=
)(x F ,1x e λ-- 0
≥x ,
,0 x<0。
⑧正态分布 设随机变量
X
的密度函数为
2
22)(21
)(σμσ
π--
=
x e
x f ， +∞<<∞-x ，
其中μ、0>σ为常数，则称随机变量X
服从参数为μ、σ
的正态分布或
高斯（Gauss ）分布，记为),(~2σμN X 。
)(x f 具有如下性质：
1°
)(x f 的图形是关于μ=x 对称的；
2° 当μ=x 时，σ
πμ21)(=
f 为最大值；
3°
)(x f 以ox 轴为渐近线。
特别当σ固定、改变μ时，)(x f 的图形形状不变，只是集体沿ox 轴平行移动，所以μ又称为位置参数。当μ固定、改变σ时，)(x f 的图形形状要发生变化，随σ
变大，)(x f 图形的形状变得平坦，所以又称σ
为形状参数。
若
),(~2
σμN X ，则X 的分布函数为
dt
e
x F x
t ?
∞
---
=
2
22)(21
)(σμπσ
。。
参数0=μ、1=σ
时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(~N X ，其密度
函数记为
2
221)(x e x -=
π
?，+∞<<∞-x ，
分布函数为
dt
e
x x
t ?
∞
--
Φ2
221)
(π
。)(x Φ是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
φ(x)和Φ(x)的性质如下：
1° φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)；
2° 当x=0时，φ(x)＝
π
21为最大值；
3° Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝2
1。 如果
X ~),(2σμN ，则
σ
μ
-X ~)1,0(N 。
所以我们可以通过变换将)(x F 的计算转化为)(x Φ的计算，而)(x Φ的值是可以通过查表得到的。
??
?
??-Φ-??? ??-Φ=≤<σμσμ1221)(x x x X x P 。
分位数的定义。 3、随机变量函数的分布 随机变量
Y 是随机变量X 的函数)(X g Y =，若X 的分布函数)(x F X 或密度函
数
)(x f X 知道，则如何求出)(X g Y =的分布函数)(y F Y 或密度函数)(y f Y 。
（1）X 是离散型随机变量 已知X 的分布列为
,,,,,,,,)(2121n n i p p p x x x x X P X
=，
显然，)(X g Y =的取值只可能是 ),(,),(),(21n x g x g x g ，若)(i x g 互不相
等，则
Y 的分布列如下：
,,,,),(,),(),()(2121n n i p p p x g x g x g y Y P Y
=，
若有某些)(i x g 相等，则应将对应的i P 相加作为)(i x g 的概率。 （2）
X 是连续型随机变量
先利用X 的概率密度f X (x)写出Y 的分布函数F Y (y)，再利用变上下限积分的求导公式求出f Y (y)。
二维随机变量及其分布 第一节 基本概念
1、二维随机变量的基本概念
（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布
如果二维随机向量ξ（X ，Y ）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y ）时，则称ξ为离散型随机量。理解：
（X=x,Y=y ）≡（X=x ∩Y=y ） 设
ξ
=（X ，Y ）的所有可能取值为
)
,2,1,)(,( =j i y x j i ，且事件
{ξ=),(j i y x }的概率为p ij,,称
),2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i
为ξ=（X ，Y ）的分布律或称为X 和Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
这里p ij 具有下面两个性质： （1）p ij ≥0（i,j=1,2,…）； （2）
.1=∑∑
ij i
j
p
对于随机向量（X ，Y ），称其分量X （或Y ）的分布为（X ，Y ）的关于X （或Y ）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了X 为离散型，并且其联合分布律为
),2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i ，
则X 的边缘分布为 ),2,1,()( ====∑?j i p x X P P ij j
i i ；
Y 的边缘分布为 ),2,1,()( ====∑?j i p y Y P P ij i
i i
。
（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对于二维随机向量
)
,(Y X =ξ，如果存在非负函数
),)(,(+∞<<-∞+∞<<-∞y x y x f ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标
轴的矩形区域D ，即D={(X,Y)|a??=∈D
dxdy y x f D Y X P ,),(}),{(
则称ξ为连续型随机向量；并称f(x,y)为ξ=（X ，Y ）的分布密度或称为X 和Y 的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2）
??
