直线的一般式方程
直线方程的一般式的方向向量
直线方程的一般式的方向向量
直线方程的一般式是Ax+By+C=0，其中 A、B、C 为常数。
直线方程的一般式的方向向量可以通过下面的步骤求得：
1. 将一般式转化为斜截式方程 y = mx + b。
2. 斜率 m 就是直线的方向向量，因为斜率表示了直线在 x 轴
方向上每增加一个单位，y 轴方向上的增加量。
3. 如果直线是垂直于 x 轴的，则斜率为无穷大，方向向量为 (0, 1)；如果直线是垂直于 y 轴的，则斜率为零，方向向量为 (1, 0)。
注意：当直线是平行于 x 轴或 y 轴时，没有斜率，但是可以根据方程的形式来得到方向向量。
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《直线的一般式方程》 讲义
《直线的一般式方程》讲义在我们的数学学习中，直线方程是一个非常重要的概念。
它帮助我们描述和理解直线在平面直角坐标系中的位置和特征。
今天，我们要来深入探讨直线的一般式方程。
一、直线方程的常见形式在学习直线的一般式方程之前，我们先来回顾一下直线方程的其他常见形式。
1、点斜式如果已知直线上一点的坐标$（x_1, y_1)＄以及直线的斜率$k$，那么直线的点斜式方程为$y y_1 ＝ k(x x_1)＄。
2、斜截式当直线的斜率为$k$，且在$y$轴上的截距为$b$时，直线的斜截式方程为$y ＝ kx ＋ b$。
3、两点式若已知直线上两点的坐标$（x_1, y_1)＄和$（x_2, y_2)＄，则直线的两点式方程为$＼frac{y y_1}｛y_2 y_1} ＝＼frac{x x_1}｛x_2 x_1}＄。
二、直线的一般式方程直线的一般式方程为$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$（其中$A$、＄B$不同时为$0$）。
为什么要有一般式方程呢？因为它具有更广泛的适用性和便利性。
1、包含了直线的所有情况无论直线是水平的、垂直的，还是具有一般斜率的，都可以用一般式方程来表示。
2、便于计算和推导在解决与直线相关的问题时，一般式方程常常能提供更简洁的计算方法和推导过程。
三、一般式方程中各项的含义在$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$中：1、＄A$和$B$＄A$和$B$分别是$x$和$y$的系数。
当$B ＝ 0$时，直线垂直于$x$轴；当$A ＝ 0$时，直线垂直于$y$轴。
2、＄C$＄C$是常数项，它反映了直线在坐标系中的位置。
四、一般式方程与其他形式的转化1、一般式化为点斜式假设直线的一般式方程为$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$，首先将其变形为$By ＝ Ax C$，然后得到$y ＝＼frac{A}｛B}x ＼frac{C}｛B}＄。
如果$B ＼neq 0$，则直线的斜率为$＼frac{A}｛B}＄。
设直线上一点的坐标为$（x_0, y_0)＄，则点斜式方程为$y y_0 ＝＼frac{A}｛B}（x x_0)＄2、一般式化为斜截式同样从$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$变形为$By ＝ Ax C$，得到$y ＝＼frac{A}｛B}x ＼frac{C}｛B}＄。
空间直线的一般式方程
空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程是数学中用来描述空间中一条直线的方程。
在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。
直线上的任意一点可以表示为P(x,y,z)，其中x、y、z分别表示该点在三个坐标轴上的坐标值。
直线的方向向量可以表示为V(a,b,c)，其中a、b、c分别表示该向量在三个坐标轴上的分量值。
那么空间直线的一般式方程可以表示为：(x-x₀)/a = (y-y₀)/b = (z-z₀)/c其中(x₀,y₀,z₀)表示直线上的一点。
这个方程表示了直线上的任意一点与该点的坐标差与方向向量的分量之比是相等的。
空间直线的一般式方程在几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛应用。
在几何学中，直线是研究的基本对象之一，通过直线的方程可以描述和研究直线的性质和变换。
在物理学中，直线的方程可以用来描述物体的运动轨迹。
在计算机图形学中，直线的方程可以用来表示和渲染三维图形模型中的线段和轨迹。
空间直线的一般式方程的应用非常广泛。
例如，在几何学中，可以通过直线的方程来求解直线与平面的交点、直线与直线的夹角等问题。
在物理学中，可以通过直线的方程来描述和分析物体在空间中的运动状态。
在计算机图形学中，可以通过直线的方程来生成和渲染三维图形模型中的线段和轨迹。
空间直线的一般式方程的推导和应用都需要一定的数学知识和技巧。
通过对直线的方程进行分析和求解，可以帮助我们更好地理解和应用空间中的直线。
同时，空间直线的一般式方程也是数学中的一个重要概念，它的应用涵盖了多个学科领域。
空间直线的一般式方程是描述空间中一条直线的方程。
它在几何学、物理学和计算机图形学等学科中有广泛应用，可以用来描述直线的性质、分析直线与其他几何对象的关系，以及生成和渲染三维图形模型中的线段和轨迹等。
对于理解和应用空间中的直线，掌握空间直线的一般式方程是非常重要的。
希望本文对读者对空间直线的一般式方程有更深入的了解和认识。
3.2.1 直线的一般式方程
y
解： 由 x 2 y 6 0 1 y x3 有 2 1 故 l 的斜率 k 2 纵截距为3 令y 0 则
B(0,3)
A(6,0)
0
x
x 6
即横截距为－6
针对性练习：课本P99 练习1、2、3
课堂小结：
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式
y y0 k ( x x0 )
轴
平行
；
时，方
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 程表示的直线与x轴垂直；
3.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直 重合 线与x轴———————— ；
4.当A 0，B 0，C 0 时，方程 表示的直线与y轴重合 ；
5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求①BC边所在直线的方程 ②AC边所在直线的方程
y C .
