常用导数放缩法
高中数学 经典资料 第121课--导数中的不等式放缩
第121课导数中不等式放缩基础知识：（1）在不等式放缩中，常见的函数不等式有①e 1x x ≥+；②1ln x x -≥.特别地，要注意在具体题目中灵活变形应用这些不等式.如利用上面①、②易得1ln 2x x +≥+，e ln 2x x >+，e sin 1x x ≥+等不等式.（2）与隐零点相关的放缩问题常用方法：利用隐零点问题中常用的代换技巧表达出()f x 的最大值（最小值）0()f x ，再由0x 的取值范围求出0()f x 的最大值（最小值），即得到0()()f x f x M ≤≤（0()()f x f x M ≥≥），进而证得题目中所证不等式.一、典型例题1.已知函数()23e x f x x =+，()91g x x =-.比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明.答案：()()f xg x >解析：设()()()h x f x g x =-23e 91x x x =+-+，∵()3e 29x h x x ¢=+-为增函数，∴可设()00h x ¢=，∵()060h ¢=-<，()13e 70h ¢=->，∴()00,1x Î.当0x x >时，()0h x ¢>；当0x x <时，()0h x ¢<.∴()()0min h x h x =02003e 91x x x =+-+，又003e 290x x +-=，∴003e 29x x =-+，∴()2000min 2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+()()00110x x =--.∵()00,1x Î，∴()()001100x x -->，∴()min 0h x >，()()f x g x >.2.已知函数()2e x f x x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）求证：当0x >时，()e 2e 1ln 1x x x x +--³+.答案：（1）()e 21y x =-+；（2）见解析解析：（1）()e 2x f x x ¢=-，由题设得()1e 2f ¢=-，()1e 1f =-，()f x 在1x =处的切线方程为()e 2 1.y x =-+（2）()e 2x f x x ¢=-，()e 2x f x =-，∴()f x ¢在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+¥上单调递增，所以()()ln222ln20f x f ³=->，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()[]max 1e 1,0,1f x f x ==-Î.()f x 过点()1,e 1-，且()y f x =在1x =处的切线方程为()e 21y x =-+，故可猜测：当0,1x x >¹时，()f x 的图象恒在切线()e 21y x =-+的上方.下证：当0x >时，()()e 21f x x ³-+，设()()()e 21,0g x f x x x =--->，则()()()e 2e 2,e 2x x g x x g x =---=-，()g x ¢在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+¥上单调递增，又()()03e 0,10,0ln21g g =->=<<，∴()ln20g ¢<，所以，存在()00,ln 2x Î，使得()00g x ¢=，所以，当()()00,1,x x Î+¥时，()0g x ¢>；当()0,1x x Î时，()0g x ¢<，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+¥上单调递增，又()()010g g ==，∴()()2e e 210x g x x x =----³，当且仅当1x =时取等号，故()e 2e 1,0x x x x x +--³>.又ln 1x x ³+，即()e 2e 1ln 1x x x x +--³+，当1x =时，等号成立.二、课堂练习1.已知()e ln x f x x =-.（1）求()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数；（2）求证：()2f x >.答案：（1）1个；（2）见解析解析：（1）()()1e ln e x x f x x f x x ¢=-Þ=-，设()1e x g x x=-，则()21e 0x g x x ¢=+>，()()1e x g x f x x¢==-在()0,+¥上递增，()11e 10,202f f=->=-<，存在()0000111,0e 02x x f x x ¢<<=Þ-=，所以()y f x =的导函数()y f x ¢=的零点个数为1个.（2）由（1）可知，()y f x =在()00,x 上递减，在()0,x +¥上递增，()()00000min 011e ln 2(1)2x f x f x x x x x ==-=+><<，所以()2f x >.2.已知函数()()23e 4cos 1x f x x ax x x =+++，()()e 1x g x m x =-+.（1）当1m ³时，求函数()g x 的极值；（2）若72a ³-，证明：当()0,1x Î时，()1f x x >+.答案：（1）见解析；（2）见解析解析：（1）()e x g x m ¢=-，由()0g x ¢=得ln x m =.由ln x m >得()0g x ¢>，ln x m <得()0g x ¢<，所以函数()g x 只有极小值()()ln ln 1ln g m m m m m m =-+=-.