《微积分》各章习题及详细答案

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(微积分)第七章课后习题全解

x x ∂z ∂z x xy y y ∴x + y = x ( y + e ) + y(x + e − e ) ∂x ∂y y x x x x = xy + xe y +xy + ye y − xe y = 2 xy + ye y = xy + z
xz ∂u ∂u ∂u , , 试求 . ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u 解： = zf ( yz ) = − zf ( xz ) ∂y ∂x ∂u = yf ( yz ) − xf ( xz ) ∂z
3、求下列极限：、求下列极限：
xe x ∴ f ( x, y ) = 2 y ye
4 − ( xy + 4) 2 − xy + 4 = lim 1) lim x → 0 xy (4 + x →0 xy xy + 4) y →0 y →0 1 1 = − lim =− x →0 2 + xy + 4 4 y →0 ln( x + e y ) 2) lim = ln 2 x →1 x2 + y 2 y →0 2 kx xy 令y = kx lim 3) lim 2 2 x →0 2 2 x →0 x + (kx) y →0 x +y y →0
OA = 16 + 9 + 25 = 5 2 AX = 9 + 25 = 34 AY = 16 + 25 = 41 AZ = 16 + 9 = 5 4、试证以 A(4,1, 9), B (10, −1, 6), C (2, 4,3), 为、
顶点的三角形是等腰直角三角形。顶点的三角形是等腰直角三角形。
2 2

微积分课后习题答案

微积分第八章课后习题答案习题8-11.1一阶；2二阶；3一阶；4三阶；5三阶；6一阶；7二阶；8一阶;2.1、2、3、4、5都是微分方程的通解;3.122y x =+.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得：21()(1)2u x x dx x x C =+=++⎰.习题8-21.1原式化为：ln dyx y y dx =分离变量得：11ln dy dx y y x = 两边积分得：11ln dy dx y y x=⎰⎰ 计算得：()11ln ln d y dx y x=⎰⎰ 即：()1ln ln ln y x C =+ 整理：1ln y C x =所以：原微分方程的通解为：Cx y e =； 2原式化为：()()2211y x dy x y dx -=-- 分离变量得：()()2211y xdy dx y x -=-- 两边积分得：()()2211y xdy dx y x -=--⎰⎰ 计算得：()()()()22221111112211d y d x y x -=----⎰⎰ 即：()()221ln 1ln 1y x C -=--+ 整理：22(1)(1)y x C --=所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)y x C --=；3xydx =-分离变量得：1dy y =两边积分得：1dy y =⎰计算得：()21ln 12y x =-即：1ln y C =整理：y =所以：原微分方程的通解为：y =41y e Cx -=-；5sin 1y C x =-； 61010x y C -+=；722ln 22arctan y y x x C -=-+； 8当sin02y ≠时,通解为ln |tan |2sin42y y C =-；当sin 02y=时,特解为2(0,1,2,)y k k π==±±；9222ln x y x C +-=； 1022ln ln x y C +=;2.1tan 2x y e=；2(1)sec x e y +=；32(1)22y x e y +-=；41ln |1|1a x a y=--+；524x y =；6323223235y y x x +--=；7sin y x =；8cos 0x y -=;3.12y Cx =；21Cx y xe +=；3sin ln ||yx C x=+；4ln |ln |y x C x =--；5arctany xxy Ce-=；6ln1yCx x=+；722(2ln ||)y x x C =+；8332x y Cx -=;4.1ln(1ln )y x x =--；222(ln 2)y x x =+；322tan(ln )4y x x π=+；4222ln y x x =；5y x =；6222(ln 2)y x x =+; 5.31()2x xϕ=-; 习题8-31.12x x y Ce e =-；2()n x y x e C =+；3sin ()x y e x C -=+；42(1)()y x x C =++；52sin ()y x x C =+；6()xy e x C -=+；722y x Cx =-+；82212x x y Ce e--=-；932433(1)x Cy x +=+；101(1)y C x =++;2.132(4)3xy e -=-；2x e y x =；31cos x y x π--=；4cos x y x=；5(1)x y e x =+；62ln 2y x x =-+；7sin 2sin 1x y e x -=+-；82sin 11x y x -=-; 3.155352y Cx x -=+；24414x y x Ce --=-++；32133ln |1|(ln |3|)2x C C C y++==；433(2ln 1)4C y x x x -=--或323(2ln 1)4xy x x C -+-=；51233317y Cx x -=-或123337y Cx x -=-；64414x y Ce x --=-+;习题8-41.112(2)x y x e C x C =-++；212ln |cos()|y x C C =-++；321212x y C e x x C =--+；41221(0)C x y C e C =+≠；541211cos3129y x x C x C =-++；64321211432C y x x x C =+-+；712()x y C x e C -=-+；812C x y C e =;2.1y =21ln(1)y ax a =-+；3lnsec y x =；441(1)2y x =+；5ln()ln 2x x y e e -=+-；61122x x y e e -=-；731cos 16y x x x =-++；821122y x =-;习题8-51.12312xxy C eC e--=+；23412()xy C C x e=+；312cos sin y C x C x=+；4412(cos3sin 3)xy e C x C x -=+；55212()x y C C x e =+；6212(cos sin )x y e C x C x =+；72512x xy C e C e -=+；8212()xy C C x e =+；9212(cos3sin 3)x y e C x C x =+；1012y C C =+;2.12(2)x y x e -=+；223sin 5x y e x -=；3342x x y e e =+；4sin x y e x =；51cos33x y e x =-；61cos sin y x x πππ=+;3.'''20y y y -+=;4. '''320y y y -+=;5.1*01y b x b =+；2*201y b x b x =+；3*0x y b e =；4*2012()x y b x b x b e =++；5*01cos 2sin 2y b x b x =+；6*01(cos sin )y x b x b x =+;6.132121123x y C C e x x -=++-；2121(cos sin )2x y C C e x x =++-；32212117()224x y e C x C x x x -=++--； 4122cos sin 1xe y C ax C ax a =+++；5312113cos sin ()1050x y C x C x x e =++-； 631234()(cos sin )2525x x y e C C x e x x =++-;72121(cos sin )(1)2x y e C x C x x =+++；83212xy C e C x =++；921232x x x y C e C e e -=++；1022212()224x x y C C x e x x e =++++;7.1275522x x y e e =-++；2(1)x x x y e e x x e -=-+-；3211(cos sin )sin 22x y e x x e x π=-+；4311(37cos 429sin 4)(5sin 14cos )102102x y x x e x x =-++； 511cos sin sin 233y x x x =--+；64115516164x y e x =+-;习题8-61.1三阶；2六阶;2.略;3.12t t y C =；2(1)t t y C =-；321122t y C t t =+-；42111()623t y C t t t =+-+；51(1)23t t t y C =-+；61222t t t y C t =+;4.123t y t =+；213()2t t y =-；3111()442t t y =+-；411(2)224t t t y =-+; 5.11234t t t y C C =+；21211(()22t tt y C C =+；312()3t t y C C t =+； 4122(cos sin )22t t y C t C t ππ=+；512(1)4t t t y C C =-+； 6122(cos sin )33t t y C t C t ππ=+;6.11[1(3)]2t t y =-+-；2sin3t t y t π=；32cos4t t y t π=⋅;习题8-7 略总复习题八1.1三；2'''560y y y -+=；32129t t t y y y +++-=;2.1C ；2B ；3D ；4A ；5D;3.略;4.1221(1)y C x +=-；2(1)(1)xye e C +-=；3ln[(2)]02xC y x y x++=+；42xy ye x C +=；5ln Cy ax x=+；622124ln 39C x x x y x =--或23222(ln )33x C x x y =-+；332x xy C =++；8222arctanyx y C x+-=；92y Cx =；1022xy y C -=;5.11x e y +=或(1)sec x e y +=；2220x y x y +--=；32225x y +=；42(12ln )0x y y +-=；5cos 15sin x e y x -=或cos sin 51xy x e +=；62(1)x x x x e e e y e x x-==-; 6.()(1)x y x e x =+;7.1(ln ln )y x x e -=+;8.132212[)23x C C C =±-；22x C =±+；35322121373525x y C C ex x x -=++-+；421213(1)2x x xy C e C e x x e ---=++-；5121(cos 2sin 2)cos 24x x y e C x C x xe x=+-；61211cos 2210x x y C e C e x-=+-+；72(cos3sin 3)xy eA xB x -=+；8212x x x y C e C e e -=++;9.14x x y e e -=-；22sin 3x y e x =；32(73)x y x e -=-；42arctan x y e =;10.(cos sin )()2xx x e x ϕ++=;11.121t y t ∆=+；221t y t ∆=+；312cos ()sin 22t ay a t ∆=+⋅；434t y t ∆=; 12.1(2)ty C =-；221(3)()2255t t y C t =-+-+；312(3)t y C C =-+；412213(2)()32515t t t y C C t t =+-+-+⋅; 13.112(1)3t t t y A =⋅+⋅-,152(1)33t t t y =⋅+⋅-；2174()()22t t t y A B =+⋅+⋅-,31174()()2222t t t y =+⋅+⋅-;。

