专题9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲(新高考地区专用)(解析版)
(名师导学)2020版高考数学总复习第二章函数第9讲二次函数与幂函数考点集训文(含解析)新人教A版
- 1 - 第9讲 二次函数与幂函数 考点集训 【p176】 A组 1．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( ) A．[0，3] B．[1，3] C．[－1，0] D．[－1，3] 【解析】∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴对称轴为x＝1，抛物线开口向上， ∵0≤x≤3， ∴当x＝1时，ymin＝－1， ∵3距离对称轴远， ∴当x＝3时，ymax＝3， ∴－1≤y≤3. 故选D. 【答案】D
2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则f12＝( )
A.12B．－12C.22D．－22 【解析】由题意可设f(x)＝xα，又函数图象过点(4，2)，
∴4α＝2，∴α＝12，从而可知f(x)＝x12，
∴f12＝1212＝22. 【答案】C 3．函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠0)的图象只可能是( ) - 2 -
【解析】从选项A、B中看直线，a，b为正值，∴抛物线的对称轴x＝－b2a＜0，故A、B不符合．从选项C、D中看直线，a＜0，b＞0，∴x＝－b2a＞0.故选D. 【答案】D 4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴是x＝1，并且通过点P(－1，7)，则a，b的值分别是( )
A．2，4B．－2，4C．2，－4D．－2，－4
【解析】由题意，x＝－b2a＝1且f(－1)＝a－b＋1＝7，则a＝2，b＝－4.故选C. 【答案】C 5．函数f()x＝x2＋2x－2的单调增区间是__________． 【解析】函数f()x＝x2＋2x－2为开口向上的抛物线，对称轴为x＝－1. 所以单调增区间是[)－1，＋∞. 【答案】[)－1，＋∞ 6．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是__________．(写出所有正确的序号) ①y＝x2； ②y＝x；
③y＝x12； ④y＝x3； ⑤y＝x－1.
【解析】由奇偶函数的定义知y＝x2为偶函数，y＝x12＝x是非奇非偶函数．由幂函数的单调性知y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，故填②④. 【答案】②④ 7．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________． 【解析】∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， ∴当x＝1时函数有最小值2. 又∵函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，结合二次函数图象可知1≤m≤2. 【答案】[1，2] 8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)． (1)若f(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求实数a，b的值； (2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围． 【解析】(1)因为f(－1)＝0，故a－b＋1＝0，即b＝a＋1， 又对任意实数x均有f(x)≥0成立， 所以Δ＝b2－4a≤0恒成立，即(a－1)2≤0恒成立， 所以a＝1，b＝2. (2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，故g(x)＝x2＋(2－k)x＋1， 因为g(x)在x∈[－2，2]时为单调函数． - 3 -
高考新坐标高考数学总复习 第二章 第4节 幂函数与二次
1 又 y＝x2在[0，＋∞)上为增函数，
1
1
所以(a＋1)2<(3－2a)2等价于 0≤a＋1<3－2a，
解之得－1≤a<23，
故实数 a 的取值范围是a－1≤a<23.
【规律方法】
1．利用幂函数的单调性比较幂值大小要抓住两点：①结合幂 值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂．②选择适当的幂函 数，借助其单调性进行比较或应用．
[答案] D
(2)因为 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以 m2－2m－3<0，解之得－1<m<3. 又 m∈N*，所以 m＝1 或 m＝2. 由于 f(x)的图象关于 y 轴对称． 所以 m2－2m－3 为偶数， 又当 m＝2 时，m2－2m－3 为奇数，所以 m＝2 舍去，因此 m ＝1.
∞) ∪(0，＋∞)
偶
奇/
奇
在 (0，＋∞)
上增 在(－∞，0)
增
增
上减
在 (0，＋∞)上 减 在(－∞，0)上减
(1，1)
2.二次函数 (1)二次函数的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋(ca≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为 (h，k) ； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点．
(2)二次函数的性质
函数 图象 定义域 值域
单调性
对称性
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
R
减 在－∞，－2ba上 增 在－2ba，＋∞上
增 在－∞，－2ba上
在
减 －2ba，＋∞上
函数的图象关于 x＝－2ba对称
2021年新高考数学总复习讲义：幂函数与二次函数
C．2D．4
10．（2016秋•沙河市校级期末）在函数 ，y=x2+x，y=1中，幂函数有（ ）个．
A．1B．2
C．3D．4
11．（2016秋•临川区校级期末）若幂函数f（x）=xm﹣1在（0，+∞）上是增函数，则（ ）
A．m＞1B．m＜1
C．m=1D．不能确定
12．（2018春•东湖区校级期末）已知幂函数f（x）的图象过点（4， ），则f（8）的值为（ ）
2021
一、
1.幂函数的定义
定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．
2.幂函数的图象
幂函数
1）当 时的图象见下图；
2）当 时的图象见下图：
3.由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：
有下列性质：
1） 时：
①图象都通过点 ， ；
②在第一象限内，函数值随 的增大而增大，即在 上是增函数．
4．（2017秋•惠州期末）若幂函数y=f（x）经过点 ，则此函数在定义域上是（ ）
A．增函数B．减函数
C．偶函数D．奇函数
5．（2016秋•唐山期末）已知幂函数f（x）=λ•xα的图象过点 ，则λ+α=（ ）
A．2B．1
C． D．
6．（2016秋•雅安期末）已知幂函数y=f（x）过点（2，8），则f（3）=（ ）
决定抛物线的开口大小： 越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大．
注意：几条抛物线的解析式中，若 相等，则其形状相同，即若 相等，则开口及形状相同，若 互为相反数，则形状相同、开口相反．
2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴： ）
当 时，抛物线的对称轴为 轴；
高考数学总复习---《幂函数与二次函数》综合运用练习题(含答案解析)
高考数学总复习---《幂函数与二次函数》综合运用练习题（含答案解析）一、若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)A[不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.]二、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③B[因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图像，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．]三、已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈[－2，－12]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈[－2，－12]，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.]