详解】试题分析：根据α∈（π，），cosα=﹣，求出sinα，然后求出tanα，即可．解：因为α∈（π，），cosα=﹣，所以sinα=﹣，所以tanα==故答案为14．（2015·四川·高考真题（文））已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【答案】－1【解析】【详解】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos2α＝22222sin cos cos2tan1411sin cos tan141ααααααα----===-+++15．（2010·上海·高考真题）在△ABC中，tan A，则sin A=____________【解析】【详解】因为tan 03A =>，则A ∠是锐角，于是2221111tan 199cos A A +=+==，则29cos11A =，cos A =sin tan cos A A A =⋅==．（或由29cos 11A =得22sin 11A =，因为sin 0A >，则sin A =．） 16．（2012·山东·高考真题（文））如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________.【答案】()2sin 2,1cos2--【解析】【详解】如图，连结AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知BP 的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－2π.∴DP ＝AP·sin 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2，∴PC ＝1－cos 2，DA ＝APcos 22π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2.∴OC ＝2－sin 2.故OP ＝(2－sin 2,1－cos 2)．四、解答题17．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）（1）已知()1sin 3πα-=，求()sin 3,cos 2ππαα⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．（2）化简()()sin 2cos 3sin cos 22παπαππαα-⋅+⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）sin ()3πα+13=-；1cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）1-．【解析】【分析】（1）化简已知得sin 13α=，再利用诱导公式化简即得解；（2）直接利用诱导公式化简即得解. 【详解】（1）由sin ()13πα-=，有sin 13α=，所以sin ()()13sin sin 3παπαα+=+=-=-；1cos sin 23παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭.（2）()()()()sin 2cos sin cos 13cos sin sin()cos 22παπαααππαααα-⋅+⋅-⋅-==-⋅-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭. 18．（2022·福建·高二学业考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于P 点34,.55⎛⎫⎪⎝⎭(1)求()sin πα-的值； (2)求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)45(2)-7【解析】【分析】先求出 sin α 和tan α ，在根据诱导公式和两角和正切公式计算即可. (1)由题意，4445sin ,tan 3535αα===，()4sin sin 5παα∴-== ；(2)41tantan 34tan 7441tan tan 143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-- ；综上，()4sin π,tan 754παα⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭.19．（2022·四川省资中县第二中学高一阶段练习（理））已知sin cos αα+= (1)求π3πsin cos 22αα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)若ππ2α<<，β终边经过()3,4P -，求()()()111sin πcos 3πcos 2πααβ++-+--. 【答案】(1)1353【解析】【分析】（1）将sin cos αα+=两边同时平方，得到1sin cos 3αα=-，再利用诱导公式计算可得；（2）首先求出sin cos αα-，再根据任意角的三角函数的定义求出cos β，再利用诱导公式化简，最后代入计算可得； (1)因为sin cos αα+=，所以()22sin cos αα⎛+= ⎝⎭，即112sin cos 3αα+=，所以1sin cos 3αα=-，所以31sin cos cos sin 223ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为2απ<<π，所以sin 0cos αα>>所以sin cos αα- 又因为β终边经过()3,4P -，所以3cos 5β==- 所以111sin()cos(3)cos(2)παπαβπ++-+--111sin cos cos ααβ=-+cos sin 1sin cos cos ααααβ-=+15313335=+=--20．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）已知1sin cos 5αα+=.(1)求sin cos αα⋅的值(2)若2απ<<π，求()11sin cos απα+-的值. 【答案】(1)1225-； (2)3512. 【解析】【分析】（1）把1sin cos 5αα+=平方即得解；（2）求出cos sin αα-，即得解. (1)解：21(sin cos )12sin cos 25αααα+==+， ∴12sin cos 25αα=-. (2) 解：原式=11cos sin sin cos sin cos αααααα--=，∵21249(cos sin )12sin cos 122525αααα⎛⎫-=-=-⋅-= ⎪⎝⎭，又∵,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos 0α<，sin 0α>，cos sin 0αα-<，∴7cos sin 5αα-=-，∴原式7355121225-==-.21．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知1sin cos 2αα+=，0απ<<. (1)求sin cos αα的值. (2)求sin cos αα-的值. (3)的值.【答案】(1)38-(3)43- 【解析】【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则sin cos αα-=，从而可得出答案；（3）=化简，从而可求出答案.(1)解：因为1sin cos 2αα+=，所以()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααααα+=++=+=，所以3sin cos 8αα=-； (2)解：因为0απ<<，3sin cos 8αα=-，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos αα-=； (3) 解：由（2）得sin 0,cos 0αα><，=1sin 1cos cos sin αααα--=--()()sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-sin cos 1sin cos αααα+-=-11238-=--43=-. 22．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（理））已知()0,θπ∈，7sin cos 5θθ-=． (1)求sin cos θθ+的值；(2)求tan θ的值．【答案】(1)15±(2)见解析.【解析】【分析】（1）将已知等式两边平方，求出sin cos θθ的值，结合()0,θπ∈，可知θ为第二象限角，可得sin cos θθ+的值；（2）由（1）知sin cos θθ+的值，与已知等式联立可求出sin cos θθ，的值，则tan θ的值可求. (1) 把7sin cos 5θθ-=平方后得，4912sin cos 25θθ-=，可得12sin cos 25θθ=-，可得sin cos 0θθ<，由()0,θπ∈，可得sin 0θ>，cos 0θ<，有,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．由()2241sin cos 12sin cos 12525θθθθ+=+=-=，有1sin cos 5θθ+=±． (2)由（1）有，①1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得4sin 45tan 3cos 35θθθ===--． ②1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得3sin 35tan 4cos 45θθθ===--．。

