圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
圆锥曲线知识点总结6篇
圆锥曲线知识点总结6篇第1篇示例：圆锥曲线是解析几何学中非常重要的概念，它们分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。
在数学中，圆锥曲线具有丰富的性质和应用，掌握其基本知识对于理解其在几何、物理、工程等多个领域的应用至关重要。
本文将对圆锥曲线的基本性质和特点进行详细总结。
我们从圆锥曲线的定义入手。
圆锥曲线是平面上一点到一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离之比为常数的点的轨迹。
根据这个定义，椭圆的准线是实直线，双曲线的准线是虚直线，而抛物线的准线是平行于其自身的直线。
椭圆是圆锥曲线中最简单的一种。
椭圆的定义是到焦点和准线的距离之比小于1的点构成的轨迹。
椭圆具有对称性，其焦点到准线的垂直距离之和恒等于两焦距之和，这个性质被称为焦点定理。
椭圆还有面积、周长等重要性质，在几何中有重要的应用。
抛物线是圆锥曲线中最特殊的一种，其定义是到焦点和准线的距离相等的点构成的轨迹。
抛物线具有对称性，其焦点到准线的垂直距离恰好等于焦距。
抛物线是一种非常重要的曲线，常见于物理学和工程学中的抛物线运动、光学、无线电通信等领域。
除了上述基本性质外，圆锥曲线还有许多重要的定理和性质。
焦点、准线、焦距、离心率等概念是理解圆锥曲线的重要基础。
圆锥曲线的方程形式也是研究和应用圆锥曲线的关键，椭圆和双曲线的标准方程分别为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1和x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，而抛物线的标准方程为y^2 = 2px。
圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，掌握其基本性质和定理对于理解几何学、物理学和工程学中的问题有重要意义。
通过对圆锥曲线的学习，我们不仅可以深入理解几何形体的性质，还可以应用圆锥曲线的知识解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
加强对圆锥曲线知识的学习和应用是十分必要的。
第2篇示例：圆锥曲线是解析几何中最重要的一类曲线，它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种。
这些曲线在数学和物理学等领域中有着重要的应用，是我们熟悉的常见数学概念之一。
2023年高考数学复习：圆锥曲线的方程与性质
3 考点三 抛物线的几何性质
PART THREE
核心提炼
抛物线的焦点弦的几个常见结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的倾斜角，则 (1)x1x2＝p42，y1y2＝－p2. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α . (3)|F1A|＋|F1B|＝2p. (4)以线段 AB 为直径的圆与准线 x＝－p2相切.
规律 方法
(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆
(或双曲线)的定义，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系. (2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关 于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求 ac 的值. (3)求双曲线渐近线方程的关键在于求ba或ab的值，也可将双曲线方程 中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.
考向1 椭圆、双曲线的几何性质
例 2 (1)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2， 短轴长为 2，O 为坐标原点，点 P 在 C 上且|OP|＝c(c 为椭圆 C 的半焦
距)，直线 PF2 与 C 交于另一个点 Q，若 tan∠F1QF2＝34，则椭圆 C 的长 轴长为
(2)(2021·全国乙卷)设 B 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的上顶点，若 C 上的
任意一点 P 都满足|PB|≤2b，则 C 的离心率的取值范围是
A.
22，1
B.12，1
√
C.0，
2
2
D.0，12
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结一、椭圆1.平面内与两个定点 , 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹称为椭圆. 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点, 两焦点的距离称为椭圆的焦距.2.椭圆的几何性质:焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 ()22101c b e e a a==-<<二、双曲线1.平面内与两个定点 , 的距离之差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹称为双曲线. 即： 。
这两个定点称为双曲线的焦点, 两焦点的距离称为双曲线的焦距．2.双曲线的几何性质:焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210,0x y a b a b-=>> ()222210,0y x a b a b-=>> 范围 或 ,或 ,顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性关于 轴、 轴对称, 关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程b y x a=±a y x b=±3.等轴双曲线: 双曲线 称为等轴双曲线, 其渐近线方程为 , 离心率 . 4、共渐近线的双曲线系方程:三、抛物线1.平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点 称为抛物线的焦点, 定直线 称为抛物线的准线.2.抛物线的几何性质:标准方程22y px =()0p >22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤3.过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 、 两点的线段 , 称为抛物线的“通径”, 即 .4.焦半径公式:若点 在抛物线 上, 焦点为 , 则 ； 若点 在抛物线 上, 焦点为 , 则 ； 5、焦点弦: = +p四、圆1.定义: 点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝, 其中定点O 为圆心, 定长r 为半径.2.方程: (1)标准方程: 圆心在c(a,b), 半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点, 半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程: ①当D2+E2-4F ＞0时, 一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程, 圆心为 半径是 。
高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学圆锥曲线知识点总结专题一：椭圆一、椭圆的定义平面内到两定点21,F F 的距离的和为常数（大于21F F ）的动点的轨迹叫椭圆。
即a MF MF 221=+当2a ﹥2c 时，轨迹是椭当2a =2c 时，轨迹是一条线段21F F ，当2a ﹤2c 时，轨迹不存在。
