函数的和、差、积、商的求导法则
复杂函数求导公式
复杂函数求导公式
对于表达式复杂的函数，求导数的过程往往需要一定的计算量，同时也需要注意一些技巧。
1.利用函数的和、差、积、商的求导法则
设u、v均为可导初等函数，则其和、差、积、商的求导公式如下：
例：计算y=tanx的导数
解：利用商的求导公式，
2.利用复合函数的求导法则
对于形如lnsin2x、cos(ex)、sin(x2)等形式的函数，实际上均属于复合函数范畴。
如果u=t(x)在开区间A可导，y=f(u)在开区间A1可导，且当x∈A时，对应u∈A1，则复合函数y=f[t(x)]在区间A可导，且其导数为：
例：计算函数y=lncos(ex)的导数。
解：令y=lnu，u=cos v，v=ex，由复合函数求导公式，得：
3.先取对数再求导
对于一些复杂的函数，本身既不是简单的初等函数，有的甚至不能看作复合函数，可以采用先取对数再求导的方法。
例：计算下列函数y的导数。
解：
综上所述，复杂函数的求导运算需要有一定的计算量，但是计算过程中必须做到概念清晰才能获得成功。
5.2.2 导数的运算法则(解析版)
5.2.2导数的运算法则导学案【学习目标】1.理解函数的和、差、积、商的求导法则2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导【自主学习】知识点1导数的运算法则知识点2复合函数的导数【合作探究】探究一 导数运算法则的应用例1求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3；(2)y ＝lg x －e x ；(3)y ＝1x ·cos x ；(4)y ＝x －sin x 2·cos x2.解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋23x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫23x 3′＝x 4＋2x 2.(2)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x .(3)方法一 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′＝12()x -'cos x －1x sin x ＝－1232x -cos x －1x sin x ＝－cos x2x 3－1x sin x ＝－cos x2x x －1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x2x x . 方法二 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫cos xx ′＝(cos x )′x －cos x (x )′(x )2＝121sin cos 2x x x x --⋅＝－x sin x ＋cos x2x x ＝－cos x ＋2x sin x2x x .(4)∵y ＝x －sin x2·cos x2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝1－12cos x .归纳总结：可以先化简，再求导练习1求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1. 解 (1)y ′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－(3x 2)′－(5x )′＋6′＝4x 3－6x －5.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2 x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2 x cos 2 x＝sin x cos x ＋x cos 2 x. (3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.方法二 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法一 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.方法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.探究二 复合函数求导法则的应用例2求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋cos 2x )3；(2)y ＝sin 2 1x ；(3)y ＝11－2x 2；(4)y ＝(2x 2－3)1＋x 2.解 (1)y ＝(1＋cos 2x )3＝(2cos 2x )3＝8cos 6xy ′＝48cos 5x ·(cos x )′＝48cos 5x ·(－sin x )，＝－48sin x cos 5x .(2)令y ＝u 2，u ＝sin 1x ，再令u ＝sin v ，v ＝1x ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝(u 2)′·(sin v )′·⎝⎛⎭⎫1x ′＝2u ·cos v ·0－1x 2＝2sin 1x ·cos 1x ·－1x 2＝－1x 2·sin 2x .(3)设y ＝12u -，u ＝1－2x 2，则y ′＝12()u -' (1－2x 2)′＝321()2u--·(－4x)＝3221(12)2x---(－4x)＝322 2(12)x x--.(4)令y＝u v，u＝2x2－3，v＝1＋x2，令v＝w，w＝1＋x2.v′x＝v′w·w′x＝(w)′(1＋x2)′＝1212 2x-⋅w＝2x21＋x2＝x1＋x2，∴y′＝(u v)′＝u′v＋u v′＝(2x2－3)′·1＋x2＋(2x2－3)·x1＋x2＝4x1＋x2＋2x3－3x1＋x2＝6x3＋x1＋x2.归纳总结：1.分层2.分别求导3.相乘4.带回变量练习2求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1)5；(2)y＝1(1－3x)4；(3)y ＝31－3x ；(4)y ＝x ·2x －1；(5)y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)；(6)y ＝)32(sin 2π+x .解 (1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u 5)′·(2x ＋1)′＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(3)设u ＝1－3x ，则y ＝13u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝13·23u -·(1－3x )′＝13·13(1－3x )2·(－3)＝－13(1－3x )2.(4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.设t ＝2x －1，u ＝2x －1，则t ＝12u ，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·12u -·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1.∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1.(5)设u ＝2x 2＋3x ＋1，则y ＝lg u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ln 10×(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln 10. (6)设u ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，v ＝2x ＋π3， 则y ＝u 2，u ＝sin v ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′ ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3.探究三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .答案 (1)4x －y －3＝0 (2)1解析 (1)利用求导法则与求导公式可得y ′＝(3ln x ＋1)＋x ×3x＝3ln x ＋4. ∴k 切＝y ′|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.(2)由f (x )＝ln x ＋k e x，得f ′(x )＝1－kx －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞). 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.归纳总结：涉及导数几何意义的问题，可根据导数公式和运算法则，快速求得函数的导数，代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率，这样比利用导数定义要快捷得多.练习3(1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 . 答案 (1)2 (2)12解析 (1)曲线y ＝x 3＋ax 的切线斜率k ＝y ′＝3x 2＋a ，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x －y ＝0，∴3×02＋a ＝2，故a ＝2.(2)∵f (x )＝e x x ，∴f (a )＝e a a. 又∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝e x ·x －e x x 2，∴f ′(a )＝e a ·a －e aa 2. 由题意知f (a )＋f ′(a )＝0，∴e a a ＋e a ·a －e a a 2＝0，∴2a －1＝0，∴a ＝12.课后作业A 组 基础题一、选择题1.曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.1答案 C解析 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2. 2.当函数y ＝x 2＋a 2x (a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0等于( )A.aB.±aC.－aD.a 2 答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .3.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于() A.2 B.12C.－12D.－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )A.193B.103C.133D.163答案 B解析 因f ′(x )＝3ax 2＋6x ，且f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103，故选B. 5.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －xD.e x ＋e －x 答案 A解析 y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )，故选A. 6.设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，则a ＋b 的值为( )A.－1B.1C.0D.2答案 A解析 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32， ∴a ＝0，故a ＋b ＝－1，选A.二、填空题7.下列各函数的导数：①(x )′＝12x －12；②(a x )′＝a x ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1(x ＋1)2.其中正确的有 . 答案 ①④解析 (x )′＝12()x '＝1212x -，①正确；(a x )′＝a x ln a ，②错误；(sin 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＝2cos 2x ，③错误；(x x ＋1)′＝x ′·(x ＋1)－x ·(x ＋1)′(x ＋1)2＝x ＋1－x (x ＋1)2＝1(x ＋1)2，④正确. 8.若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是 . 答案 (－ln 2,2)解析 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2).9.曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为 .答案 5x ＋y －3＝0解析 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.10.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ .答案 8解析 因y ＝x ＋ln x ，故y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时，曲线变为直线y ＝2x ＋1，与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.三、解答题11.求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4； (2)y ＝11－2x ； (3)y ＝sin(－2x ＋π3)； (4)y ＝102x ＋3.解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x ＝12(12)x --可看作y ＝12u -，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)32u -·(－2)＝32(12)x --＝1(1－2x )1－2x . (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3).