（2）不等式等价于3214cos 1e xx x ax x x ++++>，由（1）得：e 1x x ³+，所以()22e 1x x ³+，所以211e 1x x x +<+，()0,1x Î，()3214cos 1e x x x ax x x ++++->()314cos 11x ax x x x +++-+34cos 1x x ax x x x =++++214cos 1x x x a x =++++令()214cos 1h x x x a x =++++，则()()2124sin 1h x x x x ¢=--+，令()24sin I x x x =-,则()()24cos 212cos I x x x ¢=-=-，当()0,1x Î时，π1cos cos1cos 32x >>=，所以12cos 0x -<，所以()0I x ¢<，所以()I x 在()0,1上为减函数，所以()()00I x I <=，则()0h x ¢<，所以()h x 在()0,1上为减函数，因此，()()314cos12h x h a >=++，因为π4cos14cos 23>=，而72a ³-，所以34cos102a ++>，所以()0h x >，而()0,1x Î，所以()1f x x >+.三、课后作业1.已知函数()()21ln f x x x x =-+，求证：当02x <£时，()12f x x >.答案：见解析解析：只需证：ln 1ln 2x x x x -->，令()ln g x x x =-，()ln 12x h x x =+，由()110g x x =-=¢解得：()1,x g x =在(0,1)递减，在(1,2]上递增，故()()min 11g x g ==，由()21ln x h x x -¢=可知：()h x 在(0,2]上递增，故()()()max min 1ln2212h x h g x +==<=，故()()h x g x <，即()12f x x >.2.设函数()e sin x f x a x b =++.若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值.并证明当(0,)x Î+¥时，()ln f x x >.答案：见解析解析：由()e sin x f x a x b =++得()e cos x f x a x ¢=+，且(0)1f b =+.由题意得0(0)e 1f a =¢+=，所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上，所以0110b ---=，所以2b =-.所以()e 2x f x =-.先证e 21x x ->-，即e 10(0)x x x -->>，令()e 1(0)x g x x x =-->，则()e 10x g x ¢=->，所以()g x 在(0,)+¥是增函数.所以()(0)0g x g >=，即e 21x x ->-.①再证1ln x x -³，即1ln 0(0)x x x --³>，令()1ln x x x j =--，则11()1x x x x j -=-=¢，()0x j ¢=时，1x =，()0x j ¢>时，1x >，()0x j ¢<时，01x <<.所以()x j 在(0,1)上是减函数，在(1,)+¥上是增函数，所以min ()(1)0x j j ==.即1ln 0x x --³，所以1ln x x -³.②由①②得e 2ln x x ->，即()ln f x x >在(0,)+¥上成立.3.已知函数()()()e ln x f x x a x a x =-+++，a R Î．若函数()f x 在定义域上为单调增函数．（1）求a 最大整数值；（2）证明：23341e ln2ln ln ln 23e 1n n n +++++<-．答案：（1）2；（2）见解析解析：由题意知，()()e ln x f x x a ¢=-+，若函数()f x 在定义域上为单调增函数，则()0f x ¢³恒成立．（1）先证明e 1x x ³+．设()e 1x g x x =--，则()e 1x g x ¢=-，则函数()g x 在(),0-¥上单调递减，在()0,+¥上单调递增，∴()()00g x g ³=，即e 1x x ³+．同理可证ln 1x x £-∴()ln 21x x +£+，∴()e 1ln 2x x x ³+³+．当2a £时，()0f x ¢>恒成立．当3a ³时，()01ln 0f a ¢=-<，即()()e ln 0x f x x a ¢=-+³不恒成立．综上所述，a 的最大整数值为2．（2）（1）知，()e ln 2x x ³+，令1t x t -+=，∴111e ln 2ln t t t t t t-+-++³+=∴11e ln tt t t-++³．由此可知，当1t =时，0e ln2>．当2t =时，213e ln 2->，当3t =时，324e ln 3->， ，当t n =时，11e ln n n n n -++³．累加得0121e e e e n ---+++++>23341ln2ln ln ln 23nn n +++++ ．又0121e e e e n ---+++++=111e e 11e 111e e n -<=---，∴2334ln2ln ln 23++1e ln e 1n n n +++<-．。
导数与函数放缩问题之切线法放缩
导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例2：已知求证：例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.（1）求,a b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)11m e x x e--≤+-.例4：已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦sin ,(0,)y x x π=∈三、巩固练习练习1：已知函数f (x )＝e x －a .(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．练习:2：已知函数()2x f x e x =-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.练习3：函数的图像与直线相切．（1）求的值；（2）证明：对于任意正整数，()1122!!n n nnn n n en en ++⋅<<⋅.