课时跟踪检测(十七) 双曲线及其标准方程
3.2.1双曲线及其标准方程 课件(共19张PPT).ppt
相交于点M，且他们的斜率之积是
4 9
，求M点轨迹方程
课堂小结
1、双曲线的定义：平面内到两个定点F1,F2的距离差的绝对 值等于非零常数（小于丨F1F2丨）的点的轨迹为双曲线
标准方程：
x2 － y2 a2 b2
=1
(焦点在x轴)
y2 － x2 a2 b2
=1
(焦点在y轴)
a>0，b>0
2、求双曲线标准方程的方法：
x F2
(c,0)
双曲线标准方程的推导
x2 － y2 a2 c2－a2
=1
a, c均为常数，因此，令 b2 = c2－a2
F1
(a>0，b>0) x2 － y2 双曲线标准方程：a2 b2
=1
焦点在
x
轴
(-c,0)
(a>0，b>0)
y2 a2
－ x2 b2
=1
焦点在
y
轴
y
M (x, y)
x F2
(c,0)
•定点 F1、F2 叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
M
F1
F2
双曲线的定义
•平面内到两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于非零常数 （小于 F1F2 ）的点的轨迹叫做双曲线。
(1)平面内到两个定点 F1、F2 的距离的差等于非零常数 （小于 F1F2 ）的点的轨迹是什么？
双曲线的一支
方法二： 设双曲线方程为 mx 2 + ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy2 = 1
分别代入M,N两点坐标
9m 4m
4n 1 n 1
m
3 7
n
5 7
得标准方程：
双曲线的标准方程
一 .复习
与两定点距离的和为常数的点的轨迹是 椭圆
y
M |F1F2|=2c
F1
F2
x
|MF1|+|MF2|=2a 2a>2c
思考: 与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么呢?
二.新课讲授（定义） 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
P M | MF1 MF2 2a .
F1(-c,0), F2(c,0) ,|F2| =2c,
当 2a | F1 F2 | 时 ，
动点 M 的轨迹是两条射线.
当 2a | F1F2 | 时，
动点 M 没有轨迹 .
二.新课讲授（双曲线的标准方程） 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小 于|F1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 如图建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1,F2, 且点O与线段F1,F2的中点重合. 设M(x,y),是双曲线上任意一点,|F1 F2| =2c,
化简得： (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ).
由双曲线定义知
2c 2a,即c a, 因此c 2 a 2 0
令c 2 a 2 b 2 (b 0), 得 b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 ,
2 2
x y 2 1(a 0, b 0).这就是双曲线的标准方程. 2 a b
三.课堂小节 1.定义： 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常 数(小于|F1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 2.标准方程 或
x y 2 1(a 0, b 0). 2 a b y2 x2 2 1(a 0, b 0). 2 a b
课时作业5：2．2.1 双曲线及其标准方程
2．2.1 双曲线及其标准方程一、基础过关1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( ) A ．－1<m <3B ．m >－1C ．m >3D ．m <－1答案 B解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( ) A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3 答案 D解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3.故选D.3．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( ) A ．±5B ．±3C ．5D ．9 答案 B解析 由题意知34－n 2＝n 2＋16，∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.4．如果双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0,3)，那么k 的值是( ) A ．－1B ．1 C.653D ．－163 答案 A5．已知动圆M 过定点B (－4,0)，且和定圆(x －4)2＋y 2＝16相切，则动圆圆心M 的曲线方程为______________．答案 x 24－y 212＝1 解析 设动圆M 的半径为r ，依题意有|MB |＝r ，另设A (4，0)，则有|MA |＝r ±4，即|MA |－|MB |＝±4.亦即动圆圆心M 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于常数4，又4<|AB |，因此动点M 的轨迹曲线为双曲线，且c ＝4，2a ＝4，∴a ＝2，a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝12，故曲线方程是x 24－y 212＝1. 6．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.7.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的曲线方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1 (x ≤－32)． 二、能力提升8．若双曲线x 2－4y 2＝4的左，右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．答案 18解析 由双曲线定义可知|AF 1|＝2a ＋|AF 2|＝4＋|AF 2|；|BF 1|＝2a ＋|BF 2|＝4＋|BF 2|，∴|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AF 2|＋|BF 2|＝8＋|AB |＝13.∴△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝18.9．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．答案 x 2－y 2＝1解析 由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2，a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.10．