直线方程的两点式和一般式
教学课件第2课时直线方程的两点式和一般式
适用范围
不垂直坐标轴 不垂直坐标轴且不经 过原点
A,B不同时为0
不相信自己的意志，永远干不成大事.
平面直角坐标系中的任意一条直线都可以表示成
Ax By C 0( A,B 不同时为 0)的形式．
直线方程的一般式
关于 x, y 的二元一次方程 Ax By C 0( A,B 不同时为 0)
表示的是一条直线,我们把它叫作直线方程的一般式.
在无特殊说明的 条件下，直线方 程写成一般式.
思考1： “A,B不同时为零”指的是什么？ 提示：“A,B不同时为零”指的是A,B中至少有一 个不为零，它包括三种情况：①A≠0且B≠0， ②A≠0且B=0，③A=0且B≠0.
(3)错误.求直线的一般式方程，表面上需求A，
B，C三个系数，由于A，B不同时为零，若A≠0，
则方程化为 x B y 只C 需 0确，定 的值B，；C 若B≠0，则方程A化为AA x y C只需0，确A定A
B
B
A，的C 值.因此，只要给出两个条件，就可以求出
BB
直线方程.
例 3.已知三角形三个顶点分别是 A(3,0）,B(2,2),C(0,1) ,
答案：(1)× (2)√ (3)×
提示：(1)错误. (2)正确.因为在平面直角坐标系中，每一条直线 都有倾斜角α，当α≠90°时，直线的斜率存在， 其方程可写成y=kx+b，它可变形为kx-y+b=0， 与Ax+By+C=0比较，A=k,B=-1,C=b；当 α=90°时，直线斜率不存在，其方程可写成x=x1， 与Ax+By+C=0比较，A=1,B=0,C=-x1，显然A， B不同时为0，所以此说法是正确的.
求这个三角形三边各自所在直线的方程. 解:因为直线 AB 过 A(3,0）,B(2,2) 两点，
直线的两点式方程与一般式方程PTT课件
标题：2.2.2直线的两点式
方程
1课时
环节1：教学目标分解
教学目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的
几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）.
2.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
3.会根据不同的直线位置特征，求直线的方程.
素养目标
数学抽象
（1） 3x 3 y 8 3 6 0 （2） x 2 （3） 4 x y 7 0
（4） 2 x y 6 0 （5） y 2 ；
距，此时直线在轴上的截距是.
方程
+
= 1由直线在两条坐标轴上的截距与确定
我们把方程
+ = 1叫做直线的截距式方程，简称截距式.
课堂例题
例4 已知△ 的三个顶点(−5，0)，(3， − 3)，(0，2)，
求边所在直线的方程，以及这条边上的中线 所在直线的方
－＝(－)
斜截式
= +
两点式
截距式
一般式
− ��
−
=
−
−
+ =
+ + =
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式
方程．
(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件
y 1 x 2
；
3 1 0 2
因为 A 0,5 ， B 5,0 ，
y 5 x 0
所以直线 AB 的两点式方程：
直线的两点式方程、直线的一般式方程课件
___ax_＋__by_＝__1__ 不表示__垂__直__于____坐标轴的直 线及过___原__点_____的直线
[化解疑难]
1．要注意方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－ x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程， 形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式 方程，适用于过任何两点的直线方程．
②当 m≠0 时，l1∥l2，需m2 ＝m＋3 1≠－42. 解得 m＝2 或 m＝－3.∴m 的值为 2 或－3. 法二：令 2×3＝m(m＋1)，解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1 与 l2 不重合，l1∥l2， ∴m 的值为 2 或－3.
解得ab11＝＝43， 或ab22＝＝19252，， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0.
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，ab＝12，34a＋2b＝1， 消去 b，得 a2－6a＋8＝0， 解得ab11＝＝43， 或ab22＝ ＝26， ， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
0.
[活学活用] (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程； (2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
解：(1)法一：设直线 l 的斜率为 k， ∵l 与直线 3x＋4y＋1＝0 平行，∴k＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 y－2＝－34(x－1)， 即 3x＋4y－11＝0.