四、已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴为x ＝－32∈[－2，3]， ∴f (x )min ＝f (－32)＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为[－214，15]． (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－12＞1，即a＜－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－13或－1.五、设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．(－94，－2][由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y ＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图像如图所示，结合图像可知，当x∈[2，3]时，y＝x2－5x＋4∈[－94，－2]，故当m∈(－94，－2]时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图像有两个交点．]六、是否存在实数a∈[－2，1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．[解]f(x)＝(x－a)2＋a－a2，当－2≤a＜－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2，f （1）＝2，得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝－2，f （1）＝2，得a ＝－1； 当0＜a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝－2，f （－1）＝2，得a 不存在； 综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.七、选择题1．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3A [∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件，故选A.]2．已知幂函数f (x )的图像过点(2，14)，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．6A [设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图像过点(2，14)，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0.∴函数g(x)＝f(x)＋x24＝x－2＋x24＝1x2＋x24≥21x2·x24＝1，当且仅当x＝±2时，g(x)取得最小值1.]3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是( )A B C DC[若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.]4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( ) A．a＞0，4a＋b＝0 B．a＜0，4a＋b＝0C．a＞0，2a＋b＝0 D．a＜0，2a＋b＝0A[由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图像的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先减后增，于是a＞0，故选A.] 5．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为( )A．x＜z＜y B．y＜x＜zC．y＜z＜x D．z＜y＜xA[由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y＞z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x＜z.所以x＜z＜y.]八、填空题1．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．(－∞，－6]∪[4，＋∞)[由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.]2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－32，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．f(x)＝－4x2－12x＋40[设f(x)＝a(x＋32)2＋49(a≠0)，方程a(x＋32)2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝14－1a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.]3．已知函数f(x)＝a2x＋3a x－2(a＞1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8 恒成立，则a的最大值为________．2 [令a x ＝t ，因为a ＞1，x ∈[－1，1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t)＝t 2＋3t －2，显然g (t)在[1a，a ]上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t)max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a ＞1，所以a 的最大值为2.]九、解答题1．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1，1]上的最大值．[解] 函数f (x )＝－(x －a2)2＋a 24的图像的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a2≤1，a 2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (1)当a ＜－2时，由图①可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)．(2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (a 2)＝a 24. (3)当a ＞2时，由图③可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (1)＝a －1.图① 图② 图③综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1），a ＜－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.2．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝2x＋m的图像的上方，求实数m的取值范围．[解](1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立，即x2－3x＋1＞m在区间[－1，1]上恒成立．所以令g(x)＝x2－3x＋1＝(x－32)2－54，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m＜－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．本课结束。
2020版高考数学总复习第二章函数第9讲二次函数与幂函数练习理(含解析)
第9讲二次函数与幂函数夯实基础【p19】【学习目标】1．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；2．会求二次函数的值域与最值;3．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式“三个二次”之间的联系去解决有关问题；4．了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3,y＝错误!,y ＝x错误!的图象和性质解决有关问题．【基础检测】1．函数y＝错误!错误!的图象是( ）【解析】函数y＝错误!错误!可化为y＝x3，当x＝错误!时,求得y＝错误!〈12，选项B，D不合题意,可排除选项B，D；当x＝2时，求得y＝8>1，选项A不合题意,可排除选项A，故选C。
【答案】C2．幂函数y＝kxα过点(4，2),则k－α的值为（)A．－1 B。
12C．1 D.错误!【解析】由幂函数的定义得k＝1。
