一类用单调有界定理求解的数列的极限_吴亚伟
数学中的数列与级数极限判定方法
数学中的数列与级数极限判定方法数学中的数列和级数是数学分析中的重要概念，研究数列和级数的极限是数学分析的核心内容之一。
通过数列和级数的极限判定方法，可以帮助我们了解数列和级数的性质、求解一些特殊数列和级数的极限值。
本文将介绍数学中常用的数列与级数极限判定方法，包括单调有界数列的极限判定、夹逼准则、正项级数收敛判定和交错级数收敛判定等。
一、单调有界数列的极限判定单调有界数列是指数列的值随着下标的增加而单调递增或单调递减，并且数列存在上界或下界。
对于单调有界数列，我们可以直接判定其极限。
若数列是递增有上界的，那么数列的极限为它的上确界；若数列是递减有下界的，那么数列的极限为它的下确界。
二、夹逼准则夹逼准则是数学分析中常用的极限判定方法之一。
它适用于那些难以直接判定的数列极限问题。
夹逼准则的主要思想是通过比较一个数列与两个已知数列的大小关系，来确定这个数列的极限。
具体来说，如果数列b(n)大于等于数列a(n)，而数列b(n)又小于等于数列c(n)，那么当n趋向于无穷大时，数列a(n)与数列c(n)的极限相等，并且数列b(n)的极限也等于这个极限值。
三、正项级数收敛判定正项级数是指级数的每一项都是非负的数列。
对于正项级数的收敛性判定，可以使用柯西收敛准则或比较判别法。
柯西收敛准则是说对于任意正数ε，当级数的部分和序列满足对于任意自然数n和m，当m>n时，有|Sn-Sm|<ε，则称该级数收敛。
比较判别法是通过比较级数的通项与已知级数的通项大小关系来判定级数的收敛性。
四、交错级数收敛判定交错级数是指级数的各项符号交替出现的级数。
交错级数的收敛性判定方法主要有莱布尼茨判别法和绝对收敛判别法。
莱布尼茨判别法是说如果交错级数的各项绝对值递减趋于零，并且绝对收敛，那么交错级数收敛。
绝对收敛判别法是说如果交错级数的绝对值级数收敛，那么交错级数收敛。
总结：数学中的数列与级数极限判定方法包括单调有界数列的极限判定、夹逼准则、正项级数收敛判定和交错级数收敛判定等。
第4节 单调有界定理及其应用
k n k lim(1 ) e . n n
k n k 设k为常数, lim(1 ) e n n
lim 推广： (1 ) e， 视为整体. n
凑
1
k 设k N , 求证 lim 1 e k . 例1 n n
n1
k n 1 (1 ) a n 1 , n1
lim a n lim a mk e k .
n n
an 是单增.
——单调数列有子列收敛则收敛， 有子列发散则发散.
k k 设k N , 求证 lim 1 e . n n
1 mk (1 ) . m
k
m
1 m lim (1 ) e k . 有子列 e k . m m
( 2)
k 1 n(1 n ) k k an 1 (1 )(1 ) n n n1
n
|a| 在 xn1 xn 两边令n , 得到x x 0 0. n1 a n 所以 { xn }为无穷小 , 从而 也是无穷小 . n!
n5 例3 证明数列 n 收敛. 2 nk 5 （a 1 , k N * , 是无穷小） n xn 1 1 1 a 1 xn 2 n
1 1 2 n1 (1 )(1 )(1 ) n! n n n
m，n m ,
1 1 1 1 1 m 1 en 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1! 2! n m! n n
1 1 1 固定m, 令n ，得 e 1 1! 2! m!