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．答案 9解析 如图所示，F (－4,0)，设F ′为双曲线的右焦点，则F ′(4,0)，点A (1,4)在双曲线的两支之间，由双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝2a ＝4，而|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|P A |≥4＋|AF ′|＝4＋5＝9.当且仅当A ，P ，F ′三点共线时取等号．11．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的曲线方程．解 设动圆M 的半径为r ，由于动圆与圆C 1相外切，所以|MC 1|＝r ＋2，又动圆与圆C 2相内切，所以有|MC 2|＝r －2，于是|MC 1|－|MC 2|＝(r ＋2)－(r －2)＝22，且22<|C 1C 2|，因此动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支．设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有2a ＝22，即a ＝2， 又c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－2＝14，于是动圆圆心的曲线方程为x 22－y 214＝1 (x >0)． 12．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解 (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线； (4)当0<k <1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆； (5)当k >1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆． 三、探究与拓展13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
双曲线及其标准方程解答
双曲线及其标准⽅程解答2. 2 双曲线2. 2.1 双曲线及其标准⽅程【课标要求】1. 了解双曲线的定义、⼏何图形和标准⽅程的推导过程. 2 ?会利⽤双曲线的定义和标准⽅程解决简单的应⽤问题. 【核⼼扫描】1?⽤定义法、待定系数法求双曲线的标准⽅程. (重点)2 ?与双曲线定义有关的应⽤问题. (难点)01⼆课前探翌学挑醪盘落实⾃学导引1.双曲线的定义把平⾯内与两个定点 F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数 (⼩于IF 1F 2I)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.试⼀试：在双曲线的定义中，必须要求“常数⼩于IF 1F 2I”，那么“常数等于IF 1F 2I” ,“常数⼤于IF 1F 2I”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提⽰ (1)若“常数等于IF 1F 2I”时，此时动点的轨迹是以 F 1， F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B(包括端点)，如图所⽰.~A~~P__B~想⼀想:如何判断⽅程予—泊=1(a>0，b>0)和* —詁=1(a>0，b>0)所表⽰双曲线的焦点的位置？提⽰如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不⼀定⼤于b ，因此，不能像椭圆那样⽐较分母的⼤⼩来判定焦点在哪⼀个坐标轴上.名师点睛1.对双曲线定义的理解(1) 把定常数记为 2a ，当2a<|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当 2a = IF 1F 2I 时，其轨迹是以 F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a>|F 1F 2|时，其轨迹不存在.(2) 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的⼀⽀.若 F 1、F 2表⽰双曲线的左、右焦点，且点P 满⾜|PF 1|— |PF 2|= 2a ，则点P 在右⽀上；若点P 满⾜|PF 2|—|PF 1|= 2a ，则点P 在左⽀上.(3) 双曲线定义的表达式是 ||PF 1|— |PF 2||= 2a(0<2a<|F 1F 2|).(4) 理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且⼩于两定点的距离.”(2)若“常数⼤于IF 1F 2I”，此时动点轨迹不存在. ⑶若“常数为0”，此时动点轨迹为线段 F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准⽅程2. 双曲线的标准⽅程(1) 只有当双曲线的两焦点 F i 、F 2在坐标轴上，并且线段 F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的⽅程才是双曲线的标准⽅程.(2) 标准⽅程中的两个参数 a 和b,确定了双曲线的形状和⼤⼩，是双曲线的定形条件，这⾥b 2= c 2— a 2,与椭圆中b 2= a 2— c 2相区别，且椭圆中 a>b>0,⽽双曲线中a 、b ⼤⼩则不确定. (3) 焦点F i 、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准⽅程的类型.“焦点跟着正项⾛”，若 x 2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在 y轴上.(4)⽤待定系数法求双曲线的标准⽅程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准⽅程为Ax 2+ By 2= 1(AB<0)或进⾏分类讨论.02浄课堂讲练互动循循善诱筑类旁通题型⼀求双曲线的标准⽅程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准⽅程. (1) 经过点 P 3, 15, Q — 136, 5 ; (2) c= 6，经过点(⼀5,2)，焦点在x 轴上.［思路探索］由于(1)⽆法确定双曲线焦点的位置，可设 1(a>0, b>0)两种情况，分别求解?另外也可以设双曲线⽅程为解之得y⼀ — = 1 9 16 '2 2 —+ y= 1(mn<0). m n/ P 、Q 两点在双曲线上,予―古=1(a>0, b>0)和* —討2mx 2 + ny 2= 1(mn<0)或⼀+=1(mn<0),直接代⼊两点坐标求解.对于(2)可设其⽅程为 2x2a221(a>0, b>0)或+=1(0< 肚6).解(1)法⼀若焦点在x 轴上，设双曲线的⽅程为由于点P 3, 15和Q —乎，5在双曲线上，2 2予―皆 1(a>0, b>0),解得a2⼀16,l b ⼀ 9(舍去).2 2若焦点在y 轴上，设双曲线的⽅程为 a — b = 1(a>0, b>0),所以双曲线的标准⽅程为法⼆设双曲线⽅程为所以225 16b将P 、Q 两点坐标代⼊可得225 9站产1, 25 256」+ 225 = i m 16n ' m=— 16, ?? Y 解得*256 , 25 , n= 9. 