所以y＝xα，因为幂函数经过点（4,2）,所以2＝4α＝22α，∴2α＝1，∴α＝错误!.所以k－α＝1－错误!＝错误!.【答案】B3．已知函数f(x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1］，若f（x）有最小值－2，则f（x)的最大值为( ）A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】函数f（x)＝－x2＋4x＋a＝－（x－2）2＋a＋4，∵x∈［0,1],∴函数f（x）＝－x2＋4x＋a在[0,1］单调递增，∴当x＝0时，f（x)有最小值f(0)＝a＝－2,当x＝1时,f(x)有最大值f(1）＝3＋a＝3－2＝1.【答案】C4．已知函数f（x)＝x2－2ax－3在区间[1，2］上单调递增，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．（2，＋∞）D．［2，＋∞)【解析】函数f(x)＝x2－2ax－3为对称轴x0＝a开口向上的二次函数，∵在区间[1,2］上单调递增，∴区间［1，2］在对称轴x0＝a的右边,即a≤1,∴实数a的取值范围是(－∞，1]．【答案】B5．已知函数f（x)＝x2－2ax＋b（a〉1）的定义域和值域都为［1,a］,则b＝________．【解析】函数f（x)＝x2－2ax＋b（a＞1)的对称轴方程为x＝－错误!＝a>1，所以函数f（x)＝x2－2ax＋b在[1，a]上为减函数,又函数在［1，a］上的值域也为[1，a]，则错误!即错误!由①得：b＝3a－1，代入②得:a2－3a＋2＝0,解得：a＝1(舍），a＝2.把a＝2代入b＝3a－1得b＝5.【答案】5【知识要点】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0）．②顶点式:f(x)＝a(x－m)2＋n（a≠0）．③零点式：f(x）＝a(x－x1）(x－x2）（a≠0)．(2)二次函数的图象和性质c(a〉0)＋c（a<0)图象定义域（－∞，＋∞）(－∞，＋∞)值域错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递增在x∈错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称2。
2022版新高考数学总复习真题专题--二次函数与幂函数(解析版)
2022版新高考数学总复习--§2.3 二次函数与幂函数— 五年高考 —考点1 二次函数1.(2019浙江,16,4分)已知a ∈R ,函数f (x )=ax 3-x.若存在t ∈R ,使得|f (t +2)-f (t )|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案432.(2019上海春,10,5分)如图,正方形OABC 的边长为a (a >1),函数y =3x 2的图象交AB 于点Q ,函数y =x -12的图象交BC 于点P ,则当|AQ |+|CP |最小时,a 的值为 .答案 √33.(2018天津文,14,5分)已知a ∈R ,函数f (x )={x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.若对任意x ∈[-3,+∞), f (x )≤|x |恒成立,则a 的取值范围是 . 答案 [18,2]4.(2018天津理,14,5分)已知a >0,函数f (x )={x 2+2ax +a ,x ≤0,-x 2+2ax -2a , x >0.若关于x 的方程f (x )=ax 恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围是 . 答案 (4,8)考点2 幂函数1.(2019上海春,13,5分)下列函数中,值域为[0,+∞)的是 ( ) A.y =2xB.y =x 12C.y =tan xD.y =cos x答案 B2.(2018上海,7,5分)已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= .答案 -1以下为教师用书专用(2016课标Ⅲ文,7,5分)已知a =243,b =323,c =2513,则 ( )A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b答案 A a =243=423,c =2513=523,而函数y =x 23在(0,+∞)上单调递增,所以323<423<523,即b <a <c ,故选A . 评析 本题主要考查幂函数的性质,属中档题.— 三年模拟 — A 组 考点基础题组考点1 二次函数1.(2021江苏南京秦淮中学开学考,3)已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c.若f (0)=f (4)>f (1),则 ( ) A.a >0,4a +b =0 B.a <0,4a +b =0 C.a >0,2a +b =0 D.a <0,2a +b =0 答案 A2.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y 轴对称,且与直线y =x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f (x )= . 答案 x 2+14(答案不唯一)3.(2020湖南炎陵一中仿真考试)已知f (x )=√1-x2为奇函数,则g (x )=x 2+ax +b 的单调递增区间为 . 答案 (-12,+∞)考点2 幂函数1.(2021河北唐山二模,3)不等式(12)x≤√x 的解集是 ()A.[0,12]B.[12,+∞) C.[0,√22] D.[√22,+∞)答案 B2.(2020湘赣皖十五校第一次联考)设a =ln 12,b =-5-12,c =lo g 132,则 ( )A.c <b <aB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c 答案 B3.(2020广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数y =x n在第一象限内的图象.已知n 分别取±2,±12四个值,与曲线C 1,C 2,C 3,C 4相应的n 依次为 ( )A.2,12,-12,-2B.2,12,-2,-12 C.-12,-2,2,12 D.-2,-12,12,2 答案 A4.(2021上海松江一模,10)从以下七个函数:y =x ,y =1x ,y =x 2,y =2x,y =log 2x ,y =sin x ,y =cos x 中选取两个函数记为f (x )和g (x ),构成函数F (x )=f (x )+g (x ),若F (x )的图象如图所示,则F (x )= .答案 2x+sin xB 组 综合应用题组时间:50分钟 分值:60分一、单项选择题(每小题5分,共20分)1.(2020湖北武汉3月质量检测)已知a =0.80.4,b =0.40.8,c =log 84,则 ( )A.b <a <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a答案 D2.(2020百校联盟普通高中教育教学质量监测,7)已知函数f (x )=lo g 12(x 2-ax +a )在(12,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1]B.[-12,1]C.(-12,1]D.(-12,+∞) 答案 B3.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数.当x <0时,g (x )=-ln (1-x ),且f (x )={-x 2,x ≤0,g (x ),x >0.若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围为 ( )A.(-1,2)B.(1,2)C.(-2,-1)D.(-2,1) 答案 D4.(2021河北石家庄一模,8)若f (x )的图象上存在两点A ,B 关于原点对称,则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”).若f (x )={x 3e x,x≥0,ax 2,x <0恰有两个“友情点对”,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-1e ,0) B.(0,1e )C.(0,1)D.(-1,0) 答案 A二、多项选择题(共5分)5.(2021辽宁百校联盟质检,9)下列函数中,在区间(2,4)上是减函数的是 ( )A.y =(13)x B.y =log 2(x 2+3x )C.y =1x -2 D.y =cos x 答案 AC三、填空题(每小题5分,共10分)6.(2021上海黄浦一模,12)已知a 、b ∈R ,函数f (x )=x 2+ax +b +|x 2-ax -b |(x ∈R ),若函数f (x )的最小值为2b 2,则实数b 的取值范围是 . 答案 [0,1]7.(2020上海复兴高级中学期中,12)对于问题:当x >0时,均有[(a -1)x -1](x 2-ax -1)≥0,求实数 a 的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲:解含参不等式,其解集包含正实数集; 乙:研究函数y =[(a -1)x -1](x 2-ax -1);丙:分别研究两个函数y 1=(a -1)x -1与y 2=x 2-ax -1;丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中某位同学的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案为 . 答案 32四、解答题(共25分)8.