跳扩散模型下永久美式看跌期权定价.
分数跳-扩散运动下欧式复杂任选期权定价
［ ） ＝ ， （） 上 （ ］ 曰
ｘ一 ｐ ｛
） ｅ ｘ
分数跳 一扩散运动 下欧式 复杂任选期权定价
４ １
引理 ４’ 设， 是一满足 Ｅ ， Ｂ （ ） ［（ ） ］＜ ∞ 的函数 ， 则对任意的 ｔ＜Ｔ ，
ＥＩ８ ） ｔ（（ ］ ） 赤 ｆ ） （ ］ ｆ ｔ ８ ） ・ （ ｚ ） Ｅ （
复 泊松 合的 过程， 表 可 示为．ｔ ＝∑ Ｕ ｛（ ，≥ｏ 是强 ，） （ ｉ Ⅳｔ ｔ ｔ 度为Ａ 泊松 ， ） 的 过程， （ｉ 一 Ｕ ＞
１ 表示第 ｉ ） 次跳跃的幅度（ 无跳跃发生时 Ｕ ＝ ） ｛ ｉ ≥０ 为独立同分布列 ， ＝Ｅ Ｕ ， ｏ ０ ，Ｕ ， ｉ ｝ 且 ［ ］ 假定 ｛ 日 ｔ ， ≥０ ，Ｎ ｔ ， ≥０ 和 ｛ ｉ ≥ １ 相互独立． Ｂ （） ｔ ｝ ｛ （） ｔ ｝ Ｕ， ｉ ｝ 令
二
ｄ （， ， ２￡Ｔ ）＝ｄ （， ， ｌ￡Ｔ ）一 ￣ ７ ／
Ｊ・ 标 正 分 的 积 布 数Ⅳ） Ｊ 等 ・ ７） 准 态 布 累 分 函 ， ＝ １ 、是 ｒ （ 二
Ⅳｒ ‘ 一
占 关于 ｎ （ ＋ ） 是 １ 分布的 望． 期
ｉ＝０
３ 欧 式 复 杂 任选 期 权 的 定 价
引理 ５ 若 股价 满足 （ ） ， 在任 意 时刻 ｔ执 行 价 格 为 Ｋ， ３式 则 ， 到期 日为 Ｔ的标 准 欧 式 看 涨 期权 和 看跌 期权 的价 格分 别 为 ：
ｃ ． ｓ ＝
。
业
［ｔＡ － ｎ （ ＋ ） （。］ Ｋ－－ ［（ 川 ， Ｓ－（ｔ ｅＯ ） Ｔ １ Ⅳ ｄ 一 ｅ（） Ｎ ｄ ） ｒｔ Ｔ８
牛淑敏 徐 云
（ 新疆 大 学数 学与 系统科 学 学院 ， 鲁木 齐 ，３０ ６ 鸟 ８０４ ）
混合次分数跳扩散模型下回望期权的定价及模拟
混合次分数跳扩散模型下回望期权的定价及模拟混合次分数跳扩散模型下回望期权的定价及模拟一、引言回望期权是一种金融衍生品，其特点在于，在合同规定的一段时间内，买方可以选择以该时段中资产价格的最低或最高值作为执行价。
回望期权具有灵活性和风险控制能力，被广泛用于投资组合管理和风险对冲的工具之一。
近年来，由于金融市场的不稳定和复杂性的增加，传统的连续时间模型无法充分描述金融市场的波动和风险。
因此，混合次分数跳扩散模型成为研究回望期权定价的重要工具之一。
本文将从混合次分数跳扩散模型的基本原理出发，探讨回望期权的定价方法和模拟算法。
二、混合次分数跳扩散模型的基本原理混合次分数跳扩散模型由分数布朗运动（fBM）和泊松过程的混合组成，可以更准确地描述金融市场的非线性特征。
在该模型中，价格的变化既受到长期依赖性的fBM影响，也受到短期突发事件的泊松跳变影响。
具体而言，混合次分数跳扩散模型可以表示为以下随机微分方程：dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dZ(t) + dJ(t)其中，S(t)为资产价格，μ为资产价格的漂移率，σ为资产价格的波动率，Z(t)为标准布朗运动。
dJ(t)为泊松过程，表示资产价格的波动跳变。
三、回望期权的定价方法在混合次分数跳扩散模型下，回望期权的定价可以通过蒙特卡洛模拟方法进行。
具体步骤如下：1. 构建混合次分数跳扩散模型的离散化方程，将连续时间转换为离散时间。
2. 生成服从标准正态分布的随机数序列，并根据离散化方程模拟资产价格的路径。
3. 对每条路径，记录回望期间内资产价格的最低或最高值。
4. 对所有路径的回望期金额进行折现求和，得到回望期权的定价。
四、回望期权的模拟算法蒙特卡洛模拟方法是回望期权定价的常用方法之一。
以下是混合次分数跳扩散模型下回望期权的模拟算法：1. 初始化参数：资产价格(S0)、漂移率(μ)、波动率(σ)、泊松过程参数(λ)等。
2. 对于每一条路径，生成服从标准正态分布的随机数序列。
常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析