+∞∞-+∞
∞
-=.1),(dxdy y x f
一般来说，当（X ，Y ）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X 和Y 的边缘分布密度为
.),()(),()(?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-==dx y x f y f dy y x f x f Y X ，
注意：联合概率分布→边缘分布
（3）条件分布
当（X ，Y ）为离散型，并且其联合分布律为
),,2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i
在已知X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为
,)|(?
=
==i ij i j p p x X y Y P
其中p i ?, p ?j 分别为X ，Y 的边缘分布。
当（X ，Y ）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为
)
()
,()|(y f y x f y x f Y =
在已知X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为
)
()
,()|(x f y x f x y f X =
其中
0)(,0)(>>y f x f Y X 分别为X ，Y 的边缘分布密度。
（4）常见的二维分布
①均匀分布
设随机向量（X ，Y ）的分布密度函数为
???
???
?∈=其他
,0),(1
),(D
y x S y x f D
其中S D 为区域D 的面积，则称（X ，Y ）服从D 上的均匀分布，记为（X ，Y ）～U （D ）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。
图3.1
O
2 x 图3.2 图3.3
②正态分布
设随机向量（X ，Y ）的分布密度函数为
,121
),(2222121211221))((2)1(21
2
??
?
?
???
????
? ??-+---???? ??----=
σμ
σσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x f
其中1||,0,0,,2121<>>ρσσμμ，共5个参数，则称（X ，Y ）服从二维正态
分布，
记为（X ，Y ）～N （).,,,222
1
,21ρσσμμ
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，反推则错。
即X ～N （).(~),,2
2,22
11σμσμN Y
（5）二维随机向量联合分布函数及其性质
设（X ，Y ）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
},{),(y Y x X P y x F ≤≤=
称为二维随机向量（X ，Y ）的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
})(,)(|),{(2121y Y x X ≤<-∞≤<-∞ωωωω的概率为函数值的一个实值
函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： （1）;1),(0≤≤
y x F
（2）F （x,y ）分别对x 和y 是非减的，即
当x 2>x 1时，有F （x 2,y ）≥F(x 1,y);当y 2>y 1时，有F(x,y 2) ≥F(x,y 1); （3）F （x,y ）分别对x 和y 是右连续的，即
);0,(),(),,0(),(+=+=y x F y x F y x F y x F
（4）.1),(,0),(),(),(=+∞+∞=-∞=-∞=-∞-∞F x F y F F
2、随机变量的独立性 （1）一般型随机变量 F(X,Y)=F X (x)F Y (y)
（2）离散型随机变量
j i ij p p p ??=
例3．5：二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布及边缘分布为
（3）连续型随机变量 f(x,y)=f X (x)f Y (y)
联合分布→边缘分布→f(x,y)=f X (x)f Y (y)
直接判断，充要条件： ①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
例3．6：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3
, f Y (y)=4y-4y 3
，不独立。 例3．7：f(x,y)=?
??≤≤≤≤其他,01
0,20,2
y x Axy
（4）二维正态分布
,121
),(2222121211221))((2)1(21
2
???
?
???????
?
??-+---???
? ??----=
σμ
σσμμρσμρρ
σπσy y x x e
y x f
ρ=0
（5）随机变量函数的独立性
若X 与Y 独立，h,g 为连续函数，则：h （X ）和g （Y ）独立。 例如：若X 与Y 独立，则：3X+1和5Y-2独立。
3、简单函数的分布
两个随机变量的和Z=X+Y ①离散型： ②连续型
f Z (z)＝dx x z x f ?+∞
∞
--),(
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（2
22121,σσμμ++）。
2、随机变量的独立性
例3．17：设（X ，Y ）的联合分布密度为
??
?
?
?≤≤≤+=.
