2020微积分试卷及答案6套
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微积分试题 (A 卷)
一. 填空题 (每空2分,共20分)
1. 已知,)(lim 1A x f x =+
→则对于0>?ε,总存在δ>0,使得当
时,恒有│?(x )─A│< ε。
2. 已知22
35
lim
2=-++∞→n bn an n ,则a = ,b = 。 3. 若当0x x →时,α与β 是等价无穷小量,则=-→β
β
α0
lim
x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续,则=→)(lim x f a
x 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =?(x )在x 0点可导,则=-+→h
x f h x f h )
()3(lim
000
______________。
7. 曲线y = x 2+2x -5上点M 处的切线斜率为6,则点M 的坐标为 。 8. ='?
))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2
224Q Q R -=,52
+=Q C ,则当利润最大时产
量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)
1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域(a -ε,a +ε)内有无穷多个点,则( )。
(A) 数列{x n }必有极限,但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在,且一定等于a
(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1
1
)(-=x arctg
x f 则1=x 为函数)(x f 的( )。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点
(D) 连续点 3. =+
-∞
→1
3)11(lim x x x
( )
。 (A) 1 (B) ∞ (C)
2e (D) 3e
4. 对需求函数5
p e
Q -=,需求价格弹性5
p
E d -
=。当价格=p ( )时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10
5. 假设)(),(0)(lim ,
0)(lim 0
x g x f x g x f x x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)
存在,又a 是常数,则下列结论正确的是( )。 (A) 若a x g x f x x =→)
()(lim 0
或∞,则a x g x f x x =''→)()
(lim 0或∞
(B) 若a x g x f x x =''→)
()(lim
或∞,则a x g x f x x =→)()
(lim 0或∞
(C) 若)()(lim 0x g x f x x ''→不存在,则)
()
(lim 0x g x f x x →不存在
(D) 以上都不对
6. 曲线2
2
3
)(a bx ax x x f +++=的拐点个数是( ) 。
(A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2
)
2(1
4--=
x x y ( )。 (A) 只有水平渐近线; (B) 只有垂直渐近线; (C) 没有渐近线; (D) 既有水平渐近线,
又有垂直渐近线
8. 假设)(x f 连续,其导函数图形如右图所示,则)(x f 具有
(A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值
9. 若?(x )的导函数是2
-x ,则?(x )有一个原函数为 ( ) 。
x
(A) x ln ; (B) x ln -; (C) 1
--x ;
(D) 3
--x 三.计算题(共36分)
1. 求极限x
x
x x --+→11lim
(6分)
2. 求极限x
x x 1)(ln lim +∞
→ (6分)
3. 设0
00
1sin 2sin )(>=??
?
???+=x x x b x x a
x x x f ,求b a ,的值,使)(x f 在(-∞,+∞)上连续。(6分) 4. 设1+=+xy e
y
x ,求y '及0='x y (6分)
5. 求不定积分dx xe x ?
-2(6分)
6. 求不定积分
.42dx x ?
-(6分)
四.利用导数知识列表分析函数2
11
x y -=
的几何性质,求渐近线,并作图。(14分)
五.设)(x f 在[0, 1]上连续,在(0, 1)内可导,且1)2
1
(,0)1()0(===f f f ,试证:
(1) 至少存在一点)1,2
1
(∈ξ,使ξξ=)(f ;
(2) 至少存在一点),0(ξη∈,使1)(='ηf ;
(3) 对任意实数λ ,必存在),0(0ξ∈x ,使得1])([)(000=--'x x f x f λ。(12分)
微积分试题(B 卷)
一. 填空题 (每空3分,共18分) 10.
()=+'?dx b x f b
a
. 11.
=?
∞+-0
2dx e x .
12. 关于级数有如下结论:
① 若级数
()01≠∑∞
=n n n u u 收敛,则∑
∞
=11
n n
u 发散. ② 若级数
()01≠∑∞
=n
n n u
u 发散,则∑
∞
=11
n n
u 收敛. ③ 若级数
∑∞
=1n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
都发散,则
∑∞
=+1
)(n n n
v u
必发散.