常用的几个期权定价模型的基本原理及其对比分析作者：曲天尧来源：《中国管理信息化》2018年第23期[摘要] 期权是一类重要的金融衍生产品，它赋予持有者的是一种买权或卖权，而并非义务，所以期权持有者可以选择行使权利，也可以放弃行权。
那么，如何对期权定价才能对期权的发行者、持有者双方更加合理？于是就产生了期权的定价问题。
在现代金融理论中，期权定价已经成为其重要的组成部分，关于对期权定价模型的研究成果也是层出不穷，文章主要介绍在连续时间下常用的三种期权定价模型：Black-Scholes模型、Ornstein-Ulhenbeck过程模型以及跳跃-扩散模型，并对这三种模型作简要的对比分析。
[关键词] Black-Scholes期权定价模型；Ornstein-Ulhenbeck过程的期权定价模型；跳跃-扩散过程的期权定价模型；风险中性定价doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 23. 050[中图分类号] F830.9 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2018）23- 0117- 041 Black-Scholes期权定价模型1970年初，美国经济学家布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发现无支付红利的股票的衍生证券的价格必然满足一个微分方程，他们推导出了该方程的解析解，并得到了欧式看涨、看跌期权的价格。
该理论被视为期权定价史上的丰碑，为此，斯科尔斯以及后来为该方程做出重大贡献的默顿（Merton）共同获得了1997年10月10日的诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes期权定价模型是建立在以下假设之上的：（1）股票不支付红利，且股价St服从几何布朗（Brown）运动，其随机微分方程为dSt=μStdt+σStdWt（1）其中，μ，σ均为常数，Wt是定义在概率空间（Ω，F，P）上的标准布朗运动。
（2）市场是完全的，所有未定权益都是可复制的，且不存在任何套利机会；（3）无风险利率r是一个常数，并且任何期限的借贷利率都相等；（4）允许无限制的卖空；（5）市场是无摩擦的，即无税收成本、无交易成本；（6）股票可以以任何数量在任何连续的时间内交易。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
基于傅里叶变换的跳跃–扩散模型及欧式期权定价
基于傅里叶变换的跳跃–扩散模型及欧式期权定价
周琦力
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2024(13)1
【摘要】在假设风险资产服从跳跃扩散过程且不产生分红的条件下,基于傅里叶变换和跳跃扩散模型给出了普通欧式看涨期权定价公式,并借助数值分析手段对影响期权价格的因素进行了探讨。
结果表明,行权价、到期期限等因素均对期权价格有影响。
该方法对于更复杂的期权定价问题同样适用。
【总页数】7页(P278-284)
【作者】周琦力
【作者单位】重庆理工大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】F83
【相关文献】
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双边跳扩散模型下的奇异期权定价
Ｌ （ ） Ｅ［ （ ａ ｛ ｍａ （） Ｓ ｔ ） ｅ （ ｘＭ， ａ （）） （ ） Ｐ Ｔ＝ ｅ ｍ ｘＭ ｘＳ ｔ｝ （）］ － ＝ ｍａ｛ ｍ ｘＩ ）卜ｓ ｏ ｓ
０《 ｌ ｒ ≤ 一 ０《 ｌ ｒ ≤
其 中 ≥Ｓ ０ 为 ０时刻时 给定 的最大 值 。 （）
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由 Ｋ ｕ］ 理 中可知 ｏ［ ３ 定
ＬｓＭ，）ｓ Ｉ （ ） ］ ＋ （， Ｔ ＝ｅ Ｐ ｅ Ｔ ≥ｙ ｙ ｄ
