过不同线三点作圆（教案）
过三点的圆教学设计
1．必须注意强调三个点的位置关系，只有当三个点不在同一直线上时，才能确定一个圆，笼统地说“三点确定一个圆”是不确切的．
能力目标
1．通过学生自己动手作图，在动手参与的过程中探索、发现科学知识，进一步提高学生探究和发现的问题的能力。
2．提高学生应用数学知识解决生活中实际问题的能力。
情感态度价值观
1、增强学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣和积极性。
2、培养学生树立良好的学习态度、养成永无止境的科学探索精神。
过三点的圆教学设计
2、学生对圆的学习很有兴趣。
教师情况
组织教学能力较强，能够充分调动学生的积极性，能够合理运用多媒体技术辅助教学。
教学环境与技术支持
课堂教学与课外学生实践结合，多媒体设备齐全。
四、教学方法
采用自主探究学习模式，以学生思考讨论交流为主，充分调动学生学习的积极性。
五、教学组织形式
集体教学，分组讨论相结合。
让学生充分感受数学的严谨性
三、应用举例，巩固新知
1、你能确定这个圆形纸片的圆心吗？
2、工人师傅要铸造一个和残轮片同样大小的圆轮，你能帮助工人师傅解决这一问题吗？
3、过A、B两点画圆,且圆心在直线m上,可以画几个圆?请画图说明.
思考题：过4个点能不能作圆？
学生先在教师下发的篇子上作图，然后展示作图并讲解
生：说猜想，画图说明，到黑板上讲解。
教师适时追问、质疑、点拨，促使学生不断“拨乱反正”，得出正确的结论。
通过自主探究和小组合作交流，使学生真正亲身经历知识的形成过程，好像数学知识是他们自己通过探究发现的，让他们充分体验成功的喜悦。
让学生学会探究问题的方法
培养学生分类讨论的意识
培养学生全面考虑问题的意识
《过三点的圆》教案-09
《过三点的圆》教案教学过程（一）明确目标某一个城市在一块空地上新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上．要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪一个位置？你怎么确定这个位置呢？教师提出问题，学生思考回答．接着教师进一步提出这样一个问题，初一我们学习了直线公理，直线公理内容是什么？教师重复学生的回答：“经过两点确定一条直线．”对于一个圆来说，是否也有由几点确定的问题呢？此时教师出示课题：“7．2经过三点的圆”，教师这种引导虽然简短，但在学生的心理上起到了一定的定势作用，使学生明确了本节课的教学目标，学生带着一种好奇心，兴致勃勃去探索研究怎么作圆，从而调动学生学习积极性．（二）整体感知圆是学生学习的第一种曲线形，学生从学习直线形到曲线形，在认识上是一个飞跃．教师为了使学生从作线段垂直平分线到作三角形三边的垂直平分线到作三角形的外接圆，是由浅入深，循序渐进的过程．例如，首先让学生从经过一点画圆、有多少个？接着经过两点画圆，有多少个？指出圆心、半径的位置，到经过三个点的圆；让学生亲自动手画去探索经过三点的圆是否成立？这样做的目的就是通过学生思考、动手操作发现其中的奥妙，增强学生的参与意识，使学生始终处于一种积极学习的状态，以主动地获取知识．（三）重点、难点的学习与目标完成过程学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经过三点的圆，这三点的位置要进行讨论．有两种情况；①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．怎样才能做出这个圆呢？这时教师出示幻灯片．例1作圆，使它经过不在同一直线上三点．由学生分析首先得出这个命题的题设和结论．已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过A、B、C三点．接着教师进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？由于一开课在设计学校的位置时，学生已经有了印象，学生会很快回答是确定圆心，确定圆心的方法：作△ABC的三边垂直平分线，三边垂直平分线的交点O就是圆心．圆心O确定了，那么要经过三点A、B、C的圆的半径可以选OA或OB都可以．作图过程教师示范，学生和老师一起完成．一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确．定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．注意：经过在同一条直线上三点不能确定一个圆．这样做的目的，不是教师“填鸭式”的往里灌，而是学生自己经过探索确定圆的条件，这样得到的结论印象深刻，效果要比全部由老师讲更好．接着，由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与△ABC的顶点的关系，得出：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．理解这些术语的意义，指出语言表达的规范化．为了更好的掌握新概念，出示小黑板的练习题．练习1：按图填空：（1）△ABC是⊙O的________三角形；（2）⊙O△ABC的________圆．这组题的目的就是理解“内接”，“外接”的含意，练习2：判断题：（1）经过三点一定可以作圆；（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（）（5）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．