高三数学第一轮复习阶段测试卷集合、三角、数列、向量、导数文试题

高三文科数学阶段测试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日测试范围：【集合、三角、数列、向量、导数】一、选择题：〔10×5=50分〕1．设复数z 满足(1)1,||i z i z -=+则=A ．0B ．1C ．2D ．22．2{|2,},{|log 1},M x x x N N x x M N =>-∈=<则=A ．{|21}x x -<<B ．{|22}x x -<<C ．{0，1}D ．{1}3．()()1,513,517xf x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⨯<⎪⎩，那么()3log 255f ＝ A ．3log 25517B ．85C ． 5D ．154．22"2""00"a b a b ab+≤-><是且的A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()lg(||1)f x x =-的大致图象是6．设{}n a 是等差数列，246a a +=，那么这个数列的前5项和等于A ．12B ．13C ．15D ．187．以下命题正确的选项是A ．在〔,2ππ〕内，存在x ，使5sin cos 4x x +=B ．函数2sin()5y x π=+的图像的一条对称轴是45x π=C ．函数211tan y x =+的周期为2πD ．函数2sin y x =的图像可以由函数2sin(2)4y x π=-的图像向左平移8π个单位得到 8．向量),(),0,2(y x b a == ，假设b 与a b -的夹角等于6π，那么b 的最大值为A ．4B ．C ．2D．39．,x y 满足约束条件02,02,32,x y z ax y y x ≤≤⎧⎪≤≤=-⎨⎪-≥⎩如果的最大值的最优解为4(2,)3，那么a 的取值范围是A ．1[,1]3B ．1(,1)3C ．1[,)3+∞D ．1(,)3+∞10．函数()f x 和()g x 的图象关于y 轴对称，且()212f x x x =+．那么不等式()()4g x f x x ≥--的解集为A ．(,0]-∞B ．[]0,2C ．(,2]-∞D ．[2,)+∞二、填空题：〔5×5=25分〕11．2〔lg 2〕2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-－339·-aa ÷3713a a =12．对于向量c b a ,,，以下给出的条件中，能使c b a c b a⋅⋅=⋅⋅)()(成立的序号是①0 =b ②b a // ③c a// ④c b //13．3211,11==；332129,(12)9+=+=；333212336,(123)36++=++=；333321234100,(1234)100+++=+++=；……；那么333331234n +++++=14.假设函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，那么实数k 的取值范围是15．假设函数2()(*)f x x n N =∈图像在点〔1，1〕处的切线为12,l l 在x 轴，y 轴上的截距分别为,n n a b ，那么数列{25}n n a b +的最大项为三、解答题：〔10+12+13=35分〕16、〔本小题满分是10分〕递增的等比数列{n a }的前n 项和为Sn ，且30,642==S S 〔1〕求数列{n a }的通项公式。