因此 ， 于任 意 的 ８ ０ 对 ＞
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其 中 ，＜ 】Ｏ＜ ％，＜ １ ＜ ０ ａ＜ｒ …＜ ｏ／ ４２ … ， ≤ｐ ，ｉ ， １ … ， ， （ｉ ＝ 。 一步假 设 ｏ＞ ， ２ ３ ０ ｊ ≤ｌ ， ｎ ｐ＋ ） １ 进 ｑ ｑ ｑ ｌ 使得 Ｅｅ］ ｏ。 ＝ ［ｒ ｏ 毒 ＜ Ｅ［－ ｌ ＇ 设 过程 ｛ ； ｝｛ ￡ ） 随机 变量 （ 】 １￣ ｇ Ｚ Ｒ。 ￡ ， ≥Ｏ ；≥Ｏ及 Ｚ；≥ｌ是独立 的。 易见 ， 双指 数跳 扩散模 型是模 型 （ ） ２ 中 ｎ ｌ的特 殊情 况 。定义 股票 的投 资 回报 过程 Ｘ（）ｌｇＳ ｔ／ （ ） ， ＝ ｔ＝ｏ （ （） Ｏ ） 则过 程 ｘ（） 描述 为 Ｓ ｔ可
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．
（ ５ ）
＜ｒ ｎ
，
Ｃ ｉ证 明了当 ６ ０时， ａ ＞ 等式 Ｇ（） 有 ２ ＋ ｎ ２个 不 同的根 ＦＢ ，＝ ， … ， ＋ ， １＜ ｉ￣ ｉ １ ２， ｎ ｌ 且 Ｐ ６
次分数跳-扩散模型下重置期权的保险精算定价
次分数跳-扩散模型下重置期权的保险精算定价次分数跳-扩散模型是保险精算学中的重要研究对象之一。
本文将讨论该模型下重置期权的保险精算定价问题。
首先，我们将介绍次分数跳-扩散模型的基本原理和特点。
然后，我们将探讨重置期权的概念和保险精算定价方法。
最后，我们将利用具体的例子来演示如何应用这些方法。
通过本文的阐述，读者将能够深入了解次分数跳-扩散模型下重置期权的保险精算定价问题。
次分数跳-扩散模型是一种常用于描述金融市场中价格变动的模型。
次分数过程是一种非常灵活的随机过程，可以在短时间和长时间尺度上都具有自相似性。
扩散过程则用来描述价格的连续变动。
次分数跳-扩散模型可将这两种过程结合起来，以更准确地刻画价格变动的特征。
重置期权是一种在保险精算学中经常遇到的金融工具。
它允许投保人在特定时间内选择重新定价和调整保险合同。
重置期权的特点是投保人可以在特定的重置日期上重新确定保费和保额。
这样一来，投保人可以根据市场条件和个人需求来进行保险合同的调整。
保险精算定价是指确定保险产品的费率和保额的过程。
在次分数跳-扩散模型下，重置期权的保险精算定价可以通过对模型参数的估计和费率的计算来完成。
通常情况下，我们可以通过历史数据和数理统计方法来估计模型参数，然后利用这些参数来计算费率和保额。
具体而言，我们可以将次分数跳-扩散模型表示为以下随机微分方程：$dX_t = (\mu - \lambda m_t)dt + \sigma dB_t +dJ_t$其中，$X_t$表示价格的随机变动，$\mu$表示价格的平均增长率，$\sigma$表示价格的波动率，$m_t$表示价格的平均增长率的次分数布朗运动，$\lambda$表示分数布朗运动的强度参数，$B_t$和$J_t$分别是布朗运动和泊松过程。
为了确定重置期权的价值，我们可以利用重置期权的贴现价值和费用来计算。
具体而言，我们可以通过将重置期权的贴现价值和费用分别与重置期权的风险中性贴现价值和费率相加来计算。
股票价格服从跳-扩散过程的交换期权定价模型
引 理 ｌ 随 机 微 分 方 程 （ ） （ ）的解 为 ： １ ，２
ｒ， １ ， １（ ） ，
Ｓ 一Ｓｏｘ｛［（一 ） 专ｊ）ｓ （ｄｌ） ｎ ＋ ｌ｝ （ ） ）ｐＩ ｓ Ａｓ 。 ｄ 口ｓＷ（ 十∑Ｉ１ ｘ） （ （ｅ ） （一 （］ 十； ） （ ， ３ ）
二 鉴墨
堕
望收益率折现的现值之差． 交换期权到期日被执行的充要条件是： 第一种股票到期
收稿 日期 ：０ ８ ２ ９ ２ ０ —０ —２
作 者 简 介 ： 明 轩 （ ９ ２ ） 男 。 徽颍 上 人 ， 教 ． 士． 沈 １８ ～ ， 安 助 倾
・１ ・ ４
安 徽 工 程 科 技 学 院 学 报
时 Ｘ （）一 ０ ． ￡ ）