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章

(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解

第一章习题1-11.用区间表示下列不等式的解2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.011 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1).(4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+<⎧⎨+≠⎩即 1.010.991x x -<<-⎧⎨≠⎩ 用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).2.用区间表示下列函数的定义域:1(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1(3).ln(2) y y x x x y x ==-+=- 解 (1)要使函数有意义,必须2010x x ≠⎧⎨-≥⎩即011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩即0210x x x ≤≤⎧⎪>⎨⎪>⎩所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩即6112x x x -≤≤⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),ff (a )(a 为实数),并作出图形(1)1,0,2,011,12x x y x x x ⎧<⎪⎪=⎨≤<⎪⎪<≤⎩； (2)y＝211,12x x x ⎧≤⎪⎨-<<⎪⎩解 (1)函数的定义域(){|0}{|01}{|12}{|112}(,1)(1,2]或D f x x x x x x x x x =<≤<<≤=<<≤=-∞1(0)200,1,()201112a af f f a a a a ⎧<⎪⎪=⨯===⎨≤<⎪⎪<≤⎩,图1-1 图1-2(2)函数的定义域(){|1}{|12}{|2}(2,2)D f x x x x x x =≤<<=<=-221(0)1,11,()112a f f f a a a ≤===-==-<<⎪⎩4※.设1,1()1,1x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,求f (f (x )).解当|x |≤1时, f (x )=1, f (f (x ))= f (1)=1;当|x |>1时, f (x )=-1, f (f (x ))= f (-1)=1,综上所述f (f (x ))=1(x ∈R ).5.判定下列函数的奇偶性：(1) f (x )＝21cos x x -； (2)f (x )＝(x 2＋x )sin x ；(3) ※ f (x )＝1e ,0e 1,0x x x x -⎧-≤⎨->⎩解 (1) ∵221()1()()cos()cos x x f x f x x x----===- ∴f (x )是偶函数.(2)∵222()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-,∴f (x )是非奇非偶函数.(3) ※当x <0时,-x >0, ()1(1)()e e x x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()()11(1)()e e e x x x f x f x ---=-=-=--=-,综上所述, x ∀∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数.证 (1)令()()()F x f x f x =-+(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;(2)令()()()F x f x f x =--,(,)x l l ∀∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-所以()()()F x f x f x =--是奇函数.7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =±则 ()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-±-=±=,所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =⋅,则 ()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-⋅-=-=-,所以()()f x g x ⋅是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数.8. 求下列函数的反函数:22(1)2sin 3,,;(2);66212101,(3)()2(2)1 2.xx y x x y x x f x x x ππ⎡⎤=∈-=⎢⎥+⎣⎦-≤≤⎧=⎨--<≤⎩解 (1)由2sin3y x =得1arcsin 32yx =所以函数2sin3y x =的反函数为1arcsin (22)32xy x =-≤≤.(2)由221xx y =+得21x y y =-,即2log 1yx y =-. 所以函数221x x y =+的反函数为2log (01)1xy x x =<<-.(3) ※当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112yx y +=-≤≤;当12x <≤时,由22(2)y x =--得22x y =<≤;于是有1112212yy x y +⎧-≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩,所以函数22101()2(2)12x x f x x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩的反函数是1112()212x x f x x +⎧-≤≤⎪=⎨⎪<≤⎩.9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:222(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,(). 为实数u v y u x y u u v x y u u v a x a ==+======+解 (1)211010u x y +==,定义域为(-∞,+∞);(2) sin ln ln 2ln 2sin ln 2v x y u x ====⋅定义域为(-∞,+∞);(3) arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).习题1-21.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?(1) y= ； (2) y =sin 3ln x ;(3) y = tan 2x a ； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.解 (1)令arcsin x u a =,则y ,再令xv a =,则arcsin u v =,因此y =是由基本初等函数arcsin ,x y u v v a ===复合而成的.(2)令sin ln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3sin ln y x =是由基本初等函数3,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.(3)令2tan u x =,则u y a =,再令2v x =,则tan u v =,因此2tan x y a =是由基本初等函数2,tan ,u y a u v v x ===复合而成.(4)令23ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3ln(ln )v x =则2u v =,再令3ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3w t =,因此23ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2ln ,,ln ,y u u v v w === 3,ln w t t x ==复合而成.2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域：(1) f (x 2)； (2) f (sin x );(3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ].(4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1].3. 求下列函数的表达式：(1) 设ϕ(sin x )=cos 2x +sin x +5,求ϕ(x );(2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x );(3) 设1()f x x +=x 2+21x,求f (x ). 解 (1)法一:令sin t x =,则222cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:22()156t t t t t ϕ=-++=+-,即 2()6x x x ϕ=++.法二:将函数的表达式变形得:22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ϕ=-++=+-令sin t x =,得 2()6t t t ϕ=+-,即 2()6x x x ϕ=+-.(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++即 2()33g x x x =++.法二:将函数表达式变形,得22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+令1x t -=,得 2()33g t t t =++,即 2()33g x x x =++.(3)法一:令1x t x +=,两边平方得22212x t x ++= 即22212x t x+=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-. 法二:将函数表达式变形,得222111222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令1x t x+=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.习题1-31.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).解设2()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR === 即 04261648c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得 1240a b c ⎧=-⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩ 所以总收入函数21()42TR x x x =-+. 2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.解设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为1307001177001000x P x ≤⎧=⎨<≤⎩,总收入 130700()130700(700)1177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯<≤⎩,即 130700()91001177001000TR x x x x x ≤⎧=⎨+<≤⎩.3. 已知需求函数为105Q P =-,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.解由题设知总收入2()105Q R Q PQ Q ==- ,则总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ⎛⎫=-=-=--+- ⎪⎝⎭, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q Q Q==--. 4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =100233P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.解当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得1002201033P P -=-+,解得5P = 所以市场均衡价格5P =.。

《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第11章

(3) a 1 , f (t ) 2 于是由非齐次方程的特解公式 (11 2 5) 有：
t t 1 t 1 1 1 yt (1)i 2t i 1 2t 1 ( )i 2t 2 3 i 0 i 0
由 (11 2 4) 式，得所给方程的通解
1 yt A(1)t 2t 3
(A 为任意常数)
*
(4)对应齐次差分方程为 yt 1 yt 0 ，其通解为 yt A ，设原方程特解为
yt 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 代入原方程得：
2t 1[ B1 cos π(t 1) B2 sin π(t 1)] 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 2t cos πt
yt 1
1 4 yt ，其中 3 3
1 4 a ， b ，由通解公式 (11 2 7) 得原方程的通解为： 3 3
1 yt y A (t ) yt A( )t 1 (A 为任意常数) 3 1 3 t 1 3 1 (2)方程可化为 yt 1 yt ，其中 a ， b0 ， b1 ，故由通解公式 2 2 2 2 2 2 (11 2 9) 得方程的通解为： 3 1 1 1 t 1 7 t yt A( ) 2 2 2 t 即 yt A( )t . 1 1 1 2 9 3 2 1 (1 ) 2 1 2 2 2
t
(4) a 4 ， π ， b1 0 ， b2 3 ， D (4 cos π) sin π=9 0 ，且
2 2
由公式 (11 2 14) 得 = [0 (4 cos π) 3 sin π]=0 ， = [3(4 cos π) 0 sin π]=1 ，方程通解为 yt A(4) sin πt ，以 t 0 时 y0 1 代入上式，得 A 1 ，故原方程特解为：

