高三数学(文科)模拟试题(含答案)

高三数学（文科）模拟试题（含答案）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.

2. 答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔用答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破.

第一部分 选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合{

}{}

2

230,ln()A x x x B x y x =+-≤==-，则A B =I A ．[3,0]-

B ．[3,1]-

C ．[3,0)-

D ．[1,0)-

2．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为 A ．椭圆

B ．双曲线

C ．抛物线

D ．线段

3．设0.7log 0.8a =，0.9

11log 0.9 1.1b c ==，，那么 A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c <<

D ．c a b <<

4．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子，乙丑，丙寅，…癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…癸未，甲申，乙酉，丙戌，…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年

B ．乙巳年

C ．丙午年

D ．丁未年

5．函数3cos 1

()x f x x

+=

的部分图象大致是 A ． B ．

C ．

D ．

6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治，地理，化学，生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是 A ．

16 B ．

12 C ．23

D ．

56

7．若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，，且3a b -=r r ，则向量a r ，b r

的夹角为

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

8．某程序框图如图所示，其中2

1

()g x x x

=

+，若输出的2019

2020

S =

，则判断框内应填入的条件为 A ．2020?n < B ．2020?n ? C ．2020?n >

D ．2020?n …

9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于 A ．18

B ．36

C ．45

D ．60

10．已知函数()cos sin f x x x =-，那么下列命题中假命题是 A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 在[,0]π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数

D ．()f x 在[,0]π-上是增函数

11．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===AB AC BC ===P ABC -外接球的体积是

A ．36π

B ．

125π

6

C ．

32π

3

D ．50π

12．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若223AF BF =，

125BF BF =，则椭圆C 的方程为

A ．2

212

x y +=

B ．22132

x y +=

C ．22143

x y +=

D ．22

154

x y +=

第二部分 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡的相应位置上. 13．曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为 .

14．某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据1x ，2x ，…，100x 的方差

为16，则数据121x -，221x -，…，10021x -的方差为 .

15．设F 为双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆

222+x y a =交于P Q ，两点．若PQ OF =，则C 的离心率为 .

16. 在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为4a b c c a A ==，，，，，且角C 为锐角，

则ABC ?面积的最大值为 .

B 1

C 1

A 1

D

C

B

A

三、 解答题：满分70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17～21题为必考题，每

个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．(本小题满分12分)

在等比数列{}n b 中，公比为(01)q q <<，13511111,,,,50322082b b b ??

∈???

?，，． （Ⅰ）求数列{n b }的通项公式；

（Ⅱ）设()31n n n c b -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

18．(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC ⊥，

D 是11B C 的中点，1112A A A B ==.

（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1A CD ；

（Ⅱ）异面直线1AB 和BC 所成角的余弦值为

13

，求几何体11A B DCA 的体积.

19．(本小题满分12分)

已知某保险公司的某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的400名续保人在一年内的出险情况，得到下表：

该保险公司这种保险的赔付规定如下：

（Ⅰ）求本年度续保人保费的平均值的估计值；

（Ⅱ）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险3次，则可获得赔付()2.5 1.5a a a ++

元；若续保人在本年度内出险6次，则可获得赔付()2.5 1.50.5a a a a +++元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值； （Ⅲ）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午1030：～1130：

之间上门签合同，因为续保人临时有事，外出的时间在上午1045：～1105：之间，请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少？

20．(本小题满分12分)

已知点()1e ，，e ? ?

?在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，其中e 为椭圆的离心率，椭圆

的右顶点为D .

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）直线l 过椭圆C 的左焦点F 交椭圆C 于A ，B 两点， 直线DA ,DB 分别与直线a x e

=-

交于N ，M 两点，求证： 0NF MF ?=u u u r u u u u r

.

21．(本小题满分12分)

已知函数()2

()2ln f x x x ax a R =+-∈有两个极值点12x x ，，其中12x x <.

（Ⅰ）求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）当a

≥+

()()12f x f x -的最小值. （二）选考题：共10分. 请考生从给出的第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把

所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．(本小题满分10分) 选修4-4；坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，

曲线2

1:4sin 20C ρρθ-+=，曲线2:cos 042

C πρθ??

-+= ??

?. （Ⅰ）求曲线12C C ，的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线1C 与y 轴交于A B ，两点，P 为曲线2C 上任一点，

求PA PB +的最小值.