④ 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛,
∑∞
=1
n n
v
发散,则
∑∞
=±1
)(n n n
v u
必发散.
⑤ 级数
∑∞
=1
n n
ku
(k 为任意常数)与级数
∑∞
=1
n n
u
的敛散性相同.
写出正确..结论的序号 . 13. 设二元函数()y x xe z y x +++=+1ln )1(,则
=)0,1(dz .
14. 若D 是由x 轴、y 轴及2x + y –2 = 0围成的区域,则
=??dy dx D
.
15. 微分方程0=+'y y x 满足初始条件3)1(=y 的特解是 . 二. 单项选择题 (每小题3分,共24分) 10. 设函数?+-=
x
dt t t x f 0
)2)(1()(,则)(x f 在区间[-3,2]上的最大值为( ).
(A) 32- (B) 3
10 (C) 1 (D) 4 11. 设σσd y x I d y x I D
D
????+=+=
)cos(,cos 222221,σd y x I D
??+=2
223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ,则有( ).
(A)321I I I >> (B) 123I I I >> (C) 312I I I >> (D) 213I I I >>
12. 设Λ3,2,1,0=>n u n ,若
∑∞
=1n n
u
发散,
∑∞
=--1
1
)
1(n n n u 收敛,则下列结论正确的是( ).
(A)
∑∞
=-11
2n n u
收敛,
∑∞
=1
2n n
u
发散 (B)
∑∞
=12n n
u
收敛,
∑∞
=-1
1
2n n u
发散
(C)
∑∞
=-+1
21
2)(n n n u u
收敛 (D) ∑∞
=--1
212)(n n n u u 收敛
13. 函数),(y x f 在点),(y x P 的某一邻域内有连续的偏导数,是),(y x f 在该点可微的( )条件.
(A) 充分非必要 (B )必要非充分 (C )充分必要 (D )既非充分又非必要 14. 下列微分方程中,不属于...
一阶线性微分方程的为( ). (A) x
x
x y y x ln ln cos =
-' (B) )1(ln 3ln +=+'x x y x y x ,
(C) x y y x y 2)2(=-'- (D) 02)1(2
=+-'-xy y x
15. 设级数
∑∞
=1
n n
a
绝对收敛,则级数
∑∞
=+1
)
1
1(n n n
a n ( ).
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 不能判定敛散性散 16. 设?+=
π
2sin sin )(x x
t tdt e x F ,则F (x )( ).
(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数
17. 设),,(z t z y y x f u ---=,则
=??+??+??+??t
u z u y u x u ( ). (A) 12f ' (B) 22f ' (C) 32f ' (D) 0
四. 计算下列各题(共52分)
1.
dx x x ?
--22
3cos cos π
π(5分)
2. 求曲线3,1,0,22
===-=x x y x x y 所围成的平面图形的面积. (6分)
3. 已知二重积分
σd x D
??2
,其中D 由1,112=--=x x y 以及0=y 围成. (Ⅰ) 请画出D 的图形,并在极坐标系下将二重积分化为累次积分;(3分) (Ⅱ) 请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分;(4分) (Ⅲ) 选择一种积分次序计算出二重积分的值.(4分)
4. 设函数()z y x f u ,,=有连续偏导数,且()y x z ,?=是由方程 z y z
ze ye xe =-所确定
的二元函数,求
y
u
x u ????,
及du .(8分) 5. 求幂级数∑∞
=-1
22)1(n n
n n x 的收敛域及和函数S(x ).(8分)
6. 求二元函数y
e y x y x
f 22
)(),(+=的极值.(8分)
7. 求微分方程x e y y 22-='+''的通解,及满足初始条件0)0(,1)0(='=f f 的特解.(6
分)
五. 假设函数)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导,且0)(≤'x f ,记
dt t f a
x x F x a ?-=
)(1
)(,证明在(a , b )内0)(≤'x F .(6分)
微积分试卷 (C)
一. 填空题 (每空2分,共20分)
1. 数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的 条件。
2.