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）第I 卷（选择题）一、单选题1．已知奇函数()f x ，且()()g x xf x =在[)0,+∞上是增函数.若(2)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<2．已知命题:0,ln(1)0p x x ∀>+>；命题:q 在ABC 中，若3B π∠>，则3sin 2B ∠>.则下列复合命题正确的是（） A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝3．直线1y =，y x =，1x =及幂函数1y x -=将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数13y x -=的图像在第一象限中经过（）A ．③⑦B ．③⑧C ．④⑦D ．①⑤4．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]6,8C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]6,105．若函数()()ln 1xf x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2-6．甲、乙两人解关于x 的方程：2log log 20x x b c ++=，甲写错了常数b ，得到根为14x =，18x；乙写错了常数c ，得到根为12x =，64x =．那么原方程的根正确的是（）A ．4x =B ．3x =C ．4x =或8x =D ．2x =或3x =7．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-8．若,,(0,1)r s t ∈，且45log log lg r s t ==，则（） A ．1115104r s t << B ．1113104s r t << C ．1111054t s r <<D ．1111054r t s <<9．已知函数()(3lg f x x x =+，若当0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2sin 4sin 0f t f t θθ+->恒成立，则实数t 的取值范围是（） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知函数()22x a xf x -=+的图象关于直线1x =对称，若()log ,04,6,46a x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩且123x x x <<，()()()123g x g x g x ==，则123x x x 的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,4C ．()4,6D ．(]4,611．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知集合{}|1M x x =>，(){}2|lg 3N x y x x ==-，则M N ⋃为（）A ．[)3,+∞B ．()1,+∞C ．()1,3D ．()0,∞+第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，则()()22log 48log 3f f -=______. 14．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2yx 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________. 15．若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x m =.设函数(){}f x x x =-，则函数()f x 的最大值是______.16．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即log ba a Nb N =⇔=，现已知4log 6a =，36b =，则12a b+=_______．三、解答题17．经普查，某种珍稀动物今年存量为1100只，而5年前存量为1000只． (1)在这5年中，若该动物的年平均增长率为a %，求a 的值（结果保留一位小数）； (2)如果保持上述的年平均增长率不变，那么还需要经过几年才能使该动物的存量达到1300只？（精确到1年）18．已知函数()sin xf x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．19．已知实数0a ≠，函数()ln ||1f x ax =+. （Ⅰ）证明：对任意()0,a ∈+∞，()532f x a ≤-恒成立；（Ⅱ）如果对任意()0,x ∈+∞均有()x af x x a-≤+，求a 的取值范围.20．已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；（2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．21．已知，()(2)x f x x e =-.（1）当0a 时，求21()2()(1)2g x f x a x =+-的单调区间；（2）若当0a 时，不等式()21()242f x a x x +-+在[0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()ln f x x x a =+，()ln g x x ax =-．（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()g x 有2个不同的零点，求实数a 的取值范围；（3）若对任意的1x >，()()0f x g x +>恒成立，求实数a 的最大值．23．已知函数321()3f x x x mx m =+++.（1）若1x 为()f x 的极值点，且()()12f x f x =（12x x ≠），求122x x +的值. （2）求证：当0m >时，()f x 有唯一的零点.24．已知幂函数()223mm f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，x ⎡∈⎣（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值参考答案1．C2．D3．D4．C5．B6．C7．A8．A9．D10．C11．D12．D 13．0 14．①③④ 15．12##0.516．2 17．(1) 1.9a = (2)9年18．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min f x -=19．（Ⅱ）(]0,120．（1）4k ≤；（2）k 2≤.21．（1）增区间为(1,)+∞，减区间为(,1)-∞（2）12a ≥ 22．（1）极小值11f a e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（2）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）2．23．（1）1223x x +=-（2） 24．（1）1m =；（2）116-.。

高三数学一轮复习-集合-函数-导数测试卷

高三数学第一轮复习集合、函数测试题姓名_________ 班级_________ 分数_________一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)． 1.设全集为R , 函数()1f x x =-的定义域为M , 则C M R 为（）A ．(-∞,1)B ．(1, + ∞)C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是（）A ．1y x=B ．x y e-=C ．21y x =-+D ．lg ||y x =3．“1<x<2”是“x<2”成立的______（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 命题“∀x >0，都有x 2－x ≤0”的否定是( )A ．∃x >0，使得x 2－x ≤0B ．∃x >0，使得x 2－x >0C ．∀x >0，都有x 2－x >0D ．∀x ≤0，都有x 2－x >05．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =（）A ．15B ．3C ．23D ．1396. 设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是 ( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．函数)34(log 231x x y-+=的一个单调增区间是( )A .⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-23,B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞,23C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡4,23 8.已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为，（）A ．9B ．6C ．-9D ．-69. 函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是（）10.函数121()()2xf x x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．311.设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则（）A ．()0()g a f b <<B ．()0()f b g a <<C ．0()()g a f b <<D ．()()0f b g a <<12.已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．413.(),()2,=________1f x f a a x==+设函数若则实数 14.设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则3f 2（）=_______________. 15．函数21()4ln(1)f x x x =-+______________.16．已知函数a x e x f x+-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．}{()()1212,log 1(10);();R x x B x x A B C A B ⎧⎫⎪⎪-≤=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭I ∏U I 17.已知集合A=集合本小题满分分求求18.已知[]2,24(01),x x a a a a ∈-<>≠时，且求实数的取值范围。