,0,
10),
(),(其他x y y x C y x f
（1） 求C ；
（2） 求X ，Y 的边缘分布； （3） 讨论X 与Y 的独立性； （4） 计算P （X+Y ≤1）。 3、简单函数的分布
随机变量的数字特征 第一节 基本概念
1、一维随机变量的数字特征 （1）一维随机变量及其函数的期望 ①设X 是离散型随机变量，其分布律为P(
k x X =)＝p k ，k=1,2,…,n ，
∑==n
k k
k p x X E 1
)(
期望就是平均值。 ③数学期望的性质 （1） E(C)=C （2） E(CX)=CE(X)
（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，∑∑===n
i n
i i i i
i X E C X
C E 1
1
)()(
（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。 （5） Y=g(X)
离散：∑==n
i k
k p x g Y E 1
)()
(
连续：?+∞
∞
-=
dx x xf X E )()(
?+∞
∞
-=
dx x f x g Y E )()()(
（2）方差
D(X)=E[X-E(X)]2，方差
)()(X D X =σ，标准差
①离散型随机变量
∑-=k
k
k p X E x X D 2)]([)(
②连续型随机变量
?+∞
∞
--=dx x f X E x X D )()]([)(2
③方差的性质
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a 2D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a 2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X 2)-E 2(X)
（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。
D(X ±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
类似的，n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布),(2
σ
μN 。
∑=i
i
i C μμ，
∑=i
i i C 222σσ
（3）常见分布的数学期望和方差
①0－1分布
E(X)=p，D(X)=pq ②二项分布 X~B(n,p)，k
n
k
k
n
n
q
p
C
k
P-
=
)
(，（k=0,1,2…n）E(X)=np，D(X)=npq
③泊松分布 P(λ) P(X=k)=
!k
e x
k-
λ
，k=0,1,2…
E(X)= λ， D(X)= λ
④超几何分布
n
N
k
n
M
N
k
M
C
C
C
k
X
P
-
-
=
=)
(
E(X)=
N
nM
⑤几何分布1
)
(-
=
=k
pq
k
X
P，k=0,1,2…
E(X)=
p
1
， D(X)=
2
p
q
⑥均匀分布 X~U[a,b]，f(x)=
a
b-
1
，[a, b ]
E(X)=
2
b
a+
， D(X)=
12
)
(2
a
b-
⑦指数分布 f(x)= x
eλ
λ-，(x>0)
E(X)=
λ
1， D(X)=
2
1
λ
⑧正态分布 X ~N(μ,σ2
)，2
2
2)(21)(σμσ
π--
=
x e
x f
E(X)= μ， D(X)= σ
2
2、二维随机变量的数字特征 （1）协方差和相关系数
对于随机变量X 与Y ，称它们的二阶混合中心矩11μ为X 与Y 的协方差或相关矩，记
为),cov(Y X XY 或σ，即
))].())(([(11Y E Y X E X E XY --==μσ
与记号XY
σ
相对应，X 与Y 的方差D （X ）与D （Y ）也可分别记为XX
σ
与YY σ。 协方差有下面几个性质： (i) cov (X, Y)=cov (Y , X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii) cov(X 1+X 2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y); (iv)
cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)).
对于随机变量X 与Y ，如果D （X ）>0, D(Y)>0，则称
)
()(Y D X D XY
σ
为X 与Y 的相关系数，记作XY ρ（有时可简记为ρ）。
|ρ|≤1，当|ρ|=1时，称X 与Y 安全相关：
完全相关??
?-==时，
负相关，当时，
正相关，当11ρρ
而当0=ρ
时，称X 与Y 不相关。
与相关系数有关的几个重要结论 （i ）
若随机变量X 与Y 相互独立，则0=XY ρ；反之不真。
（ii ）
若（X ，Y ）～N （ρσσμμ,,,,222
121），则X 与Y 相互独立的充要条
件是0=ρ
，即X 和Y 不相关。
（iii ）
以下五个命题是等价的：
①0=XY
ρ；
②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
（2）二维随机变量函数的期望
???????=??∑∑∞+∞∞
+∞
－－为连续型。，
为离散型；
，),(),(),(),(),()],([Y X dxdy y x f y x G Y X p y x G Y X G E i j ij j i
（3）原点矩和中心矩
①对于正整数k ，称随机变量X 的k 次幂的数学期望为X 的k 阶原点矩，记为v k ,即
u k =E(X k
), k=1,2, ….