若
2
sin x y =,则
=dy 。
3. 函数0,tan ==x x
x
y 是第 类间断点,且为 间断点。 4. 若31
lim
1=-+→x b
ax x ,则a = ,b = 。
5. 在积分曲线族
?xdx
2中,过点(0,1)的曲线方程
是 。 6. 函数
x x f =)(在区间]1,1[-上罗尔定理不成立的原因
是 。 7. 已知?
-=
x t dt e x F 0
)(,则=')(x F 。
8. 某商品的需求函数为2
12P
Q -
=,则当p = 6时的需求价格弹性为=EP
EQ
。 二. 单项选择题 (每小题2分,共12分) 1. 若3lim
=→βαx x ,则=-→α
βα0lim x x ( )。
(A) –2 (B) 0 (C)
31 (D) 3
2
2. 在1=x 处连续但不可导的函数是( )。
(A) 11-=x y (B) 1-=x y (C))1ln(2
-=x y
(D)2
)1(-=x y
3. 在区间(-1,1)内,关于函数21)(x x f -=不正确...的叙述为( )。 (A)
连续
(B) 有界
(C) 有最大值,且有最小值 (D) 有最大值,但无最小值
4. 当0x →时,x 2sin 是关于x 的( )。
(A) 同阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 等价无穷小
5. 曲线3
5
x x y +=在区间( )内是凹弧 。
(A) )0,(-∞ (B) ),0(∞+ (C) ),(∞+-∞ (D) 以上都不对
6. 函数x
e 与ex 满足关系式( )。
(A) ex e x
≤ (B) ex e x
≥ (C) ex e x
> (D) ex e x
<
三.计算题(每小题7分,共42分)
1. 求极限x
e x x x cos 1)1(lim 0--→。
2. 求极限n
n
n x
2sin
2lim ?∞
→(x 为不等于0的常数)。
3. 求极限x
x x x 21lim ??
?
??+∞→ 。
4. 已知y
xe y +=1,求0
='
x y 及0
='
'x y 。
5. 求不定积分
dx x
x ?sin 。
6. 求不定积分dx x x ?
+)1ln(。
四.已知函数21
x
x y +=,填表并描绘函数图形。 (14分)
图形:
五.证明题(每小题6分,共12分)
1. 设偶函数)(x f 具有连续的二阶导函数,且0)(≠''x f 。证明:0=x 为)(x f 的极值点。
2. 就k 的不同取值情况,确定方程k x x =-sin 2
π
在开区间(0,
2
π)内根的个数,并证明你的结论。
《微积分》试卷(D 卷)
一、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分):
1.函数),(y x f 在()()00,,y x y x =处的偏导数存在是在该处可微的( )条件。 A. 充分; B. 必要; C. 充分必要; D. 无关的.
2.函数(
)3
3ln y
x z +=在(1,1)处的全微分=dz ( )。
A .dy dx +;
B .()dy dx +2;
C .()dy dx +3;
D .()dy dx +2
3
. 3. 设D 为:2
2
2
R y x ≤+,二重积分的值
??
+D
dxdy y x 22=( )
。 A .2
R π; B .2
2R π; C .3
3
2
R π; D .4
2
1R π. 4.微分方程x
y y y e x 45sin -'''--=+的特解形式为( )。
A x
ae
b x sin -+; B x ae b x
c x cos sin -++; C x
axe
b x sin -+; D x axe b x
c x cos sin -++.
5.下列级数中收敛的是( )。
A . 1(1)n n n ∞
=-∑; B . 1121n n ∞=+∑; C . 212n
n n
∞
=∑; D . 11sin n n ∞=∑ .
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分):
1.
-=?
21 。
2. dt t t x f x
?-+=0)2)(1()(,则在区间[-2,3]上)(x f 在=x ( -1 )处取得最大值。 3. 已知函数()y
z x x =>0,则
x
z
??= ,z y ??= 。
4.微分方程 3'4y x y =在初始条件04x y ==下的特解是: y = 。
5.幂级数 101
110
n n n n x ∞
-=∑ 的收敛半径是:R = 。
三、计算下列各题(本题共5小题,每小题8分,共40分):
1.已知(,)z f x y xy =-,其中f 具有二阶连续偏导数,求y
x z ???2。
2. 已知
y z z x ln =,求x z ??,y
z ??。 3. 改换二次积分??