§1.4单调有界定理 及其应用
收敛 有界 有界 有界 收敛
单调有界原理及函数极限的定义
单调有界原理及函数极限的定义在数学中，我们定义一个数列是单调递增的（monotone increasing）当且仅当对于任意的正整数$n$，都有$a_n \leq a_{n+1}$，反之，数列被称为单调递减（monotone decreasing）当且仅当对于任意的正整数$n$，都有$a_n \geq a_{n+1}$。
而数列若同时满足单调递增和单调递减的性质，我们称其为单调的（monotone）。
一方面，我们定义一个数列是有上界的（bounded above）当且仅当存在一个实数$M$，使得对于所有的正整数$n$，都有$a_n \leq M$。
另一方面，我们定义一个数列是有下界的（bounded below）当且仅当存在一个实数$m$，使得对于所有的正整数$n$，都有$a_n \geq m$。
若数列既有上界又有下界，我们称其为有界的（bounded）。
数学上，单调有界原理可以表示为以下两个定理：定理1：如果一个数列是单调递增且有上界的，那么该数列必定存在极限，并且极限等于其上界。
具体表达式为：若数列$\{a_n\}$是一个单调递增数列，且存在一个上界$M$，则该数列存在极限，且极限$\lim_{n→∞}a_n=M$。
定理2：如果一个数列是单调递减且有下界的，那么该数列必定存在极限，并且极限等于其下界。
具体表达式为：若数列$\{a_n\}$是一个单调递减数列，且存在一个下界$m$，则该数列存在极限$\lim_{n→∞}a_n=m$。
函数极限的定义：在数学中，函数极限是描述函数行为的概念，它使我们能够研究函数在不同点的趋势与特性。
函数极限可以帮助我们描述函数的连续性、收敛性以及数值的稳定性等。
设$f(x)$是定义在一些区间上的函数，$x_0$是这个区间上的一个聚点，那么当$x$无限接近于$x_0$时，函数$f(x)$的极限为$L$，即表示为$\lim_{x→x_0}f(x)=L$，如果对于任意给定的逼近区间长度$\varepsilon>0$，总存在对应的$\delta>0$，使得当$0<，x-x_0，<\delta$时，就有$，f(x)-L，<\varepsilon$。
单调有界数列必有极限证明
单调有界数列必有极限证明单调有界数列必有极限证明在数学中，单调有界数列必有极限是一个非常基础的定理。
它告诉我们，如果一个数列在数值上单调递增或单调递减，并且有一个上限和一个下限，那么它必然有一个极限。
这个定理使用起来非常广泛，它可以用于证明一些重要的数学结论，比如连续函数的中间值定理和柯西收敛原理等。
在本文中，我们将详细介绍单调有界数列必有极限的证明过程。
首先，我们来定义一下什么是单调有界数列。
如果一个数列满足以下两个条件，那么它就是单调有界数列：1. 数列单调递增或单调递减；2. 数列有一个上界和一个下界。
下面我们将证明：对于任意单调有界数列，它都有一个极限。
证明过程如下：1. 如果数列是单调递增的，那么我们将其上限定义为L。
因为数列有一个上界，所以L是有限的。
2. 接下来我们来证明，对于任意ε>0，都存在N，当n>N时，an和L的距离小于ε。
取N为大于L-ε的最小整数，那么有N>L-ε。
因为数列单调递增，所以对于任意n>N，an≥an-k （k=n-N>0）。
那么an≥an-N+1≥L-ε+1≥L-ε。
也就是说，an和L的距离小于ε，得证。
3. 如果数列是单调递减的，证明过程与上述类似。
我们将其下限定义为L，并证明对于任意ε>0，都存在N，当n>N时，an和L的距离小于ε。
取N为大于L+ε的最小整数，那么有N<L+ε。
因为数列单调递减，所以对于任意n>N，an≤an-k （k=n-N>0）。
那么an≤an-N+1≤L+ε-1≤L+ε。
也就是说，an和L的距离小于ε，得证。
综上所述，对于任意单调有界数列，它都有一个极限。
这个极限可以是数列的上限或下限。
证毕。
通过上述证明过程可以看出，该定理的证明并不是很复杂。
但这个定理的重要性在于它的应用广泛，特别是在数学分析中。
它奠定了数学分析的基础，为后来的柯西、威尔斯、阿贝尔等伟大的数学家打下了基础。
单调有界定理
对任一数列{xn}，如果存在某个实数A使数列的所有项都满足不等式 恒成立，即，使得 则称这个数列是有下界的，实数A是数列的一个下界，记做；同样地，如果存在某个实数B使数列的所有项都 满足不等式 恒成立，即，使得 则称这个数列是有上界的，实数B是数列的一个上界，记做。 如果一个数列既有上界又有下界，则称这个数列是有界的。此时，存在一个正数M，使不等式 成立。 数列有界性的几何解释是：数列的所有项都包含在零点的M-邻域内。
应用