19m +v =1所求双曲线的标准⽅程为y9—16= i.2 2(2)法⼀依题意，可设双曲线⽅程为 -2 —右=1(a>0, b>0).a b 〒孑+ b 2= 6,依题设有25 4125—产1，法⼆焦点在x 轴上，2设所求双曲线⽅程为 - ⼊6—⼊'双曲线经过点(⼀5,2), 25 4 ? —— = 1，?⼔ 5 或=30(舍去).⼊ 6—⼊2所求双曲线的标准⽅程是 -—y 2= 1.5规律⽅法求双曲线的标准⽅程与求椭圆的标准⽅程的⽅法相似，可以先根据其焦点位置设出标准⽅程的形式，然后⽤待定系数法求出a, b 的值?若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此⽅法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其⽅程为 mx 2+ ny 2= 1(mn<0)，通过解⽅程组即可确定 m 、n,避免了讨论，实为⼀种好⽅法.【变式1】求适合下列条件的双曲线的标准⽅程： (1) a= 3, c= 4,焦点在x 轴上；(2) 焦点为(0, — 6), (0,6)，经过点 A( — 5,6).解⑴由题设知，a= 3, c= 4, 由 c 2= a 2 + b 2, 得 b 2= c 2— a 2 = 42 — 32= 7.2 2因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以所求双曲线的标准⽅程为；9 — = 1.(2)由已知得c= 6，且焦点在y 轴上.因为点A( — 5,6)在双曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数 2 a,即 2a=| — 5 — 0 2+ 6+ 6 2— — 5 — 0 2+ 6— 6 2|= |13— 5| = 8,贝V a= 4, b 2= c 2—a 2=62— 422 2因此，所求双曲线的标准⽅程是⼯——=1.16 202 2 2 22?若椭圆鶯+ yn = 1(m> n>0)和双曲线x — yb = 1(a>0, b>0)有相同的焦点，P 是两曲线的⼀个交点，贝V |PF 1||PF 2|的值为( )A . m — aB . m — bC. m 2— a 2D . ：：「m — , bA 解析：设点P 为双曲线右⽀上的点，由椭圆定义得|PF 1|+ |PF 2= 2 m.由双曲线定义得 |PF 1|— |PF 2|= 2 ,a.^|PF 1= . m+ .a, |PF 2|= m — .a. |PF 1| |PF 2|= m —a 2= 5,b 2= 1,2x— y 2= 1. 5 yc= f, —-^ = 1(其中0< ?<6). 解得所求双曲线的标准⽅程为a.题型⼆双曲线定义的应⽤【例2】2 2如图，若F i , F 2是双曲线--y= 1的两个焦点.9 16(1)若双曲线上⼀点 M 到它的⼀个焦点的距离等于 16,求点M 到另⼀个焦点的距离; ⑵若P 是双曲线左⽀上的点，且 |PF 1||PF 2|= 32,试求△ F 1PF 2的⾯积.||MF 1|-|MF 2||= 2a,则点M 到另⼀焦点的距离易得; (2)结合已知条件及余弦定理即可求得⾯积.2 2解双曲线的标准⽅程为 X - 1f6= 1, 故 a= 3, b= 4, c= a 2+ b 2= 5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|—|MF 2||= 2a = 6,⼜双曲线上⼀点 M ⾄怕的⼀个焦点的距离等于16,假设点M 到另⼀个焦点的距离等于 x,则|16 — x| = 6,解得x= 10或x= 22.故点M 到另⼀个焦点的距离为 6或22.⑵将||PF 2|—|PF 1||= 2a= 6,两边平⽅，得 2 2 |PF 1| + |PF 2| — 2|PF 1| |PF 2|= 36 , |PF『+ |PF 2|2= 36 + 2|PF 1||PF 2|=36 + 2X 32= 100.在⼛F 1PF 2中，由余弦定理，得|PF『+ |PF 2|2—⼫汩2|22|PF 1| |PF 2|1 1S A F 1PF 2= 2|PF 1| |PF 2|= 2X32= 16. 规律⽅法(1)求双曲线上⼀点到某⼀焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另⼀焦点的距离，则根据||PF 1|— |PF 2||= 2a求解，注意对所求结果进⾏必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不⼩于c — a). ⑵在解决双曲线中与焦点三⾓形有关的问题时，⾸先要注意定义中的条件 ||PF 1|—|PF 2||=2a 的应⽤；其次是要利⽤余弦定理、勾股定理或三⾓形⾯积公式等知识进⾏运算，在运算中要注意整体思想和⼀些变形技巧的应⽤.2 2【变式2】1 ?已知双曲线的⽅程是⼟ —普=1，点P 在双曲线上，且到其中⼀个焦点F 116 8的距离为10,点N 是PF 1的中点，求|0N|的⼤⼩(O 为坐标原点).1 .解：连接ON , ON 是⼛PF 1F 2的中位线，［思路探索］(1 )由双曲线的定义，得 cos/ F 1PF 2 = 100—1002|PF 1| ? / F 1PF 2= 90°。
双曲线及其标准方程 课件
所以a29925a－62 －12622bb5522＝＝11，，解得ab22＝ ＝－ －196，(舍去)． 若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为ay22－xb22＝1(a>0，b>0)，
将
P、Q
两点坐标代入可得1262a52－b92＝1， 2a52 －295b62 ＝1，
解得ab22＝ ＝91，6，
讲一讲 3．如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内
角 A，B，C 满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立 适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
[尝试解答] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如 图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)． 由正弦定理，得 sin A＝2aR，sin B＝2bR，
2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2 中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|F2| 1F2|2 ＝2|P10F01－|·1|P00F2|＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△ F1PF2 ＝21|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
∴所求双曲线的标准方程为x52－y2＝1. 法二：∵焦点在 x 轴上，c＝ 6，
∴设所求双曲线方程为λx2－6－y2 λ＝1(其中 0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5，2)，
∴2λ5－6－4 λ＝1，∴λ＝5 或 λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是x52－y2＝1.