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第六章习题详解

第六章习题6-11. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a<b ）及x 轴所围成的图形的面积. 解因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取2,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n nξξ---=+==++, 于是21122221222()[()1]1()[()2()1]111(1)1()[()(1)(21)2()]62Δ nni i i i ni b a b a f x a i n ni i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n nξ===--=++=-+-+-++=-+-⋅⋅+++-⋅⋅+⋅∑∑∑ 故面积 22211(1)l i m ()()[()()1]3d Δnbi i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞==+==-+-+-+∑⎰ 331()()3b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1)12d x x ⎰;(2)x ⎰（a ＞0）.解 (1)根据定积分的几何意义知, 102d x x ⎰表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以12d x x ⎰=1.(2)根据定积分的几何意义知,0x ⎰表示由曲线0,y x x a ===及x轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014πx a =⎰.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)12d x x ⎰与13d x x ⎰； (2)1e d xx ⎰与1(1)d x x +⎰.解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230d d x x x x >⎰⎰.(2)令()1,()1e e x xf x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,从而()(0)0f x f ≥=,说明1e xx ≥+,又ex1+x .所以11(1)e d d xx x x >+⎰⎰.4. 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰.解 (1)在区间[1,4]上,函数2()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰, 即 4216(1)51d x x ≤+≤⎰.(2)令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值m f ==,所以2arctan 93ππd x x =≤≤=即2arctan 93ππd x x ≤≤. (3)令2()e x f x -=,则2()2e x f x x -'=-,令()0f x '=得驻点x =0,又(0)1f =，2()()e a f a f a -=-=,a >0时, 21e a -<,故()f x 在[-a,a ]上的最大值M =1,最小值 2e a m -=,所以2222e e d aa x aa x a ---≤≤⎰.(4)令2()ex xf x -=,则2()(21)e xxf x x -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2e ef f -==,从而()f x 在[0,2]上的最大值2e M =,最小值14e m -=,所以 212242ee d e x x x --≤≤⎰,而2222ed e d x xx x x x --=-⎰⎰,故 21024222e ed ex xx ---≤≤-⎰.习题6-21. 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰； (3) cos 2sin cos()d xxt t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0). 解220(1)()d d x t x x'⋅=⎰5353ln 2(2)d e d e d x tx t t x x --=⎰cos cos sin 222sin 00cos sin 220022222(3)cos()cos()cos()cos()cos()cos(cos )(cos )cos(sin )(sin )cos(cos )sin cos(sin )cos cos(sin )sin πd πd πd πd πd πππππx x xx xx t t t t t t t t t tx x x x x x x x x x ''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''=⋅-⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰22cos(sin )cos (sin cos )cos(sin )ππx x x x x =-2222sin sin sin (4)cos sin sin cos .ππd d d d d d d d d d xx t t x t t xt x x x t x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=-=⎰⎰ 2. 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x →⎰; (2) 2020sin 3d lim e d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰.解 ()022000021a r c t a n a r c t a n a r c t a n11(1)l i m l i ml i m l i m 222d d x xx x xxt t t t x x x xx →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰ 2220030003300222200sin 3sin 3sin 32(2)lim lim lim 2sin 3sin 3lim lim 663d d e e d e d e e x x x x x x x t x t x xx x t t t t x x x t t t t x x x x-→→→--→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=='⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰()()[]222222222222222200002000022000200022(3)lim lim lim lim 222lim lim lim 2122e d e d e d e e d e e e d e d e d e e e e xxx x t t t x tx x x x x x x t x t x t x x x x x x x t t t t x x t tt t t x x x x →→→→→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数.解方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-. 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-. 4. 当x 为何值时，I (x )=2e d xt t t -⎰有极值?解 2()e x I x x -'=,令()0I x '=得驻点0x =,又22()(12),(0)10e x I x x I -''''=-=>, 所以当x =0时,I (x )有极小值,且极小值为I (0)=0.5. 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩ (4) {}222max 1,d x x -⎰.解433322233222(1)(43)(8333x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰201222221101(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22220022(3)()sin 1cos 82ππππππππd d d xf x x x x x x x =+=+=+-⎰⎰⎰(4)由于22221()max{1,}11112x x f x x x x x ⎧-≤<-⎪==-≤<⎨⎪≤≤⎩,于是 21121212223312122111120max{1,}333d d 1d d x x x x x x x x x x -------=++=++=⎰⎰⎰⎰ 6. 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u tx →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.解 []222222222222()()()()limlim lim lim (2)2(2)2(2)(2)d d d d d d x xx x t t x x x x t f u u t f u u f u u f u u x x x x →→→→''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦===--''-⎡⎤-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()113lim lim ()(2)2222x x f x f x f →→-==-=-=-.