在一般的教科书中，单调有界定理是通过确界原理来证明的，即通过确界原理知道{xn}有上（下）确界α， 再证明{xn}收敛于α。事实上，单调有界定理与确界原理等价，既可以由确界原理得到单调有界定理，也可以由 单调有界定理得到确界原理。以下S非空有上界，将所有不小于S中的任一元素的有理数排成一个数列{rn}，并令 {xn}=min{r1,r2,r3...rn}。为更直观理解{xn}，举例如下：
定理
单调有界数列必有极限。具体地说： （i）若数列递增且有上界，则 （ii）若数列递减且有下界，则
证明
设数列{xn}单调递增且有上界，接下来用戴德金定理证明{xn}必有极限。 分类讨论，如果{xn}从第N项开始所有的项都相等（即数列有无穷多个相等的项），那么由于数列是单调递 增的，当n>N时，有xn=xN，因此对。即{xn}收敛到xN。 如果{xn}中只有有限项相等，即数列从某项开始严格单调递增，那么因为{xn}有上界，可取所有{xn}的上界 组成一个数集B，并取A=R/B。则： ①由取法可知数集B非空，而{xn}为严格单调递增数列，故。∴。 ②。 ③∵A中任何元素都不是{xn}的上界，∴。 又∵B中任何元素都是{xn}的上界，∴。 故必有。 ∴由戴德金定理可知，存在唯一实数η，使得η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。 但无论是哪种情况，。
单调有界数列必有极限应用于迭代数列求极限考研资料
单调有界数列必有极限应用于迭代数列求极限考研资料在学习数学的时候，我们总是会遇到各种各样的数列问题。
有些数列看起来复杂得要命，但只要你掌握了其中的规律，轻轻松松就能解出来。
而今天我们要聊的，就是一个特别经典的话题——单调有界数列必有极限。
这玩意儿，乍一听可能有点头大，可一了解起来，你会发现其实挺简单的。
先来讲讲什么是单调数列吧。
你可以把单调数列想象成一个人每天都在变，但要么是越来越高，要么是越来越低。
比如说，你每天早上都喝一杯牛奶，喝的量从来不减少，或者你每天都喝一杯，量越来越多，那你就可以说这个喝牛奶的数列是单调的。
如果它是越来越多，那就叫做单调递增；如果它是越来越少，那就叫做单调递减。
也就是说，单调数列就像是一个“朝着某个方向一路狂奔的疯子”，不回头，也不徘徊。
我们再说说什么叫有界数列。
这个有点抽象，但想想看，假如你每天的喝牛奶量再多，最多也就是一瓶，不能无限制地喝下去。
那么这个喝牛奶的数列就是有界的。
就是说，它的取值有个上限和下限，永远不会超过某个范围。
像是有了个铁栏杆，把它关在一个固定的范围里，不让它乱跑。
好了，到这里，单调和有界这两个词已经不陌生了吧。
问题来了，单调有界的数列，它的极限到底是什么呢？极限就是数列最终会“跑到”的一个地方。
你可以把极限看作是数列的“目的地”，它的趋势总是朝着某个数值靠近，就像你每天喝的牛奶量，虽然越来越多，但你始终不可能超过那瓶牛奶的最大容量。
数列在不停地变化，但它永远不会“突破”某个点。
现在想明白了吧？如果一个数列既单调，又有界，那它一定有一个极限。
就像你每天的牛奶量越来越接近瓶口，但永远不会喝到瓶外去。
数列的极限就是那个瓶口，是个固定的、最终的数值。
所以，只要你知道了数列是单调且有界的，你就可以毫不犹豫地说：“它一定有极限！”说到这里，大家是不是觉得挺简单的？这个理论不仅在数列的求解中有用，还可以应用到很多迭代问题中。
你知道什么是迭代数列吗？举个例子，比如你想计算一个方程的根，传统方法可能需要不断地试错，但如果你用迭代法，就能通过反复试探不断接近答案。
2.9如何运用单调有界准则
如何运用单调有界准则单调有界准则：.单调有界数列必收敛，即数列极限存在1推论(),12 {}n n M x x M n ≤∃=如果单增数，列有上界即，使得，，lim ,lim .n n n n x x M →∞→∞≤则存在且2推论(),12 {}n n m x x m n ≥∃=如果单减数，列有下界即，使得，，lim ,lim .n n n n x x m →∞→∞≥则存在且⑴单调性：1n n x x +−① 考察.10{12}n n n x x x n +−≥=，如果，列，，则数单增.(0)()≤单减1{}.n n nx x x +② 对于正数列，考察1{}112n n nx x n x +≥=如果，则数列单增，，， .(1)()≤单减③ 今后还要介绍构造辅助函数的方法.⑵有界性：{}n x ① 根据数列单调性，确定考察上界或下界.{}{}n n x x 如果数列单增，只需证明数列有上界.()()单减下界{}n x ② 在证明数列有上界或有下界前，事先通过观察等方法确定其上界或下界.在具体证明过程中，可以采用数学归纳法等方法.⑶局限性：① 利用单调有界准则可以证明单调有界数列的极限存在，但不能够求出此极限..