于是，我们有
??????
?=?∑∞+∞
-.
,)(续型时为连当为离散型时，
当X dx x p x X p x u k i
i k i k
②对于正整数k ，称随机变量X 与E （X ）差的k 次幂的数学期望为X 的k 阶中心矩，
记为k μ，即
.,2,1,))(( =-=k X E X E k k μ
于是，我们有
??????
?--=?∑∞+∞
-.
,)())(())((续型时为连当为离散型时，
当X dx x p X E x X p X E x u k i
i k i k
③对于随机变量X 与Y ，如果有)(l k
Y X E 存在，则称之为X 与Y 的k+l 阶混合原
点矩，记为kl u ，即
))].(())([(Y E Y X E X E u k kl --=
大数定律和中心极限定理
第一节 基本概念
1、切比雪夫不等式
设随机变量X 具有数学期望E （X ）=μ，方差D （X ）=σ2
，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
2
2
)(εσεμ≤≥-X P
切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率
)(εμ≥-X P
的一种估计，它在理论上有重要意义。 2、大数定律
（1）切比雪夫大数定律 （要求方差有界）
设随机变量X 1，X 2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C 所界：D （X i ）.1)(11lim 11=???
? ??<-∑∑==∞→εn
i i n i i n X E n X n P
特殊情形：若X 1，X 2，…具有相同的数学期望E （X I ）=μ，则上式成为
.11lim 1=???
? ??<-∑=∞→εμn i i n X n P 或者简写成：
()
.1lim =<-∞
→εμX P n
切比雪夫大数定律指出，n 个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n 很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。
（2）伯努利大数定律
设μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
.1lim =???
?
??<-∞→εμp n P n
伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
.0lim =???
?
??≥-∞→εμp n P n 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
（3）辛钦大数定律 （不要求存在方差）
设X 1，X 2，…，X n ，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E （X n ）=μ，则对于任意的正数ε有
.11lim 1=???
?
??<-∑=∞→εμn i i n X n P
3、中心极限定理
（1）列维－林德伯格定理
设随机变量X 1，X 2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：
),2,1(0)(,)(2 =≠==k X D X E k k σμ，则随机变量
σ
μ
n n X
Y n
k k
n ∑=-=
1
的分布函数F n (x )对任意的实数x ，有
?
∑∞
--
=∞
→∞→=???
?
???
???????≤-=x
t n k k n n n dt e
x n n X P x F .21lim )(lim 2
12
πσμ
或者简写成：
)1,0(/N n
X n ??→?-∞
→σμ
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
（2）棣莫弗－拉普拉斯定理
设随机变量X 1，…X n 均为具有参数n, p(0?
∞
--
∞
→=??
?
???????≤--=x
t n n dt e
x p np np X P .21)1(lim 2
2
π
例5．3：某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1Kw ，问应供应该车间多少瓦电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。
数理统计的基本概念 第一节 基本概念
1、总体、个体和样本 （1）总体与样本
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为
总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
例如单正态总体X ，用
),(~2σμN X
来表示
我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21 称为样本。样本中所含的样品
数称为样本容量，一般用n 表示。为了使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是“简单随机抽样”：
（1）代表性。即每一样品X i 与总体X 同分布； （2）独立性。即样品抽取互相间不影响。
此时的样本是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。
注意：在泛指任一次抽取的结果时，n x x x ,,,21 表示n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，n x x x ,,,21 表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 （2）样本函数与统计量
设n x x x ,,,21 为总体的一个样本，称
??=
（n x x x ,,,21 ）
为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（n x x x ,,,21 ）为一个统计量。
2、统计量 （1）常用统计量 样本均值
.11
∑==n
i i x n x
样本方差
∑=--=n
i i
x x n S 12
2.)(11 （与概率论中的方差定义不同）
样本标准差
.)(111
2∑=--=n
i i x x n S 样本k 阶原点矩
∑===n i k
i k k x n M 1
.,2,1,1
样本k 阶中心矩
∑==-='n
i k i k
k x x n M 1
.,3,2,)(1 （二阶中心矩∑=-=n i i X X n S 1
2
2
)
(1*与概率论中的方差
定义相同）
（2）统计量的期望和方差
μ=)(X E ，n
X D 2
)(σ=
，
22)(σ=S E ，2
21)*(σn
n S E -=
, 其中∑=-=n i i X X n S 1
2
2
)
(1*，为二阶中心矩。
3、三个抽样分布（χ2
、t 、F 分布） （1）χ2
分布 设n 个随机变量n X X X ,,,21 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明：它
们的平方和
∑==n
i i X W 1
2
的分布密度为
???????<≥??? ??Γ=--.