(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.12.设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.B 组 能力提升一、选择题1．已知函数2ln ()x f x ax x =-，若曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线2x -y +1＝0平行，则a ＝（ ）A ．12-B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】函数2ln ()x f x ax x =-的导数为21ln ()2x f x ax x '-=-， 可得曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为()112k f a '==-，由切线与直线2x -y +1＝0平行，可得1-2a ＝2，解得12a =-．2．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()()()g x x f x '=+在[0,]x π∈内的单调递增区间是（ ）A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】()cos2f x x =，()'2sin 2f x x ∴=-，2()2sin 24sin 23g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令2222232k x k πππππ-+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ-+≤≤-+， ()g x ∴在[]0,π内的递增区间为511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3．已知函数22(1)sin ()1x x f x x ++=+，其中()f x '为函数()f x 的导数，则(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．0【答案】A 【解析】22222(1)sin 21sin 2sin ()1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++ 令()22sin 1x x g x x +=+，则有()()()1,()f x g x f x g x ''=+= 因为()g x 的定义域是R ，()()22sin 1x x g x g x x ---==-+ 所以()g x 是奇函数，所以()g x '是偶函数所以(2018)(2018)0g g +-=，()()201920190g g ''--=所以(2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--()()()()2018120182019201921g g g g =++-++''--=4．曲线()axy x a e =+在点()0,a 处的切线与直线230x y ++=垂直，则a =（ ） A ．1-B ．±1C ．1D ．1-或2 【答案】B【解析】因为()21'=++ax y ax a e ，所以201x y a ==+'，因为曲线()e =+ax y x a 在点(0,)a 处的切线与直线230x y ++=垂直， 所以()21112⎛⎫+⨯-=- ⎪⎝⎭a ，即21a =，解得1a =±. 5．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．4【答案】B 【解析】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-， 由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =，对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ． 6.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0，π4) B.[π4，π2)C.(π2，3π4] D.[3π4，π) 答案 D 解析 y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π4，π). 7．()f x 与()g x 是定义在R 上的可导函数，若()f x ，()g x 满足()()f x g x ''=，(()'f x 为()f x 的导函数，()'g x 为()g x 的导函数)，则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()()f x g x =B ．()()f x g x =C ．()()f x g x -为常函数D ．()()f x g x +为常函数【答案】C 【解析】由()()f x g x ''=，即()()0f x g x ''-=所以[]()()0f x g x '-=，所以()()y f x g x =-为常数函数因为()()y f x g x =-为常数函数，设()()f x g x c -=（c 为常数）所以C 正确由于c 不一定为0，所以A 不正确. 则()()f x g x ，不一定相等，所以B 不正确. 显然()()f x g x +为常数的判定不正确，所以D 不正确.8.（多选）给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x '''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是凸函数的是（ ） A ．() sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．()321f x x x =-+- D ．()x f x xe =【答案】ABC【解析】对于A 选项，()sin cos ,()cos sin f x x x f x x x =+'=-， 则()sin cos f x x x ''=--， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()0f x ''<，是凸函数；对于B 选项，()1ln 2,()2f x x x f x x =-'=-，则()21f x x ''=-，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<，是凸函数；对于C 选项，若()3221,()32f x x x f x x =-+-'=-+，则()60f x x ''=-<在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，是凸函数；对于D 选项，若(),()(1)x x f x xe f x x e ='=+，则()()2x f x x e ''=+，则()0f x ''>在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故不是凸函数.故选：ABC.二、填空题9．若函数2()'(1)x f x x e f x =⋅+⋅，则'(1)f =__________． 