()()ln 1f x x ax =++2y x =a n导数与函数放缩问题之切线法放缩一、典型的不等式：sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 二、典型例题1:()ln 1,()0x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，1ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩-11()ln 1ln 1x x ef x ae x e x ≥=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 21()ln ,().x f x ex x x f x xe e =-<+例3：已知求证：1()ln 0x g x e x ex ex =+-+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即证：①-0x x e ex e ex ≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅考虑：，即②1ln 1,x x ≥-11ln 1,ln +0ex x ex ex ⇒≥-≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即③由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。
导数大题放缩法题目
导数大题放缩法题目（最新版）目录1.导数大题放缩法题目的概述2.放缩法的基本原理3.放缩法在导数大题中的应用实例4.放缩法的使用技巧和注意事项5.结论正文一、导数大题放缩法题目的概述导数大题放缩法题目是高等数学中的一种题型，主要考察学生对导数知识的掌握程度以及运用放缩法解决实际问题的能力。
导数是函数在某一点变化率的极限，是研究函数变化规律的重要工具。
在解决导数大题时，放缩法是一种常用的解题方法，可以帮助学生快速找到解题思路。
二、放缩法的基本原理放缩法，顾名思义，就是将复杂的问题简化，从而使问题变得容易解决。
在导数大题中，放缩法的基本原理是通过对函数的某些部分进行放大或缩小，使函数在某一点的导数发生变化，从而简化原问题。
放缩法的使用需要遵循两个原则：一是放缩后的函数要容易求导；二是放缩过程中不能改变函数的连续性。
三、放缩法在导数大题中的应用实例下面我们通过一个具体的实例来说明放缩法在导数大题中的应用。
例题：求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 在 x = 1 处的导数。
解：我们可以通过放缩法来解决这个问题。
首先，我们对函数 f(x) 进行放缩，令 g(x) = f(x) - (x^3 - 3x^2 + 2x)，则 g(x) = -1。
对 g(x) 求导，得到 g"(x) = f"(x) - 3x^2 - 6x + 2。
将 x = 1 代入，得到 g"(1) = f"(1) - 3 - 6 + 2 = f"(1) - 7。
因为 g"(1) = -1，所以 f"(1) = -1 + 7 = 6。
所以，函数 f(x) 在 x = 1 处的导数为 6。
四、放缩法的使用技巧和注意事项1.选择合适的放缩函数：放缩函数的选择要根据具体问题来定，要求放缩后的函数容易求导，同时不放缩函数的连续性。
2.适度放缩：放缩的程度要适中，不能过度放大或缩小，以免影响问题的解决。
函数与导数——同构新天地,放缩大舞台
同构新天地，放缩大舞台在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度．找到这个函数模型的方法，我们就称为同构法．如，若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)]≥f[ℎ(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥ℎ(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的．正所谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！1.地位同等要同构，主要针对双变量；方程组上下同构，合二为一泰山移.（1）f(x1)−f(x2)x1−x2>k(x1<x2)⟺f(x1)−f(x2)<kx1−kx2⟺f(x1)−kx1<f(x2)−kx2⟺y=f(x)−kx为增函数.（2）f(x1)−f(x2)x1−x2<kx1x2(x1<x2)⟺f(x1)−f(x2)>k(x1−x2)x1x2=kx2−kx1⟺f(x1)+kx1>f(x2)+kx2⟺y=f(x)+kx为减函数.含有地位同等的两个变量x1,x2，或p,q等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）.2.指对跨阶想同构，同左同右取对数.同构基本模式：（1）积型：ae a≤b ln b三种同构方式→{同右:e a ln e a≤b ln b−− −−−−−−−→f(x)=x ln x 同左:ae a≤(ln b)e ln b−−−−−−−−−→f(x)=xe x取对：a+ln a≤ln b+ln(ln b)−−−−− →f(x)=x+ln x.如：2x3ln x≥me m x⟺x2ln x2≥mx e m x⟺x2ln x2≥mxe m x，后面的转化同（1）.说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．（2）商型：e aa <bln b三种同构方式→{同左:e aa<e ln bln b−−−−−−−−−−−−−−→f(x)=e xx同右: e aln e a<bln b−−−−−−−−−−−−−→f(x)=xln x取对：a−ln a<ln b−ln(ln b)−−−−−− →f(x)=x−ln x.（3）和差型：e a±a>b±ln b 两种同构方式→{同左:e a±a>e ln b±ln b−−−−−→f(x)=e x±x同右:e a±ln e a>b±ln b−−−−− →f(x)=x±ln x.如：e ax+ax>ln(x+1)+x+1⟺e ax+ax>e ln(x+1)+ln(x+1)⟺ax>ln(x+1).3.无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量.（1）ae ax>ln x同乘x(无中生有)→ axe ax>x ln x，后面的转化同2.