（）这组练习题主要巩固对本节课的定理和有关概念的理解，加深学生对概念辨析的准确性．练习3：经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆？练习4：选择题：钝角三角形的外心在三角形[] A．内部B．一边上C．外部D．可能在内部也可能在外部练习3、4两道小题，引导学生动手画一画，和对定理的理解是否深刻，训练学生思维的广阔性和准确性有关．练习5：教材P．73中4题（略）．（四）总结、扩展师生共同完成总结．知识点方面：2．（1）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．3．方法方面：1．用尺规作三角形的外接圆的方法．2．重点词语的区别：“内接”，“外接”．（五）布置作业略补充作业：已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎．板书设计。
2.4过不共线三点作圆
7.（1）直角三角形的两边长分别是6和8，求它的外接圆的直径。
（2）已知正三角形的外接圆的半径为1，求此正三角形的边长。
3
8.如图所示，点A,B,C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，向三个村庄分 别送水，为使三条输水管长度相同，水泵站应建在何处？请画示意图，并说 明理由。
连接AB、BC，分别作AB、BC的中垂 线，两线交于点O，点O就是所求．
9.小明家的房前有一块矩形的空地，如图所示，空地上有三棵树A,B,C，小明 想建一个图形花坛，使三棵树都在花坛的边上。 （1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕 迹）； （2）若△ABC中AB=8米，AC=6米，∠BAC=90°，试求小明家圆形花坛的面 积． （2）∵∠BAC=90°， ∴BC是直径． ∵AB=8米，AC=6米， ∴BC=10米 ∴△ABC外接圆的半径为5米 （1）如图，⊙O即为 ∴小明家圆形花坛的面积为 所求作的花园的位置 25π平方米． ．
4.如图2-81所示，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（1,4）， （5,4），（1，-2），则∆ABC外接圆的圆心坐标是（ D）
A.(2，3) 1)
B.(3，2)
C.(1，3)
D(3，
(5，2) 5.如图所示，通过观察、试验，可以发现图中 ∆ABC外接圆的圆心坐标 是 。
6.如图2-82所示，在∆ABC中，AB=AC=10，BC=12，求其外接圆的半径。
△ABC是⊙Ｏ的内接三角形，⊙Ｏ是△ABC外接圆，O点是△ABC的外心。
A
●O
●
C
做三角形外接圆的方法就跟 过三点作圆的方法一样。
锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆。
A
A
《过不共线三点作圆》导学案
学习目标
1．了解不共线三点确定一个圆的方法，三角形的外接圆及外心等概念；
2．经历不共线三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
重点难点
重点：掌握过不共线三点作圆的方法，了解三角形的外接圆及外心等概念．
难点：怎么样去确定过不在同一条直线上的三点的圆的圆心.
学习过程：
一、课前抽测： A B
A·
B· ·C
2．求边长为a的等边三角形的外接圆的半径.（用含有a的式子表示）
五、达标）⊙Ｏ是△ABC的圆.
2. 判断：
（１）经过三个点一定可以作圆；（ ）
（２）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（ ）
（３）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（ ）
1．（１）经过一个已知点Ａ画圆； ·A
想一想：经过已知点A可以画多少个圆？
（2）经过两个已知点C、B画圆.
想一想：①经过两个已知点可以画多少个圆？
C· · B
②圆心在哪儿？半径怎么确定？
2．设三点A,B,C不在同一直线上.
⑴过三点A,B,C的圆的圆心在哪儿?怎么确定？
A· ·B
C·
⑵过不在同一直线上的三点A,B,C如何作圆?
强调：（１）过同一直线上三点不行； （２）“确定”一词应理解成“有且只有”.
3．三角形的外接圆：.
圆的内接三角形：.
外心：.
三、合作探究：
例1：作出下列三角形的外接圆（只要作图痕迹，不要求作法）
归纳：锐角三角形的外心在三角形的
直角三角形的外心是三角形
钝角三角形的外心在三角形的
四、展示质疑：
1．如图，A、B、C表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（用点P表示，保留作图痕迹）。
过不共线三点作圆
所以 AD＝ AB2－BD2＝ 102－62＝8.
作 AB 的垂直平分线交 AD 于点 O，连接 OB，所以 OD＝AD－OA＝8－x.
则 O 为△ABC 的外心，设 OA＝OB＝x， 因为△ABC 为等腰三角形，AD⊥BC， 所以 BD＝12BC＝12×12＝6. 因为 AD2＋BD2＝AB2.
在 Rt△ODB 中，OB2＝OD2＋BD2， 即 x2＝(8－x)2＋62，解得，x＝245， 所以△ABC 的外接圆半径为245.