讲一讲 2．如图，若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的
双曲线及其标准方程
双曲线其标准方程
双曲线其标准方程学科:数学教学内容:双曲线及其标准方程【基础知识精讲】1.双曲线的定义平面内与两定点F1.F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1.F2是焦点,两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距,用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时,曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时,曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时,动点的轨迹不再是双曲线,而是以F1.F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时,动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程-=1(a＞0,b＞0)焦点在_轴上的双曲线;-=1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较_2.y2的分母的大小,而是_2.y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上.本节学习方法:本节主要数学思想和方法:方程思想,利用双曲线的定义等条件求双曲线方程.常用特定系数法.定义法和轨迹法等.双曲线和椭圆一样,都是解析几何的重要部分,双曲线的学习可通过与椭圆对比去掌握.它与直线.圆联系密切,涉及到距离公式.弦长问题,面积公式及方程中的韦达定理等知识,也是高考的重点内容.【重点难点解析】1.双曲线的定义,标准方程与椭圆类似,本小节在数学思想和方法上没有新内容,学习中应着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点,特别是它们的不同点.2.与建立椭圆的标准方程一样,建立双曲线的标准方程是,从〝平面内到两定点的距离差的绝对值是常数(与椭圆不同,这个常数要大于0且小于｜F1F2｜)的点M的轨迹〞这个双曲线的定义出发,推导出它的标准方程.推导过程说明,双曲线上任意一点的坐标都适合方程-=1;但关于坐标适合方程-=1的点都在双曲线上,即完备性未加以证明.例1 若方程+=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线,则_2与y2项的系数的符号相反,即(2-m)(｜m｜-3)＜0,将问题转化为不等式的求解.答:A例2 求与椭圆+=1共焦点,且过点(3,)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在_轴上,且焦距为8,∴c=4,设所求双曲线方程为-=1代入点(3,),得λ2=7,故所求双曲线方程为-=1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+=1,代入点(3,),得λ=16或λ=-7(舍),故所求双曲线方程为-=1.例3 课本第108页习题8.3第一题:△ABC一边的两个端点是B(0,6)和C(0,-6),另两边所在直线的斜率之积是,求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得:-=1(_≠0).若将问题一般化:B(0,a).C(0,-a) kAB·kAC=,则顶点A的轨迹方程为:-=1(_≠0).若B(bcotφ,acosφ).C(-cotφ,-acscφ).kAB·kAC=,则顶点A的轨迹会是怎样?反之,双曲线-=1(_≠0)上任一点到B(0,a),C(0,-a)两点的连线的斜率之和,等于;若改变B.C的位置保持B.C两点关于原点对称于双曲线上,kA B·kAC=是否成立.总之,同学们在学习过程中要多动手.多思考,举一反三,做到〝以点代面,以少胜多〞.【难题巧解点拨】例1 一动圆与圆(_+3)2+y2＝1外切又与圆(_-3)2+y2＝9内切,求动圆圆心轨迹方程.分析如图,设动圆M与⊙O1外切于A,与⊙O2内切于B,由位置关系可得数量关系:｜MO1｜＝｜MA｜+1｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解:如图,设动圆圆心M坐标为M(_,y),圆M与圆O1外切于A,与圆O2内切于B,则,MO1＝｜MA｜+1①,｜MO2｜＝｜MB｜-3②,①-②:｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知,M点轨迹是以O1(-3,0)O2(3,0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-22＝5∴所求轨迹方程为:-＝1(_≥2)说明:在求轨迹方程时,要注意使用曲线的定义,此时的思路:位置关系(内切,外切)数量关系(｜MO1｜＝r+r1,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径)曲线形状(写出标准方程),可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值,此时不含绝对值,要求｜MO1｜_gt;｜MO2｜,所以是双曲线的右支,而不是整个双曲线.