(2021江苏南通海门一中期末,21)已知函数g (x )=ax 2-2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a ,b 的值;(2)若存在x ∈[3,4],使g (x )<2m 2-tm +7对任意的t ∈[0,5]都成立,求m 的取值范围;(3)设f (x )=g (x )x,若不等式f (2x )-k ·2x ≥0在x ∈[-1,1]上有解,求实数k 的取值范围.解析 (1)g (x )=ax 2-2ax +1+b =a (x -1)2+1+b -a. ∵a >0,∴g (x )在[2,3]上单调递增,∴{g (2)=1,g (3)=4⇒{1+b =1,9a -6a +1+b =4⇒{a =1,b =0.(2)由(1)得g (x )=x 2-2x +1,∵存在x ∈[3,4],使g (x )<2m 2-tm +7对任意的t ∈[0,5]都成立, ∴g (x )min =g (3)=4<2m 2-tm +7对任意的t ∈[0,5]都成立,即-mt +2m 2+3>0对任意的t ∈[0,5]都成立,其中t 看作自变量,m 看作参数,所以{2m 2+3>0,-5m +2m 2+3>0,解得m ∈(-∞,1)∪(32,+∞). (3)由(1)得f (x )=g (x )x =x 2-2x+1x =x +1x -2, ∴f (2x)-k ·2x=2x+12x -2-k ·2x≥0,令2x=t (12≤t ≤2),则不等式可化为k ≤1+1t2-2t ,∵不等式f (2x)-k ·2x≥0在x ∈[-1,1]上有解,∴k ≤(1+1t 2-2t )max ,又∵1+1t 2-2t =(1t-1)2, 12≤t ≤2⇒12≤1t ≤2,∴(1+1t2-2t )max =1, ∴k ≤1,即实数k 的取值范围是(-∞,1].思路分析 (1)利用二次函数的性质,即可求出a ,b 的值;(2)题目可转化为2m 2-tm +7>g (x )min =g (3)对任意的t ∈[0,5]都成立,再利用变换主元的方法,把t 看作自变量,m 看作参数,即可求解.(3)由(1)得出了函数解析式,令2x=t (12≤t ≤2),再分离参数k ,即可求解.9.(2020山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f (x )满足f (x )=f (-4-x ), f (0)=3,若x 1,x 2是f (x )的两个零点,且|x 1-x 2|=2. (1)求f (x )的解析式;(2)若x >0,求g (x )=xf (x )的最大值. 解析 (1)∵二次函数满足f (x )=f (-4-x ), ∴f (x )的图象的对称轴为直线x =-2,∵x 1,x 2是f (x )的两个零点,且|x 1-x 2|=2, ∴{x 1=-3,x 2=-1或{x 1=-1,x 2=-3. 设f (x )=a (x +3)(x +1)(a ≠0). 由f (0)=3a =3得a =1, ∴f (x )=x 2+4x +3.(2)由(1)得g (x )=xf (x )=xx 2+4x+3=1x+3x +4(x >0),∵x >0,∴1x+3x +4≤14+2√3=1-√32,当且仅当x =3x ,即x =√3时等号成立. ∴g (x )的最大值是1-√32.— 一年原创 —1.(2021 5·3原创题)2020年,新型冠状病毒肺炎在全球蔓延,防控形势异常严峻,佩戴口罩成为最基础最必要的防护,正因为如此,口罩一度脱销,成了年度最紧俏商品.为了解决口罩供应问题,某地区甲、乙两个口罩生产厂家不断扩大生产规模.已知2月份甲、乙厂家均月产口罩a 万个,此后甲厂产量逐月增加,并且增加量都是m (m >0)万个,乙厂产量也是逐月增加的,并且每月增加的百分率都是x.若2020年8月份两厂的产量也相同,则关于5月份的产量,下列说法正确的是 ( )A.5月份甲厂产量高于乙厂B.5月份甲厂产量低于乙厂C.5月份甲、乙两厂产量相同D.5月甲、乙两厂产量多少不能比较 答案 A2.(多选题)(2021 5·3原创题)若函数y =x 2-4x -4在区间[0,a )上既有最大值又有最小值,则正整数a 的值可能是 ( )A.2B.3C.4D.5 答案 BC3.(2021 5·3原创题)已知函数f (x )=ax 2-12x -34(a >0),且f (12)≥-1516.(1)是否存在实数a ,使得f (x )最小值的最大值是-1?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由; (2)在(1)的条件下,证明对于任意区间长度是2的闭区间上,总存在两点x 1,x 2,使|f (x 1)-f (x 2)|≥14恒成立. 解析 (1)因为f (x )=ax2-12x -34=a (x -14a )2-(34+116a ),a >0,所以f (x )min =-34-116a ,有-34-116a ≤-1,解得a ≤14,由f (12)=a 4-14-34≥-1516,解得a ≥14,所以a =14.(2)证明:由(1)知,a =14, f (x )=14(x -1)2-1,设任意长度为2的闭区间为[t -1,t +1].当t ≥1时, f (x )=14(x -1)2-1在[t ,t +1]上单调递增,则f (t +1)=14t 2-1, f (t )=14t 2-12t -34,令x 1=t ,x 2=t +1,则|f (x 1)-f (x 2)|=f (t +1)-f (t )=12t -14≥14.当t <1时, f (x )=14(x -1)2-1在[t -1,t ]上单调递减,则f (t -1)=14t 2-t , f (t )=14t 2-12t -34,令x 1=t -1,x 2=t ,则|f (x 1)-f (x 2)|=f (t -1)-f (t )=34-12t >14.综上所述,对于任意区间长度是2的闭区间上,总存在两点x 1,x 2,使|f (x 1)-f (x 2)|≥14恒成立.。
高中 幂函数与二次函数知识点+例题+练习 含答案
教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。
2022版新高考数学总复习专题试题--二次函数与幂函数(解析版)
2022版新高考数学总复习--§2.3 二次函数与幂函数— 专题检测 —一、单项选择题1.(2021新疆重点高中3月联考,6)已知函数f (x )=ax 2+bx +c ,满足f (3+x )=f (3-x ),且f (4)<f (5),则不等式f (1-x )<f (1)的解集为 ( ) A.(0,+∞) B.(-2,+∞) C.(-4,0) D.(2,4)答案 C 依题意有二次函数图象的开口向上,且关于直线x =3对称,则有f (x )=a (x -3)2+m ,a >0, f (1-x )=a (x +2)2+m ,a >0, f (1-x )<f (1)即a (x +2)2+m <4a +m ,a >0,(x +2)2<4,解得-4<x <0,故选C .2.(2021四川南充模拟,10)已知函数f (x )=ax 2-2x -2,若对于一切x ∈[1,2], f (x )>0都成立,则实数a 的取值范围为( )A.(4,+∞)B.(32,+∞) C.[32,+∞) D.(12,+∞)答案 A 由选项可知a >0,故二次函数f (x )的图象开口向上,对称轴为直线x =1a ,当0<1a≤1,即a ≥1时, f (x )在[1,2]上单调递增,∴f (x )min =f (1)=a -4>0,解得a >4;当1<1a <2,即12<a <1时, f (x )在[1,1a )上单调递减,在(1a ,2]上单调递增,∴f (x )min =f (1a )=-1a-2>0, 解得-12<a <0,与12<a <1相矛盾,舍去;当1a ≥2,即0<a ≤12时, f (x )在[1,2]上单调递减, ∴f (x )min =f (2)=4a -6>0,解得a >32∉(0,12],舍去. 综上所述,实数a 的取值范围为(4,+∞). 故选A.一题多解 ax 2-2x -2>0在[1,2]恒成立可等价转化为a >2x 2+2x =2[(1x )2+1x]在[1,2]上恒成立,令t =1x ,t ∈[12,1],则y =t 2+t =(t+12)2-14∈[34,2],故y =2[(1x )2+1x]的最大值为4,故a 的取值范围为(4,+∞),故选A .3.(2021四川顶级名校联考,5)设命题p :∃m ∈R ,使f (x )=(m -1)x m 2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减;命题q :∀x∈(2,+∞),x 2>2x,则下列命题为真的是 ( )A.p ∧(¬q )B.(¬p )∧qC.p ∧qD.(¬p )∨q答案 A 由m -1=1,解得m =2,故f (x )=1x,在(0,+∞)上单调递减,故命题p 是真命题;令x =4,则x 2=2x,故命题q 是假命题,故p ∧(¬q )是真命题,故选A .4.(2021山西怀仁期末,5)有四个幂函数:①f (x )=x -1;②f (x )=x -2;③f (x )=x 3;④f (x)=x 13.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是{y |y ∈R ,且y ≠0};(3)在(-∞,0)上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是 ( ) A.