2022届高三数学(理)一轮总复习练习-第三章三角函数、解三角形 3-4 Word版含答案

课时规范训练[A 级基础演练]1．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：选C.∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 3．(2022·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.32πD ．2π解析：选B.法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6×2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.4．(2022·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )解析：选B.法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B.5．(2021·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋ф)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为．解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．由于|φ|<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案：－326．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝．解析：由已知条件可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，又由0≤x <2π得－π3≤x －π3<5π3，当x －π3＝π2时y 取得最大值，此时x ＝5π6.答案：5π67．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为．解析：分析三角函数图象，依据最小值求k ，再求最大值．依据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.答案：88．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为．解析：利用正弦函数的对称性求周期． ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.答案：π9．(2022·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由于f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8k ∈Z .10．已知函数y ＝f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋a (x ∈R )，其中a 为常数． (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期；(2)假如y ＝f (x )的最小值为0，求a 的值，并求此时f (x )的最大值及图象的对称轴方程．解：(1)y ＝f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，所以函数的最小正周期T ＝π.(2)f (x )的最小值为0，所以－2＋a ＋1＝0，故a ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2的最大值等于4.当2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )时函数有最大值或最小值，故函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． [B 级力量突破]1．同时具有性质：“①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上是增函数”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析：选C.对于A ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的最小正周期为4π，故排解A ；对于B ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的最小正周期为4π，故排解B ；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3时，2x ＋π3∈(0，π)，此时y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3单调递减，故排解D.选C.2．函数f (x )＝|sin x |＋2|cos x |的值域为( ) A ．[1， 5 ] B ．[1，2] C ．[2， 5 ]D ．[5，3]解析：选A.∵f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＋2|cos(x ＋π)|＝|－sin x |＋2|－cos x |＝|sin x |＋2|cos x |， ∴f (x )为偶函数，f (x )为周期函数，其中的一个周期为π，故只需考虑f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域即可．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋2cos x ＝5sin(x ＋α)，其中cos α＝15，sin α＝25，∴f (x )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝5，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时， f (x )＝sin x －2cos x ＝5sin(x ＋β)，其中cos β＝15， sin β＝－25，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝5，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴f (x )的值域为[1， 5 ]．3．(2021·江西南昌一模)如图，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )分别是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与两条直线l 1：y ＝m (A ≥m ≥0)，l 2：y ＝－m 的两个交点，记S (m )＝|x N －x M |，则S (m )的图象大致是( )解析：选C.如图所示，作曲线y ＝f (x )的对称轴x ＝x 1，x ＝x 2，点M 与点D 关于直线x ＝x 1对称，点N 与点C 关于直线x ＝x 2对称，所以x M ＋x D ＝2x 1，x C ＋x N ＝2x 2，所以x D ＝2x 1－x M ，x C ＝2x 2－x N ，又点M 与点C 、点D 与点N 都关于点B 对称，所以x M ＋x C ＝2x B ，x D ＋x N ＝2x B ，所以x M ＋2x 2－x N ＝2x B ，2x 1－x M ＋x N ＝2x B ，得x M －x N ＝2(x B －x 2)＝－T2， x N －x M ＝2(x B －x 1)＝T2，所以|x M －x N |＝T2(常数)，其中，T 为f (x )的周期，选C.4．设函数f (x )＝|cos x |＋|sin x |，下列四个结论正确的是．①f (x )是奇函数；②f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称；③当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]；④当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )单调递增．解析：对于①，f (－x )＝|cos(－x )|＋|sin(－x )|＝|cos x |＋|sin x |，∴f (－x )＝f (x )是偶函数，①不正确；对于②，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，②正确；对于③④，留意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，因此函数f (x )是以π2为周期的函数，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝|sin x |＋|cos x |＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是[1，2]，故当x ∈[0，2π]时，f (x )∈[1，2]，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2>1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是增函数，故③正确，④不正确．综上所述，其中正确的结论是②③.答案：②③5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3(ω>0)，依据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3的图象，依据g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，可得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，由于m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z .结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12.。