椭圆的几何性质：222b c a +=（符合勾股定理的结构）【补充】过焦点做垂直与实轴且交椭圆的线段叫通径，通径的一半为ab 2专题二：双曲线知识点：1、双曲线的概念：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=- 当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线 当2a =2c 时，轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时，轨迹不存在【注】有绝对值时是两支，不含绝对值时仅一支. 2、双曲线的标准方程及几何性质：【注】焦点到渐近线的距离为b ；通径为ab 22。
3、常见双曲线的设法：（1）已知b a =的双曲线设为)0(22≠=-λλy x ； （2）已知过两点的双曲线可设为)0(122<=+AB By Ax ；（3）已知渐近线0=±nym x 的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλn y m x .4、两种特殊的双曲线：（1）实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲线的离心率为2.（2）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的共轭双曲线方程为12222=-a x b y ，它们有共同的渐近线为x aby ±=，它们的离心率21,e e 满足的关系式为1112221=+e e . 5、焦点三角形：设若双曲线方程为，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：若则2tan221θb S PF F =∆；特别地，当时，有。
6、直线与双曲线的位置关系：（注意直线与渐近线平行）思考：平面内任一点P 作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有几条？ 几何方法：1、若P 在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；2、若P 在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；3、若P 在双曲线外：①若P 在渐近线上且P 为原点时，0条；2222x y 1a b-=12FP F ,∠=θ12F P F 90∠=o122FPF S b =V 22221(0,0)x ya b a b-=>>②若P 在渐近线上且P 不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；③若P 不在渐近线上，有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）； 代数方法：通过对直线方程与双曲线方程组成的一元二次方程组的求解来讨论它们的位置关系。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。
一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。
点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。
圆锥曲线知识点
圆锥曲线知识点圆锥曲线是数学中的一个重要分支，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
接下来，让我们详细了解一下圆锥曲线的相关知识点。
一、椭圆椭圆的定义：平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
椭圆的标准方程：焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上时：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））椭圆的性质：1、对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
2、范围：＼（a\leq x\leq a\），＼（b\leq y\leq b\）。
3、顶点：椭圆有四个顶点，分别为\（（＼pm a, 0)＼）和\（（0,＼pm b)＼）。
4、离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼），＼（0 ＜ e＜ 1\），离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆。
二、双曲线双曲线的定义：平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上时：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。
焦点在y 轴上时：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）双曲线的性质：1、对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点对称。
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全
高中数学圆锥曲线知识点总结及公式大全一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们是高中数学中重要的知识点之一。
圆锥曲线是由平面与圆锥的交线所形成的曲线，其基本概念包括焦点、准线和离心率等。
1. 焦点：圆锥曲线的焦点是到曲线的两个顶点距离相等的点，焦点到曲线的顶点的距离称为焦距。
椭圆和双曲线的焦点位于其对称轴上，而抛物线的焦点则位于其准轴上。
2. 准线：圆锥曲线的准线是与焦点垂直的直线，准线与曲线有两个交点。
在椭圆和双曲线中，准线是与主轴垂直的直线，而在抛物线中，准线是与主轴平行的直线。
3. 离心率：圆锥曲线的离心率是焦点到顶点的距离与准线到顶点的距离之比，离心率的大小可以反映曲线的形状。
椭圆的离心率在0和1之间，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1。
二、圆锥曲线的公式1. 椭圆的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)性质：椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
2. 双曲线的标准方程及性质标准方程：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ (a>0, b>0)性质：双曲线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
3. 抛物线的标准方程及性质标准方程：$y^{2} = 2px$ ($p > 0$)或$x^{2} = 2py$ ($p > 0$) 性质：抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质可以参照教材或辅导书。
三、圆锥曲线的应用1. 椭圆的应用：椭圆在光学、机械、工程等领域有着广泛的应用。
例如，椭圆镜片可以纠正近视和远视，椭圆形状的机械零件可以减少振动和提高稳定性。
2. 双曲线应用：双曲线在热学、光学、工程等领域有着广泛的应用。
例如，双曲线冷却塔可以优化散热效果，双曲线形状的桥梁可以增强承受能力。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
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椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆。 定点F是椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率。 说明：①若常数2a等于2c，则动点轨迹是线段12FF。②若常数2a小于2c，则动点轨迹不存在。 2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：
标准方程 )0(12222babya
x
中心在原点，焦点在x轴上 )0(12222ba
bxa
y
中心在原点，焦点在y轴上