23．(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲

已知函数()f x x t =+的单调递增区间为[)2,-+∞. （Ⅰ）求不等式()121f x x +<+的解集M ； （Ⅱ）设a b M ∈，，证明：1

a b ab +<+.

参考答案

一、选择题

CDCCB DBACD BA 二、填空题

13．10x y -+= 14．64 15

16

．三、解答题

17．解：（Ⅰ）因为公比为(01)q q <<的等比数列{}n b 中，

13511111,,,,50322082b b b ??

∈?

???

，， 所以，当且仅当135111

,,2832

b b b =

==

时成立.----------------------2分 此时公比2

3114b q b =

=,1

2

q = ---------------------------------3分 所以1.2n

n b ??

= ???

------------------------------------------------5分

（Ⅱ）因为1(31)2n

n c n ??

=-? ???

所以 123n n T c c c c =++++L

1231111=258(31)2222n

n ????????

?+?+?++-? ? ? ? ?????????

L --------------7分

2

3

1

1111125(34)(31)22222n

n n T n n +????????

∴=?+?++-?+-? ? ? ? ?????????

L --------8分

1231

11111123(31)222222n n n T n +????????????

∴=?+?+++--??? ? ? ? ? ???????????????

L --------9分

1

1

111131(31)222n n n -+????

??

=+?---??? ?

???

??????

-------------------------11分

5135

222

n

n +??=-? ???

故数列{}n c 的前n 项和15(35)2n

n T n ??

=-+? ???

----------------------------12分

18. 解：（Ⅰ）如图，连结1AC 交1A C 于点E ，连结DE ---------------------------1分 因为在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是矩形

所以 点E 是1A C 的中点---------------------------------------------2分

因为D 是11B C 的中点

所以 DE ∥1AB ---------------------------------------------------3分

因为1AB ?平面1A CD ，DE ?平面1A CD

所以 1AB ∥平面1A CD ---------------------------------------------4分

（Ⅱ）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱 所以 111AA AC ⊥

因为1111111A B AC A A A B ⊥=，

所以 111AC B C =---------------------------------------------------5分

因为异面直线1AB 和BC 所成角的余弦值为

13

所以11cos AB C ∠=

--------------------------------------------6分 因为1111112A A A B A A A B ==⊥，

所以 1AB 分

根据余弦定理，在11AB C ?中，2

2

2

111111111=2cos AC B C AB B C AB AB C +-??∠

可得11B C 分

因为111111=2A B AC A B ⊥，，所以 由勾股定理可得 11=3A C 因为11111111111,,C A A B C A A A A A A B A ⊥⊥=I 所以111C A A B ⊥平面

同理111A B AC ⊥平面------------------------------------------------9分

所以 11111=A B DCA D A AB D AA C V V V --+--------------------------------10分

11311

2223132232

=

????+???? 2=

所以 几何体11A B DCA 的体积为2.----------------------------------12分

19. 解：

0.90.70.2 1.50.06 2.50.0340.01 1.035a a a a a a ?+?+?+?+?=；----4

分

（Ⅱ）由题意可得

本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值00.7 2.50.240.0650.03 5.50.010.945a a a a a ?+?+?+?+?=；-----8分

（Ⅲ）设保险公司销售人员到达的时间为x ，续保人离开的时间为y ，(),x y 看成平面上的点，全部结果所构成的区域为()31=,10.511.5,10

11412x y x y ??

Ω≤≤≤≤????

， 则区域Ω的面积()11

133

S Ω=?

=---------------------------------9分 事件A 表示续保人在离开前见到销售人员，

所构成的区域为()31=,,10.511.5,10

11412A x y y x x y ??

≥≤≤≤≤????

---10分 即图中的阴影部分，其面积()11715

=

=2412336

S A ???+? ???------------------11分 E

B 1

C 1

A 1

D

C

B

A

11

1

12

10

3

4

y x

O 所以()5

536P ==1123

A ，即续保人在离开前见到销售人员的概率是

5

12--------12分 （备注：第Ⅰ、Ⅱ参考答案中的表格填写正确各得2分；示意图不要求作出）

20. 解：（Ⅰ）依题意得

2

22222113

41

e a b e a

b ?+=??