【答案】2e -【解析】∵函数()()2'1xf x x e f x =⋅+⋅∴()2(1)x xf x e x e f x =+⋅'+'∴(1)2(1)f e e f +''=+，即(1)2f e '=-. 故答案为2e -.10．设曲线ax y e =在点()0,1处的切线与直线210x y ++=垂直，则cos 3a π的值为__________． 【答案】12-【解析】直线210x y ++=的斜率为12-，所以曲线axy e =在点()0,1处的切线的斜率为2.'ax y ae =，'0|x y a ==，所以'0|2x y a ===，所以cos3a π=21cos 32π=-. 故答案为：12-11．己知a ，b 为正实数，直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，则11a b+的最小值是_______________. 【答案】4【解析】对()ln y x b =+求导得1y x b'=+， 因为直线y =x －a 与曲线y =ln(x +b )相切于点(x 0，y 0)，所以011x b=+即01x b =-， 所以()()00ln ln 10y x b b b =+=-+=，所以切点为()1,0b -， 由切点()1,0b -在切线y =x －a 上可得10b a --=即1b a +=，所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭， 当且仅当12b a ==时，等号成立. 所以11a b+的最小值是4. 12．已知()()()()12f x x x x n =+++（n N ∈，2n ≥），其导函数为()f x '，设()()20n f a f -'=，则10a =_____________.【答案】190-【解析】∵函数f （x ）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n ），（n≥2，n∈N），则 其导函数f′（x ）=（x+2）（x+3）…（x+n）+）x+1））x+3）…）x+n）+…+）x+1））x+2）…）x+n）1）） ）f′））2）=0+））1）×1×…×）n）2）+0+…+0=））n）2）!）f）0）=n!）当a n =()()'20f f -时，有a 10=8!10!-=）190） 故答案为﹣190） 13．若函数32()(0)h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为00(,())M x h x ，记函数()h x的导函数为()g x ，则有0'()0g x =，设函数32()32f x x x =-+,则1240324033...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________． 【答案】 0【解析】由题意得，()()2'360g x f x x x ==-=，()'660g x x =-=解得1x =，且()10f =，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，因为()()110f x f x ++-=，则114032403314033...201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()2403220162018...102017201720172017f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故答案为0． 14.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 . 答案 8解析 f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，∴f ′(－x )＝a cos (－x )＋3b (－x )2＝f ′(x ). ∴f ′(x )为偶函数.∴f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝0.f (2 014)＋f (－2 014)＝a sin 2 014＋b ·2 0143＋4＋a sin(－2 014)＋b ·(－2 014)3＋4＝8. ∴f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝8. 三、解答题15．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠）()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠）(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列(){}()f ng n 的前n 项和大于62，求n 的最小值. 【答案】6【解析】）()()xf x ag x =））()()x f x a g x =））()()()()f x g x f x g x >''））()()()()()()()()''2ln 0x x f x f x g x f x g x a a a g x g x ''⎛⎫-===> ⎪ ⎪⎝⎭，即ln 0x a a >））1a >） ）()()()()115112f f g g -+=-））152a a -+=））2a =））()()2x f x g x =））()()2n f n g n =） ∴数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭为等比数列，∴()1212226212nn n S +-==->-））16n +>）即5n >，所以n 的最小值为6.16．设函数f （x ）=ae xlnx+1x be x-，（1）求导函数f′（x ）（2）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=e （x ﹣1）+2,求a ，b ． 【答案】(1)见解析（2）a=1,b=2【解析】（1）由f （x ）=ae xlnx+1x be x-，）()()111''2ln ()ln x x x x xxbe ae be x be f x ae x ae x x x x ----=+=++'; （2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上， 将x=1代入切线方程得：y=2． 将x=1代入函数f （x ）得：f （1）=b ．∴b=2．将x=1代入导函数，则f'（1）=ae=e．∴a=1．C 组 挑战压轴题一、选择题1．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-【答案】D【解析】令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x ex '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D.2．已知函数()f x 满足()()1'x f x f x e+=，且()01f =，则函数()()()2132g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦零点的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．