习题6-31. 计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)xx 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰;(6)2e 1⎰;(7)1;(8)x ;(9)ln 3ln 2d e ex xx--⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)21x ⎰;(12) 22x ππ-⎰.解 333(1)sin()d sin()d()[cos()]x x x x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+= 12332221d 1d(511)151(2)(511)(115)5(511)10512x x x x x 11---+==-=+++⎰⎰1111(3)4)14x x--=-==⎰⎰2334220011(4)sin cos d cos dcos cos44ϕϕϕϕϕϕπππ=-==-⎰⎰22222π2π61cos211(5)cos d d d cos2d22241πππ1sin226264uu u u u u uuππππππππ6666+==+⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰222e e11(6)1)===⎰⎰(7)令x=tan t,则d x=sec2t d t,当x=1时,π4t=;当x=,π3t=,于是ππ33π21π44cos1dsin sinttt t==-=⎰(8)令x t,则d dx t t=,当x=0时,t=0;当x=,π2t=,于是πππ222200π12cos d(1cos2)d(sin2)22x t t t t t t==+==+⎰⎰.(9)令e x t=,则1ln,d dx t x tt==,当ln2x=时,2t=;当ln3x=时,3t=,于是3ln3332ln2222d d1113111d ln lne e12222111x xx t ttt t t t--⎛⎫====-⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰.3 333222222d d11111(10)()d ln19231232()241211(ln ln)ln2ln53543x x xxx x x x xx-==-=+--+++-=-=-⎰⎰⎰(11)t=,则65,d6dx t x t t==,当x=1时,t=1;当x=2,t于是2111611d6()d1x t tt t t t==-++⎰6(ln ln(7ln26ln(1t t=-+=-220202(12)d sin )d sin d x x x x x x x x xπ-π-π-==-+=-⎰⎰⎰33022202224cos cos 333x x ππ-=-= 2. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰.解((1)()l n f x x =+是奇函数.(ln 0d aax x -∴=+⎰.3242sin (2)()21x xf x x x =++ 是奇函数.325425sin 021d x x x x x -∴=++⎰4(3)()cos f θθ= 是偶函数.4422222022202020222004cos 24cos 2(1cos )2(12cos 2cos 2)312(2cos 2cos 4)22(34cos 2cos 4)1332sin 2sin 442ππππππππππd d d d d d θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-∴==+=++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰π3. 证明下列等式： (1)2321()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)；(3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰.证 (1)令x 2=t ,则d x x t ==,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =a 2, 于是2223200011()()()()22d d d aa a a x f x x t t tf t t xf x x ===⎰⎰⎰⎰即2321()()2d d aa x f x x xf x x =⎰⎰.(2)令1x t=则21d d x t t -=,1111111222231111111111111d d d d d t xx t tx t t t x x t t x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰ 即 1122111d d xx x x x x =++⎰⎰. 4. 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明0()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数.证令0()()d xF x f t t =⎰.若f (t )为奇函数,则f (-t )=- f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x -==---==⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是偶函数.若f (t )为偶函数,则f (-t )=f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x --==---=-=-⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是奇函数.5※. 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增.证 00()()()2()()2()d d d x xxF x f t t xf x xf x xf t t tf t x '⎡⎤'==+--⎣⎦⎰⎰⎰()()()()[()()]d xf t t xf x f x xf x x f f x ξξ=-=-=-⎰,其中ξ在x 与0之间.当x >0时,x >ξ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≤,即()0F x '≤;当x <0时,ξ> x ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≥,即()0F x '≤;综上所述知F (x )单调不增.习题6-41. 计算下列定积分： (1)10e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx x ππ⎰; (5) 220e cos d x x x π⎰; (6)221log d x x x ⎰;(7)π20(sin )d x x x ⎰; (8)e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰. 解 (1)1111000e d de e e d x x x xx x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰ 111012e e e e e 1ex----=--=--+=-.e e e 22222ee 11111111111(2)ln d ln d ln d e (e 1)222244x x x x x x x x x x ==-=-=+⎰⎰⎰444441111(3)2ln 28ln 28ln 24x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰33332444434(4)d dcot cot cot d sin π131πln πlnsin 492249xx x x x x x xx x ππππππππππ=-=-+⎛=-+=+- ⎝⎭⎰⎰⎰22222222000π2π222220π220(5)e cos d e dsin e sin 2e sin d e 2e dcos e 2e cos 4e cos d e 24e cos d xxxx xxx x x x x xx xx x x x x xππππππππ==-=+=+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2π201e cos d (e 2)5x x x π=-⎰.()2222222111111(6)log d ln d ln d 2ln 22ln 2133(4ln 2)22ln 224ln 2x x x x x x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰πππ2232π000033ππ2π0003ππ0033π01111(7)(sin )d (1cos 2)d (dsin2)2232π1π1(sin 22sin2d )dcos26464π1(cos 2cos d )64ππ1ππsin 264864x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x =-=-=--=-=--=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ee e111ee11e1(8)sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d esin1cos(ln )sin(ln )d esin1ecos11sin(ln )d x x x x x x x x x x x x=-=--=-+-⎰⎰⎰⎰故e11sin(ln )d (esin1ecos11)2x x =-+⎰. 