（1）（2）e x>a ln(ax−a)−a⟺1ae x>ln a(x−1)−1⟺e x−ln a−ln a>ln(x−1)−1同加x(无中生有)→ e x−ln a+x−ln a>ln(x−1)+x−1=e ln(x−1)+ln(x−1)⟺x−ln a>ln(x−1).（3）a x>lo g a x⟺e x ln a>ln xln a⟺(x ln a)e x ln a>x ln x，后面的转化同2.（1）.说明：由于a x>lo g a x两边互为反函数，所以还可以这样转化a x>lo g a x⇒a x>x⇒ln a>ln xx. 对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易矣.如：1a e x+1>ln a(x−1)，左右两边互为反函数，所以只需1ae x+1>x，即1a>x−1e x，可得1a>1e2.4.同构放缩需有方，切放同构一起上．这个是对同构思想方法的一个灵活运用．【放缩也是一种能力】利用切线放缩，往往需要局部同构．【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】掌握常见放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）（1）e x≥x+1⇒e x−1≥x⇒e x≥ex⇒e x≥e24x2，e x≥1+x+x22，e x≤2+x2−x(0≤x<2)，e x≥ax+1(x≥0,0<a≤1).【变形：xe x=e x+ln x≥x+ln x+1，e xx =e x−ln x≥x−ln x+1；xe x=e ln x−x≥ln x−x+1；x2e x=e x+2ln x≥x+2ln x+1，x2e x=e x+2ln x≥e(x+2ln x).】（2）ln x≤x−1⇒ln ex≤x⇒ln x≤xe ，ln x≤x−1⇒ln x≤ex−2，ln x≥1−1x⇒x ln x≥x−1，ln x≤12(x−1x)(x≥1)，ln x≥2(x−1)x+1(x≥1)；ln x≤a(x−1)(x≥1,a≥1)【变形：x+ln x=ln xe x，x−ln x=ln e xx.】说明：xe x=e x+ln x，e xx =e x−ln x，xe x=e ln x−x，x+ln x=ln xe x，x−ln x=ln e xx等，这些变形新宠是近年来因为交流的频繁而流传开来的．对解决指对混合不等式问题，如恒成立求参数取值范围，或证明不等式，都带来极大的便利．当然，在具体使用中，往往要结合切线放缩，或换元法。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
754期【导数】三种函数拟合放缩比较——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数
754期【导数】三种函数拟合放缩比较——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数为什么不等式恒成立问题是各大模拟题乃至高考题长盛不衰的命题方向？原因之一就是不等式恒成立问题在高等数学下有太多的命题背景，比如现在同学们已经非常熟悉的泰勒展开。
一个初等函数稍微展开几项就是一个极好的不等式，例如e x≥x+1等等。
但是现在模拟题中由泰勒展开为基础的不等式似乎已经用尽了，因为泰勒展开有其局限性——只能在收敛域内将要展开的函数展开成多项式函数，拟合放缩精度有限。
因此现在命题人也着眼于精度更高的函数拟合逼近方法，并以此为命题背景，比如将函数展开成分式函数的帕德逼近、洛朗级数等等这一篇就来关注一下泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数这三种函数拟合放缩的比较一、泰勒展开（Taylor Expansion）（一）切线拟合e x≥x+1, lnx≤x−1, e x≥ex⋯ (1)像上面这样的不等式背后有一个共同的特征，具体而言：将具凹凸性的超越函数用其某点处的切线拟合．例如由函数f(x)=e x的凸性及点(0,f(0))，(1,f(1))处的切线，可得第一、第三个不等式；由函数f(x)=lnx的凹性及点(1,f(1))处的切线，可以得到第二个不等式等．像这样的拟合方法，我个人称为切线拟合．这几个不等式就是在切点处对函数的一阶拟合。
切线拟合的一大优势在于对切点附近的拟合程度相当好．这不仅是因为切点在原来的函数上，更是因为它拟合了函数在切点处的变化趋势，即拟合了函数在切点处的导数值．正是这一点，切线拟合及切线放缩在高中范围研究函数中有较广泛的应用.当然，结合图象可以看出，这种拟合方式是很粗糙．为此，还需要找到一种更精确的拟合方法．而切线拟合的拟合方法给了启示我们：既然用一阶导数逼近就可以在切点附近达到一定的精度，那多导几次，让拟合函数在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等，精度可能会更高．这正是泰勒展开的思想：构造一个各项系数待定的多项式，并使它在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等．为什么泰勒选择的是多项式函数，而不是分式函数，原因之一就是多项式求导相对容易，便于操作，并没有考虑精度问题。
y=ex和y=lnx相关不等式证明中的几种特殊放缩法
y=ex和y=lnx相关不等式证明中的⼏种特殊放缩法2019-09-29导数作为研究函数图像和性质的⼯具，在每年⾼考中都占有极重要的分量.⽽且在近⼏年的各地⾼考试卷中.对y=ex和y=lnx两类函数的考察是常考常新，变化多样.其中关于不等式的证明更是考察的重点和难点.本⽂通过分析⼏种特殊的放缩⽅法及其在解题中的应⽤，以便师⽣在备考复习中能突破重点和难点.⼀、⼏个典型的放缩公式公式1：x∈R，有ex≥1+x公式2：x∈R，有ex≥ex公式3：x∈R+，有lnx≤x-1公式3：x∈R+，有lnx≤1ex⽤导数或图像所⽰易得上述公式⼀定成⽴.在解决y=ex和y=lnx相关的不等式问题中，巧⽤上述⼏个放缩公式，可以快速的突破不等式证明的难点.⼆、典型例题分析1.（2014全国课标I.理21题）设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b; （Ⅱ）证明：f（x）>1.解法⼀（常规解法）：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1.