① B.② C.③ D.④答案 B f (x )=x -1只满足性质(2), f (x )=x 3只满足性质(3), f (x)=x 13只满足性质(3). f (x )=x -2是偶函数,在(-∞,0)上是增函数,但是其值域是{y |y >0}.故选B .5.(2021宁夏银川重点高中一模,11)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数,且当x <0时,函数f (x )=x e x+2,若关于x 的函数F (x )=[f (x )]2+(a -2)f (x )-2a 恰有2个零点,则实数a 的取值范围为 ( )A.(-∞,1e-2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,1e -2)∪(2-1e ,2) D.(1e -2,2-1e)答案 C 令F (x )=[f (x )-2][f (x )+a ]=0,得f (x )=2或f (x )=-a ,x <0时, f (x )=x e x+2<2,因此f (x )=2无解.则f (x )=-a 要有两解,对f (x )求导得f '(x )=(x +1)e x,x <-1时, f '(x )<0, f (x )单调递减,-1<x <0时, f '(x )>0, f (x )单调递增,∴f (x )的极小值为f (-1)=2-1e, 又f (x )<2,则2-1e<-a <2, 又f (x )是奇函数,∴x >0时, f (x )=2仍然无解,f (x )=-a 要有两解,则-2<-a <1e -2.综上,有a ∈(-2,1e-2)∪(2-1e,2).6.(2021浙江之江教育高三下开学考,10)已知函数f (x )=ax +b x,若存在两相异实数m ,n ,使f (m )=f (n )=c ,且a +4b +c =0,则|m -n |的最小值为 ( ) A .√22B .√32C .√2D .√3答案 B 因为f (m )=f (n )=c ,所以m ,n 是方程ax 2-cx +b =0的两相异实根,从而Δ=c 2-4ab =(a +4b )2-4ab =a 2+4ab +16b 2>0,故|m -n |=√c 2-4ab |a |=√(a+4b )2-4ab|a |=√16(b a)2+4·b a+1≥√64-164×16=√32,故选B .7.(2021北京顺义二模,4)已知a ,b ∈R ,且a >b ,则下列不等式恒成立的是 ( )A.2a<2b B.1a 2+1>1b 2+1C.a 3>b 3D.lg (a 2+1)>lg (b 2+1)答案 C ∵y =2x在R 上单调递增,∴a >b 时,2a>2b,∴选项A 错误;∵a ,b ∈R ,且a >b ,∴a 2与b 2的大小无法比较,∴选项B错误;∵y =x 3在R 上单调递增,∴a >b 时,a 3>b 3恒成立,选项C 正确;∵a ,b ∈R ,且a >b ,∴a 2与b 2的大小无法比较,∴选项D错误.综上,选C .8.(2021北京延庆一模,7)已知定义在R上的幂函数f(x)=x m(m为实数)的图象过点A(2,8),记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a答案A本题考查幂函数,通过幂函数的单调性考查学生分析问题与解决问题的能力,渗透逻辑推理与数学运算的核心素养,试题体现综合性.∵f(x)=x m的图象过点A(2,8),∴f(2)=2m=8,∴m=3.从而f(x)=x3,log0.53=lo g123=-log23=log213,∵log213<log25<log223=3,∴log0.53<log25<m,又f(x)=x3在R上单调递增,∴f(log0.53)<f(log25)<f(m).故a<b<c,故选A.9.(2021天津一中月考,9)已知函数f(x)=|x2+px+q|,∀p,q∈R,∃x0∈[1,5],使f(x0)≥m成立,则m的范围是()A.(-∞,52] B.(-∞,2] C.(-∞,3] D.(-∞,4]答案B由题意可知∃x0∈[1,5],f(x0)≥m成立,即m≤f(x)max,又∀p,q∈R,m≤f(x)max,所以m≤[f(x)max]min,∵f(x)=|x2+px+q|的每个函数值可看作g(x)=x2与h(x)=-px-q在横坐标相等时,纵坐标的“竖直距离”,由g(x)=x2,x∈[1,5],可取A(1,1),B(5,25),所以AB的直线方程为l1:y=6x-5,设l2与AB平行且与g(x)=x2的图象相切于C(x0,y0),∴g'(x0)=2x0=6,x0=3,∴l2:y=6x-9,当直线h (x )=-px -q 与l 1、l 2平行且与两条直线的距离相等,即恰好在l 1、l 2的中间时,g (x )=x 2与h (x )=-px -q 在纵坐标的“竖直距离”中取得最大值中的最小值,此时h (x )=6x -7,则f (x )=|x 2-(6x -7)|=|x 2-6x +7|=|(x -3)2-2|,又∵x ∈[1,5],∴(x -3)2∈[0,4],所以f (x )max =2,此时x =1或3或5,∴m 的范围是(-∞,2],故选B .10.(2021天津一中月考,9)已知函数f (x )={x 2+4x +5-a ,-5<x <0,e x +a +1,x ≥0,若关于x 的方程f (x )=ax +1恰有三个不同的实数根,则a 的取值范围是 ( )A.(-94,-12)∪(e 2,+∞) B.[-94,-12]∪(e 2,+∞)C.(-94,-1]∪(e 2,+∞) D.(-94,-1)∪[e 2,+∞)答案 C 经检验x =±1不是方程的根, 当-5<x <0且x ≠-1时,∵x 2+4x +5-a =ax +1,∴x 2+4x +4=a (x +1),∴a =x 2+4x+4x+1=x +1+1x+1+2. 当x ≥0且x ≠1时,e x+a +1=ax +1,a =e x x -1,设g (x )=e x x -1,g'(x )=e x (x -2)(x -1)2,x ∈(0,1),(1,2)时, f (x )单调递减,x ∈(2,+∞)时, f (x )单调递增,如图,故a ∈(-94,-1]∪(e 2,+∞).二、多项选择题11.(2021届湖南郴州一中模拟)若函数y =x 2-4x -4的定义域为[0,m ],值域为[-8,-4],则实数m 的值可能为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案 ABC 函数y =x 2-4x -4的图象的对称轴方程为x =2,当0≤m ≤2时,函数在[0,m ]上单调递减,x =0时取最大值-4,x =m 时取最小值,由m 2-4m -4=-8,解得m =2.当m >2时,函数的最小值为-8,而f (0)=-4,所以由对称性可知,2<m ≤4. ∴由选项知,实数m 的值可能为2,3,4.故选ABC .12.(2021届山东菏泽东明实验中学月考,10)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -3)=-f (x ),当x ∈[0,3]时,f (x )=x 2-3x ,下列等式成立的是 ( ) A.f (2 019)+f (2 020)=f (2 021) B.f (2 019)+f (2 021)=f (2 020) C.2f (2 019)+f (2 020)=f (2 021) D.f (2 019)=f (2 020)+f (2 021)答案 ABC 由f (x -3)=-f (x )知f (x )的周期为6,f (2 019)=f (336×6+3)=f (3)=0,f (2 020)=f (337×6-2)=f (-2)=-f (2)=2,f (2 021)=f (337×6-1)=f (-1)=-f (1)=2.故选ABC .三、填空题13.(2021吉林松原高考模拟,13)已知幂函数f (x )=x a的图象经过点P (12,14),则实数a = .答案 2 解析 将点P (12,14)代入f (x )=x a得f (12)=(12)a =14,解得a =2.14.(2021浙江百校3月联考,15)已知函数f (x )=2|x 2-x +a |+|x 2-4x +a |,若对任意的x ∈(1,a ),不等式f (x )≥(a -1)x 恒成立,则实数a 的最大值为 . 答案 25解析 由对任意x ∈(1,a ), f (x )≥(a -1)x 恒成立,得a -1≤f (x )x=2|x +a x -1|+|x +a x-4|恒成立.因为x ∈(1,a ),所以2|x +a x-1|+|x +a x-4|≥2|2√a -1|+|2√a -4|≥4√a -2+|2√a -4|,当a >1且2√a -4<0,即1<a <4时,有4√a -2+4-2√a ≥a -1,即a -2√a -3≤0,解得0≤a <9,所以1<a <4;当2√a -4≥0,即a ≥4时,有4√a -2+2√a -4≥a -1,即有a -6√a +5≤0,所以4≤a ≤25.因此实数a 的最大值为25. 15.(2021浙江新高考研究卷(二),17)若x >0,不等式0≤x 3+ax 2-3x +b ≤(x -1)2(x +3)恒成立,则b = .