. A
O
x
. B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求③BC边上中线所在直线的方程
y C .
. A
O
.M
. B
x
中点坐标公式
y
A(x1，y1)
.
C
. A
O
.
M
x
.
B
例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，
求①BC边所在直线的方程
②AC边所在直线的方程
两点式 截距式
③BC边上中线所在直线的方程 两点式
④BC边上垂直平分线所在直线的方程? 点斜式
⑤BC边上高所在直线的方程?
点斜式
直线的一般式方程(附答案)
直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点 直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x ，y 的二元一次方程；任何关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，其斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－C B ；当B ＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B .3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列.(3)x 的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 思考 (1)当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗答 (1)当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B ＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C ＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一 直线的一般形式与其他形式的转化例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )＋4y ＋7＝0＋3y ＋7＝0 ＋3y －42＝0 ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( )B.－5 D.－33答案 (1)B (2)D解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B 、C 两项.又y ＝－43x ＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B 项正确.(2)令y ＝0则x ＝－3 3.跟踪训练1 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1，∵点A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.第二个方程组无解. 故所求直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.题型二 直线方程的应用例2 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l 平行；(2)过点(－1,3)，且与l 垂直.解 方法一 l 的方程可化为y ＝－34x ＋3，∴l 的斜率为－34.(1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34.又∵l ′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43，又l ′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y －3＝43(x ＋1)，即4x －3y ＋13＝0.方法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1,3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.将(－1,3)代入上式得n ＝13.∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.跟踪训练2 a 为何值时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0与x －ay －1＝0.(1)平行；(2)垂直.解 当a ＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a ≠0且a ≠1时，直线(a －1)x －2y ＋4＝0的斜率为k 1＝－1＋a 2，b 1＝2；直线x －ay －1＝0的斜率为k 2＝1a ，b 2＝－1a .(1)当两直线平行时，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，得1a ＝－1＋a 2，a ≠－12，解得a ＝－1或a ＝2.所以当a ＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k 1·k 2＝－1，即1a ·－1＋a 2＝－1，解得a ＝13.所以当a ＝13时，两直线垂直.题型三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足______.(2)当实数m 为何值时，直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1.①倾斜角为45°；②在x 轴上的截距为1.(1)答案 m ≠－3解析 若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3， 所以m ≠－3时，方程表示一条直线.(2)解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－2m 2＋m －3m 2－m＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－m 2－m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. ②因为已知直线在x 轴上的截距为1，令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3， 所以4m －12m 2＋m －3＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3， 解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32，m ＝－12或m ＝2.所以m ＝－12或m ＝2.跟踪训练3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.(1)证明 直线方程变形为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， 它表示经过点A ⎝⎛⎭⎫15，35，斜率为a 的直线. ∵点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限， ∴直线l 必过第一象限.(2)解 如图所示，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3.∵直线不过第二象限，∴直线的斜率a ≥3.∴a 的取值范围为[3，＋∞).一般式求斜率考虑不全致误例4 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －(2m －6)＝0，若此直线的斜率为1，试确定实数m 的值.分析 由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，①2m 2＋m －1≠0. ②由①，得m ＝－1或m ＝43.当m ＝－1时，②式不成立，不符合题意，故应舍去；当m ＝43时，②式成立，符合题意.故m ＝43.1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( )≠0 ≠0 ·B ≠0 ＋B 2≠02.已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )－2y －1＝0 －2y ＋1＝0＋y －2＝0 ＋2y －1＝04.若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于() A.－1 D.－125.已知两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，则a ＝________.