若求此极限，通常要利用数列的递推公式等其它方法求极限lim .n n x a →∞=② 在未知数列极限存在时，不能设1 1x =反设,例112,2n n n x −=则=，，，lim .n n x →∞不存在lim n n x a →∞=若设，2a a =则，0a =解得，lim 0n n x →∞=所以，.矛盾12,n n x x +=1112,i lim 1l m n n n n n x x n x x +→∞→∞===设，,证明存,例在求．证明⑴单调性1n n x x +−=−=11n n n n x x x x +−−−知与同号，1210n n x x x x +−−=−>以此类推,与同号，1012,n n x x n +−>=所以，，,{}n x 故单调增加.1112,i lim 1l m n n n n n x x n x x +→∞→∞===设，,证明存,例在求．证明⑵有界性12,x =<22,x =<=，一般地，()数学归纳法思想222n x =<<+=，212,n x n <=所以，，，{}n x 故有上界.{}lim n n n x x →∞因此单增有上界，由单调有界准则知存在．1112,i lim 1l m n n n n n x x n x x +→∞→∞===设，,证明存,例在求．解⑶求极限lim ,n n x a →∞=设,n x n =→∞则在递推关系式可得2lim 2.n n a a x →∞===,故总结本讲主要介绍如何利用单调有界准则求数列的极限.。
数列极限存在的条(2)
8
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
1 2
1
a xn2
1 2
1
(
a a
)
2
1.
xn
↘···,
lim
n
xn
a.
例4
1）证明序列
xn
1
1 2
1 3
1 n
ln
n
的极限存在；
2）求极限 lim[ 1 1 1 (1)n1 1 ]
n
23
n
6
解 1） 因 x 1 时有
x ln(1 x) x 1 x
(x 0)
所以
1 ln(1 1 ) 1
n 1
n
1 1 n 1
1
n 1
,
n n 1
xn ↗.
取
a 1, b 1 1 , 又有 1 1 n 1 1 对 n 成立，
2n
2n 2
1
1 2n
n
2,
x2 n
1
1
2n
2n
4.
30
bn 10n
,
有
14
么么么么方面
• Sds绝对是假的
an p an
bn1 10n1
bn2 10n2
bn p 10n p
9 10n1
1
1 10
利用单调有界准则求极限
利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限，这个话题听起来可能有点枯燥，但别担心，我会让它变得有趣起来！想象一下你在玩一场游戏，目标就是找到一个神秘的宝藏。
这个宝藏就是我们的极限，而通往宝藏的路，就是单调有界准则。
什么是单调有界准则呢？简单来说，就是如果你有一个数列，它是单调递增或者单调递减的，同时还被一个特定的界限所限制，那你就可以肯定这个数列有极限，没错，就是这么简单。
就拿一个数列来说吧，像一场马拉松，选手们一开始可能速度不均，有的慢得像乌龟，有的快得像猎豹。
但慢慢地，他们会朝着一个共同的终点迈进。
比如说，如果有一个数列是1、2、3、4……一直增加下去，你可能会觉得它的极限是无限大。
可如果它是像1、1/2、1/3这样逐渐减小的数列，那它的极限又会是0。
数列的行为就像一群小朋友玩捉迷藏，最终都会找到自己的藏身之处。
在数列的世界里，有的数列像是风一样自由，有的却像是被束缚住的小鸟。
但不管怎样，只要数列是单调的，慢慢朝着某个方向飞去，就总会找到它的极限。
就像你一直在向着一个目标努力，最终终究会抵达。
单调性就是让这个过程有序，而有界性则像是给了它一个安全的边界，让它不至于迷失方向。
想象一下，你在厨房里做菜，水开了，火还在不断加大。
这个时候水的温度不断上升，直到达到沸点，你就不能再加热了。
这个沸点就是水的极限。
在数学里，类似的情况也会发生。
比如说，如果你有一个数列，它的值在某个范围内上下波动，但始终没有突破这个范围的界限，那你就能肯定它会有一个极限。
就像你打麻将，尽管手牌千变万化，最终还是要碰到你要的那张牌。
这时候，我们就可以运用单调有界准则来求极限。
回到刚才的例子，如果你有一个数列，第一项是1，第二项是1/2，第三项是1/3，依次类推。
显然这个数列是单调递减的，而它的界限是0。
所以，我们可以大胆地说，这个数列的极限就是0！太神奇了，数列的命运就像电影的情节一样，高兴迭起，最终总会落到一个合适的结局。
收敛数列的单调有界定理(老黄学高数第73讲)
则对∀ε>0，有{an}中的某一项aN，使得a-ε<aN.