湘教版九年级下册第二章
2．4过不共线三点作圆
教学目标 1．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的 运用． 2．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念． 教学重点和难点 重点：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运 用． 难点：由一点、二点、三点、四点作圆开始导出不在同一 直线上的三个点确定一个圆．
引出三角形外接圆、外心的概念．
四、点点对接
【例1】如图所示，△ABC中，AB＝AC＝
10，BC＝12，求△ABC的外接圆半径．
【分析】求△ABC的外接圆半径，关键是要找到外接圆圆心，
由于△ABC为等腰三角形，可作底边BC上的高线AD，则圆心一
定在AD上．
【解析】过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
3．作法：①连接AB、BC； ②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于 点O；③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的 圆，如图3所示． 在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O， 并且点O到A、B、C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到 三个顶点的距离相等)，所以经过A、B、C三点可以作一个圆， 并且只能作一个圆． 即：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
数学过三点的圆教案
数学过三点的圆教案
[数学教案-过三点的圆]
第一节数学课三点后的教学计划
一学习活动设计：
二、学习载体设计：
1实践：a过一点a是否可以作圆?如果能作，可以作几个?
B在a点和B点之后可以画一个圆吗？如果你能做到，你能做多少新发现的问题
2实验：应用电脑动画，使学生观察、发现新问题.
3.图纸：已知：图中显示了不在同一直线上的三个已知点a、B和C
求作：⊙o，使它经过点a、b、c.
应用和扩展：找到圆弧的中心和三角形的外接圆不在同一条直线上的四点可以是圆吗？在什么情况下？在什么情况下你不能？
三学生交流、师生对话活动设计：
学生之间的交流和师生之间的对话不能在课前确定。
它应该根据学生的学习需要进行，但必须在两个地方进行：1。
实践或实验中发现的问题；2.问题的解决方案
探究活动
确定圆圈的数量
1、如图1，直线上两个不同点a、b和直线外一点p可以确定一个圆;如图2，直线上
三个不同点a、b、c和直线外一点p可以确定三个圆;……;那么直线上n个不同点a1、a2、a3……an和直线外一点p可以确定多少个圆?
……
2、如图4，直线上n个不同点a1、a2、a3……an和直线外两个不同的点p、q，则这
n+2个点最多可以确定多少个圆?
3.如图5所示，在n个不同的点A1、A2、A3可以确定多少个圆。
安和P继续⊙ 哦？
参考答案：
1.可以确定一个圆；
2、分类求解
1取点P和直线上的两个点，以确定总共的圆数； 2取q点和直线上两个点，一共可以确定个圆;
3取两个点P和Q，一个点在直线上，共N个圆；
∴最多可以确定个圆.
3.你可以定义一个圆。
九下数学(湘教版)课件-过不共线三点作圆
15．如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点 F，∠ABC 的 平分线交 AD 于点 E，连接 BD、CD.
(1)求证：BD＝CD； (2)请判断 B、E、C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上，并说明 理由．
(1)证明：∵AD 为直径，AD⊥BC，∴BD＝CD；
两个根，则 Rt△ABC 外接圆的半径为( B )
A．2 3
B. 3
C．12
D．6
11．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，
则该半圆的半径为( C )
A．(4＋ 5)cm C．4 5cm
B．9cm D．6 2cm
12．如图，△ABC 的外接圆的圆心坐标为 (6,2) .
(2)解：B、E、C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上，理由：由(1)知： BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD，∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠ BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB，∴BD＝DE.由(1)知： BD＝CD，∴DB＝DE＝DC，∴B、E、C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半 径的圆上．
【规范解答】 3 或13
1．过平面上的一点 P 可以作 无数 个圆；过平面上的两点 A、B 可以作 __无__数___个圆，这些圆的圆心在___A_B_的__垂__直___平__分__线__上_______. 2．如图所示，MN 所在的直线垂直平分线段 AB，利用这样的工具，最少使 用 2 次，就可以找到圆形工件的圆心．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配成与 原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( B )
3.1.3过不在同一直线上的三点作圆
2013年上期九年级数学科集体备课教案主备课人周善纯执行人过程确认
教学内容设计个性补充作法图示
1．连结AB、BC
2．分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG，DE和
FG相交于点O
3．以O为圆心，OA为半径作圆
⊙O就是所要求作的圆
3．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆
强调：（1）过同一直线上三点行不行。
（2）“确定”一词应理解成“有且仅有”。
4．介绍“三角形的外接圆”和“圆的内接三角形”以及“外心”
的概念。
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外
接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三
角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的