例2 过双曲线-＝1的右焦点作倾角为45°的弦,求弦AB的中点C到右焦点F的距离,并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立,求出A.B两点的坐标,再求其中点,由两点的距离公式求出｜CF｜.解:∵双曲线的右焦点为F(5,0),直线AB的方程为y＝_-5,故消去y,并整理得7_2+90_-369＝0 ③此方程的两个根_1._2是A.B两点的横坐标,设AB的中心点C的坐标为(_,y),则_＝＝＝-.C点的坐标满足方程②,故y＝--5＝-∴｜CF｜＝＝(5+)＝又设A点坐标为(_1,y1),B点坐标为(_2,y2),则y1＝_1-5,y2＝_2-5.∴y1-y2＝_1-_2,｜AB｜＝＝＝＝由方程③知_1+_2＝-,_1·_2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评:利用韦达定理及两点间距离公式求弦长.【命题趋势分析】双曲线与直线.圆和椭圆联系密切,涉及到距离公式.弦长及面积公式.方程中的韦达定理和判别式的运用;还涉及到弦的中点轨迹问题.中点弦问题,对称问题与最值问题等都是高考的重要内容.如〝能力演练〞中有许多曾是高考题或样题,同学们在学习中应该重基础知识和基本的数学思想数学方法的运用.训练能力,创新思维,做到举一反三.触类旁通.【典型热点考题】例1 设F1和F2为曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则求△F1PF2的面积.分析一依题意求出P点的纵坐标,据面积公式计算△F1PF2的面积.设P(_1,y1),由PF1⊥PF2得·=-1即y21=5-_21又_21-4y21=4联立解得y1=±∴=｜F1F2｜·｜y1｜=·2c· =1分析二运用双曲线定义解题由点P在双曲线上,知｜｜PF1｜-｜PF2｜｜=4且｜PF1｜2+｜PF2｜2=20联立解得｜PF1｜·｜PF2｜=2∴=｜PF1｜·｜PF2｜=1例2 已知l1.l2是过点P(-,0)的两条互相垂直的直线,且l1.l2与双曲线y2-_2=1各有两个交点,分别为A1.B1和A2.B2.(1)求l1的斜率k1的取值范围.(2)若｜A1B1｜=｜A2B2｜;求l1.l2的方程.分析设直线斜率为k,联立方程组求解.(1)因为若l1.l2中有一条斜率不存在,就可推出另一条斜率为零而与双曲线不相交,所以l1.l2的斜率k1.k2均不为零.设l1:y=k1(_+),l2:y=-(_+)把它们代入双曲线方程分别得(k21-1)_2+2k21_+2k21-1=0 ①(k21-1)_2-2_+k21-2=0 ②当k1=±1时,方程①.②均为一次方程不符合题意,所以,当k1≠±1时由①.②的判别式都大于零得k1∈(-,-)∪(,)且k1≠±1(2)由①.②可知｜A1B1｜=·=·｜A2B2｜=·∵｜A1B1｜=｜A2B2｜∴解得k1=±,k2=±∴所求直线方程为l1:y=(_+),l2:y=- (_+)或l1:y=- (_+),l2:y=(_+).例3 如图,给出定点A(a,0),(a＞0)和直线l:_=-1.B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.分析设B(-1,y0),C(_,y),由角平分线的性质有=,当y0≠0时,又由平行线性质有===∴==即有==(易知y与y0-y同号,0＜_＜a)由=得a2(_+1)2=(a-_)2(1+y20) ①又由=得y0=·y②由①.②消去y0并整理得(1-a)_2-2a_+(1+a)y2=0 ③当y0=0时易知点C即为原点,此时_=0,y=0,亦满足③,故所求点C的轨迹方程是: (1+a)_2-2a_+(1+a)y2=0(0≤_＜a)④(1)当a=1时,方程为y2=_(0≤_＜1)表示抛物线弧段.(2)当a≠1时,④变形为+＝1(0≤_＜a)当0＜a＜1时,方程④表示椭圆弧段;当a＞1时,方程④表示双曲线一支的弧段.【同步达纲检测】A级一.选择题1.设θ∈(,π)则方程_2·cosθ-y2secθ=1所表示的曲线是( )A.焦点在_轴上的双曲线B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在_轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线2.如果双曲线-y2=1的两个焦点为F1.F2,A是双曲线上一点,且｜AF1｜=5,那么｜AF2｜等于( )A.5+B.5+2C.8D.113.与两圆_2+y2=1和_2+y2-8_+7=0都相切的圆的圆心轨迹是( )A.两个椭圆B.两条双曲线C.一条双曲线和一条直线D.一个椭圆与一条双曲线4.以椭圆+=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.-y2=1B.y2- =1C.-=1D.-=15.设动点P到定点F1(-5,0)的距离与它到定点F2(5,0)的距离的差等于6,则P点轨迹方程是( )A. -=1B.-=1C. -=1(_≥3)D.-=1(_≤-3)二.