近年年高考数学一轮复习单元评估检测2函数、导数及其应用文北师大版(2021学年)

2019年高考数学一轮复习单元评估检测2 函数、导数及其应用文北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2０19年高考数学一轮复习单元评估检测２函数、导数及其应用文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为２019年高考数学一轮复习单元评估检测2 函数、导数及其应用文北师大版的全部内容。

单元评估检测（二）函数、导数及其应用（120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题５分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１.(２017·长沙模拟）设函数f(x)=＼r(1－3x）+1，log＼ｆ（122x+1)，则函数的定义域为（ )【导学号：０0090387】A．错误!B．错误!ﻩＣ．错误!∪(0,+∞）ﻩＤ．错误!A2.已知函数f(x)＝错误!则ｆ(ｆ(4))的值为( ）ﻩ A.－１９ﻩＢ.-9ﻩ C.错误!ﻩD．9Ｃ３.(2017·太原模拟)设a=lｏg3７,b＝21.1，c＝０.83.１，则（ )ﻩＡ．b＜a<c B．a<c＜bﻩC．c<b＜aﻩD．ｃ<a＜bD４．下列函数中,在（-1,1)内有零点且单调递增的是( ）A.y＝lｏｇ２ｘB.y＝２x－1C．y＝x2－2 Ｄ.y=－ｘ3B５.(2017·洛阳模拟)函数y=a－a x(ａ＞０，a≠1)的定义域和值域都是[0，1],则logａ错误!＋ｌog a错误!=( ）ﻩA．１ﻩB．2ﻩ C.3 ﻩ D.４ﻩC6.（201７·珠海模拟)设函数f(ｘ)是定义在Ｒ上的奇函数，且ｆ（ｘ)＝错误!则g（f(－7))＝( )ﻩ A.3 ﻩB．-3C.２Ｄ．-２D７.某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示:销售单价(元)4５６78910日均销售量(件)400３6３2０2８０2４200１6请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价（单位：元／件)应为( )A.4 ﻩB.5。

高三第一轮复习单元测试—导数

学习必备欢迎下载高三第一轮复习单元测试(12)—导数试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。

共 150分。

考试时间120分钟。

题号-一--二二三总分151617181920分数、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分). 1.已知二次函数 y = ax 2 (a 2 1)x 在x = 1处的导数值为1,则该函数的最大值是( )25 B .25 8A .2•函数 16x 2 -1 的导数是y -xA . x 2 1B .x 2 12xx4.已知f(x) =2x 3 -6x 2 a(a 是常数)在［-2,2］上有最大值3，那么在［-2,2］上的最小值是 ()A . -37B . -29C . -11D .-525.设y = x -81 nx ,则此函数在区间(0,1)和(3,4)内分别为()A .单调递增，单调递减B.单调递增，单调递增C.单调递减，单调递增D.单调递减，单调递减sin x6.曲线y 二-丄在点M (―,0)处的切线的斜率为()sin x +cosx2425 2x 2 3•已知一个物体的运动方程是体在4秒末的瞬间速度是 A . 6米/秒B . 2s =1 -1 • t ，其中s 的单位是米,7米/秒C . 8米/秒t 的单位是秒，那么该物( )D . 9米/秒C . 4 ■ 2x 8y - . 2二二 0D . 4 2x - 8y - 2二=0学习必备欢迎下载4A. 4x 8y - 二=0 B . 4x -8y -二-07.已知〉为曲线y二飞在点P处的切线的倾斜角，则 :的取值范围是( )e 1A • ［0,】］B •「二)C (二主］D •［生，二)4 4 2 2 4 48.如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0) =0，则导函数y = S (t)的图像大致为( )第口卷二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9.函数f (x) =x2 -2x-41 nx的递增区间为__________________ ;递减区间为_______________ .10.函数f(x) =x3 -3x 1在闭区间［-3,0］上的最大值_____________ ;最小值分别是.11.过点(1,0)与曲线y =e x相切的直线方程为___________________ . ______________12.若函数f(x) =x3 -ax2，1在区间(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是.213.设直线x二t与函数f(x)二x , g(x)=l nx的图像分别交于点M,N，当| MN |达到最小时t的值为___________ .14.已知函数f(x)是定义在实数集R上的函数，给出下列结论：①若存在常数X。