∵{an}递增，∴当n>N时，有a-ε<aN≤an.
又{an}有上界，∴对一切an，都有an≤a<a+ε.
综上，当n>N时，有a-ε<an<a+ε, ∴
=a.
(单调有界定理)：在实数系中，
有界的单调数列收敛，且其极限是它的上(下)பைடு நூலகம்界.
证：(2)若{an}为有下界的递减数列. 由确界原理可知，{an}有下确界，记a=inf {an}.
∴{an}递增. 又
an≤1+
≤1+
=2- <2，n=1,2,…， ∴{an}有上界. 由单调有界定理可知{an}收敛.
2、证明数列
n个根号
收敛，并求其极限.
证：记an=
且a1<2, 可设an<2，则
an+1=
=2，∴对一切n，有an<2，即
{an}有上界. 又a1= >0，a2=
>a1>0，
可设an>an-1，即an-an-1>0；则
则对∀ε>0，有{an}中的某一项aN，使得aN<a+ε. ∵{an}递减，∴当n>N时，有an≤aN<a+ε.
又{an}有下界，∴对一切an，都有a-ε<a≤an.
综上，当n>N时，有a-ε<an<a+ε, ∴
=a.
1、设an=1+
, n=1, 2, …
其中实数a≥2. 证明数列{an}收敛.
证：∵an+1-an
an+1-an=
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一类用单调有界定理求解的数列的极限
常州工程职业技术学院基础部 吴亚伟
[摘 要]文中对某些具有特殊形式的数列作了一般性的推广,应用单调有界定理证明其极限的存在。
[关键词]数列 极限 单调有界定理
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高校理科研究
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高校理科研究
(上接第109页)将我国目前颁布的节能建筑的标准以及建筑节能的实施和应用介绍给学生,就可以大大培养他们对建筑节能的认识以及节约意识。3.2教学手段和方法的改革首先,应运用现代化的教学手段。多媒体教学是教学现代化的一项重要内容和手段,运用多媒体辅助教学,可以将大量的图片和短片作为教学内容的补充,既可以使学生对抽象的知识进行直观的理解,又大大增加了学生的学习兴趣。其次,《房屋建筑学》这门应用性很强的学科,对于应用型本科院校的学生来说,培养他们的实际动手能力是主要的教学目的。因此,通过现场教学可以使学生更加直观和深刻的理解所学的知识。在教学中应当推行“形象化教学”既以周围众多看得见、摸得着的建筑构件为实例,还可以根据教学内容的需要适当组织学生阅读施工图纸、标准图集,参观有代表性的建筑,加深学生对建筑平、立、剖面设计原则和方法以及建筑构件构造做法的了解,将理论与实践结合起来。最好能在课堂教学结束后安排一周左右的认识实习,集中全面的强化教学内容,使知识融会贯通,并为后续课程的开设打下基础。《房屋建筑学》课程内容繁杂,单凭课堂上老师讲,学生听,势必使学生产生惰性,影响学习效果。在教学中,应反对“填鸭式”的讲授方法,取而代之的是启发式教学。重点内容深入讲,难点内容详细讲,简单内容少讲甚至可以不讲以此来培养学生的自学能力。此外,充分调动课堂气氛,面对出现的问题,让学生各抒己见,集思广议,有利于培养学生的学习主动性和创造性,让
学生体会到他们不仅仅是知识的旁观者,而是实实在在的融入
到了所学的内容中。
4、结语
应用型本科院校的教育方式不同于培养学术性、研究型人
才的本科教育。身为这类院校中《房屋建筑学》的任课教师,针对
教学中凸现的问题提出了一些建议。但在实际教学中,不同的学
校会存在着学时安排、教学对象不同等问题,在不同的教学阶
段,随着培养计划、专业增减等调整,也还会有新问题不断出现,
这就需要任课教师及时地调整教育教学的理念,改进教学方法
和手段,根据社会对毕业生的需求,夯实专业基础、拓宽专业范
围,重视学生工程技术应用能力的培养,为社会输出合格的专门
人才。
参考文献
[1]李振霞,单承黎,朱赛鸿.《房屋建筑学》课程教学的探
讨.河北工业大学成人教育学院学报.第22卷,第1期.2007年
3月
[2]杨子君.《房屋建筑学》课程教学的探索.河北工程技术
职业学院学报.第4卷,第4期,2002年7月
[3]朱文正,韩雁娟.《房屋建筑学》课程教学刍议.中山大学
学报论丛.2005年,第25卷,第3期.
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科技信息
高校理科研究