由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（f（x）=exlnx+2ex-1x，从⽽f（x）>1等价于xlnx>xe-x-2e.设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=x+lnx，所以当x∈0，1e时，g′（x）<0，当x∈1e，+∞时，g′（x）>0，故g（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，从⽽g（x）在（0，+∞）的最⼩值为g1e=-1e.设函数h（x）=xe-x-2e，则h′（x）=e-x1-x，所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）<0，故h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，从⽽h（x）g（x）在（0，+∞）的最⼩值为（h（1）=-1e.综上：当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1.解法⼆（⽤公式2放缩）：f（x）=exlnx+2ex-1x，从⽽f（x）>1等价于exlnx+2ex-1x>1.即exlnx+2exex>1; 由公式2 有ex≥ex.所以exlnx+2exex≥exlnx+2，所以要使exlnx+2exex≥exlnx+2>1成⽴，只需证exlnx+2>1，即exlnx+1>0成⽴.设h（x）=exlnx+1，有h′（x）=e（lnx+1）所以当x∈0，1e时，h′（x）<0，当x∈1e，+∞时，h′（x）>0，故h（x）在0，1e单调递减，在1e，+∞单调递增，所以h（x）max=h（1e）=0.所以有exlnx+2exex>1成⽴.2.（2013课标全国Ⅱ，理21）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.（1）设x=0是f（x）的极值点，求m并讨论f（x）的单调性;（2）当m≤2时，证明f（x）>0.证明：（2）m≤2，要证f（x）>0，即f（x）=ex-ln（x+m）>ex-ln（x+2）>0，即要证ex>ln（x+2），由公式1有ex≥x+1，⼜由公式3有x+1≥ln（x+2），所以ex≥ln（x+2），所以ex-ln（x+2）≥0，所以可证f（x）>0.试⼀试：已知函数f（x）=ex-x-1，g（x）=x2eax .（Ⅰ）求f（x）的最⼩值;（Ⅱ）求g（x）的单调区间;（Ⅲ）当a=1时，对于在（0，1）中的任⼀个常数m，是否存在正数x0使得f（x0）>m2g（x）成⽴？如果存在，求出符合条件的⼀个x0;否则请说明理由.注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
八个放缩公式一览表
以下是八个放缩公式一览表：
1.等差数列的放缩公式：如果将每一项都乘以一个常数k，那么新得到的数列仍然是等差数列，且公差变为原来的k倍。
2.等比数列的放缩公式：如果将每一项都乘以一个常数k，那么新得到的数列仍然是等比数列，且公比变为原来的k倍。
3.y=c（c为常数）：这个公式表示当x取任意值时，y都等于常数c。
4.y'=0：这个公式表示函数y的导数为0，即函数y是常数函数。
5.y=x^n：这个公式表示当x取任意值时，y等于x的n次方。
6.y'=nx^(n-1)：这个公式表示函数y的导数为nx的n-1次方，即函数y是x的n次方的导数。
7.y=a^x：这个公式表示当x取任意值时，y等于a的x次方。
8.y'=a^xlna：这个公式表示函数y的导数为a的x次方的自然对数，即函数y是a的x次方的导数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一：消参放缩(适合含参)1.已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.解：(1)f′(x)＝1e xx m -+.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝e x－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝1e1 xx-+.函数f′(x)＝1e1xx-+在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.当m＝2时，函数f′(x)＝1e2xx-+在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得0e x＝01 2x+，ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝01 2x+＋x0＝212xx(+)+＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.2.已知函数f(x)=m e x-ln x-1.（Ⅰ）当m =1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（Ⅱ）当m ≥1时，证明：f(x)>1.【答案】（Ⅰ）y =(e -1)x（Ⅱ）当m ≥1时，f (x)= m e x-ln x -1≥e x-ln x -1.（放缩）要证明f (x)>1，只需证明e x-ln x -2>0.3.知函数1()ln(1)(1)nf x a xx=+--，其中*x∈N，a为常数．（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2n ≥时，有()1f x x -≤． 当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--．当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤，故只需证明1ln(1)1x x +--≤．令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，，则12()111x h x x x -'=-=--，当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立． 