一、选择题1.直线x ＋y －3＝0的倾斜角的大小是( )° ° D.－12.直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A.－2 C.－33.直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )＝0，B >0 >0，B >0，C ＝0<0，C ＝0 >0，C ＝04.直线ax ＋3my ＋2a ＝0(m ≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k 等于( )A.－3 D.－135.直线y ＝mx －3m ＋2(m ∈R )必过定点( )A.(3,2)B.(－3,2)C.(－3，－2)D.(3，－2)6.若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) ≠±1 ≠1，a ≠2≠－1 ≠±1，a ≠27.直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值.(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直当堂检测答案1.答案 D解析 方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线的条件为A 、B 不能同时为0，即A 2＋B 2≠0.2.答案 C解析 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b ，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b >0，直线在y 轴上的截距c b <0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案 A解析 由题意，得所求直线斜率为12，且过点(1,0).故所求直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y－1＝0.4.答案 B解析 由两直线垂直，得12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，解得m ＝1. 5.答案 －3或1解析 两条直线y ＝ax －2和3x －(a ＋2)y ＋1＝0互相平行，所以a 3＝1a ＋2≠－21，解得a ＝－3或a ＝1.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析 直线x ＋y －3＝0，即y ＝－x ＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案 D解析 由已知得m 2－4≠0，且2m 2－5m ＋2m 2－4＝1， 解得：m ＝3.3.答案 D解析 通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案 D解析 由点(1，－1)在直线上可得a －3m ＋2a ＝0(m ≠0)，解得m ＝a ，故直线方程为ax ＋3ay＋2a ＝0(a ≠0)，即x ＋3y ＋2＝0，其斜率k ＝－13.5.答案 A解析 由y ＝mx －3m ＋2，得y －2＝m (x －3).所以直线必过点(3,2).6.答案 A解析 因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形.所以a ≠±1.7.答案 C解析 将l 1与l 2的方程化为斜截式得：y ＝ax ＋b ，y ＝bx ＋a ，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案 35解析 由两直线垂直的条件，得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35.9.答案 2解析 线段AB 的中点为(1,1)，则m ＋3－5＝0，即m ＝2.10.答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或者－a a ＋1<0即可， 解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞).11.答案 2x ＋3y ＋4＝0解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＋4＝0，2a 2＋3b 2＋4＝0，易知两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)都在直线2x ＋3y ＋4＝0上，即2x ＋3y ＋4＝0为所求.三、解答题12.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为0，当然相等，所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当a ≠2时，截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. 所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1＝0，a －2≤0， 所以a ≤－1.综上，a 的取值范围是a ≤－1.13.解 方法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行.②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3.(2)由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直.②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直.③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3. 当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1， ∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 方法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.∴m 的值为2或－3.(2)由题意知直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.。
直线方程的一般式
一般式方程公式
一般式方程公式斜率是指一条直线与平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值，即该直线相对于该坐标系的斜率，一般式公式：k=-a/b。
直线方程的一般式：ax+by+c=0（a≠0&&b≠0）【适用于所有直线】。
横截距是指一条直线与横轴相交的点(a,0)与原点的距离，一般式的公式：a=-c/a。
纵dT就是指一条直线与纵轴平行的点(0,b)与原点的距离，通常式的公式：b=-c/b。
例：已知一条直线方程2x-y+3=01、斜dT（-c/a）：-3/2=-1.5；2、纵截距（-c/b）：-3/-1=3；3、斜率（-a/b）：-2/-1=2。
直线方程的种类：1、点斜式：y-y0=k(x-x0)【适用于于不能旋转轴x轴的直线】表示斜率为k，且过（x0,y0）的直线。
2、dT式：x/a+y/b=1【适用于于不过原点或不旋转轴x轴、y轴的直线】表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线。
3、斜截式：y=kx+b【适用于于不能旋转轴x轴的直线】表示斜率为k且y轴截距为b的直线。
4、两点式：【适用于于不能旋转轴x轴、y轴的直线】表示过（x1,y1）和(x2,y2)的直线。
5、两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)(x1≠x2，y1≠y2)交点式：f1(x,y)*m+f2(x,y)=0【适用于于任何直线】表示过直线f1(x,y)=0与直线f2(x,y)=0的交点的直线。
6、点平式：f(x,y)-f(x0,y0)=0【适用于于任何直线】表示过点（x0,y0）且与直线f（x,y）=0平行的直线。
7、法线式：x·cosα+ysinα-p=0【适用于于不能平行于坐标轴的直线】过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度。
8、点向式：(x-x0)/u=(y-y0)/v(u≠0,v≠0)【适用于于任何直线】表示过点(x0,y0)且方向向量为（u,v）的直线。
直线的一般式方程与直线的性质-高中数学知识点讲解