0,
0,
0221
)(2
122u u e u n u f u
n n
我们称随机变量W 服从自由度为n 的2
κ分布，记为W ～2
κ(n)，其中
.20
1
2dx e x n x n
-∞+-?=??? ??Γ 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
2κ 分布满足可加性：设
),(2i i n Y κ-
则
).(~211
2k k
i i n n n Y Z +++=∑= κ
注意两个结果：E(χ2)=n ，D(χ2
)=2n
（2）t 分布
设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，且
),(~),1,0(~2n Y N X κ
可以证明：函数
n
Y X T /=
的概率密度为
2
121221)(+-
???
? ?
?+??
?
??Γ?
??
??+Γ=n n t n n n t f π
).(+∞<<-∞t
我们称随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，记为T ～t(n)。 注意两个结果：E(T)=0，D(T)=2
-n n
(n>2)
（3）F 分布
设)(~),(~22
12
n Y n X κκ，且X 与Y 独立，可以证明：2
1
//n Y n X F =
的概率
密度函数为
?????
????<≥???
? ??+???
?
???
?? ??Γ??? ??Γ???
??+Γ=+-
-.
0,
0,0,1222)(2
2112
2
2121212
111y y y n n y n n n n n n y f n n n n
我们称随机变量F 服从第一个自由度为n 1，第二个自由度为n 2的F 分布，记为F ～f(n 1,
n 2).
正态分布αα
μμ-=-1，
)()(1n t n t αα-=-，
)
,(1),(12211n n F n n F αα=-
4、正态总体下统计量的分布和性质
注意一个定理：X 与2
S 独立。
（1）正态分布 设
n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2σμN 的一个样
本，则样本函数
).1,0(~/N n
x u
def
σμ
-
（2）t-分布 设
n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2σμN 的一个样
本，则样本函数
),1(~/--n t n
S x t
def
μ
其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。
（3）2
κ 分布
设
n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2σμN 的一个样
本，则样本函数
),1(~)1(22
2
--n S n w
def
κσ
其中)1(2
-n κ表示自由度为n-1的2κ分布。
（4）F 分布 设n x x x ,,,21 为来自正态总体),(2
σ
μN 的一个样本，
而
n y y y ,,,21 为来自正态总体),(2
2
σμN 的一个样本，则样本函数 ),1,1(~//212
2
222
121--n n F S S F
def
σσ
其中
,)(112
1
1211∑=--=n i i
x x n S ;)(112
1
222
2∑=--=n i i
y y n S )1,1(21--n n F 表示第一自由度为11-n ，第二自由度为12-n 的F 分布。
第七章 参数估计 第一节 基本概念
1、点估计的两种方法 （1）矩法
所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。
设总体X 的分布中包含有未知数m θθθ,,,21 ，则其分布函数可以表成
).,,,;(21m x F θθθ 显示它的
k 阶原点矩),,2,1)((m k X E v k k
==中也
包含了未知参数
m θθθ,,,21 ，即
)
,,,(21m k k v v θθθ =。又设
n x x x ,,,21 为总体X 的n 个样本值，其样本的k 阶原点矩为
∑=∧
=n i k
i
k x n v 1
1
).,,2,1(m k =
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有
??????