故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤．即()1f x x -≤．二：构造放缩（适合f(x)或其变式的N 项和有关）4.设函数()()2ln 1f x x b x =++.（1）若x =1时，函数()f x 取最小值，求实数b 的值；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；（3）若1b =-，证明对任意正整数n ，不等式33311......31211)1(n ＜k f nk ++++∑=都成立解:（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x ∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f /(1) = 0,,022,12)(/=+∴++=bx b x x f 解得b= - 4. 经检验合题意；（2）∵,12212)(2/+++=++=x b x x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数，∴f /(x) ≥0或f /(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f /(x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2+2x+b ≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,即b ≥-2x 2-2x =21)21(22++x 恒成立,由此得b ≥21; 若f /(x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2+2x+b ≤0,即b ≤- (2x 2+2x)恒成立，因-(2x 2+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b 使f(x) ≤0恒成立.综上所述，实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. （3）当b= - 1时，函数f(x) = x 2- ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x 3= x 2– ln(x+1) – x 3，则h /(x) = - 3x 2 +2x - 1)1(31123+-+-=+x x x x ，∴当[)+∞∈,0x 时，h /(x)＜0所以函数h(x)在[)+∞∈,0x 上是单调递减.又h(0)=0，∴当()+∞∈,0x 时，恒有h(x) ＜h(0)=0,[ 即x 2– ln(x+1) ＜x 3恒成立.故当()+∞∈,0x 时,有f(x) ＜x 3..∵()1,0,,k N k +∈∴∈+∞取,1k x =则有311(),f k k < ∴33311 (312)11)1(n ＜k f nk ++++∑=,故结论成立。
5.已知函数)(11ln )(R a xaax x x f ∈--+-= （1）当21<a 时，讨论)(x f 的单调区间 （2）当0=a 时，对于任意的+∈N n 且2≥n ， 证明：不等式)1(21243)(1..........)4(1)3(1)2(1++->++++n n n n f f f f 解:（提示：右侧式子为裂项相消求和，所以要根据积累找出通项公式，再构造新函数）三：函数放缩（利用得到的函数不等式，对参数赋值后结合数列知识进行放缩）提示：函数放缩的题目多数可以用理科的数学归纳法与定积分方法研究，有兴趣可自行尝试。
6.已知函数()ln ()1af x x a x =+∈+R ．（1）当29=a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小； （3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）． 解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ．当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减．)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ． （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ， 0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数．①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ； ③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ．（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令k k x 1+=，则有1211ln +>+k k k ， ∑∑==+>+∴n k nk k k k 111211ln ． ∑=+=+nk kk n 11ln)1ln( ， 1215131)1ln(++++>+∴n n ． 7.已知函数0bf x ax c a x=++>（）（）的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. a b c ⑴用表示出、；()ln [1)f x x a +∞≥⑵若在，上恒成立，求的取值范围；⑶1111ln(1)(1)232(1)n n n n n +++⋅⋅⋅+>++≥+证明：⑴2'()bf x a x =-，则有(1)0(1)1f a b c f a b =++=⎧⎨'=-=⎩，解得:b=a-1,c=1-2a.⑵由⑴知，1()12a f x ax a x-=++-， 令1()()ln 12ln a g x f x x ax a x x-=-=++--，[)1,x ∈+∞则 (1)0g =，22221(1)()11(1)'()aa x x a ax x a a g x a x x x x -------=--== ①当 12o a <<，11aa -> 若 11ax a-<<，则'()0g x <，()g x 是减函数，所以()()g x g l o <=()ln f x x >，故()ln f x x ≥在[)1,+∞上恒不成立。