外心(circumcenter)．
三、应用迁移，巩固提高（课件演示）
1．类型之一------有关概念
2．类型之二－-----作图题
四、总结反思，拓展升华
作业
教学札记。
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湘教版数学九年级2.4过不共线三点作圆教学设计
课题 2.4过不共线三点作圆单元第二章圆学科数学年级九年级
学习目标1、理解、确定圆的条件及外接圆和外心的定义．掌握三角形外接圆的画法．
2、经过不在同一直线上的三点确定一个圆的探索过程，让我们学会用尺规作不在同一直线上的三点的圆．
3、在探究过不在同一直线上的三点确定一个圆的过程中,进一步培养探究能力和动手能力,提高学习数学的兴趣．
重点确定圆的条件及外接圆和外心的定义．
难点任意三角形的外接圆的作法．
教学过程
教学环节教师活动学生活动设计意图
导入新课阅读下面的材料，想一想：要确定一个圆必须满足几个条件？
一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎
片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？阅读材料，思
考确定一个圆
的条件．
通过材料引入
激发学生的兴
趣．
讲授新课一、确定圆的条件的探究
1、合作探究一：如何过一个点A作一个圆？
过点A作圆，可以作多少个圆？请动手画图试一试并归纳出结论．
以不与A点重合的任意一点为圆心，以这个点到A点的距离为半径画圆即可；过一个点可作无数个圆．
2、合作探究二：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？请动手画图试一试并归纳出结论．
作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为
探究发现结
论．
探究发现结
论．
通过学生的探究
活动，得出过一
个点可作无数个
圆的结论．
通过学生的探究
活动，得出过两
个点可作无数个
圆的结论．
圆心，以这点和点A或B的距离为半径画圆即可；过两点可作无数个圆．
通过上面的探究活动你发现了什么结论？请通过小组合作交流归纳出结论．
归纳：
（1）过平面内一个点A的圆，是以点A以外的任意一点为圆心，以这点到A的距离为半径的圆,这样的圆有无数个．
（2）经过平面内两个点A，B的圆，是以线段AB垂直平分线上的任意一点为圆心，以这一点到A 或B的距离为半径的圆．这样的圆有无数个．
3、合作探究三：如何过不在同一直线上的三个点作圆？可以作多少个圆？你能过不在同一直线上的三点作圆吗？请完成下面的探究过程．假设经过不在同一直线上的A、B、C三点存在⊙O．
（1）圆心O到A、B、C三点距离（填“相等”或”不相等”）.
（2）如果O点到A、B的距离相等，则点O 应在线段AB的_____________上，同理点O也应在线段AC的______________上．
（3）点O应是线段AB、AC的____________交点，半径为OA的长，所以_____作圆．
根据上面的探究过程你能完成下面的例题吗？
例已知：不在同一直线上的三点A、B、C．求作：⊙O，使它经过点A、B、C．
作法：1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交
在教师的引
导下进行归
纳．
根据课件演
示填空．
完成例题．
通过归纳得出经
过一点或两点不
能唯一确定一个
圆的结论．
通过填空得出
经过不在同一直
线上的三点作一
个圆的方法．
掌握经过不在同
一直线上三点作
圆的方法．
MN于点O；
3、以O为圆心，OB为半径作圆．
所以⊙O就是所求作的圆．
归纳：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆而且只能作一个圆．
探究过同一直线上的三点A、B、C能作一个圆吗? 为什么？
二、三角形的外接圆，三角形的外心
1、经过△ABC的三个顶点可以作一个圆吗？为什么？
教师讲解三角形的外接圆等概念．
经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆．☉O叫做△ABC的________，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，△ABC叫做☉O的
____________．
2、三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．
怎样作三角形的外心？小组合作交流归纳三角形的外心有何性质？
三、探究活动四：三角形与它的外心的位置关
系．
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系．
结论：锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中
探究三角形
与它的外心的
位置关系．
进一步理解和掌
握二次函数y=a
（x-h）2的图象和
性质．
理解三角形的外
接圆及三角形外
心的概念及性
质．
掌握任意三角形
的外接圆的作
法．
点；
钝角三角形的外心位于三角形外．
应用：课前的引例中的圆形瓷器碎片如何还原？请用所学的知识解决这个问题．
方法：
1、在圆弧上任取三点A、B、C；
2、作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心；
3、以点O为圆心，OC长为半径作圆．⊙O即为所求．解决引例．
会应用三角形外
接圆的作法解决
实际问题．
1、三角形的外心具有的性质是（）
A．到三边的距离相等
B．到三个顶点的距离相等
C．外心在三角形的外
D．外心在三角形内
2、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A．第一块
B．第二块
C．第三块
D．第四块
3、如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为5_________．
4、如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24 cm，CD=8 cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．学生先自主思
考，完成后小
组交流展示成
果．
通过练习的解决
进一步掌握过三
点作圆的方法，
三角形外心的性
质并，能运用所
学知识解决有关
的实际问题．
5、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=30°，AC=2 cm，求⊙O的半径．
6、如图所示，锐角△ABC，∠A=60°，其外接圆的半径为3，求BC．
课堂小结回顾本节课所
学知识．通过小结，进一步掌握本节所学的知识，并能运用所学的知识解决问题．。