222222322000011(9)e d de e e d 22111ln 2ln 2e ln 2222x x x x x x x x x x==-=-=-=-1112122222220000111222200012011111(10)ln d ln d ln d 121211111111ln 3(1)d ln 3()d 818211111131ln 3ln ln 3822281x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+----=++=++---+-=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰2. 已知f (2)= 12,f ′(2)=0, 2()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰.解222222200()d d ()()2()d x f x x x f x x f x xf x x '''''==-⎰⎰⎰222004(2)2d ()2()2()d 14(2)21420.2f x f x xf x f x xf '=-=-+=-+⨯=-⨯+=⎰⎰3※. 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰.证令0()()d uF u f x x =⎰则()()F u F u '=,则(())()()()d d d d xu x xx f x x u f u u uF u uF u u '==-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()d d d d d d d d x x xx x x xxxF x uf u u x f x x uf u ux f u u uf u u xf u u uf u u x u f u u=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即等式成立.习题6-51. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ; (5) y =1x,x 轴与直线y =x 及x =2; (6) y =(x -1)(x -2)与x 轴； (7) y =e x ,y =e -x 与直线x =1; (8) y =ln x ,y 轴与直线y =ln a ,y =ln b , (0)a b <<. 解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积eee111d ln d (ln )1S x y y y y y y ===-=⎰⎰图6-1 图6-2(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得0,0x x x y y y ⎧⎧===⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩即三次抛物线3y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(-,它们所围成的图形的面积3342240112)d )d ()(244S x x x x x x x x x x =-+-=-+-=⎰.(3)解方程234y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 4233440011116()d ()43163S x x x x x =-=-=⎰.图6-3 图6-4(4)可求得2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:121122012231201(2)d (2)d d (2)d 117()236S x x x x x x x x x x xx x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰(5) 1y x =与y x =的交点为(1,1),1y x=,x 轴与直线x =1,及x =2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:2121201111d d ln ln 222x S x x x xx =+=+=+⎰⎰.图6-5 图6-6(6) 231(1)(2)()24y x x x =--=--,顶点坐标为31(,)24-,与x 轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,由231()24y x =--得32x =所求面积0143021433d 2222112364S y y y --⎡⎤⎛⎛=-=⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭⎰⎰(7)可求得曲线e x y =与e x y -=的交点(0,1),曲线e x y =,e x y -=与x =1所围成的图形如图6-7阴影所示,其面积:10)() 2.101(e e d e e e ex x x x S x --=-=+=+-⎰图6-7 图6-8(8)曲线ln ,y x y =轴与直线ln ,ln y a y b ==所围成的图形如图6-8阴影所示,其面积:ln ln ln ln ln ln .d e d e bby yb aaaS x y y b a ====-⎰⎰2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴； (2) y =x 3,x =2,x 轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) y =x 2,x =y 2，绕y 轴； (4) y 2=2px ,y =0,x =a (p ＞0,a ＞0),绕x 轴； (5) (x -2)2+y 2≤1,绕y 轴.解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.222111(ln )(ln )2(ln )22(1)2(ln )eee11ee1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤=⋅⋅-=--⎣⎦⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦⎰⎰⎰722262000128(2)7ππd πd π7x x V y x x x ===⋅=⎰⎰25882283336428323255πππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=⎰⎰.图6-9 图6-10(3)解方程组22y xx y⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积2511410031025πdπdππxx xV x x x x⎛⎫=-=⋅=-⎪⎝⎭⎰⎰.图6-11 图6-1222300(4)2πdπdππa aaxV y x px x p x pa===⋅=⎰⎰.(5)所求旋转体的体积是由右半圆2x=2x=x轴旋转生成的旋转体的体积之差,即((122122281641dπππyV yy yπ-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦===⎰⎰⎰图6-133. 已知曲线y=(a＞0)与y(x0,y0)处有公共切线，求：(1) 常数a及切点(x0,y0);(2) 两曲线与x轴围成的平面图形的面积S.解(1)由题意有点00(,)x y在已知曲线上,且在点00(,)x y处两函数的导数相等.即有00x xyy==⎧=⎪⎪==即12yyx⎧=⎪⎪=⎨=解得211eexya⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.(2)由(1)知两曲线的交点为2(,1)e,又在区间(0,1)上,曲线y=y=方,它们与x轴所围成的平面图形的面积122231221111()6223d ee ee e yyS y yy⎛⎫===-⎡⎤-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.(由ey==得2()x ey=,由y=得2e yx=).4※. 设2()lim1e nxnxf xx→+∞=+-,试求曲线y=f(x),直线y=12x及x=1所围图形的面积.解2200()lim101nxnxxf x xx e xx→∞≥⎧⎪==⎨+-<⎪+⎩解方程2121y xxyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得交点为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭,且易知当(1,0)x∈-时,12y x=位于21xyx=+的上方.所围图形如阴影部分所示,其面积2221111111111ln2ln(1)22422142dxS xx x xx--⎛⎫⎡⎤=+⨯⨯=+=--+⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰.5. 一抛物线y=ax2+bx+c通过点(0，0)、(1，2)两点，且a＜0，试确定a,b,c的值，使抛物线与x轴所围图形的面积最小.解由抛物线过(0,0),(1,2)点,有c=0,a+b=2,又由抛物线方程2y ax bx=+得与x轴的两交点为(0,0), ,0ba⎛⎫-⎪⎝⎭,抛物线与x轴所围图形的面积.2220()6d b ab S ax bx x a-=+=⎰,由2a b +=得2b a =-,代入上式有32(2)6a S a -=, 23(2)(4)6a a S a--+'=,令0S '=得2a =或4a =-, 由已知0a <得4a =-,从而26b a =-=, 所以4,6,0a b c =-==.6. 