几大放缩方法

如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 高等（泰勒、定积分）放缩 这种放缩其实是不难的，题目出来出去也就这么几种，这种放缩类型的题在高考中尤其受欢迎，近几年也频频出现，它有着浓厚的高等数学背景，大多跟泰勒展开和定积分有关，下面我们先简单介绍一下泰勒公式和定积分的知识。 一 在初等数学中，我们可直接认为泰勒公式是：

(2)()20000000()()()()()()()...()1!2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxn

特别的，取00x，我们有 (2)()2(0)(0)(0)()(0)...1!2!!nnffffxfxxxn

下面列举常见的泰勒展开式： 



21213521...1!2!!1sin...3!5!21!nxn

nnnxxxeoxnxxxxxoxn



224211cos1...2!4!2!nn

nxxxxoxn



355

12312tan31511ln1...123nnnxxxxoxxxxxxoxn

 211...1nnxxxoxx



上述泰勒展开式是用于函数放缩的有力工具，可以将一切难看的函数（sin,cos,ln等）转化为一元多项式，便于导数求解。

定积分其实从几何图形上理解就是求面积，比如求函数2()fxx的图像与x轴从1到3围成的图形的面积（如下图）如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 阴影部分的面积S3233331111180313333xdxx。积分的运算就相当于导数的逆运算，322311,33xxxx求导就是的原函数就是，所以放缩中就会利用构造图形比较面积大小来出题，这时它的背景就是定积分，著名的2003年江苏高考压轴题就是典型的例子，后面会有介绍。

二 相关不等式 相关不等式其实也就是泰勒的产物，这里单独拎出来是有目的的，这是因为下面所涉及的不等式是高考中极为常见的，现在整理出来望读者熟记。 “数学分析基本不等式”：

对0,ln(1)1xxxxx有不等式 ① 这条不等式非常常见，一般较为基本的高考题都以它作为命题背景。 将1xt整体换成，则有下面非常有用的不等式：

111lnt1tt当t时， ② 进一步，我们将①的右边加强，可得 0x， ln(1)xx ③ 不等式③用导数证明很容易，此处不再赘述。

我们若再继续探索，又可会发现，还可以对①的两边加强，有1xxxxx，

xy–1–2–3–41234–1

–2–3–4

123456789O如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 222002121(2)(1)xxxxx

xxxxxx，所以有不等式：

20,ln(1)21xxxxxx ④ 同样，不等式④用导数证也很容易，请读者自己一试。 例1 （2012江苏高考填空压轴）

,,534,lnln,babccabcacbacca已知正数满足：则的取值范围是_

解答 由45c3)545(4)7babbcaa（ lnlnlnln1(bbaaaacccc再由即lnxx-1) 故 [,7]bea 点评：熟悉背景①的同学最多只需1分钟就可以做完，而采用标准答案线性规划的做法起码得花上3、5分钟的时间，所以优势还是很明显的。

例2（2012辽宁高考21题） 设()ln(1)1fxxxaxb，曲线()yfx与直线32yx在（0,0）处相切

（1） 求,ab的值 （2） 证明：当02x时，9()6xfxx 解答：第一问很简单，易得0,1ab。重点我们落在第二问，看到第二问，一个很朴素的想法就是构造函数9()()6xgxfxx，证明()gx在区间（0,2）中恒小于0，但是这

样做的话会得到2222(6)1(6)128(1)()2(1)(6)xxxxgxxx，接下来又要对分子换元再求导，甚是麻烦，也不一定能做下去，而当年提供的两种标准答案都涉及均值不等式的构造，甚是巧妙，但在紧张的考场上未必能想到。这时我们若熟悉不等式①，则就可以把ln去掉，尝试放缩建立新的加强的不等式，如下：如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 9ln(1)110692ln11106xxxxxxxx 下一步尝试把根号拿去，92(11)1106xxxx（利用不等式①） 3116xxx 令1tx，则(1,3)t，最后就交给二次函数了，事实上也证明结果是对的，读者可自行验证。

例3. 求证：111121123nn1,nnN.

解析: 考虑函数1fxx在区间,1ii1,2,3,,in上的定积分. 如图，显然11111iidxiix-（矩形面积大于曲线所围面积） 对i求和，11111nniiiidxix111ndxx 112nx



211n.

例4 （2003江苏高考压轴题） 设0a，如图，已知直线:lyax及曲线C：2xy，C上的点1Q的横坐标为1a（aa10）.

从C上的点1nQn作直线平行于x轴，交直线l于点1nP，再从点1nP作直线平行于y轴，交曲线C于点1nQ.1,2,,nQnn的横坐标构成数列na. （Ⅰ）试求1na与na的关系，并求na的通项公式； （Ⅱ）当21,11aa时，证明nkkkkaaa121321)(；如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! （Ⅲ）当1a时，证明1211()3nkkkkaaa. 解析:（l）121()nnaaaa（取对数递推型数列，过程略）. 证明（II）：由1a知21nnaa，∵112a，∴2311,416aa. 所以这个数列是一个递减数列，结论中又有1()kkaa，显然提示我们累加。 ∵当1k时，23116kaa，

∴1211111111()()()161632nnkkkkknkkaaaaaaa. 证明（Ⅲ）：由1a知21kkaa ∴1211()3nkkkkaaa21111()3nkkkkaaa 下面我们先证明一个引理：2111()3kkkaaa331()kkaa 引理的证明：由21kkaa，上式可转化为56361133kkkkaaaa ① 由于101a，所以数列na是单调递减数列，切对于任意正整数n,都有01na 所以令ka=(0,1)x，构造函数 36563561112(),()+3333fxxxxxfxxxx即

3451()(1)(2)3fxxxxx变形得 显然()0fx，所以①式成立，即引理得证！

所以2333111111111()()333nnkkkkkkkaaaaaa 点评：很多同学都感到那个引理巧妙无比，都会纳闷这个引理是怎么得出来的，题目中又没给什么信息如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 。其实原理就是我讲过的定积分，题目不是给了一张图吗？！这就是最有利的条件，再想想定积分是什么，不就是图形面积吗，21211()()kkkkkkaaaaaa恰表示阴影部

分面积，而阴影面积是小于2xy与x轴围成的面积的，所以显然有

12211()kkakkkaaaaxdx，进一步即得2

121111()()nnkkkkkkkkaaaaaa



121kknaakxdx

12

0

a

xdx3

1

11

33a，所以引理跟定积分如出一辙，只是换了一种初等的表

述方法罢了。 例5 设数列{}nna的前n项和为S，且方程20nnxaxa有一根为1nS，试求解如下问题：（1）na的通项公式

（2）证明：231231111(1)(1)(1)......(1)nneaaaa 解答：（1）首先把首项求出来，易知112a 1nnnaSS，再把1nS代入方程20nnxaxa中，易得

1210nnnSSS 1(1)(1)0nnnSSS 111(1)(1)1nnnnSSSS

111111nnSS

1nnSn，进一步得1(1)nann （2）先进行化简工作，231231111(1)(1)(1)......(1)nneaaaa 23(112)(123)......[1n(n1)]en

下面是套路，取个对数ln，得1ln[1(1)]2n3nkkk