2.1.2 直线方程的两点式和一般式 课件(北师大必修2)
[通一类] 2．求过点P(2，－1)，在x轴、y轴上的截距分别为a， b，且满足a＝3b的直线的一般式方程． x y 解：若 a＝3b≠0，设所求直线的方程为a＋b＝1，
x y 即 ＋b＝1. 3b 又∵直线过点 P(2，－1)， 2 －1 1 ∴ ＋ b ＝1，解得 b＝－ . 3b 3
x y 故所求直线方程为 ＋ ＝1，即x＋3y＋1＝0. 1 －1 － 3 若a＝3b＝0，则所求直线过原点，可设方程为y＝kx. ∵该直线过点P(2，－1)， 1 ∴－1＝2k，k＝－ . 2 1 故所求直线方程为y＝－ x，即x＋2y＝0. 2 综上所述，所求直线的方程为x＋3y＋1＝0或x＋2y＝0.
(2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2. ∴欲使 l 不经过第二象限，
－a＋1＞0， 当且仅当 a－2≤0， －a＋1＝0， 或 a－2≤0，
∴a≤－1. 综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1].
求经过点A(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等 于12的直线的方程．
[研一题] [例2] 设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m
－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴上的截距是－3；
(2)l的斜率是－1.
[自主解答] m2－2m－3≠0， (1)由题意可得 2m－6 m2－2m－3＝－3， 由①得：m≠－1 且 m≠3， 5 5 由②得：m＝3 或 m＝－ .∴m＝－ . 3 3 ① ②
解：(1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截 距都为零，当然相等，此时 a＝2，方程为 3x＋y＝0. 若 a≠2，由 l 在两坐标轴上的截距相等，有 a－2 ＝a－2，即 a＋1＝1， a＋1 ∴a＝0，l 的方程为 x＋y＋2＝0. 综上可知，l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0.
两点式和一般式方程
代数应用
解线性方程组
通过消元法或代入法，可以将两点式方程转化为线性 方程组，进而求解未知数。
求解代数方程
利用代数运算和变换，可以将代数方程转化为两点式 方程，进而求解未知数。
判断方程的解的个数
通过分析两点式方程的解的个数，可以判断代数方程 解的个数和性质。
05
特殊情况的处理
重根处理
重根定义
当一元二次方程有两个相等的实数根时，这两个根被称为 重根。
物理应用
1 2
运动学方程
在物理学中，两点式方程可以用来描述物体的运 动轨迹，例如直线运动和曲线运动的轨迹方程。
力的合成与分解
在力的合成与分解中，两点式方程可以用来表示 力的方向和大小，进而分析物体运动状态的变化。
3
波动方程
在波动现象中，两点式方程可以用来描述波的传 播规律，例如波动方程的求解和分析。
二次项系数为0
如果二次项系数为0，则方程 退化为线性方程或常数方程。
一次项系数不为0
在这种情况下，方程仍然是 一次方程。
解法
公式法
通过使用求根公式（韦达定理），可以直接 求解一般式方程的根。
因式分解法
如果方程可以因式分解，则可以通过因式分 解来找到解。
配方法
通过配方将方程转化为可以更容易求解的形 式。
重根处理方法
在解一元二次方程时，如果判别式$Delta = 0$，则方程有两个 相等的实数根。此时，我们只需取其中一个根，因为两个根是
相同的。
示例
对于方程$x^2 - 2x + 1 = 0$，其判别式$Delta = 0$，解 得$x_1 = x_2 = 1$。
复数根处理
01
复数根定义
直线方程的两点式和一般式 课件
直线方程的应用
直线 l 的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线 l 必过定点；
(2)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：直线方程可变为 a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0 的
＝－2(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．②9 分 3
∴当 x＝15，y＝60－2×15＝50 时， 3
Smax＝54 150 m2.11 分
因此点 P 距直线 AE 15 m，距直线 BC 50 m 时所开发的面积 最大，最大面积为 54 150 m2.③12 分 [规范与警示] (1)解答本题的 3 个关键步骤如下： 一是根据条件建立适当的坐标系是将几何问题转化成代数问 题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定 x 和 y 的关系后，在②处要根据实际情 况确定出 x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错 误解答．
三 是在解 答的③ 处的 结论一 定不能 漏掉， 否则解 题步骤 不完 整，造成没必要的 失分． (2)解决 该类问题应注意以下两点： 一是利用坐标法解 决生活问题时，首先要建立适当的坐 标系， 再借助已知条件寻求 x 和 y 的关系．要求一定准确、恰当，否 则给后面的运算化 简带来麻烦．
(3)分类讨论思想的运用 对于特殊情况的处理，考虑问题要全面，这对于完整的解题 是必需的，如本例中的截距互为相反数这一条件的处理，就 必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论，使问题的解 决做到不重不漏．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；
直线的两点式与一般式方程
k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
x轴上截距a y轴上截距b
y=kx+b
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
k存在 k存在
k存在,k≠0 k存在,k≠0 不过原点
特殊形式 y y x x 过点（x0 , y0）与x 轴垂直的直线可表示成
0，
过点（x0
,
y
）
0
不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线
练习 课本P97 2,3
补充练习
1.下 列 四 个 命 题 中 的真 命 题 是 (B )
A.经 过 定 点0P(x0,y0 )的 直 线 都 可 以 用
方 程 y y0 k(x x0 )表 示 ;
B.经 过 任 意 两 个 不 同P1(x1,y1),P2(x2,y2 )的 点 的 直 线
固 2、求经过点P(1,0),Q(0,1)的直线L3 方程;并求经过点P且与L3垂直的直线
L4方程? l3:y=-x+1 l4:y=x-1
例程1．.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方
解：设直线方程为：y=kx+b.