0个【答案】B【解析】()()()()1''1x xx f x f x e f x e f x e+=⇔+=()'1x e f x ⎡⎤⇔=⎣⎦，∴()x e f x x c =+，()x x c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e+=. ()()()()213002g x f x f x f x =-=⇒=⎡⎤⎣⎦或()16f x =， ()1001x x f x x e +=⇒=⇒=-；()()1116166x x x f x e x e +=⇒=⇒=+， 如图所示，函数xy e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，3．函数()f x 满足：1()'()x f x f x e+=，且(0)1f =，则关于x 的方程2[()]()0f x mf x n ++=的以下叙述中，正确的个数为（ ）①12m =-，0n =时，方程有三个不等的实根； ②1m n +=-时，方程必有一根为0；③0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【解析】分析：()()1'x f x f x e+=，得()()'xe f x =1，然后把()f x 看成整体转化二次方程根的问题即()xe f x x c =+详解：()()1'xf x f x e+=，得()()'xe f x =1 即()xe f x x c =+()xx cf x e += ，由()01f =，，得c=1 ()'xx f x e -=， ()f x 在（-∞，0）上单增，在（0，+∞）上单减，且()10f -=，大致草图为12m =-，0n =，有3个不等实根；1m n +=-时，()1f x =，即x=0恒满足方程；0n <且1m n +>-时，方程有三个不等实根.二、填空题4．函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定2||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线x y e x =+上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，则(,)A B ϕ的取值范围是____．【答案】 【解析】因为1xy e '=+，所以121,1x x A B k e k e =+=+，由题意可得12xx A B k k e e-=-，AB =121x x -=，所以AB =，故2(,)0||A B k k A B AB ϕ-==>，令1212x x x x u e ee e =-=-，则21(,)2222u A B u u u uϕ==++++，因为2u u+≥，所以1(,)22A B u uϕ=≤=++． 5．已知()tan f x x =，数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，n 0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且13a π=，()n 1f a +=，则使得121sin sin sin 10k a a a ⋅<成立的最小正整数k 为 ________. 【答案】298【解析】()21cos f x x='，由()1n f a +=111tan cos cos n n na a a +===2121tan cos n n a a +∴= 222sin cos cos n n n a a a += 21tan n a =+，又13a π=，21tan 3a ∴=. {}2tan n a ∴是以3为首项，1为公差的等差数列，()2tan 312n a n n ∴=+-=+，又tan 0n a >，tan n a ∴=sin n a =12sin sin sin k a a a ∴⋅253k k +=+=110<得297k >，又*k N ∈，故k 的最小值为298.6．设三次函数3211()32f x ax bx cx =++，（a ,b ,c 为实数且0a ≠）的导数为()'f x ，记()()g x f x ''=，若对任意x ∈R ，不等式()()f x g x '恒成立，则222b a c+的最大值为____________ 【答案】2【解析】因为3211()32f x ax bx cx =++，所以2(),()2f x ax bx c f x ax b '''=++=+，即()2g x ax b =+.因为对任意x ∈R ，不等式()()f x g x '恒成立，所以22ax bx c ax b +++恒成立，即2(2)0ax b a x c b +-+-恒成立，所以2(2)4()0b a a c b ∆=---且0a >，即2244b ac a -，所以2440ac a -，所以0c a >，所以1c a，令ct a =，则1t .①当1t =时，222,0,0b a c b a c ===+；②当1t >时，22222222244444(1)4(1)422221(1)2(1)2222(1)21(1)c b ac a t t a a c a c t t t c t t a ----====-+++-+-++⎛⎫-+++ ⎪-⎝⎭当且仅当1t =时，取得最大值为2.故答案为2三、解答题7．已知函数()sin x f x e x =.设函数()()cos x F x f x e x =+） 20152017,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和的值.【答案】1008S π=【解析】把()f x 的解析式代入()()cos xF x f x e x =+ ,求出函数()F x 的导函数,设出切点坐标,求出函数在切点处的导数,由点斜式写出切线方程,把M 的坐标代入切线方程,得到关于切点横坐标的三角方程,利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于2π对称成对出现,最后由给出的自变量的范围得到数列{}n x 的所有项之和S 的值. ()()()cos sin cos x x F x f x e x e x x =+=+()2cos x F x e x ∴='设切点坐标为()()0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos x F x e x '= 从而切线方程为()()000000sin cos 2cos x x y e x x e x x x -+=- ()0000001sin cos 2cos 2x x e x x e x x π-⎛⎫∴-+=- ⎪⎝⎭ 00tan 22x x π⎛⎫⇔=- ⎪⎝⎭ 令1tan y x =，222y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于2x π=对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于2x π=成对出现，又在20152017,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π.1008S π∴=.。
第二节求导法则
类似y 可 ln x (求 x21)的导 . 数
1 . ysi2 n x 1 ().