②12a ≥时，11aa-≤ 若()ln f x x >，故当1x ≥时，()ln f x x ≥。
综上所述，所求a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭⑶由⑵知：当12a ≥时，有()ln (1)f x x x ≥≥.令12a =，有11()()ln (1)2f x x x x x=-≥≥当1x >时，11()ln .2x x x->令1k x k +=，有111111ln (1)(1)2121k k k k k k k k ++⎡⎤⎡⎤<-=+--⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 即 111ln(1)ln ()21k k k k +-<++，1,2,3....k n = 将上述n 个不等式依次相加得11111ln(1)(.....)2232(1)n n n +<++++++,整理得1111....ln(1)232(1)n n n n ++++>+++.8.已知函数.1)1()1ln()(+---=x k x x f（1）求函数)(x f 的极值点。
（2）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围。
（3）证明：①当2x >时，ln(1)2x x -<-；②*1ln (1)(,1)14ni i n n n N n i =-<∈>+∑.（训练）证明：)1,(6)1)(4(1ln 154ln 83ln 32ln 2>∈-+<-++++n N n n n n n . 解：⑴函数的定义域为(1,)+∞中，1()1f x k x '=--. 当k ≤0时，()0f x '>，则()f x 在(1,)+∞上是增函数.当0k >时，()f x 在1(1,1)k +上是增函数，在1(1,)k++∞上是减函数.⑵由⑴知，当k ≤0时，()f x 在(1,)+∞上是增函数.而(2)10f k =->，()f x ≤0不成立.当0k >时，由⑴知max 1(1)ln y f k k=+=-，要使()f x ≤0恒成立，则ln k -≤0，解得k≥1.⑶①由⑵知当1k =时，有()f x 在(1,)+∞上恒成立，且()f x 在(2,)+∞是减函数. 又(2)0f =，∴当2x >时，()(2)0f x f <=，即ln(1)2x x -<-.②令21,x n -=则22ln 1,n n <-即2ln (1)(1)n n n <-+，从而ln 112n n n -<+. ∴ln 2ln 3ln 4ln 1231(1)345122224n n n n n --++++<++++=+成立. （训练）由(2)知，.11ln 1>-<=，x x x ：k 时理解得当∴2233)1)(1()1)(1(1ln +-<++-=-<n n n n n n n . ∴311ln 2+<-n n n )1,(>∈n N n )1,(6)1)(4()1(2)13(31)1543(311ln 154ln 83ln 32ln 2>∈-+=-++⨯=+++++<-++++n N n n n n n n n n9.已知函数()1(0,)x f x e ax a e =-->为自然对数的底数. ⑴求函数()f x 的最小值；⑵若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； ⑶在⑵的条件下，证明：121()()()()(*)1nnn n n n en nnn n e -++⋅⋅⋅++<∈-N 其中.（训练）在⑵的条件下，求证：22222232323ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)nn ⨯⨯⨯++++++<---.解：（1）由题意0,()x a f x e a '>=-，由()0x f x e a '=-=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时, ()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>.∴()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. 即()f x 在ln x a =处取得极小值，且为最小值， 其最小值为ln (ln )ln 1ln 1.a f a e a a a a a =--=--（2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，min ()0f x ≥.由（1），设()ln 1.g a a a a =--，所以()0g a ≥. 由()1ln 1ln 0g a a a '=--=-=得1a =.∴()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， ∴()g a 在1a =处取得极大值(1)0g =. 因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.（3）由（2）知，因为1a =，所以对任意实数x 均有1x e x --≥0，即1x x e +≤.令k x n =-(*,0,1,2,3,1)n k n ∈=-N …,，则01k n k e n - <-≤.∴(1)()k n n k n k e e n- --=≤.∴(1)(2)21121()()()()1n n n n n n n n e e e e n n n n-------+++++++++≤……1111111n e e e e e ----=<=--- （训练）:1n =时，22332(31)2n n ⨯=<-，2n ≥时，121123232311(31)(31)(33)(31)(31)3131n n n n n n n n n n ---⨯⨯⨯<==--------， 2n ≥时，2133112(31)2231k nk nk =<+-<--∑.由（2）可知1xe x ≥+，即ln(1)(1)x x x +≤>-，则0x >时，ln(1)x x +<，故22222212323233ln[1]ln[1]ln[1]2(31)(31)(31)(31)n knn k k L =⨯⨯⨯++++++<<----∑，即原不等式成立. 