答案 2解析 令x =1,得0≤1+a -3+b ≤0,则a +b -2=0,即a +b =2,则x 3+ax 2-3x +b =x 3+(2-b )x 2-3x +b ≤(x -1)2(x +3)恒成立,即(b -1)x 2-2x +3-b ≥0对任意x >0恒成立,也即(x -1)[(b -1)x +b -3]≥0对任意x >0恒成立,当b -11=b -3-1,即b =2时,(x -1)2≥0恒成立;当b ≠2时,方程(b -1)x 2-2x +3-b =0的根的判别式Δ=4-4(b -1)(3-b )=4(b -2)2>0,故该方程有两个不等实根,且其中一根为x =1,x =1为变号零点,不满足题意.当b =2时,x 3+(2-b )x 2-3x +b =x 3-3x +2=(x -1)2(x +2)≥0对任意x >0恒成立,所以b的值为2.16.(2021北京怀柔高三适应性练习,15)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥BC ,AB =2,CD =1,BC =a (a >0),P 为线段AD 上一个动点,设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ =y ,对于函数y =f (x ),给出下列四个结论:①当a =2时,函数f (x )的值域为[1,4]; ②∀a ∈(0,+∞),都有f (1)=1成立;③∀a ∈(0,+∞),函数f (x )的最大值都等于4; ④∃a ∈(0,+∞),函数f (x )的最小值为负数. 其中所有正确结论的序号是 . 答案 ②③④解析 建立如图所示坐标系,根据题意,A (-2,0),B (0,0),C (0,a ),D (-1,a ),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,a ), 故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,ax ),0≤x ≤1, 故P (x -2,ax ),则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -2,ax ),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -2,ax -a ), 则y =f (x )=PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x -2)2+ax (ax -a )=(1+a 2)x 2-(4+a 2)x +4, 当a =2时, f (x )=5x2-8x +4=5(x -45)2+45,0≤x ≤1,故当x =45时, f (x )取得最小值45, 当x =0时, f (x )取得最大值4, 即值域为[45,4],①错误.∀a ∈(0,+∞), f (1)=(1+a 2)-(4+a 2)+4=1,②正确.f (x )=(1+a 2)x 2-(4+a 2)x +4图象的对称轴为x =4+a 22(1+a 2)=12+32(1+a 2)∈(12,2),当12+32(1+a 2)≥1,即0<a ≤√2时,函数f (x )在[0,1]上单调递减,故当x =0时, f (x )取得最大值4,当x =1时, f (x )取得最小值1; 当12<12+32(1+a 2)<1,即a >√2时,根据抛物线的对称性可知,当x =0时,函数f (x )取得最大值4,当x =4+a 22(1+a 2)时, f (x )取得最小值4-(4+a 2)24(1+a 2).综上可知,∀a ∈(0,+∞),函数f (x )的最大值都等于4,故③正确. 取a =3>√2时, f (x )取得最小值4-(4+a 2)24(1+a 2)=4-1324×10=-940<0,故④正确. 故答案为②③④.思路分析 先建立坐标系写出各点的坐标,得到函数f (x )=(1+a 2)x 2-(4+a 2)x +4,利用二次函数的性质依次判断四个结论的正误即可得结果.四、解答题17.(2021江西贵溪实验中学一模,18)已知二次函数f (x )的最小值为3,且f (1)=f (3)=5. (1)求f (x )的解析式;(2)若y =f (x )的图象恒在直线y =2x +2m +1的上方,求实数m 的取值范围.解析 (1)因为二次函数f (x )中f (1)=f (3),所以图象的对称轴方程为x =2,又二次函数f (x )的最小值为3,故可设f (x )=a (x -2)2+3(a >0),所以f (1)=a (1-2)2+3=a +3=5,所以a =2,所以f (x )=2(x -2)2+3=2x 2-8x +11.(2)y =f (x )的图象恒在直线y =2x +2m +1的上方等价于2x 2-8x +11>2x +2m +1,即m <x 2-5x +5恒成立,因为y =x2-5x +5=(x -52)2-54≥-54,所以m <-54,即实数m 的取值范围为(-∞,-54).方法总结 已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法: (1)函数法:讨论参数范围,借助函数单调性求解;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域或最值问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.18.(2020山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f (x )满足f (x )=f (-4-x ), f (0)=3,若x 1,x 2是f (x )的两个零点,且|x 1-x 2|=2. (1)求f (x )的解析式; (2)若x >0,求g (x )=xf (x )的最大值.解析 (1)∵二次函数满足f (x )=f (-4-x ), ∴f (x )的图象的对称轴为直线x =-2, ∵x 1,x 2是f (x )的两个零点,且|x 1-x 2|=2, ∴{x 1=-3,x 2=-1或{x 1=-1,x 2=-3.设f (x )=a (x +3)(x +1)(a ≠0).由f (0)=3a =3得a =1,∴f (x )=x 2+4x +3.(2)由(1)得g (x )=x f (x )=x x 2+4x+3=1x+3x+4(x >0), ∵x >0,∴1x+3x +4≤4+2√3=1-√32,当且仅当x =3x ,即x =√3时等号成立.∴g (x )的最大值是1-√32.。
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专题2.9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数 y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象性质定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域[4ac −b 24a，+∞)(−∞，4ac −b 24a]单调性在x ∈(−∞，−b 2a]上单调递减；在x ∈[−b2a，+∞)上单调递增 在x ∈(−∞，−b 2a]上单调递增；在x ∈[−b 2a，+∞)上单调递减对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称【题型1 求幂函数的解析式】(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.(2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y ＝x α(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】（2021秋•临渭区期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点（2，8），则f （﹣2）的值为（ ） A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣4【解题思路】设所求的幂函数为f （x ）＝x a ，由幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8），解得f （x ）＝x 3，由此能求出f （﹣2）的值． 【解答过程】解：设所求的幂函数为f （x ）＝x a ， ∵幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，8）， ∴f （2）＝2a ＝8，解得a ＝3， ∴f （x ）＝x 3，∴f （﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8， 故选：B ．【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，则f （4）的值为（ ） A ．﹣2B ．1C ．2D ．4【解题思路】设幂函数的解析式为f （x ）＝x α，代入点可求α的值，从而可求f （4）的值．【解答过程】解：设幂函数的解析式为f （x ）＝x α，因为幂函数y ＝f （x ）的图象过点(3，√3)，所以3α=√3，解得α=12． 所以f （x ）=√x ，f （4）=√4=2． 故选：C ．【变式1-2】（2022春•无锡期末）已知幂函数y ＝f （x ）的图像过点(2，√22)，则f （16）＝（ ）A ．−14B ．14C ．﹣4D ．4【解题思路】设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数f （x ）的解析式，求出函数值即可．