已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数f (t )=2t +5,t ≥0,问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解设产品产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50.d d Q f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 第2个5月的总产量为10252055()(25)(5)100.d d tQ f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 7. 某厂生产某产品Q (百台)的总成本C (万元)的变化率为C ′(Q )=2(设固定成本为零)，总收入R (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数R ′(Q )=7-2Q .问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=, Q =2.5百台时,总利润最大,此时的总成本2.5 2.52.50()225d d C C Q Q Q Q'====⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5百台时,总利润最大,最大利润是6.25万元.(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26d d C C Q Q Q '===⎰⎰,总收入3323000()(72)(7)12d d R R Q Q Q Q Q Q '==-=-=⎰⎰, 总利润为1266L R C =-=-=(万元).减少了6.25-6=0.25万元.即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.8. 某项目的投资成本为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5％，试求这10年中该投资的纯收入的现值. 解投资后T 年中总收入的现值(1)e rt ay r-=-,由题意知 25,5%0.05,10.a r T ====所以0.051025(1)196.730.05e y -⨯=-= 纯收入的现值为196.73-100=96.73.即这10年中该投资的纯收入的现值为96.73万元.习题6-61. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41d xx +∞⎰; (2)1+∞⎰; (3)0e d axx +∞-⎰ (a ＞0); (4)0cos d x x +∞⎰;(5)0e sin d x x x +∞⎰; (6)2d 22xx x +∞-∞++⎰; (7)21⎰; (8)10ln d x x ⎰;(9)e1⎰(10)22d (1)xx -⎰;(11)1⎰解 (1)1431d 1133x x x +∞+∞=-=⎰,此广义积分收敛.(2)1+∞==+∞⎰,此广义积分发散. (3)111e d e ax axx aa+∞--+∞=-=⎰,此广义积分收敛. (4)1cos d sin lim sin sin 0lim sin x x x x xx x +∞+∞→+∞→+∞==-=⎰不存在,所以,此广义积分发散.00(5)e sin d e d cos e cos e cos d e cos e dsin e cos e sin e sin d 11e sin d (e sin e cos )e (sin cos )22e sin d lim e sin d lim x x x x x x x x x x x x x b x x b b x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x +∞→+∞→=-=-+=-+=-+-∴=-=-∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 01e (sin cos )211 lim e (sin cos )22x b b b x x b b +∞→+∞⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦不存在,此广义积分发散.22d d(1)(6)arctan(1)π22(1)1xx x x x x +∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰,收敛.23222110013202(7)lim lim (1)3222lim 2,.2333收敛x x εεεεεε++++→→+→⎡==-+⎢⎣⎛==-- ⎝⎰⎰111011eee1111222220100(8)ln d ln d ln 1 ln d lim ln d lim (ln 1)1,.π(9)arcsin(ln ),.211d d d (10)lim (1)(1)(1)收敛收敛x x x x x x x x x x x x x x x x εεσεεεεεεεεεεεε+++→→-+→=-=--∴==--=-===⎛⎫+= ⎪---⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰120100112 lim lim ,211xxεεεεε++-+→→⎛⎫⎛⎫===+∞+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭此广义积分发散.)211-00001(11)lim lim 2lim 1,1εεεεε+++-→→→==-=-=⎰⎰此广义积分收敛. 2. 当k 为何值时，广义积分+2d (ln )kxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这广义积分发散?又当k 为何值时，这广义积分取得最小值? 解当k =1时,++222d dln ln(ln )ln ln x x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211d (ln )(1)(ln 2)(ln )dln (ln)11kk kk k x x k x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-==⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以,当k >1时,此广义积分收敛,当k ≤1时,此广义积分发散.记1()(1)(ln 2),k f k k -=-11()(ln 2)(1)(ln 2)lnln 2k k f k k --'=+-.令()0f k '=得11ln ln 2k =-. 又 1()(ln 2)lnln 2[2(1)lnln 2]k f k k -''=+-,且 1ln ln 21(1)(ln 2)ln ln 20ln ln 2f -''-=<, 故()f k 在11ln ln 2k =-有极大值,而()f k 只有一个驻点,所以当11ln ln 2k =-时()f k 取得最大值,因而11ln ln 2k =-时,这个广义积分取得最小值.3. 利用递推公式计算反常积分+0e d n x n I x x ∞-=⎰.解 ++110de e e d n x n xn x n n I x x n x x nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰又 +10de e e 1x x xI x x ∞---+∞+∞=-=--=⎰故 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= 4. 求120(1)d n n I x x =-⎰(n 0,1,2,…).解设x =sin t ,则d x =cosd t ,π2120cos d n n I t t +=⎰而 ππ2200(21)!!π2(2)!!2sin d cos d (2)!!21(21)!!n n k n kk x x x x k n k k -⎧⋅=⎪⎪==⎨⎪=+⎪+⎩⎰⎰所以 π221220(2)!!(!)cosd 2 (0,1,2,)(21)!!(21)!n nn n n I t t n n n +====++⎰.6. 用Γ函数表示下列积分：(1)e d nx x +∞-⎰ (n ＞0)； (2)101(ln )d x x α⎰ (α＞-1)； (3) 0e d n m x x x +∞-⎰1(>0)m n +; (4)220e d n x x x +∞-⎰ （12n >-）.解 (1)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed e d e d ()nx tt n n x t t t t n n n n --∞∞∞---=⋅==Γ⎰⎰⎰.(2)令1lnt x =,则e ,d e d .t t x x t --==- 于是 10+(1)1001(ln )d e d e d (1).a a t a tx t t tt a x∞-+--+∞=-==Γ+⎰⎰⎰ (3)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed ()e d e d ()nm m x m tt n n n m x x t t t t t n n n n+-∞∞∞---+=⋅⋅=⋅=Γ⎰⎰⎰.(4)令2x t =,则x x t ==,于是21+++2220011+201ed e e d 2111e d ()222n n x ntt n t x x t t tt t n ∞∞∞----⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭=⋅===Γ+⎰⎰⎰⎰。