定义１ 股票价格过程ｓｆ在［， 产 （ ） ｏ ］ 生的预期收益率 ｔ ￡ 卢 ） 定义为： 川一 （ｄ ｆ
股票 Ｓ ￡ （）在 ｔ 刻 的 连 续 复 利 收 益 ． 时
， ８） 其中Ｊ￡为 （
定义 ２ 交换期权 在现在时 刻的价值定义 为 ： 第一种 股票 到期 日价格 按期 望收 益率 折现 的现值 与另
２０ ０ ８年
一
Ｊ ０
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ｓｆ ｓ０ ｐ。ｚ） 专；） ｊｚ ｄｚ ＋ ｌ１Ｘ） （ ：） 。） ｛ （一ｚ） ］＋ （ ｗ（ ｎ＋ ２ ， ４ （一 （ ｊ （一 （ ｄ ） ） （ ｊ ） ）
其 中 Ｘ （） ｉ ｌ ２ 是 第 种 股 票 第 次 的 相 对 跳 跃 高 度 ， 独 立 且 与 Ｘ （） 分 布 的 随 机 变 量 （ 跳 跃 ｒ（ — ， ） 是 ｆ 同 无
摘 要 ： 虑跳 一扩 散 模 型 中交 换 期 权 的定 价 问 题． 设 Ｎｑ 股 票 的价 格 过 程都 服 从 跳 一 扩 敞过 程 ． 且 股 票 跳 考 假 ， 并 过 程 为非 时 齐 Ｐ ｉ ｏ ｏｓ ｎ过程 ， 股 票 预 期Ｉ 率 和 波 动 率 均 为 时 问 函 数 的情 况 下 ． Ｊ 公 平 保 费 原 则 和价 格 ｓ 在 益 利 ｛ ｛ 过 程 的 实际 概 率 测 度得 到 了交 换期 权 的定 价公 式 ． 关 键 词 ： 一扩 散 过 程 ； 跳 交换 期 权 ； 险 精 箅 ； 权 定价 保 期
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第2期 跳扩散模型下永久美式看跌期权定价 51 以及 Gx (0 , y = ( k G (0 , z G ∫ 0 x ∞ ( k - 1 x ( z , y d z ≥0 , 所以 ∞ k =1 k λ ^ ∑ ∫ 0 ∞ G x ( 0 , y ( F1 ( y + F2 ( y d y ≥0. ( k ( 4.7 由 ( 416 , ( 417 ∞ 2 + F′ 2 ( 0 + k=1 λ ^ ∑ ∫G k ∞ ( k x 0 ( 0 , y F2 ( y d y ∞ ( k x ∞ 1 - F′ 1 ( 0 且由引理 411 和 ( 418 我们得到 ( 415 . k =1 λ ^ ∑ ∫G k 0 ( 0 , y F1 ( y d y ≥1 , ( 4.8 5 最佳实施边界的普遍适用性 本节给出最佳实施边界的普遍适用性. 首先 ,我们有 : 定理 511 如果 λ= 0 ,最佳实施边界 ( 411 简化为 1 S∞ = 2 , σ 1 + 2r [2 ] 此即股价不存在任何跳空缺口时的最佳实施边界 . 证明 在条件 λ= 0 下 ,容易证明 2 - x f 1 ( x = - f 2 ( x = (2 r - σ e , F′ 1 ( 0 = 2 2 2 (2 r - σ - (2 r - σ = . 2 2 σ (α σ 2 - 1 因此 ( 411 化为 2 . σ 2r , ( 411 是否和 Zhangxiaolan[3 ] 中的结果 如果假设股票价格只可能发生 “向上跳空” ,即假设 Zj ∈( 0 , ∞ S∞ = 1 1 + 一致呢 ? 我们有 : 则 定理 512 假设 Zj ∈(0 , ∞ ∞ 1 - F′ 1 ( 0 S∞ = k=1 2 + F′ 2 ( 0 + k=1 ∫G λ ^ ∑ ∫G k λ ^ ∑ ∞ ( k x 0 ( 0 , y F1 ( y d y = ( 0 , y F2 ( y d y ∞ k ∞ ( k x - η , 1 - η ( 5.1 0 其中 η是 ( 115 的负根 . 下 , ( 113 简化为 证明 在条件 Zj ∈( 0 , ∞ ∞ 1 2 2 d V dV σS V + λ V ( S ( 1 + y p ( y d y =0 k S - (r +λ 2 + ( r - λ 2 dS 0 dS 2 ∫ ( S ∞ = - 1 V ( S ∞ = 1 - S ∞ , V′ = 0. V( ∞ ( 5.2 在 ( 213 中 , f 1 ( x = (2 r + λ - λ k - σ e 2 - x - λ e ∫ 0 ∞ - ( x + z ^p( z d z = - f 2 ( x , ( 5.3 即在 ( 218 中 , u′ 1 ( 0 = - u′ 2 ( 0 ,