【解答过程】解：令f （x ）＝x α， 将点(2，√22)代入函数的解析式得：2α=√22=2−12，解得α=−12，故f （x ）=x −12，f （16）=14， 故选：B ．【变式1-3】（2022春•广陵区校级月考）若幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点(2，√163)，则函数f （x ）的解析式是（ ） A ．f(x)=x 43B ．f(x)=x 13C ．f(x)=x−43D ．f(x)=x 23【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式． 【解答过程】解：∵幂函数f （x ）＝x a 的图象经过点(2，√163)，∴2a=√163=234，解得a=43，∴f(x)=x 43，故选：A ．【题型2 幂函数的图象和性质】(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【例2】（2022春•德州期末）幂函数f(x)=(m 2+m −5)x m2+2m−5在区间（0，+∞）上单调递增，则f （3）＝（ ） A ．27B ．9C ．19D ．127【解题思路】根据幂函数的概念及性质，求出实数m 的值，得到幂函数的解析式，由此能求出结果．【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(m 2+m −5)x m2+2m−5在区间（0，+∞）上单调递增，∴{m2+m−5=1m2+2m−5是正数，解得m＝2，∴f（x）＝x3，∴f（3）＝33＝27．故选：A．【变式2-1】（2022春•玉林期末）幂函数y=x m2+m−2（0≤m≤3，m∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是增函数，则m的值为（）A．0B．2C．3D．2和3【解题思路】由题意可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数，结合0≤m≤3，m∈Z，求出m的值．【解答过程】解：由题意，可得m2+m﹣2＞0，且m2+m﹣2为偶数，∵0≤m≤3，m∈Z，∴m＝2或3．故选：D．【变式2-2】（2021秋•鹿城区校级期中）已知幂函数f（x）的图象过点(√2，√22)，若x1＞x2＞1，则（）A．f（x1）＞f（x2）＞1B．f（x1）＞1＞f（x2）C．f（x1）＜f（x2）＜1D．f（x1）＜1＞f（x2）【解题思路】求出幂函数的解析式，根据幂函数的单调性，判断f（x1），1，f（x2）的大小即可．【解答过程】解：幂函数f（x）的图象过点(√2，√22)，所以√22=(√2)α，所以α＝﹣1，所以幂函数为y＝x﹣1，幂函数在x＞0时是减函数，因为x1＞x2＞1，所以f（x1）＜f（x2）＜1．故选：C．【变式2-3】（2021秋•黟县校级期中）设α∈{﹣3，﹣2，﹣1，−12，12，1，2，3}，则使y＝xα为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】利用幂函数的性质、奇函数的定义、函数的单调性即可得出．【解答过程】解：只有当α＝﹣3，﹣1时，满足幂函数y＝x a为奇函数且在（0，+∞）上单调递减．故选：B．【题型3 求二次函数的解析式】 求二次函数解析式的方法： (1)已知三点坐标，选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大（小）值等条件，选用顶点式； (3)已知与x 轴两交点坐标，选用零点式.【例3】已知二次函数f （x ）的图象经过两点（0，3），（2，3），且最大值是5，则该函数的解析式是（ ） A ．f （x ）＝2x 2﹣8x +11 B ．f （x ）＝﹣2x 2﹣8x ﹣1C ．f （x ）＝2x 2﹣4x +3D ．f （x ）＝﹣2x 2+4x +3【解题思路】由题意可得对称轴x ＝1，最大值是5，故可设f （x ）＝a （x ﹣1）2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a 的值，问题得以解决．【解答过程】解：二次函数f （x ）的图象经过两点（0，3），（2，3），则对称轴x ＝1，最大值是5，可设f （x ）＝a （x ﹣1）2+5， 于是3＝a +5，解得a ＝﹣2，故f （x ）＝﹣2（x ﹣1）2+5＝﹣2x 2+4x +3， 故选：D ．【变式3-1】 二次函数y ＝ax 2+bx +c ，当y ＜0时，x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞3，则二次函数的解析式是（ ） A ．y ＝x 2﹣x ﹣6B ．y ＝x 2+x ﹣5C ．y ＝﹣x 2+x +6D ．y ＝﹣2x 2+3x【解题思路】根据题意得出a ＜0，x ＝﹣2，x ＝3是ax 2+bx +c ＝0的根，判断即可得出答案．【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c ，当y ＜0时，x 的取值范围是x ＜﹣2或x ＞3， ∴a ＜0，x ＝﹣2，x ＝3是ax 2+bx +c ＝0的根， A ，B 的开口向上，故不正确， D 的零点为0，32，故不正确，故选：C ．【变式3-2】（2021秋•增城市校级期中）已知二次函数的图象与x 轴交于点（﹣1，0）和（2，0），且与y 轴交于（0，﹣2），那么此函数的解析式是（ ） A ．y ＝﹣x 2+x +2B ．y ＝x 2﹣x ﹣2C ．y ＝x 2+x ﹣2D ．y ＝2x 2﹣2x ﹣4【解题思路】由题意知，可用两根式设抛物线的解析式，然后将三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．【解答过程】解：由于二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（2，0），故可设这个二次函数的解析式是y＝a（x+1）（x﹣2）（a≠0），又由二次函数的图象与y轴交于（0，﹣2），则﹣2＝a（0+1）（0﹣2）解之得a＝1；所以该函数的解析式为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2故选：B．【变式3-3】（2022•山东模拟）二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（）A．f（x）＝2x2﹣8x+11B．f（x）＝﹣2x2+8x﹣1C．f（x）＝2x2﹣4x+3D．f（x）＝﹣2x2+4x+3【解题思路】由题意可得对称轴x＝1，最大值是5，故可设f（x）＝a（x﹣1）2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答过程】解：二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3），则对称轴x＝1，最大值是5，可设f（x）＝a（x﹣1）2+5，于是3＝a+5，解得a＝﹣2，故f（x）＝﹣2（x﹣1）2+5＝﹣2x2+4x+3，故选：D．【题型4 二次函数的图象】(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析；(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【例4】（2021秋•衢州期中）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b＝0B．a+b+c＜0C．a﹣b+c＜0D．abc＞0【解题思路】由已知结合二次函数的图象及性质分析各选项即可判断．【解答过程】解：由图象可知，a＜0，c＞0，−b2a=1，所以b＝﹣2a，A错误；因为f（﹣1）＝a﹣b+c＜0，C正确，f（1）＝a+b+c＞0，B错误；所以abc＜0，D错误．故选：C．【变式4-1】（2021秋•三元区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．②③【解题思路】结合函数的图象以及二次函数的性质判断即可．【解答过程】解：y＝ax2+bx+c有2个零点，故Δ＝b2﹣4ac＞0，故①正确，结合图象f（﹣1）＜0，故a﹣b+c＜0，故②错误，函数对称轴是x=−b2a＞1，（a＜0），故2a+b＞0，故③正确，故选：B．【变式4-2】（2021秋•上蔡县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）①b＝﹣2a；②a+b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④abc＜0．A．①③B．②③C．②④D．①④【解题思路】结合图像，根据二次函数的性质分别判断即可．【解答过程】解：结合图像，对称轴x=−b2a=1，故b＝﹣2a，故①正确；f（1）＝a+b+b＞0，故②错误；f（﹣1）＝a﹣b+c＜0，故③错误；a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故④正确；故选：D．