图形 范围 xayb， xbya， 顶点 12120000AaAaBbBb，、，，、， 12
12
0000AaAaBbBb，、，
，、，
对称轴 x轴、y轴； 长轴长2a，短轴长2b； 焦点在长轴上 x轴、y轴；
长轴长2a，短轴长2b； 焦点在长轴上
焦点 1200FcFc，、， 1200FcFc，、，
焦距 )0(221ccFF )0(221ccFF
离心率 )10(eace )10(eace
准线 2axc 2a
yc
参数方程与普通方程
22221xyab的参数方程为 cossinxayb为参数 22221yxab的参数方程为
cossinyaxb
为参数
3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x轴上时，设12FF、分别是椭圆的左、右焦点，00Pxy，是椭圆上任一点，
则10PFaex，20PFaex。 推导过程：由第二定义得11PFed（1d为点P到左准线的距离）， 则211000aPFedexexaaexc；同理得20PFaex。 简记为：左“＋”右“－”。 由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221xyab；若焦点在y轴上，则为22221yxab。有时为了运算方便，设
),0(122nmmnymx。
双曲线的定义、方程和性质 1． 定义 （1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线； 若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。 ②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。 2． 双曲线的方程及几何性质
标准方程 )0b,0a(1byax2222 )0b,0a(1bxay2222
图 形 焦 点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c） 顶 点 A1（a，0），A2（-a，0） A1（0，a），A2（0，-a） 对称轴 实轴2a，虚轴2b，实轴在x轴上，c2=a2+b2 实轴2a，虚轴2b，实轴在y轴上，c2=a2+b2
离心率 ||||2MDMFace ||||2MDMFa
ce
准线方程 cax:l,cax:l2221 准线间距离为ca22 cay:l,c
a
y:l2221准线间距离为ca22
渐近线方程 0,0byaxbyax 0,0aybxayb
x 3． 几个概念 （1） 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。 （2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：
12222bya
x的共轴双曲线是12222byax。
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
抛物线标准方程与几何性质 一、抛物线定义的理解 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线l为抛物线的准线。 注：① 定义可归结为“一动三定”：一个动点设为M；一定点F（即焦点）；一定直线l（即准线）；一定值1（即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离之比1） ② 定义中的隐含条件：焦点F不在准线l上。若F在l上，抛物线退化为过F且垂直于l的一条直线 ③ 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当10e时，表示椭圆；当1e时，表示双曲线；当1e时，表示抛物线。 ④ 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。 二、抛物线标准方程 1．抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系，这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。 2．四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：022ppxy，022ppyx，其中：
① 参数p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；p值越大，张口越大；2
p
等于焦点到抛物线顶点的距离。 ②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x轴时，方程中的一次项变量就是x， 若x的一次项前符号为正，则开口向右，若x的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y轴时，方程中的一次项变量就是y， 当y的一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次项前符号为负，则开口向下。 三、求抛物线标准方程 求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程. ① 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定系数p，因此要做到“先定位，再定值”。
注：当求顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为axy2或ayx2，这样可避免讨论。 ② 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。 四、抛物线的简单几何性质 方程 设抛物线022ppxy
性质 焦点 范围 对称性 顶点 离心率 准线 通径
0,2pF 0x 关于x轴对称 原点 1e
2
px p2
注：① 焦点的非零坐标是一次项系数的41； ② 对于不同形式的抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。 五、直线与抛物线有关问题 1．直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组，消去x或y化得形如
02cbxax（*）的式子：
① 当0a时，（*）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切，而是与抛物线对称轴平行或重合； ② 当0a时，若△＞0（*）式方程有两组不同的实数解 直线与抛物线相交； 若△=0 （*）式方程有两组相同的实数解 直线与抛物线相切； 若△＜0（*）式方程无实数解 直线与抛物线相离. 2．直线与抛物线相交的弦长问题
① 弦长公式：设直线交抛物线于2211,,,yxByxA，则BAABxxkAB21
或BAyykAB211. ② 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理： 抛物线022ppxy上一点00,yxM的焦半径长是20pxMF，抛物线022ppyx上一点00,yxM的焦半径长是20pyMF
六、抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB为过抛物线022ppxy焦点的弦，设2211,,,yxByxA，直线AB的倾斜角为，则
① 221221,4pyypxx； ② 2sin2pABpxx21；
③以AB为直径的圆与准线相切； ④弦两端点与顶点所成三角形的面积sin22pSAOB； ⑤ pFBFA211 ； ⑥ 焦点F对A、B在准线上射影的张角为900； 七、抛物线有关注意事项 1．凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，采用“设而不求”或“点差法”等方法，能避免求交点坐标的复杂运算.同时在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视0这个条件。 2．解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发，实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的相互转化，并应注意焦点弦的几何性质.