微积分第五章第六章习题答案

习题5.11.（1）sin x x（书本题目有问题。

考察内容为求导与积分互逆的知识点）；3sin x （2）无穷多；常数（3）所有原函数（4）平行2. 23x ；6x3.（1）3223x C --+（2）323sin 3x x e x C +-+（3）3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ （42103)x x C -++ （5）4cos 3ln x x C -++（6）323x x x e C +-+ （7）sin 22x x C -+（8）5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++；(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.21.（1）1a （2）17（3）110（4）12-（5）112（6）12（7）2-（8）15（9）-（10）12- 2. （1）515t e C + （2）41(32)8x C --+（3）1ln 122x C --+（4）231(23)2x C --+ （5）C -（6）ln ln ln x C +（7）111tan 11x C +（8）212x e C --+ （9）ln cos ln sin x x C -++（10）ln C -+（11）3sec sec 3x x C -++ （12）C （13）43ln 14x C --+（14）2sec 2x C + （1512arcsin 23x C + （16）229ln(9)22x x C -++ （17C （18）ln 2ln 133x x C -+-+ （19）2()sin(2())4t t C ϕωϕωω++++ （20）3cos ()3t C ϕωω+-+ （21）cos 1cos5210x x C -+ （22）13sin sin 232x x C ++（23）11sin 2sin12424x x C -+ 习题5.31.（1）arcsin ,,u x dv dx v x === （2）,sin ,cos u x dv xdx v x ===-（3）231ln ,,3u x dv x dx v x ===（4）,cos ,sin x u e dv xdx v x -=== （5）231arctan ,,3u x dv x dx v x === 2. （1）cos sin x x x C ++（2）(1)x e x C ---+（3）11cos 2sin 224x x x C -++ （4）21((1)arctan )2x x x C -+++（5）ln(1)ln(1)x x x x C -+++++（6）41(4ln 1)16x x C -+（7arcsin x x C +（8）21((2)2(1)ln(1))2x x x x C --+-++习题5.41.（1）arctan x C + （2）232ln 18ln 4ln 123x x x x x x C +++-+--+ （3）2sin 2cos sin 22x x C x x -++（4）1(ln cos ln sin tan )2222x x x C -+-+ （5）211(arctan )21x x C x -+++（6）6ln 11x C x +-+-（7）略（8）11ln 2cos sin ln cos 2sin 522522x x x x C --+++ （9）2111ln cos ln sin sec tan 2222422x x x x C -++++（10）ln 1sin x C ++ 复习题五1.（1）2x（2）2cos 2x （3）ln 1x +（4）2x e dx - （5）sin x C +（6）1(23)2F x C -+（7）21(1)2F x C --+ （8）2sin 23-+（9）0（10）12 2. 1.（1）A （2）A （3）A （4）A （5）C （6）D3. （1）322cos 3ln 3x x x C --++ （2）111(12)22x C --+（3）1cos C x +习题6.1 1. 5032. （1）1 （2）214a π3. （1）（2）4.略5. 220(2)(1)02,12(2)(1)0x x x x x x x x x --≥-+≥→--+≥ 证明：须证根据积分区间，知故成立。