【变式4-3】（2020春•霍邱县校级期末）二次函数f（x）的图象如图所示，则f（x﹣1）＜0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（0，3）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【解题思路】由图象知，当﹣1＜x＜2时，则f（x）＜0，再列出不等式即可．【解答过程】解：由图象知，当﹣1＜x＜2时，则f（x）＜0，∵f（x﹣1）＜0，∴﹣1＜x﹣1＜2，∴0＜x＜3，∴不等式的解集为（0，3）．故选：B．【题型5 二次函数的单调性与最值】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．【例5】（2022春•兴庆区校级期末）函数y＝x2﹣x+1，x∈[﹣1，1]的最大值与最小值之和为（）A．1.75B．3.75C．4D．5【解题思路】数y＝x2﹣x+1，对称轴为x=12，y min=f(12)=34，f（﹣1）＝3，f（1）＝1，故最大值为3，最小值为0.75，求出即可．【解答过程】解：函数y＝x2﹣x+1，对称轴为x=1 2，y min=f(12)=34，f（﹣1）＝3，f（1）＝1，故最大值为3，最小值为0.75所以最大值和最小值的和为3.75，故选：B．【变式5-1】（2021秋•靖远县期中）已知函数f（x）＝x2﹣4x在区间[﹣1，m]上的最大值为5，则实数m的取值范围是（）A．（2，5]B．（﹣1，5]C．[2，5]D．（1，5]【解题思路】根据题意，f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4的对称轴为x＝2，且当x＝2时，函数有最小值f（2）＝﹣4，且f（﹣1）＝f（5）＝5，又函数f（x）＝x2﹣4x在区间[﹣1，m]上的最大值为5，从而可得﹣1＜m≤5．【解答过程】解：根据题意，f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4的对称轴为x＝2，且当x＝2时，函数有最小值f（2）＝﹣4，令f（x）＝5，得x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∵函数f（x）＝x2﹣4x在区间[﹣1，m]上的最大值为5，∴﹣1＜m≤5，即m的取值范围是（﹣1，5]．故选：B．【变式5-2】（2021•天心区校级开学）二次函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），且f（x）在[0，2]上是减函数，若f（a）≤f（0），则实数a的取值范围为（）A．[0，4]B．（﹣∞，0]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）【解题思路】根据题意知f（x）的对称轴为x＝2，由f（a）≤f（0）得出|a﹣2|≤2，从而求得a的取值范围．【解答过程】解：函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），则f（x）的对称轴为x＝2；又f（x）在[0，2]上是减函数，则f（x）在[2，4]上是增函数；如图所示，若f（a）≤f（0），则有|a﹣2|≤2，解得：0≤a≤4，即a的取值范围是[0，4]．故选：A．【变式5-3】（2022•东湖区校级模拟）已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+5，若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，则实数a的取值范围是（）A．[2，3]B．[1，2]C．[﹣1，3]D．[2，+∞）【解题思路】先由函数的解析式求出其对称轴及单调区间；然后根据f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，得出a的一个取值范围；再对任意的x1，x2∈[1，a+1]，|f（x1）﹣f（x2）|max＝|f（a）﹣f（1）|≤4，又可求出a的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决．【解答过程】解：函数f（x）＝x2﹣2ax+5的对称轴是x＝a，则其单调减区间为（﹣∞，a]，因为f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，所以2≤a，即a≥2．则|a﹣1|≥|（a+1）﹣a|＝1，因此任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，只需|f（a）﹣f（1）|≤4即可，即|（a2﹣2a2+5）﹣（1﹣2a+5）|＝|a2﹣2a+1|＝（a﹣1）2≤4，亦即﹣2≤a﹣1≤2，解得﹣1≤a≤3，又a≥2，因此a∈[2，3]．故选：A．【题型6 二次函数的恒成立问题】【方法点拨】(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【例6】（2020秋•宁波期末）已知函数f （x ）＝4ax 2+4x ﹣1，∀x ∈（﹣1，1），f （x ）＜0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤−34B ．a ＜﹣1C ．−1＜a ≤34D ．a ≤﹣1【解题思路】对二次项系数a 的取值进行分类讨论，分a ＝0，a ＞0，a ＜0三种情况分别求解，即可得到答案．【解答过程】解：当a ＝0时，f （x ）＝4x ﹣1＜0，解得x ＜14，故当x =34时，f （x ）＞0，故不符合题意；当a ＞0时，则有{f(−1)=4a −4−1≤0f(1)=4a +4−1≤0，无解； 当a ＜0时，则有{△≥0−42⋅4a ≤−1f(−1)≤0①，或{△≥0−42⋅4a ≥1f(1)≤0②，或Δ＝16+16a ＜0③， 解得①无解，②无解，③a ＜﹣1，故a ＜﹣1，综上所述，实数a 的取值范围是a ＜﹣1．故选：B ．【变式6-1】（2020春•玉林期末）已知函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，72）B ．（72，+∞）C ．（﹣∞，143）D ．（143，+∞）【解题思路】由题意可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，结合y ＝g （x ）的图象，只需g （1）＜0，且g （2）＜0，解不等式可得所求范围．【解答过程】解：函数f （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ，若f （x ）＜k ﹣2对x ∈[1，2]恒成立， 可得x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2＜0在x ∈[1，2]恒成立，可设g （x ）＝x 2+（4﹣k ）x ﹣k +2，由于y ＝g （x ）的图象为开口向上的抛物线，只需g （1）＜0且g （2）＜0，所以{1+4−k −k +2＜04+2(4−k)−k +2＜0，即{k ＞72k ＞143， 可得k ＞143．故选：D ．【变式6-2】（2020秋•湖北期中）已知f （x ）＝x 2+4x +1+a ，∀x ∈R ，f （f （x ））≥0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[√5−12，+∞)B．[2，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[3，+∞）【解题思路】换元，令t＝f（x），则t≥a﹣3，所以f（t）≥0对任意t≥a﹣3恒成立，再求出f（t）的最小值后，解不等式即可．【解答过程】解：设t＝f（x）＝（x+2）2+a﹣3≥a﹣3，∴f（t）≥0对任意t≥a﹣3恒成立，即（t+2）2+a﹣3≥0对任意t∈[a﹣3，+∞）都成立，①当a﹣3≤﹣2，即a≤1时，f（t）min＝f（﹣2）＝a﹣3，则a﹣3≥0，即a≥3，与讨论a≤1矛盾，②当a﹣3＞﹣2，即a＞1时，f（t）min＝f（a﹣3）＝a2﹣a﹣2≥0，解得a≥2或a≤﹣1，∵a＞1，∴a≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞）．故选：B．【变式6-3】（2021秋•上高县校级月考）已知二次函数f（x）满足f（x+1）＝x2﹣x+2，若f（x）＞3x+m在区间[﹣1，3]上恒成立，则实数m的范围是（）A．m＜﹣5B．m＞﹣5C．m＜11D．m＞11【解题思路】先令t＝x+，则x＝t﹣1，然后用换元法求出f（x）的解析式，再根据f（x）＞3x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，转化为m＜x2﹣6x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，再确定g（x）＝x2﹣6x+4的最小值即可．【解答过程】解：令t＝x+1，则x＝t﹣1．所以f（t）＝（t﹣1）2﹣（t﹣1）+2＝t2﹣3t+4，所以f（x）＝x2﹣3x+4，因为f（x）＞3x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，所以m＜x2﹣6x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，设g（x）＝x2﹣6x+4，对g（x）配方得，g（x）＝（x﹣3）2﹣5，当x＝3时，g（x）有最小值﹣5，所以m＜﹣5，故选：A．。