??+=?? 解得2

2

2,1a b ==

所以 椭圆C 的方程为2

212

x y +=-----------------------------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得

2a

e

=， -----------------------------------------------4分 如图，设()11,A x y ，()22,B x y ，()32,N y -，()42,M y -， 把直线1l x my =-：代入椭圆方程，得()

222210m y my +--=

所以12122

2

21

,2

2

m

y y y y m m +=

?=-

++--------------------------5分 因为M B D 、、三点共线，得

42

2222

x =

---------------------------6分 所以))22

42222222

12

y y y x my ----=

=--- ①-------------7分

同理，由N A D 、、三点共线，得)13122

12

y y my --=

-- ②-------------8分

因为3434=2121

NF MF y y

k k y y ?=

?-+-+ ③-------------9分

所以把①②代入③得

2122NF MF y y k k ---?=

(()()()

2

122

2

121

2211y y m y y m y y +=

-++++--10分

=

分

=1-

所以 0NF MF ?=u u u r u u u u r

--------------------------------------------------12分

21. 解：（Ⅰ）依题意得()f x 的定义域为(0+)∞，，222

()x a x f x x

-+'=----------1分

因为函数()f x 有两个极值点1212x x x x <，，

所以方程2

22=0x ax -+有两个不相等的正根1212x x x x <，，

所以21212=160021

a a x x x x ??->?

?

+=>??

?=??--------------------------------------------3分

解得4a >

此时()f x 在1(0)x ，和2(+)x ∞，

上单调递增，在12()x x ，上单调递减 所以 实数a 的取值范围是()4+∞，

-------------------------------4分 （Ⅱ）因为1x ，2x 是方程2220x ax -+=的两个根，

所以122

a

x x +=

，121x x = 因为211220x ax -+=，2

22220x ax -+=

所以 21122ax x =+，2

2222ax x =+---------------------------------6分

所以(

)(

)

2

2

12111222()()2ln 2ln f x f x x x ax x x ax -=+--+-

2222

1112222ln (22)2ln (22)x x x x x x ????=+-+-+-+????

2221122ln 2ln x x x x =-+-

22211122

2ln x x x x x x -=+

211122

2ln x x x

x x x =

-+--------------------------------8分 令12x t x =

()01t <<，1

()2ln h t t t t

=-+，则 22

222

1221(1)()10t t t h t t t t t -+---'=--+==<

即()h t 在()0，1上单调递减------------------------------------------10分

因为

a ≥ 所以

122a x x +=≥ 所以

2

21212()x x x x +≥ ，即 22121212212x x x x e x x e ++≥++ 所以

12211x x e x x e +≥+ ， 即 11t e t e

+≥+

所以 1

()()0t e t e

--≥，01t <<

所以 1

0t e

<≤

------------------------------------------------------11分 因为 ()h t 在10e ?? ??

?

，上单调递减

所以()h t 的最小值为112h e e e ??

=-- ?

??

即()()12f x f x -的最小值为1

2e e

-

-.--------------------------------12分 22. 解：（Ⅰ）因为cos sin x y ρθ

ρθ=??=?

，

所以曲线1C 的直角坐标方程为2

2

420x y y +-+=-----------------2分

因为()cos cos +sin 1422

πρθρθρθ?

?

-

+=+ ??

?----------------4分

所以曲线2C 的直角坐标方程为10x y ++=------------------------5分

（Ⅱ）因为曲线1C 与y 轴交于((020,2A B +，，两点------------6分

点A 关于直线10x y ++=的对称点为()

1A '---------------8分

所以PA PB A B '+≥=

=

所以PA PB +分 23. 解：（Ⅰ）依题意得2t =--------------------------------------------------1分 所以不等式()121f x x +<+化为2121x x ++<+

当2x <-时，原不等式化为2121x x --+<--，0x <，得2x <-------2分

当122x -≤<-

时，原不等式化为+2+121x x <--，4

3

x <-， 得4

23

x -≤<------------------------------------------3分

当1

2

x ≥-

时，原不等式化为+2+12+1x x <，2x >，得2x >------------4分 所以，不等式()121f x x +<+的解集4=23M x x x ??

<-

>????

或----------5分 （Ⅱ）要证明1a b ab +<+，只需证明()2

2

2

212ab ab a ab b ++>++

即要证明()2

2

2

10ab a b --+>--------------------------------------6分

因为423a b x x x ??∈<-

>????

，或，所以221616

,99a b ≥≥---------------8分

因为()()()()

2

2222222111110ab a b a b b b a --+=--+=-->--------9分

所以()2

2

2

10ab a b --+>

即1a b ab +<+得证 ---------------------------------------------10分