填空题6.若椭圆m_2+ny2=1(0＜m＜n)和双曲线a_2-by2=1(a＞0,b＞0)有相同的焦点F1.F2,P是两曲线的一个交点,则｜PF1｜·｜PF2｜=.7.过点A(-2,4).B(3,-2)的双曲线的标准方程为.8.与双曲线16_2-9y2=-144有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程为.三.解答题9.已知点A(3,0),圆C:(_+3)2+y2=16,动圆P与圆C相外切并过点A,求动圆圆心P 的轨迹方程.10.在双曲线_2-y2=1上求一点P,使它到直线y=_的距离为.AA级一.选择题1.直线l过双曲线-=1的下方焦点F1且与双曲线的下支交于A.B两点,F2是双曲线的另一个焦点,且｜AB｜=m,则△ABF2的周长为( )A.4a+mB.4a+2mC.4a-mD.4a-2m2.若曲线_2-y2=a2与曲线(_-1)2+y2=1恰好有三个不同的公共点,则实数a的值只能是( )A.a=0B.a=±1C.0＜｜a｜＜1D.｜a｜＞13.若+=1表示双曲线,a为负常数,则m的取值范围是( )A.(,-)B.(,-)C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-,)4.依次连接双曲线_2-y2=12与圆_2+y2=25的交点,则所成的图形是( )A.三角形B.菱形C.矩形D.正方形5.斜率为2的直线与双曲线2_2-y2=2交于P.Q两点,则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )A.y=_B.y=_(｜_｜＞)C.y=_(｜_｜＞2)D.y=_(｜_｜≥ )二.填空题6.已知B(-5,0),C(5,0)是△ABC的两个顶点,且sinB-sinC=sinA,则顶点A的轨迹方程是.7.已知双曲线-=1(a＞0,b＞0)的弦AB的中点为M,O为坐标原点,则直线OM和直线AB的斜率的乘积为.8.关于_的方程=_+b没有实数根,则实数b的取值范围是.三.解答题9.已知不论b取何实数,直线y=k_+b与双曲线_2-2y=1总有公共点,试求实数k的取值范围.10.双曲线3_2-y2=1上是否存在关于直线=2_对称的两点A.B?若存在,试求出A.B 两点的坐标;若不存在,说明理由.【素质优化训练】1.平面内有一条定线段AB,其长度为4,动点P满足｜PA｜-｜PB｜=3,O为线段AB 的中点,则｜OP｜的最小值是( )A.1B.C.2D.42.P为双曲线C上的一点,F1.F2是双曲线C的两个焦点,过双曲线C的一个焦点作∠F1PF2的平分线的垂线,设垂足为Q,则Q点的轨迹是( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线3.给出下列曲线:①4_+2y-1=0;②_2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1,其中与直线y=-2_-3有交点的所有曲线是( )A.①③B.②④C.①②③D.②③④4.若动圆P与两定圆(_+5)2+y2=1及(_-5)2+y2=49都相内切或都相外切,则动圆圆心轨迹方程是( )A. -=1B.-=1(_＞0)C.-=1D.-=1(_＞0)5.已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程m_-y+n=0与n_2+my2=mn所表示的示意曲线是( )二.填空题6.已知双曲线_2-=1,过点P(2,1)作直线交双曲线于A.B两点,并使P为AB的中点,则｜AB｜=.7.若圆C过双曲线-=1的两焦点,且截直线y=-1所得弦长为8,则圆C的方程为.8.过点M(3,-1)且被点M平分的双曲线-y2=1的弦所在直线方程为.三.解答题9.若双曲线y2-_2=1上的点P与其焦点F1.F2的连线互相垂直,求P点的坐标.10.设k和r是实数,且r＞0,使得:直线y=k_+1既与圆_2+y2=r2相切,又与双曲线_2-y2=r2有两个交点.(1)求证:-k2=1,且｜k｜≠1;(2)试问:直线y=k_+1能否经过双曲线_2-y2=42的焦点?为什么?【生活实际运用】活动1:求证直线y=k_+m与双曲线+=1相切的充要条件是:m2=a2·k-b2若过双曲线上一点P(_0,y0)斜率为k的切线为y=k_+y0-k_0,其中m=y0-k_.且b2_20-a2b2,联立可解得斜率k= (y≠0),代入切线方程可得过点P(_0,y0)双曲线的切线方程为-=1特别地,当y0=0时亦合上面的方程.活动2:运用上面结论可求过双曲线-=1上一点(_0,y0)的切线方程与法线方程,若双曲线方程为-=1时,过曲线上点(_0,y0)的切线和法线方程又是怎样?【知识验证实验】1.运用双曲线定义解方程｜｜_-3｜-｜_+3｜｜=2.解:该方程的解是以(-3,0),(3,0)为焦点,2为实轴长的双轴线与_轴交点的横坐标,其方程为_2-=1,令y=0得_=±1,即原方程的解为_=±1.2.运用双曲线图形解无理不等式2＞_+1解:令y1=2,y2=_+1,即_2-=1(y1≥0),在同一坐标系中画出两图形,使得双曲线的部分在直线部分上方的_的值为原不等式的解.故原不等式的解集为(-∞,-1).【知识探究学习】1.