解 令u2x-1,
则ysin2x(1)可以看y作 si是 n u,u2x1复合而 .
因此 d ydy d u co u 2 sco 2xs 1 ()2 dxdu dx
2co2sx (1).
(ln x ) 1 x
(arccos x ) 1 1 x2
( arc
cot
x )
1
1 x2
求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则 设 uu(x)v, v(x)可 导 ， 则 （ 1） (uv)uv, （ 2） (cu )cu(c 是 常 数 ), （ 3） (u)vuvuv, （ 4） u vuvv2uv(v0). (2) 反函数的求导法则
二阶导数的导数称为三阶导数, f(x), y, d dx 3y3.
三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x),
y(4),
d4y dx4.
一般 ,函 地数 f(x)的 n1阶导数的导
称为f函 (x)的 数 n阶导 ,记 数作
f(n )(x ), y(n ),d d x ny n或 d n d fx (n x ) .
求导举例
例1 求下列函数的导数 1 .y 2 x 2 3 sx i n l3 n 2. y xcoxs
3. yexsixn 4. y x x
5. y ex x
6. y 1x 1 x
例2 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
23隐函数及参数方程求导法
例 3设 y=y(x)由方 ar程 cyt)= aln nx2 (+y2 x
确定 y. ，求
例4 求曲线x+ y= a在点 (a,a)处 44
的切线方程和法； 线证 方明 :程 在它的 人一点处的切线标 在轴 两上 坐截距的a.和为
二、对数求导法
观察函数 y=(x (x ++ 1)43)2 xe- x1, y=xsix n. 方法:
g(1)
(3)y=e x
(4)f(x)=u(x)v(x)
例16 证明双曲 y=线 a上任一点处的切线 x
介于两坐标轴间 被的 切一 点段 所.平分
例17 确定a,b的值，使
f
(
x)
=
1 0x
(1
-
cos
ax )
1 ln( b + x 2 ) x
x0 x=0 x0
在(-,+)内可导， 并求导函.数
例18 求函 y=f数 n[ n(sx inn )的 ] 导 . 数
上式两x边 求对 导得
Байду номын сангаас
1y=coxslnx+six n1
y
x
y=y(cx o ln sx+sixn 1) x
=xsix n(cx olsn x+six n ) x
一般地
f(x )= u (x ) v (x ) ( u (x ) 0 ) lf ( n x ) = v ( x ) l u ( x n )
例 14 证l明 n x=： 1 x0
x
证x ： 0 ,则 l若 n x = ln x =1
x
若 x 0 ,则 lx n = ln - x )( = 1 -x =1
导数的运算法则
(sinx ) cosx
'
(cosx) sinx
'
问题情景
利用导数定义求 y x 2 x 的导数.
f ( x) x
2
( x x) 2 x 1
2
2
g ( x) x
f ( x) g ( x) x x
猜想：
( x x) ( x ) ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母 的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母 的平方,即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] g ( x) g 2 ( x)
其中g ( x) 0
例4：求下列函数的的导数。 1 (1) f ( x ) 2 ; x sin x (3) f ( x ) ; 2 x x ( 2) f ( x ) ; 2x 3 x ( 4) f ( x ) x e
变式2 : 若直线l是曲线y f ( x)在x 4处的切线, 求 f (4), f ' (4).
y
5 3
x
0
4
例8:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应 的切点,并证明曲线关于此点对称. 2 2 解:由于 y 3 x 12x 1 3( x 2) 13,故当x=2时, y 有最小值. 而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12). 记曲线为S,设P(x,y)∈S,则有y=x3-6x2-x+6. 又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证Q∈S. 将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x +12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y. 即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是Q∈S. 这就证明了曲线S关于点A中心对称.
