初等数论 质数模的同余式

§4．质数模的同余式

首先考虑质数模同余式

10()0(mod ),(),(1)

n n n n f x p f x a x a x

a --≡=+++ 其中p 是质数，而an ≡0(mod p ).

定理1 同余式(1)与一个次数不超过p -1的质数模同余式等价. 证明：由多项式的带余试除法知有二整系数多项式()q x 及()r x 使 ()()()()p f x x x q x r x =-+

且()r x 的次数不超过1p -.由费马定理知，对任何整数x 来说()mod p x x p -≡. 因此（1）与()()0mod r x p ≡等价。

定理2 设k ≤n ，而x≡a i (mod p) (i=1,2…,k)是(1)的k 个不同解，则对任

何整数x 来说，

()()()()()(mod ),(2)

k k f x x x x f x p ααα≡---

其中f k (x)是n -k 次多项式，首项系数是a n

证明：由多项式带余除法得

()()11()f x x a f x r =-+,

其中()1f x 是首项系数为n a 的n-1次多项式而r 是一常数.由假设，

()()10mod f a p ≡.故0(mod )r p ≡.因此对任何整数x 都有

()()()()11mod .f x x a f x p ≡- 令()2,3,...,i x a i k ==得

()()()()110mod i i i f a a a f a p ≡≡-

但()()1mod 1,2,......i a a p i k ≡=不，而p 是质数，故

()()()10mod 2,...,i f a p i k ≡=

由此，显然可以用归纳法证明我们的定理

定理3 (1) 对任何整数x 来说，

1(1)(2)((1))(mod ).

p x

x x x p p -

-≡----

(2)(Wilson 定理)

p p -+≡

定理4 同余式(1)的解数不超过它的次数.

证明：我们用反证法。设（1）的解数不超过n 个，则（1）至少有n+1个解，设

为

()mod ,1,2,......, 1.i x a p i n n ≡=+

由定理2得;()()()()()12...mod n n f x a x a x a x a p ≡--- 由于()()10mod n f a p +≡

()()()()11121...0mod n n n n n a a a a a a a p +++---≡

但p 为质数，()mod n a p ≡不,故有一i a 使得()10mod n n a a p +-≡，这与假设矛盾。

补充例子：

1．解同余方程：

(ⅰ) 3x 11 + 2x 8 + 5x 4 - 1 ≡ 0 (mod 7)； (ⅱ) 4x 20 + 3x 12 + 2x 7 + 3x - 2 ≡ 0 (mod 5)。

解：(ⅰ) 原同余方程等价于3x 5 + 5x 4 + 2x 2 - 1 ≡ 0 (mod 7)，用x = 0，±1，±2，±3代入知后者无解； (ⅱ) 原同余方程等价于2x 4 + 2x 3 + 3x - 2 ≡ 0 (mod 5)，将x = 0，±1，±2 代入，知后者有解x ≡ ±1 (mod 5)。

2．判定

(ⅰ) 2x 3 - x 2 + 3x - 1 ≡ 0 (mod 5)是否有三个解；

(ⅱ) x6+ 2x5- 4x2+ 3 ≡ 0 (mod 5)是否有六个解？

解：(ⅰ) 2x3-x2+ 3x- 1 ≡ 0 (mod 5)等价于x3- 3x2+4x- 3 ≡0 (mod 5)，又x5-x = (x3- 3x2+ 4x- 3)(x2+ 3x+ 5) + (6x2- 12x+ 15)，其中r(x) = 6x2- 12x+ 15的系数不都是5的倍数，故原方程没有三个解；

(ⅱ) 因为这是对模5的同余方程，故原方程不可能有六个解。