2
220
sin x
dy y dx 的积分次序并且计算该积分。
4.求微分方程430y y y '''-+=在初始条件06x y ==,0'10x y ==下的特解。
5. 曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是其一拐点,直线12,l l 分别是曲线C 在点(0,0)与
(3,2)处的切线,其交点为(2,4),设函数()f x 具有三阶导数,计算
x x f x dx 3
20
()()'''+?
。
四、求幂级数n
n
n x n 21
(1)2∞
=-∑的和函数()s x 及其极值(10分)。
五、解下列应用题(本题共2小题,每小题10分,共20分):
1. 某企业生产某产品的产量()4
143100,y x y x Q =,其中x 为劳动力人数,y 为设 备台数,该企业投入5000万元生产该产品,设招聘一个劳动力需要15万元,购买一台设备需要25万元,问该企业应招聘几个劳动力和购买几台设备时,使得产量达到最高?
2.已知某商品的需求量Q 对价格P 的弹性2
2P η=,而市场对该商品的最大需求量为10000件,即Q (0)=10000, 求需求函数Q ( P )。
《微积分》试卷(E 卷)
一、单项选择题(每小题3分,共18分)
1. 设函数()2; 1
;1x x f x ax b x ?≤=?+>?
在1x =处可导,则( )
A. 0,1a b ==
B. 2,1a b ==-
C. 3,2a b ==-
D.1,2a b =-= 2. 已知()f x 在0x =的某邻域内连续,且()()
000,lim
21cos x f x f x
→==-,则在0x =处
()f x 满足( )
A. 不可导
B. 可导
C. 取极大值
D. 取极小值 3. 若广义积分
()
2
ln k
dx x x +∞
?
收敛,则( )
A. 1k >
B. 1k ≥
C. 1k <
D. 1k ≤ 4. )(lim 1
11
=+-→x x e
A . 0 B.∞ C.不存在 D.以上都不对 5. 当0→x 时,x cos 1-是关于2
x 的( ).
A .同阶无穷小.
B .低阶无穷小.
C .高阶无穷小.
D .等价无穷小. 6.函数)(x f 具有下列特征:0)0(,1)0(='=f f ,当0≠x 时,??
?>><<''>'0
,00
,0)(,0)(x x x f x f
则)(x f 的图形为( )。
(A)
(B) (C) (D)
二、填空(每小题3分,共18分)
1.
sin lim x x
x →∞
= 。
2. 1
-=?
。
3. 已知0()f x '存在,则
000
()()
lim
h f x h f x h h →+--= 。
4.设ln(1)y x =+,那么()
()n y
x = 。
5.2
2
0t x d e dt dx =? 。
6.某商品的需求函数2
75Q P =-,则在P =4时,需求价格弹性为4P η== ,收入对价格的弹性是
4
P ER
EP == 。
三、计算(前四小题每题5分,后四小题每题6共44分) 1
.
arctan x
x tdt →∞
2. x x x x 21lim ??
?
??+∞→
3.1
ln e
x xdx ?
4.6(1)dx x x +?
5.求由 0
cos 0y
x
t e dt tdt +=?
?所决定的隐函数()x y y =的导数
.dx
dy 6.已知sin x
x
是()f x 的原函数,求()xf x dx '?。
7.求由曲线3
y x =与1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积。
8.求曲线2
y x =与直线1y kx =+所围平面图形的面积,问k 为何时,该面积最小?
