数学-高一数学竞赛 方程理论及应用专题培训

方程理论及应用

一． 一元一次同余方程 1． 形式：0(mod ),ax b m m +=不能整除a ………………（1） 2．

讨论 0(mod )ax b m +=的解

分析：1）(,)1a m = 设1,2,,

,m x x x 是模m 的完系，因为(,)1a m =，所以1,

,m ax b ax b ++也

是模m 的完系。因此，其中必有且只有一个树与零同余，即0(mod )k ax b m +≡，即（1）有唯一解。

由（1）得：(mod )ax b m ≡-，由欧拉定理知：()1(mod )m a m ?≡，所以

()1(mod )(mod )m b

x m a b m a ?-≡-≡-?

2）(,)a m d =＞1

设（1）有解，则d ︱b ；反过来，设d ︱b ，因为(,)1a m

d d

=，所以

0(mod )a b m

x d d d

+≡……（2）有解，所以（1）有解。所以，（1）和（2）是等价的。下面求（2）的解即可。但是要注意，（1）和（2）的模不同，所以（2）的相同的解不一定也是（1）的相同的解，下面我们在（2）的所有解中来求（1）的所有不相同的解。

设（2） 的唯一解为：(mod )m x d α≡，则所以形如m

t d

α+?（t 为任意

整数）的数都是（2）的解，因此这些数中所有关于模m 不同余的数就是（1）的所有解。

因为当12(mod )m m

t t m d d αα+≡+……（3）时，有120(mod )t t m m d -≡，

所以12(mod )t t d ≡；反之也成立，所以（3）成立的充要条件是12(mod )t t d ≡

因此，在所有形如m

t d

α+?

的数中只要t 取关于模d 不同余的数，所得到的数就关于模m 不同余，所以,,,(1)m m

d d d

ααα++-就是（1）的所有解。

定理1 一元一次同余方程中，

01 当(,)1a m =，有唯一解，()1(mod )m x a b m ?-≡-?

02(,)a m d =＞1，0(mod )ax b m +=有解?d ︱b ，

(mod ),0,1,2,1m x t

m t d d α≡+=-， 其中(mod )m x d

α≡是0(mod )a b m

x d d d

+≡的唯一解。 定理2 （中国剩余定理）设12,,

,k m m m 两两互质，

则同余方程组

11(mod )

(mod )

k k x a m x a m ≡≡ （4）

对于模12

k m m m m =有唯一解：111

(mod )k k k

m

m

x x a x a m m m ≡

++

其中：

1(mod )i i i

m

x m m ≡，1,2,,i k =

二． 二元一次不定方程。 1．

形式：(,,)ax by c a b c Z +=∈

2．定理：(,,)ax by c a b c Z +=∈有解?(,)a b ︱c 三．例题讲解。 例1． 解同余式。 1）250(mod3)x -≡ 2）43(mod15)x ≡ 3）10357(mod 211)x ≡ 4）11175(mod321)x ≡ 例2． 解同余方程组。

1）2(mod3)

3(mod5)2(mod 7)x x x ≡≡≡ 2）21(mod 5)

34(mod 7)

x x ≡≡ 3）2(mod12)

6(mod10)1(mod15)

x x x ≡-≡≡

例3． 求出最小的正整数，它的一半是整数的平方，它的13

是整数的三

次方，它的1

5

是整数的五次方。

例4． 解二元一次不定方程。

1）275(mod12)x y +≡

2）求：3710725x y +≡的整数解

高斯函数

一． 定义。

[]y x =叫高斯函数，定义域为R ，y 是不超过x 的最大整数。 注：1） ?[],x x Z ∈ 2）[][]1x x x ≤≤+ 二． 性质。 1）

定义：{}[]x x x =-为x 的小数部分，所以{}[)0,1y x =∈

2） []y x =是不减函数，当1

2x x 时，[][]12x x ≤

3） []x 中整数部分可以外拿，[][],x m x m m Z +=+∈ 4） 12,,x x ?有[][][]1212x x x x +≤+ 5）

若120,0,x x ≥≥则[][][]1212x x x x ≤

6） ,,m Z n Z ++∈∈在1,2,,n 中，m 的倍数有n m ??

????

个

三． 应用技巧。 1）

充分利用[]x 的定义，根据定义，任意实数[]{}x x x =+，而0≤{}

x ＜1，于是，将关于任意实数x 的问题，归结到讨论区间（0，1）上的关于{}x 的问题。

2）

有意识的利用[]x 的性质，特别是前四个性质，因为这四个性质

是直接由定义派生出来的，可以说是函数[]x 的本质属性的推论。

3）

充分利用典型区间，设m=[]x ，p=[]x ，则x=m+p ，其中0≤p ＜1，

于是，问题归纳到在[0，1]上讨论。为此需要对区间（0，1）进行划分，分

段讨论，又常分成几个相等的小段：1,(0,2,3,)k k k n n n -??

=????，于是问题的

讨论只要在典型区间1,k k n n -??

???

?上进行即可。 四． 例题讲解

例1． 任何实数x ，y ，

求证：[][][][][]22x y x x y y +≥+++

例2． 求：{}

lim (2n n →∞

例3． 设r 是实数且满足条件：

19202191546100100100100r r r r ???????

?++++++++=??????????????

??

求：[]100r （第9届美国数学邀请赛AIME 试题） 例4． 在数列{}12

,a a ={}1,3,3,3,5,5,5,5,5,中每个奇数k 出现k 次，

设有整数p,q,r 存在，对所有正整数n ，满足n a p r =+，其中[]x 表

示不大于x 的最大整数，

求：p q r ++的值。（《数学通讯》问题征解题）