61 系统工程理论与实践 2008 年 2 月 因此 ( 411 简化为 ∞ S∞ 1 - u′ 1 ( 0 = = 1 + ( 1 - u′ 1 ( 0 1 - F′ 1 ( 0 1 + 1 - F′ 1 ( 0 - k =1 λ ^ ∑ ∫G k ∞ ( k x 0 ( 0 , y F1 ( y d y . ( k ∞ k =1 k λ ^ ∑ ∫ 0 ( k x ∞ ( 5.4 G x ( 0 , y F1 ( y d y 现在我们证明 ∞ - η = 1 - u′ - F′ 1 ( 0 =1 1 ( 0 - k=1 k λ ^ ∑ ∫G 0 ∞ ( 0 , y F1 ( y d y . ( 5.5 令 u1 ( x = φ( x - e - x , ( 5.6 其中 φ( x 满足 φ= ^L 1 2 dφ σ 2 + 2 dx 2 r- λ k - ( 5.7 ( 0 < x < ∞ φ(0 =1 , φ( ∞ =0 . η x 容易知道 φ( x = e 是 ( 517 的唯一解 ,其中 η是 ( 115 的负根 ,所以 φ ( 0 = η ( 5.8 ′ 由 ( 516 , ( 518 我们直接得到 ( 515 . [3 ] 定理 512 证明了在股价只可能发生 “向上跳空” 的情况下 , ( 411 与 ZhangXiaolan 中的结果一致 . 因此 我们证明了 ( 411 确实是永久美式看跌期权的最佳实施边界. ∞ 1 2 dφ σ φ + λ φ( x + z ^p( z d z = 0 - (r +λ 2 dx 0 ∫ 应该指出 , ( 411 的重要性在于它能够处理股价任意方向的跳空缺口 ,只要跳量的概率密度 p ( z 满足 条件 A12A3 ,因此我们的方法是 具有普遍意义的 , 而 [3 ] 仅只是我们模型中的一个特例而已. 可见公式 ( 411 具有较强的理论意义 . 6 金融案例 考虑 “跳空缺口” ,跳量的概率密度函数为 p ( y = δ( y - c , - 1 < c <0 当 c > 0 时 ,它表示股价发生跳空缺口时 ,以概率 1 向上跳空 c 点 ; c <0 时 , 当股价发生跳空缺口时 , 以概 率 1 向下跳空 c 点 . 将 p ( y 代入 ( 313 ,很容易得到 G ( x , y = - k ( x , y - ln ( 1 + c 设参数如下取值 : c = - 015 , r =0 102 ,σ =0 135 通过简单的迭代即可得到 ( 411 的结果如表 1 所示 . λ 之间 图 1 显示了最佳实施边界与跳空 “强度” 表1 永久美式看跌期权的最佳实施边界 λ 0 0125 015 0175 1 014923 的关系 . 在此例中 , c <0 , 股价只可能发生向下跳空 S∞ 012442 013893 014388 014701 缺口 ,显然的 , 最佳实施边界将随着 λ 的增强而提 高 ,但随着 λ的增强 “跳空事件” , 对最佳实施边界的影响程度将逐渐减小 . 从上面的例子可以看出 ,对于其他的跳量分布函数 ,公式 ( 411 也能很方便的使用 . 在实际应用中 ,首先需要要根据基础资产的历史价格数据 , 给出模型 111 中相应的参数项 , 包括跳量 分布函数和强度 λ的一个合理估计 . 然后应用 ( 411 就能非常轻松直观地得到相应期权的最佳实施边界 了. 