直线的一般式方程与直线的性质1．直线的一般式方程与直线的性质【直线的一般式方程】直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．【知识点的知识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B 不同时为 0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y=―퐴퐵x ―퐶퐵，表示斜率为―퐴퐵，y 轴上截距为―퐶퐵的直线．（2）与直线l：Ax+By+C＝0 平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0 垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直线l1，l2 的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1 不同时为 0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2 不同时为 0），则两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1 与l2 重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1 与l2 相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．퐴1如果A2B2C2≠0 时，则l1∥l2⇔퐴2=퐵1퐵2≠퐶1퐴1；l1 与l2 重合⇔퐴2=퐶2퐵1퐵2=퐶1퐴1；l1 与l2 相交⇔퐴2≠퐶2퐵1퐵2．1/ 1。
直线的一般式方程(附答案)
精心整理直线的一般式方程[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.x，y2.轴上的截距为－；当AB3.(1)(2)(3)x(4)思考(2)答当C≠(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是()A.3x＋4y＋7＝0B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0D.3x＋4y－42＝0(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于()A.B.－5C.D.－3答案(1)B(2)D解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项.又y＝－x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，(2)令y解∵点A又∵∴|a|·|b由即x＋例2已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直.解方法一l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，即4x∴(2)由l将(－∴(1)解当a≠直线x(1)得＝，a≠－，解得a＝－1或a＝2.所以当a＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，即·＝－1，解得a＝.所以当a＝时，两直线垂直.题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足______.(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.(1)解析所以m(2)解所以②令y＝所以解得所以m＝－或m＝2.跟踪训练3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.(1)证明直线方程变形为y－＝a，它表示经过点A，斜率为a的直线.∵点A在第一象限，∴直线l必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA的斜率k＝＝3.∵直线不过第二象限，∴∴a例4m的值. 分析解由①当m当m故m＝1.A.A≠2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A.x－2y－1＝0B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－2＝0D.x＋2y－1＝04.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m等于()A.－1B.1C.D.－5.已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.一、选择题1.直线A.45°2.直线A.－3.直线A.C＝C.AB4.直线A.－5.直线6.A.a≠C.a≠－1D.a≠±1，a≠27.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是()二、填空题8.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝_______.9.若直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3,4)的线段的中点，则m＝______.10.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是______________.11.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________________.三、解答题12.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；解析由题意，得所求直线斜率为，且过点(1,0).故所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.4.答案 B解析由两直线垂直，得×＝－1，解得m＝1.5.答案－3或1解析两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，所以＝≠，解得a＝－3或a＝1.课时精练答案一、选择题1.答案 B解析直线x＋y－3＝0，即y＝－x＋3，它的斜率等于－1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案 D解析3.答案解析4.答案解析0)，即x ＋3y＋5.答案解析6.答案解析.所以a≠±7.答案解析将l1与l2的方程化为斜截式得：y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案解析由两直线垂直的条件，得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝.9.答案 2解析线段AB的中点为(1,1)，则m＋3－5＝0，即m＝2.10.答案(－∞，－)∪(0，＋∞)解析当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－，(－∞11.解析12.解y＝0. 当a≠所以a(2)将l所以或所以a≤－1.综上，a的取值范围是a≤－1.13.解方法一(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行.②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直.②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l：x＋5y－2＝0与直线l：5x－4＝0不垂直.③若1当l1⊥即(－∴a解得m当m显然l1显然l1∴m(2)由题意知直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，将a＝±1代入方程，均满足题意.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.精心整理精心整理。
直线的一般方程化为对称式方程
直线的一般方程化为对称式方程
直线的一般方程化为对称式方程，可以通过将一般式方程经过一定的变形，得到对称式方程。
一般来说，直线的一般方程形式是Ax+By+C=0，其中A、B、C 是常数。
对于一般式方程，我们可以通过将其变形为对称式方程来更方便的表示直线的性质。
对称式方程是直线方程的一种常见形式，其形式为xcosα+ysinα=p，其中α是直线与x轴的夹角，p是直线到原点的距离。
与一般式方程相比，对称式方程更容易表示出直线的斜率和截距等性质，因此在实际应用中更加方便。
要将一般式方程转化为对称式方程，我们可以通过以下步骤进行。
首先，我们可以将一般式方程中的A除以C，得到一个新的常数k=-A/C。
然后，我们将一般式方程中的x和y分别用x'=x-kC和y'=y-kA替换，得到一个新的方程
Ax'+By'+C'=0。
最后，我们可以将这个新的方程表示为对称式方程的形式
xcosα+ysinα=p，其中α=tan(-k)。
总之，将直线的一般方程化为对称式方程可以更方便地表示直线的性质，同时也可以更加方便地进行实际应用。