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1
周末自测卷（三）
2010-10-22

一、选择题：
1．已知R为实数集，集合M=}1|{},02|{2xxNxxx集合，则
)(NCM
R


=（）

A．}10|{xx B．}20|{xx C．}1|{xx D．

2．已知命题;25sin,:xRxp使.01,:2xxRxq都有命题给出下列结论：
①命题“qp”是真命题 ②命题“qp”是假命题
③命题“qp”是真命题； ④命题“qp”是假命题
其中正确的是（）
A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③

3．已知条件甲：函数xaxf)( (0,1aa)在其定义域内是减函数，条件乙：lg0a，
则条件甲是条件乙的（）
A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要的条件

4．在△ABC中，已知21,6,sin2sinsin的面积为若且ABCBBCA，则∠B的对边b等
于 A．31 B．3+3 C．2+3 D．333 （）

5．若函数1log12)(21xxxxfx，则函数)2(xfy的图象可以是（）

6．已知定义在R上的函数)(xf的图象关于点)0,43(成中心对称图形，且满足

)2008()2()1(,2)0(,1)1(),23()(fffffxfxf则
的值为（）

A．－2 B．－1 C．1 D．2
7．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有小正方形个数（）

A．22n B．14n C．222nn D．2)2)(1(nn
8．ABC为钝角三角形且sinC最大，若角终边上一点P(sincos,cossin)ABAB，则
cos
sintan

sincostan
y
的值是：A．1 B．1 C． 3 D．3

9. 已知函数f（n）＝22nn )()(为偶数时当为奇数时当nn，且an=f（n）＋f（n＋1），则a1＋a2＋…＋a100=（）
A．0 B．100 C．－100 D．－10200
10.设(),()fxgx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，()()()()0fxgxfxgx，

且(3)0g，则不等式()()0fxgx的解集是
A．(3,0)(3,) B．(3,0)(0,3)C．(,3)(3,) D．(,3)(0,3)

11.以知函数()fx满足：(1)(3),()fxfxxR且()fx在1,增，
则(2),(ln2),(lg2),(2)ffff中最大的是A. (2)f Ｂ. (ln2)f Ｃ.(lg2)f Ｄ.(2)f
12．已知定义在R上的函数)(xfy满足下列三个条件：①对于任意的(2)()xfxfxR都有；
②对于任意的)()(202121xfxfxx都有； ③函数.)2(轴对称的图象关于yxfy
则下列结论正确的是（）
A．)5.15()5()5.6(fff B．)5.15()5.6()5(fff

C．)5.6()5.15()5(fff D．)5.6()5()5.15(fff
2

二、填空题：
13. 22(1cos)xdx
14．已知函数2723bxaxxy在1x处有极大值，在3x处极小值，
则a ，b
15．设p：方程2210xmx有两个不相等的正根；q：方程22(2)3100xmxm无
实根．则使pq为真，pq为假的实数m的取值范围是
16．已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的
切线方程是．
三、解答题：

17．（本题满分12分）已知1:123xp；)0(012:22mmxxq 若p是q的必要
非充分条件，求实数m的取值范围.

18. （本题12分）已知函数.2321)3(,2)0(,cossincos2)(2ffxxbxaxf且
（1）求a，b的值；（2）求)(xf的最大值及取得最大值时x的集合；
（3）写出函数)(xf在[0，]上的单调递减区间.

19. （本题满分12分）用长为16米的篱笆，借助墙
角围成一个矩形ABCD(如图)，
在P处有一棵树与两墙的距离分别为a米
（0形ABCD面积的最大值M.

20．（本题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
.272cos2sin4,7,52CBAcba且
（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积.

a米
4米
C

D
P
A

B
3
21．（本题满分12分）已知函数)(ln)(Raxaxxf

（Ⅰ）求)(xf的极值；
（Ⅱ）若函数)(xf的图象与函数)(xg=1的图象在区间],0(2e上有公共点，求实数a的取值范
围.

22.（本题满分14分）对于函数323fxbxaxx。
（1）若fx在13xx和处取得极值，且fx的图像上每一点的切线的斜率均不超过
2
2sincos23cos3ttt
试求实数t的取值范围；

（2）若fx为实数集R上的单调函数，且1b，设点P的坐标为,ab，试求出点P的轨迹
所形成的图形的面积S.