设声速为a米/秒,在相距10a米的A.B两监听室中,听到一爆炸声的时间差为6秒,且纪录到B处的声强是A处的4倍,若已知声速a=340米/秒,声强与距离的平方成反比,试确定爆炸点P到AB的中点M的距离.解:以AB所在直线为_轴,以线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则A(-5a,0),B(5a,0),P(_,y),｜PA｜-｜PB｜=6a,到A.B两点距离差为6a的点在双曲线, -=1(_≥3a)上①,又B处的声强是A处声强的4倍,∴｜PA｜2=4｜PB｜2,即(_+5a)2+y2=4［(_-5a)2+y2］,3_2+3y2-50a_+75a2=0 ②,由①.②消去y,得25_2-150a_+81a2=0,_=a或_=a(舍去),y=a,∴｜PM｜==a=340(米),答:P点到AB中点M的距离为340米.2.如图所示,某农场在P处有一肥堆,今要把这堆肥沿道路PA或PB送到大田ABCD 中去,已知AP=100m,PB=150m,∠APB=60°,能否在大田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿PA送肥较近,而另一侧的点沿PB送肥较近?如能,请确定这条界线.解题思路:大田ABCD中的点分成三类:第一类设PA送肥较近,第二类沿PB送肥较近,第三类沿PA和PB送肥一样远近,第三类构成第一类.第二类点的界线,即我们所要求的轨迹,设以AB所在直线为_轴,AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设M 为界线所在曲线上的一点,则满足｜PA｜+｜AM｜=｜PB｜+｜BM｜,于是｜MA｜-｜MB｜=｜PB｜-｜PA｜=50.可知M点的轨迹是以A.B为焦点的双曲线一支其方程可求得为-=1.(0≤y≤60,25≤_≤35)界线为双曲线在矩形中的一段.参考答案:【同步达纲检测】A级1.D2.D3.C4.B5.C6. -7.-=18. -=19.解:设P(_,y),依题意有｜PC｜=｜PA｜+4,∴P点的轨迹是以C(-3,0),A(3,0)为焦点,且实轴长为4的双曲线的右支.其方程为-=1(_≥2)10.解:设P(cscθ,cotθ),则=∴, =±2,∴tan=±2,由万能公式求得P(±,±)AA级1.B2.A3.B4.C5.B6. -=1(_＜-3)7.8.(-∞,-1)∪［9,1］9.解:联立方程组消去y得(2k2-1)_2+4kb_+2b2+1=0,依题意有△=(4kb)2-4(2k2-1)(2b2+1)=-4(2k2-2b2-1)＞0,对所有实数b恒成立,∴2k2-1＜0,得-＜k＜10.解:设AB:y=-_+m,代入双曲线方程得11_2+4m_-4(m2+1)=0,这里△=(4m)2-4_11［-4(m2+1)］=16(2m2+11)＞0 恒成立,设A(_1,y1),B(_2,y2),AB的中点为M(_0,y0,)则_1+_2=-,∴_0=-,y0=-_0+m=,若A.B关于直线y=2_对称,则M必在直线y=2_上,∴=-得m=1,由双曲线的对称性知,直线y=-_与双曲线的交点的A.B必关于直线y=2_对称.∴存在A.B且求得A(,-),B(-,)【素质优化训练】1.B2.B3.D4.C5.C6.47._2+(y-4)2=418.3_+4y-5=09.解:设P(_,y),∵F1(0,-),F2(0, ),∴=,=,∵·=-1,即_2+y2=1,又y2-_2=1,∴_=±,y=±,∴P的坐标为(,),(,-),(-,)和(-,-)10.解(1)因为直线y=k_+1与圆_2+y2=r2相切,所以有=r,∴=r2,∵r2≠0,∴-k2=1,又由于直线y=k_+1与双曲线_2-y2=r2相交,故交点坐标(_,y)满足方程组,将①代入②得(1-k2)_2-2k_-(1+r2)=0③,因直线与双曲线有两个交点,且对任意实数k,直线不平行y轴,故③有两个不同的实数根,因此1-k2≠1,∴｜k｜≠1(2)双曲线_2-y2=r2的过点是F1(-r,0),F2(r,0),若直线y=k_+1过点F1,则 -rk+1=0,即k=,又由(1)结论-k2=1得k2=1与｜k｜≠1矛质.故直线y=k_+1不可能过双曲线_2-y2=r2的左焦点,同理可得,直线y=k_+1也不可能过双曲线_2-y2=r2的右焦点.。
双曲线的定义及其标准方程2
先把非标准方程化 成标准方程，再进 行计算。
学以致用
1或17
x2 y2 1 2 m m 1
小试牛刀 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
法①待定系数法
小试牛刀 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
课堂总结 1、双曲线的定义及其标准方程
双曲线定义及标准方程
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图像
F1
o
F2
x
F1
x
标准 方程 焦点
a.b.c 的 关系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
F
1
F
② |F1F2|=2c ——焦距.
2
探究新知
1、定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差
的绝对值等于常数（大于零且小于︱F1F2︱)的 点的集合叫做双曲线.