四、(A 类12分) 列表分析函数x
x y +=12
函数的单调区间、凹凸区间等几何性质,并作出
函数图形。
解:(1) 函数的定义域D :),1()1,(+∞---∞Y ,无对称性;
(2) 0,2,0)1(2212
2=-==++='x x x x
x y 得 ()3
4
22)
1(2
1)
1)(2(2)1)(22(x x x x x x x y +=
+++-++=
'' (3) 列表:
(4) 垂直渐近线:1-=x ;斜渐近线:
=y (5) 绘图,描几个点2(),21,1(),0,0(),4,2(--
(B 类12分)列表分析函数)1ln(2
x y +=函数的单调区间、凹凸区间等几何性质,并作出函数图形。
解: ⑴ 函数定义域D :(-∞,+∞),偶函数关于Y 轴对称; ⑵ 0,0122
==+='x x x
y 得
()
1,1,0)
1()
1)(1(2122)1(2212
22
22=-==+-+=
+?-+=
''x x x x x x x
x x y 得 ⑶ 列表:(
极小值f ⑷ 该函数无渐近线;
⑸ 绘图,描几个点:(0,0),(-1,ln2),(1,ln2)
五、(B 类8分) 设()f x 连续,证明:
()()() 0 0 0x
u x f t dt du x u f u du ??=-????
???
证明:令
dt t f x F x u
?
?=00)()( du u f u x x G x
)()()(0
?-= 只需证明)()(x G x F '='(3分)
dt t f x F x
?='0
)()(
du u uf du u f x
x G x
x
??
-=0
)()()(
du u f x xf x xf du u f x G x x
??=-+='0
)()()()()(
所以)()(x G x F '=' (8分) (A 类8分)设)(x f 在[a, b ]上连续在(a ,b )内可导且0)(<'x f
)
,(,)(1)(b a x dt t f a x x F x a ∈-=?
试证(1))(x F 在(a ,b )内单调递减
x
(2) )()()()(0b f a f x f x F -<-< 证(1)
a
x f(ξf(x)a)(x a)
(x f(ξa)f(x)(x a,x a x dt
t f x f a x x F 2x
a --=
----∈---=
'?)))
()()()()(2
)(积分中值定理ξ
由0)(<'x f 知)(x f 单调减,即在(a ,b )内当x <ξ时有))(ξf(x f <又0)>-a (x 可得
0)(<'x F .即)(x F 在(a ,b )内单调减.
f(x)f(ξx f dt t f a x x f x F x
a >---=
-?)积分中值定理因)()(1)()()2(
又由)(x f 单调减 知,f(b)f(x)f f(a)>>>)(ξ于是有
f(b)f(a)f(x)F(x)0-<-<
《微积分》试卷(F 卷)
一、单项选择题(每小题3分,共18分)
1. 设函数()2; 1
;1x x f x ax b x ?≤=?+>?
在1x =处可导,则( )
A. 0,1a b ==
B. 2,1a b ==-
C. 3,2a b ==-
D.1,2a b =-=
2. 当0→x 时,x cos 1-是关于2
x 的( ).
A .同阶无穷小.
B .低阶无穷小.
C .高阶无穷小.
D .等价无穷小. 3. 若广义积分
()
2
ln k
dx x x +∞
?
收敛,则( )
A. 1k >
B. 1k ≥
C. 1k <
D. 1k ≤ 4. )(lim 1
1
1
=+-→x x e
A . 0 B.∞ C.不存在 D.以上都不对
5.函数)(x f 具有下列特征:0)0(,1)0(='=f f ,当0≠x 时,???>><<''>'0
,00
,0)(,0)(x x x f x f
则)(x f 的图形为( )。
(A)
(B) (C) (D)
6. 6.设)(x f 在
)
,(∞-∞内二阶可导,若)()(x f x f --=,且在),0(∞内有
,0)(,0)(>''>'x f x f 则)(x f 在)0,(-∞内有( )
A.
,0)(,0)(<''<'x f x f B.,0)(,0)(>''<'x f x f
C.,0)(,0)(<''>'x f x f
D..0)(,0)(>''>'x f x f
二、填空(每小题3分,共18分)
1.
sin lim x x
x →∞
= 。 2. x
x x x 21lim ??
?
??+∞
→= 。
3. 已知0()f x '存在,则
000
()()
lim
h f x h f x h h →+--= 。
4.设ln(1)y x =+,那么()
()n y
x = 。
5.2
2
0t x d e dt dx =? 。
6.某商品的需求函数2
75Q P =-,则在P =4时,需求价格弹性为4P η== ,收入对价格的弹性是
4
P ER
EP == 。
三、计算(前四小题每题5分,后四小题每题6共44分) 1
.arctan x
x tdt →∞
2. 40
1
1sin dx x
π
+?