由已知得： 3kb 42 k b
解方程组得： k1 b2
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都 为零，当然相等，此时a=2,方程为3x+y=0.
若 a 2，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，
有 a - 2 a - 2 ，即 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0. a 1
∴ l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳
直线的两点式方程、直线的一般式方程题型全归纳【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程2．(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．(2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．3．直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】三角形的三个顶点是A(－1,0)，B(3，－1)，C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程．(2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．【例3】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？【类题通法】1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)若l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1=0(或A1C2－A2C1=0)．2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．【练习反馈】1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．参考答案【例1】由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0. 同理，直线BC 所在直线方程为：y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0.直线AC 所在直线方程为：y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【对点训练】1．答案：(1)x ＝2 (2)－2【例2】[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧ a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.【对点训练】2．解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ，则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋y b＝1. ∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2a a ＋2. ∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解； 当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y 1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 【例3】[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0.l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3.法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，l 1∥l 2，∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直． ③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.【对点训练】3．解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ，∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34. 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11.∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.(2)法一：设直线l 的斜率为k .∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直，∴k ·(－2)＝－1，∴k ＝12. 又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0.∵直线l 经过点A (2,1)，∴2－2×1＋m ＝0，∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1.2．解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋y b＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式． 3．解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0. 答案：x －y ＋3＝04．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝05．解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0. 整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0.又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点，由截距式得x 2＋y －5＝1， 整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。
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直线方程的四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）具备怎样的特点能否统一成一种形式是怎样的方程
归纳总结：直线方程的一般式
1、直线方程的五种形式之间如何进行转化
2、直线方程各种形式中，其参数的几何意义是什么
3、各自的使用范围如何
名称
方程形式
常数的几何意义
适用的范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
归纳总结：直线方程的两点式为
例1
探究二
在坐标平面内，画直线时常选取坐标轴上的两点比较简便。在直线方程的两点式中，若 两点为坐标轴上的两点，即 的坐标为 , 的坐标为(0,b)时，直线 的方程形式如何其方程只能适用于坐标平面内怎样的直线
归纳总结：线的截距式方程
例2：直线 过点（-3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线 的方程
例3 已知三角形三个顶点分别是A（-3.，0），B（2，-2），C（0,1），求这个三角形三边各自所在的直线方程.
例4 已知直线l的方程为x- y+4=0。求直线的倾斜角
课堂小结
1、到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种它们之间有什么关系
2、要求一条直线方程，必须知道多少条件
当堂检测
1、求经过下列两点的直线方程
直线方程的两点式和一般式
编写人：王红卫 祖豆蔻审核人：郑战彪班级：17级班
学习目标：1、掌握直线方程的两点式、截距式、一般式以及他们之间的联系和转化；
2、根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程；
3、培养学生分析、比较、概括、化归的数学能力；
重点与难点：1、直线方程的两点式、一般式；
2、对于一元二次方程表示直线方程的理解；
（1）A（-3，2），B（0,-3） （2）C（0,4），D（4,0）
2、求经过点（-4，5），且与直线x-2y=0的斜率相等的直线方程，并化为一般式。
3、求在两坐标轴上截距相等，且过点（2，3）的直线方程，并化为一般式。
一、课前准备
1、一般地，如果直线 上，且，我们就把这样的方程称为直线 的方程。
2、如果直线 经过 ，且斜率为 ，设点 是直线 上任意一点，可以得到，当 时， ，即（1），我们称（1）式的方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
【创设情景】
探究一
平面内，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线 经过两点 （其中 ），则直线 的方程式什么