| |MF1|-|MF2| | = 2a
两条射线
F
o F
0<2a<2c
y
M
1
2
M x
探究新知
高中数学北师大版选修2-1第三章
§3.1 双曲线及其标准方程
复习回顾
圆锥曲线
椭圆 抛物线
双曲线
复习回顾
反比例函数图像
广州塔（小蛮腰）
高二数学双曲线及标准方程
|MF1|-|MF2|=2a
|MF2|-|MF1|=2a
由图可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a (0<2a<|F1F2 |) （差的绝对值）
M点运动时，M点满足什么条件？ ①如图(A)，当 |MF1|>|MF2| 时 ∵|MF1|=|MF|=|MF2|+|F2F| ∴ |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)，当 |MF1|<|MF2| 时 同理可得： |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a 上面两条合起来叫做双曲线 （差的绝对值） 另思考：当 |MF1|=|MF2| 时，M点的轨迹是什么？
c2=a2+b2
2 2
y
M
都外切的圆的圆心M的轨迹程．
C1
0
C2
M F2
x
2 2 x y y ② F , F 是双曲线 的焦点， 1 2 9 16 A A， 过F1的直线交双曲线的左支于 F1 O B两点, 且 | AB | 10, 求ABF2的周长。 B
x
小结:
定义
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
2 2 2 2 2 2 2 2
x2 a2
b2 1(a 0, b 0)
y2
叫做双曲线的标准方程(焦点落在X轴上)
? 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是： 2 2 y x
a
2
M
y
F2
b
2
1
F1
x
怎样判断双曲线的焦点位置? 2 当 项的系数为正时，焦点落在x轴上 当 y 2 项的系数为正时，焦点落在y轴上 反之也成立。
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课时跟踪检测（十七） 双曲线及其标准方程
一、基本能力达标
1．双曲线x225－y224＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为
( )
A．1或21 B．14或36
C．2 D．21
解析：选D 设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定
义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，故舍去|PF2|
＝1，所以点P到另一个焦点的距离为21，故选D.
2．已知双曲线过点P1－2，352和P2473，4，则双曲线的标准方程为( )
A.x29－y216＝1 B.y29－x216＝1
C.x216－y29＝1 D.y216－x29＝1
解析：选B 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝
1(mn<0)．
因为P1－2，352，P2473，4两点在双曲线上，
所以 4m＋454n＝1，1129m＋16n＝1，解得 m＝－116，n＝19，
于是所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1.
3．k<2是方程x24－k＋y2k－2＝1表示双曲线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选A ∵k<2⇒方程x24－k＋y2k－2＝1表示双曲线，
而方程x24－k＋y2k－2＝1表示双曲线⇒(4－k)(k－2)<0⇒k<2或k>4⇒/ k<2.
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4．设F1，F2是双曲线x23－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2
时，PF1―→·PF2―→的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B 设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|＝23＋1＝4，S△PF1F2＝12|F1F2|·|y0|＝2，
∴|y0|＝1.又x203－y20＝1，∴x20＝3(y20＋1)＝6.∴PF1―→·PF2―→＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x20＋y20－
4＝3.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M
到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，－15)，则
点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
6．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝bax上，则C的方程为
________．
解析：点P(2,1)在直线y＝bax上，则1＝2ba，a＝2b ①.
双曲线的焦距为10，则有a2＋b2＝52，将①代入上式可得b2＝5，从而a2＝20，故双曲
线C的方程为x220－y25＝1.
答案：x220－y25＝1
7．已知双曲线C1：x2－y24＝1.求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，3)的双曲线
C2的标准方程．
解：双曲线C1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C2的标准方程为x2a2－y2b2＝
1(a＞0，b＞0)，
则 a2＋b2＝5，16a2－3b2＝1，解得 a2＝4，b2＝1.
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所以双曲线C2的标准方程为x24－y2＝1.
8．若双曲线x2a2－y2b2＝1的两个焦点为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝
2|PF2|，|PF1|⊥|PF2|，求此双曲线的方程．
解：∵|F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
且|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴4a2＋16a2＝100.
∴a2＝5.
则b2＝c2－a2＝20.
故所求的双曲线方程为x25－y220＝1.
二、综合能力提升
1．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a分别为3和5时，点P
的轨迹分别为( )
A．双曲线和一条直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
解析：选C 依题意，得|F1F2|＝10.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|，可知点P
的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10＝|F1F2|，可知点P的轨迹为以
F2为端点的一条射线．故选C.
2．设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C
1
的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.x216－y29＝1 B.x2169－y225＝1
C.x29－y216＝1 D.x2169－y2144＝1
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解析：选A 对于椭圆C1，∵长轴长2a1＝26，∴a1＝13，又离心率e1＝c1a1＝513，∴c1＝5.
由题意知曲线C2为双曲线，且与椭圆C1共焦点，∴c2＝5，又2a2＝8，∴a2＝4，b2＝c22－a
2
2
＝3.又焦点在x轴上，故双曲线C2的标准方程为x216－y29＝1.故选A.
3．已知双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为
12，则点P到F2的距离为________．
解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，
所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2.
答案：22或2
4．过双曲线x2144－y225＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦
点的距离分别为________．
解析：因为双曲线方程为x2144－y225＝1，所以c＝144＋25＝13，设F1，F2分别是双曲
线的左、右焦点，则F1(－13,0)，F2(13,0)．设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－
13，y)(y>0)，则y225＝132144－1＝25144，
所以y＝2512，即|AF1|＝2512.又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋2512＝31312.即所求距离分别为2512，31312.
答案：2512，31312
5．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内
角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝12sin C.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x25＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sin B－sin A＝12sin C，∴由正弦定理得
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|CA|－|CB|＝12|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－y23＝1(x>1)．
6．设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M355，455，F(5，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
解：(1)两圆的圆心分别为A(－5，0)，B(5，0)，半径为2，设圆C的半径为r.由题
意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|
－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝5，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为x24－y2＝1.
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲
线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝355－52＋4552＝2，∴||MP|－|FP||的最大值为2.