3.1
ln e
x xdx ?
4.
6(1)dx x x +?
5.求由 0
cos 0y
x
t e dt tdt +=?
?所决定的隐函数()x y y =的导数
.dx
dy 6.已知
sin x
x
是()f x 的原函数,求()xf x dx '?。 7.求由曲线2
1y x =-与直线1y x =+所围成的平面图形的面积。
8.求由曲线3
y x =与1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转形成的旋转体的体积。
四、(12分)列表分析函数)1ln(2
x y +=函数的单调区间、凹凸区间等几何性质,并作出函数图形。
五、(B 类8分) 设()f x 连续,证明:
()()() 0 0 0x
u x f t dt du x u f u du ??=-????
???
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
大一上学期微积分期末试卷及答案
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数,g (x)是减函数 Bf (x)是减函数,g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时,e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值,则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为: X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解:原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(, X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值,则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解:原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八] 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 微积分期末试卷 选择题(6×2) cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小 3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线 C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=x x2 21 1、( )= x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y= 相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+14、y拐点为:x5、若则的值分别为: x+2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函数f(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解:3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是:2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解:332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明() 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 微积分试卷及答案 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题(共5小题,每题3分,共计15分) 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题(共5小题,每题3分,共计15分) 1.设()1x f e x '=+,则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ,则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+,其中f 可导,则( ). (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立,则( ) (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是( ). (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算(共2小题,每题5分,共计10分) 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算(共3小题,每题6分,共计18分) 《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( B ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()()2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( B ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( A ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( C ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( D ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( C ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( C ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( A ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( A ). 微积分试卷及答案Revised on November 25, 2020 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题(共5小题,每题3分,共计15分) 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题(共5小题,每题3分,共计15分) 1.设()1x f e x '=+,则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ,则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+,其中f 可导,则( ). (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立,则( ) (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是( ). (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算(共2小题,每题5分,共计10分) 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算(共3小题,每题6分,共计18分) 微积分期末测试题及答 案 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 《高数》习题1(上) 一.选择题 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? - + ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 10.设()f x 为连续函数,则()10 2f x dx '?等于( ). (A )()()20f f - (B )()()11102f f -????(C )()()1 202f f -??? ?(D )()()10f f - 二.填空题 1.设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = . 2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '=. 3. ()21ln dx x x = +?. 三.计算 1.求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分x xe dx -? 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 三. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε,总存在δ>0,使得当 时,恒有│?(x )─A│< ε。 四. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ,则a = ,b = 。 五. 若当0x x →时,α与β 是等价无穷小量,则=-→β β α0 lim x x 。 六. 若f (x )在点x = a 处连续,则=→)(lim x f a x 。 七. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 八. 设函数y =?(x )在x 0点可导,则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 九. 曲线y = x 2+2x -5上点M 处的切线斜率为6,则点M 的坐标为 。 十. ='?))((dx x f x d 。 十一. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=,52 +=Q C ,则当利润最大 时产量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 十二. 若数列{x n }在a 的ε 邻域(a -ε,a +ε)内有无穷多个点,则( )。 (A) 数列{x n }必有极限,但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在,且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极 限一定不存在 十三. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的( )。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 十四. =+-∞→13)1 1(lim x x x ( )。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 十五. 