10.已知函数()()()2ln 10f x x ax a =++≤.（1）若()f x 在0x =处取得极值, 求a 的值； （2）讨论()f x 的单调性；(3) 证明：211111...1,9813n n N e *⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为自然数的底数).解：（1）()22',01xf x a x x =+=+是()f x 的一个极值点，则 ()'00,0f a =∴=,验证知0a =符合条件. （2）()22222'11x ax x af x a x x++=+=++. ①0a =时，()f x ∴在()0,+∞单调递增，在(),0-∞单调递减；②00a <⎧⎨∆≤⎩得, 当1a ≤-时, ()'0f x ≤对x R ∈恒成立, ()f x ∴ 在R 上单调递减 ,③10a -<<时, 由()'0f x >得220ax x a ++>,11x a a---∴<<,再令 ()'0f x < , 可得 1x a ->或1x a-+<,()f x ∴在⎝⎭上单调递增,在1,a ⎛--∞ ⎪⎝⎭和1a ⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减 , 综上所述，若1a ≤-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，若10a -<<时, ()f x 在⎝⎭上单调递增，⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减.若0a =时, ()f x 在()0,+∞上单调递增, 在(),0-∞上单调递减，(3) 由(2) 知1a =-时, ()f x 在(),-∞+∞上单调递减，当()0,x ∈+∞时, 由()()00f x f <=()2ln 1x x∴+<,211111ln 11...1ln 1ln 1......ln 9813981n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛∴+++=+++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣⎦211111111133......1133323213n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++==-< ⎪⎝⎭-,12211111...19813n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++<= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.设函数()()()()22ln 1,1x xf x xg x a a R x +=+=∈+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在定义域内单调递减，求a 的取值范围；（2）设*n N ∈，证明：3422212111n e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（e 为自然对数的底数）．解：(1)函数()h x 的定义域为()1,-+∞，且()()()()22ln 11x xh x f x g x x ax +=-=+-+，则 ()()()()()()()()222222121221111x x x x x a x x h x a x x x ++-++-++'=-=+++，由于()h x 在()1,-+∞内单调递减，则()0h x '≤对()1,x ∈-+∞恒成立，即()()21220x a x x +-++≤对()1,x ∈-+∞恒成立，从而2max 122x a x x +⎛⎫≥ ⎪++⎝⎭，则max 111211a x x ⎛⎫⎪≥= ⎪ ⎪+++⎝⎭，故a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明：取12a =，由第（1）问可知()h x 在()0,+∞为单调递减函数，从而()()00h x h <=；则()212ln 121x xx x ++<+对()0,x ∈+∞，均成立， 令()21,2,,kx k n n ==，有2222222222111ln 122211k k k k k k k n n k n n n k n n n ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+<=+≤+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+；从而22212ln 111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222222221211212ln 1ln 1ln 12111n n n n n n nn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++<+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2211133441n n n n n ⎡⎤-+-⎢⎥=-≤+⎢⎥⎣⎦，故3422212111n e n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．12.己知函数f （x ）＝lnx －x ＋1．（1）求函数f （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程；（2）设22()x kx kg x x++=（k ＞0），对∀x 1∈(0，+∞)，∃x 2∈(-∞，0)，使得f(x 1)≤g(x 2)成立，求k 的取值范围；（3）设3(1)n f n n b n ++=，证明：21(2,*)ni i b n n N =<≥∈∑． 解：（1）11()1,(2)2f x f x ''=-∴=-， 又切点为（2，ln2-1），所以切线方程为x+2y-2ln2=0（2）1()10,1f x x x '=-=∴=，故函数f(x)在（0，1）上递增，在(1，+∞)上递减。