第2期 参考文献 : 跳扩散模型下永久美式看跌期权定价 71 [1] MertonRC.Optionpricingwhenunderlyingstockreturnsare discontinuous[J].JournalofFinancialEconomics,1976,3:125144. [2] JiangL.TheMathematicaModelsandMethodsofOptionPricing [M].Beijing:HigherEducationPublishingHouse,2003. [3] ZhangXL.Formulasquasi 2explicitespourlesoptionsamericaines dandunmodeledediffusionavecsauts[J].Mathematicsand ComputersinSimulation,1995,38:151-161. [4] ZhangXL.Numericalanalysisofamericanoptioninajump diffusionmodel[J].MathematicsofOperationsResearch,1997, 22 (3 :668-690. [5] ErnestoMordecki.Optimalstoppingforadiffusionwithjumps[J]. FinanceandStochastics,1999,227-236. 2 图1 最佳实施边界与 λ之间的关系 附录 : 为证明定理 311 ,我们只需证明 i =1 的情况 . i =2 的证明是完全类似的 . 首先我们证明 : 引理 A.1 ( 218 的解 u1 ( x 同样满足积分方程 ( 3.1 . 证明 在积分方程 ( 311 中 ,我们有 λ ^ ∫ 0 ∞ λ | G( x , y | d y ≤ ^ ∫ 0 ∞ - k ( x , z d z = λ λ -α x 1 ≤ ( λ+ r 1 - e λ+ r < 1 k ( x , z f ∫ 0 (A.1 设 u1 ( x 是 ( 218 的解 . 在 ( 218 两边同乘 k ( x , z ,并从 0 到 ∞ 积分 : ∫ 0 ∞ k ( x , z L z u1 ( z d z = λ ∫ 0 ∞ - k ( x , z ∫ 0 ∞ ∞ u1 ( y ^p( y - z d y d z + 1 ( z d z (A.2 根据 k ( x , z 的定义 ,并交换积分次序 ,我们得到 ∫ 0 ∞ k ( x , z L z u1 ( z d z = 1 2 σ u1 ( x + 2 ∫ 0 x u1 ( z L z k ( x , z d z + 3 u ( x L ∫ x ∞ 1 z 3 k ( x , z d z = 1 2 σ u1 ( x 2 (A.3 以及 λ ∫ 0 ∞ - k ( x , z ∫ 0 ∞ u1 ( y ^p( y - z d y d z = λ ∫G ( x , y u ( y d y . 0 1 x →∞ ∞ (A.4 由 (A.2 - (A.4 我们得到 u1 ( x 同样也满足积分方程 (311 . 引理 A12 定义函数集合 (2 , lim f ( x = 0 , lim f ′ ( x = 0 . A = f ( x | f ( x ∈ C (0 , ∞ x →∞ 如果积分方程 ( 311 的解 u1 ( x 满足 u1 ( x ∈A ,则 u1 ( x 也是问题 ( 218 的解 ,即问题 ( 218 等价于积分方 程 ( 311 . 证明 显然 ,如果 u1 ( x ∈A ,则它满足问题 (218 中的边界条件 . 根据 ( 311 ,我们得到 ^ L x u1 ( x = L x λ ∫ 0 ∞ G ( x , y u1 ( y d y + F1 ( x =- λ ∫u ( y ^p( y 0 1 ∞ x d y + f 1 ( x . 引理 A13 (216 的解 u1 ( x 满足 u1 ( x ∈ C (2 (0 , ∞ . 2 证明 定义 h ( z = λ ^ u ( z + s ^p( s d s f σ ∫ - z 1 2 ∞ 1 ( z (A.5 将 ( 311 写为