对需求函数5 p e Q -=,需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p ( )时,需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 十六. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→;在点0x 的某邻域内(0x 可以 除外)存在,又a 是常数,则下列结论正确的是( )。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞,则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞,则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在,则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 十七. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是( ) 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 十八. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y ( )。 (A) 只有水平渐近线; (B) 只有垂直渐近线; (C) 没有渐近线; (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线 十九. 假设)(x f 连续,其导函数图形如右图所示,则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 二十. 若?(x )的导函数是2 -x ,则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案:)1ln(x - 王丽君 解:x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案:1 孙仁斌 解:a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案:4 俞诗秋 解:4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案:2 俞诗秋 解:)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是:+,-,+,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案:C x x +-cot tan 张军好 解:C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案: 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数; (B) 奇函数; (C) 非奇非偶函数; (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案:A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点; (B) 连续点; (C) 振荡间断点; (D) 可去间断点. 答案:D 俞诗秋 浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题(每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 1.点M (1,-1, 2)到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微,(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0,1]上连续,且()f x >0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题(每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的,把所选字母填入题后的括号内) 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 (A ) 2π . (B )3π . (C )4π . (D )6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 (A )100(,)dy f x y dx ?? (B )1 00(,)dy f x y dx ?? (C ) 10 (,)dx f x y dy ? ? (D )10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -= (A ) 12. (B )12-. (C )34. (D )3 4 -. [ ] < . 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题(共5小题,每题3分,共计15分) 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 3 1 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题(共5小题,每题3分,共计15分) 1.设 ()1x f e x '=+,则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ,则k = ( ). . (A) 2π (B) 22π (C) (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+,其中f 可导,则( ). (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立,则( ) (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是( ). (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 13(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 1 1(1)n n n ∞=-∑ 三、计算(共2小题,每题5分,共计10分) 1. 2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算(共3小题,每题6分,共计18分) 1.设 arctan y z x =,求2,.z z z x y x y ???????, 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ . 安徽大学2011—2012 学年第一学期 《高等数学A(三)》考试试卷(A 卷) (闭卷时间120 分钟) 考场登记表序号 题号一二三四五总分 得分 阅卷人 一、选择题(每小题2 分,共10 分)得分 1.设A为n阶可逆矩阵,则下列各式正确的是()。 (A)(2A)?1 =2A?1 ;(B)(2A?1)T=(2A T)?1 ;(C) ((A?1)?1)T=((A T)?1)?1 ;(D)((A T)T)?1 =((A?1)?1)T。 2.若向量组1, 2 , , r ααα可由另一向量组 ()。 βββ线性表示,则下列说法正确的 是 1, 2 , , sβββ线性表示,则下列说法 正确的是 (A)r≤s;(B)r≥s; (C)秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r ααα)≤秩(βββ);(D)秩(ααα)≥ 秩( ββ β)。 1, 2 , , sββ β)。 3.设A, B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则下列说法正确的是()。 (A)λE?A=λE?B; (B)A与B有相同的特征值和特征向量; (C)A与B都相似于一个对角矩阵; (D)对任意常数k,kE?A与kE?B相似。 4.设1, 2 , 3 ααα为R3 的一组基,则下列向量组中,()可作为R3 的另一组基。 (A)1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2 α+αα+αα+α。 αα?αα?α;(B)ααα+α; (C) 1 2 , 2 3, 1 3 α+αα+αα?α;(D) 1 2 , 2 3, 1 3 5.设P(A) =0.8 ,P(B) =0.7 ,P(A| B) =0.8 ,则下列结论正确的是()。 微积分期末试卷 选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 d 1 2 lim2,, x d x ax b a b → ++ = x x 2 2 1 1、( )= x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+1 x 5、若则的值分别为: x+2x-3 1 In1 x+; 2 32 2 y x x =-; 3 2 log,(0,1), 1 x y R x = - ; 4(0,0) 5解:原式=11 (1)()1m lim lim2 (1)(3)34 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→ -+++ === -++ ∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小() 2、 sin lim x x x → -∞+∞ 在区间(,)是连续函数() 3、 f"(x)=0一定为f(x)的拐点() 4、若f(X)在0x处取得极值,则必有f(x)在0x处连续不可导() 5、设函数f(x)在[] 0,1上二阶可导且'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( ) f x f f C f f <===- 令(),则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解:原式=222 11 1 3 3 000 2 (2) lim lim lim 12 x x x x x x e e x e x x - - →→→ - ===+∞ - 高等数学同济版(下册)期末考试试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ??≤++1 ||||22 )ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() ()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++?? ∑ ds y x )12 2( 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 22≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( ) (A )4 ? ??2 20 1 3 cos sin π π???θdr r d d ;(B )???20 1 2 sin π π??θdr r d d ;大一微积分期末试卷及答案
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