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第一章函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞=。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。

（Ａ）23；（Ｂ）32；（C ）1；（D ）0。

4、数列极限=--∞→]ln )1[ln(lim n n n n 。

（Ａ）1；（Ｂ）1-；（C ）∞；（D ）不存在但非∞。

5、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=01cos 000sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。

6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（）（Ａ）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=；（Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =；（C ）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（D ）1)(=x f ，x x x g 22tan sec )(-=。

7、 ||sin lim0x xx →= （）（Ａ） 1；（Ｂ） -1；（C ） 0；（D ）不存在。

8、 =-→xx x 10)1(lim （）（Ａ） 1；（Ｂ） -1；（Ｃ） e ；（Ｄ） 1-e 。

9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的（）（Ａ）充分必要条件；（Ｂ）充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件. 10、 =-+∞→)1(lim 2x x x x （）（Ａ） 1；（Ｂ） 2；（C ）21；（D ） 0。

11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（）（A ）n n b a <对任意n 成立；（B ）n n c b <对任意n 成立；（C ）极限n n n c a ∞→lim 不存在；（D ）极限n n n c b ∞→lim 不存在。

12、当1→x 时，函数11211---x e x x 的极限（）（Ａ）等于２；（Ｂ）等于０；（Ｃ）为∞；（Ｄ）不存在但不为∞。

三、计算解答 1、计算下列极限（1）12sin2lim -∞→n nn x ；（2）xxx x cot csc lim0-→ ；（3）)1(lim 1-→∞xx e x ；（4）xx x x 31212lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→ ；（5）1cos cos 21cos 2cos 8lim 223-+--→x x x x x π；（6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→；（7）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ；（8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→。

３、试确定b a ,之值，使2111lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 。

４、利用极限存在准则求极限(1)nn n n 13121111131211lim ++++++++++∞→ 。

（2）设01>>a x ，且),2,1(1 ==+n ax x n n ，证明n n x →∞lim 存在，并求此极限值。

5、讨论函数xx xx n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性，若有间断点，指出其类型。

6、设)(x f 在],[b a 上连续，且b x f a <<)(，证明在),(b a 内至少有一点ξ，使ξξ=)(f 。

第一单元函数极限与连续习题解答一、填空题1、x 2sin 2 。

2sin 22)2sin21(1)2(sin 22x x x f -=-+=， 222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴。

2、0 。

016249lim )1()34(lim3222=+-++=-+∞→∞→xx x x x x x x x 。

3、高阶。

0)cos 1(lim )cos 1(tan lim sin tan lim 000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x ，x x sin tan -∴是x 的高阶无穷小。

4、0>k 。

x 1sin 为有界函数，所以要使01sin lim 0=→xx k x ，只要0lim 0=→k x x ，即0>k 。

5、 0 。

0arctan lim =-∞→x e x x ))2,2(arctan ,0lim (ππ-∈=-∞→x e xx 。

6、2=b 。

b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0， 2)1(lim )(lim 0=+=++→→xx x e x f ，,)0(b f = 2=∴b 。

7、 212163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x 。

8、 e x ≤≤1 根据题意要求1ln 0≤≤x ，所以 e x ≤≤1。

9、21-=-x ey )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ，12-=+y e x ，21-=∴-y e x ，)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y 。

10、ae 2 原式=a aa x xa ax x e ax a 222)21(lim =-+⋅-⋅-∞→。

11、23-=a 由231231~1)1(ax ax -+（利用教材P58(1)1ax ax +-）与221~1cos x x --，以及1322131lim 1cos 1)1(lim 2203120=-=-=--+→→a x ax x ax x x ，可得 23-=a 。

12、2141≤≤-x 由反三角函数的定义域要求可得⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-011131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12141x x ，⇒)(x f 的定义域为2141≤≤-x 。

13、0limlimx x =22lim0x ==。

14、2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=3x aa-，所以x=3at a +即：3211lim()lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t→∞→∞+=++-=38a e =2ln 32ln 8ln 318ln 33===⇒=a a 。

15、2 )2(2)1(lim )2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞→2121)111(2lim =++++=+∞→nn n 。

二、选择题1、选（Ｄ）令)()()()(x h x g x f x F =，由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l - 上的奇函数，)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴。

2、选（Ｃ） ])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim 31311x x xx x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα23)1(31)1(1l i m 1=-⋅+-=→x x x x （利用教材P58(1)1a x ax +-）3、选（A ） 233121lim1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x xx x x f x x x （利用教材P58(1)1a x ax +-） 4、选（Ｂ） 1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1nn n n n n n -→∞→∞--=--=-5、选（Ｃ） 1)0(=-f ， 0)0(=+f ， 0)0(=f6、选（Ｃ）在（A ）中2ln )(x x f = 的定义域为0≠x ，而x x g ln 2)(=的定义域为0>x ，)()(x g x f ≠∴故不正确在（B ）x x f =)( 的值域为),(+∞-∞，2)(x x g =的值域为0>x ，故错在（D ）中1)(=x f 的定义域为R ，x x x g tan sec )(2-=的定义域为}2,{ππ+≠∈k x R x ，)()(x g x f ≠∴，故错7、选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00==++→→x x x x x x ，1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→xxx x x x ||sin lim 0x x x →∴不存在 8、选（Ｄ） 1)1(1010)](1[lim )1(lim --⋅-→→=-+=-e x x xx xx ，9、选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0x f x x →存在，则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界，而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0x f x x →存在，例如x x 1sinlim 0→，函数11sin 1≤≤-x有界，但在0=x 点极限不存在10、选（Ｃ）（2lim ()lim x x x x x x →∞→∞==211111lim2=++=∞→x x11、选（D ）（A ）、（Ｂ）显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情况，不可能得出“对任意n 成立”的性质。