?
?
??
?
???
?===∑∑∑=∧
∧∧=∧∧∧=∧∧
∧n i m i m m n i i m n i i m x n v x n v x n v 121122121
211.1),,,(,1),,,(,
1),,,(θθθθθθθθθ 由上面的m 个方程中，解出的m 个未知参数)
,,,(21∧
∧∧m θθθ 即为参数
（m θθθ,,,21 ）的矩估计量。
概率论与数理统计期末试卷+答案
一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
《概率论与数理统计》实验报告答案
《概率论与数理统计》实验报告 学生姓名李樟取 学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松 学年学期2013-2014学年第1学期
实验报告一 成绩 日期 年 月 日 实验名称 单个正态总体参数的区间估计 实验性质 综合性 实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法． 实验原理 利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为 样本的观测值 于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为 利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值 整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????-
概率论与数理统计知识点总结详细
概率论与数理统计知识点 总结详细 Newly compiled on November 23, 2020
《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
概率论与数理统计期末考试试题及解答
概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020
一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案： 解： 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案： 解答： 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案： 解答： 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为
华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题
华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、
A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,
概率论与数理统计模拟试题
模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为
5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》
实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数
a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。
概率论与数理统计必考大题解题索引
概率论与数理统计必考大题解题索引 编制：王健 审核： 题型一：古典概型：全概率公式和贝叶斯公式的应用。 【相关公式】 全概率公式： ()()()()()() n 1122S P()=|()||()() (|)() =()(|)()(|). i n n E S A E B A P A B P B P A B P B P A B P B P AB P B A P A P A P A B P B P A B P B +++= =+12设实验的样本空间为，为的事件，B ，B ，……，B 为的划分，且>0,则有： P ?…其中有：。特别地：当n 2时，有： 贝叶斯公式： ()()i 1 00(1,2,,),()(|)() (|)()(|)() =()(|)() (|)()(|)()(|)() i i i i n i i j E S A E A P B i n P B A P A B P B P B A P A P A B P B P AB P A B P B P B A P A P A B P B P A B P B =>>===== +∑12n 设实验的样本空间为。为的事件,B ，B ，……，B 为S 的一个划分，且P ，……则有：特别地： 当n 2时，有： 【相关例题】 1.三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件 表示：“取到的产品是不合格品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工 厂生产的”（i =123，，）。 则Ω== 3 1i i A ，且P A i ()>0，321A A A 、、两两互不相容，由全概率公式得 （1）∑=?=3 1 )|()()(i i i A A P A P A P 1000/37100 210035100410025100510040=?+?+?=
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)
<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率
为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，
概率论与数理统计实验报告
概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1>
plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果：
概率论与数理统计复习题--带答案
概率论与数理统计复习题--带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；
9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000
概率论与数理统计试题与答案
概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<考研概率论与数理统计题库-题目
概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）
6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
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§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19
概率论与数理统计试卷及答案(1)
模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B) = 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：,0 ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??为未知参数，12,, ,n X X X 为其样本，1 1n i i X X n ==∑为样本均值， 则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置 信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它
概率论与数理统计练习题及答案
概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2=? ≤?，则q=＿＿＿＿＿ (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 4．事件A ，B 为对立事件，则＿＿＿＿＿不成立。 (A) ()0P AB = (B) ()P B A φ= (C) ()1P A B = (D) ()1P A B += 5．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为＿＿＿＿ (A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 6．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿ A ． B A ? B ． A B ? Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P 7．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的 是＿＿＿＿＿ A ． 0()1F x ≤≤ B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x == Ｄ．{}()P X x f x == 8．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是 统计量的是＿＿＿＿ Ａ．4114i i X X ==∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．4 22 1 1 ()i i K X X σ==-∑ Ｄ．4 2 1 1()3i i S X X ==-∑ 9．设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是＿＿＿＿＿ A ． ()()P A B P A += B ．()()P AB P A =