函数导数四则运算法则
函数导数四则运算法则
函数导数的四则运算法则是指当对函数的四则运算时，其导数的运算规则。
函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在进行函数的计算时，以及在实际应用中，都有着重要的作用。
函数导数四则运算法则一共有四条，分别是：
1、加法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
和的导数是：f'(x)+g'(x)。
2、减法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
差的导数是：f'(x)-g'(x)。
3、乘法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
积的导数是：f(x)g'(x)+g(x)f'(x)。
4、除法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
商的导数是：[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^
2。
这四条函数导数四则运算法则也就是所谓的求导法则，是在函数求导中常用到的，它们分别表示了当函数进行加减乘除运算时，其导数的计算方法。
这些法则可以帮助我们更加简便、快速地求出函数的导数，从而解决函数求导中的问题。
函数导数的四则运算法则在实际应用中也有着重要的作用，比如在机器研究中，梯度下降法就使用了这些法则，它可以用来求解机器研究的复杂优化问题；此外，它还可以应用于统计学中的概率论，例如统计推断中的梯度下降法也使用了函数导数四则运算法则。
总之，函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在数学计算、实际应用等方面都有着重要的作用，因此，研究这些法则也是十分重要的。
导数运算法则
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x=0
.
方程两边对x 方程两边对 求导, dy dy y + x − ex + ey =0 dx dx
dy e x − y 解得 , = y dx x + e
dy ∴ dx
x=0
由原方程知 x = 0, y = 0,
y= x
sin x
.
多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x)
的情形 .
( x + 1)3 x − 1 例1 设 y = , 求y′ . 2 x ( x + 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y = ln( x + 1) + ln( x − 1) − 2 ln( x + 4) − x 3 上式两边对 x求导得
∴ (a )′ =
x
1 (log a y ) ′
= ylna = a x ln a
即：
特别地：
(a )′ = a x ln a
x
(e )′ = e
x
x
三、复合函数的求导法则
定理
如 函 u = ϕ(x)在 x0可 , 而 = f (u) 果 数 点 导 y 在 u0 = ϕ(x0 )可 , 则 点 导 复合 数 y = f [ϕ(x)]在 函 点 x0可 , 且 导 其导 为 数 dy dx
高数——求导法则
3.2.1 函数的和 、商 、积、差求导法则
定理3.2 设函数u(x)和v(x)均在x点可导,则它们的和、差、积、商 (分母不等于0)也均在x点可导,且
[u(x) v(x)]'=u '(x) v '(x)
[u(x)v(x)]'=u '(x)v(x) u(x)v '(x)
(3) 设y ln u,u cos x,则
(ln cos x) ' (ln u) '(cos x) ' 1 (sin x) sin x tan x
u
cos x
(4) 设y u10,u 1 2x,则
[(1 2x)10 ]' (u10 ) '(1 2x) ' 10u9 2 20(1 2x)9
x2 a2 )；
x
解 (1) 设y sin u,u x2 ,则 1 x
x2 dy dy du
x2
sin
1
x
dx
du
dx
(sin
u)
'
1
x
'
cos
u
(1
x)(2x) (1 x)2
x2
1
x2 2x (1 x)2
cos
x2 1 x
(2) 设y eu ,u x2,则
(ex2 ) ' (eu ) '(x2) ' eu 2x 2xex2
12x3 10x 1
例 2 设g(x)=x2 3x , 求g '(x),g '(2)
解 g '(x)=(x2 ' 3x x2 (3x ' 2x 3x x2 3x ln 3 g '(2)=(x2 '3x x2 (3x ' 2 4 32 4 32 ln 3 36(1 ln 3)