苏科初中数学九年级上册《2.2 圆的对称性》教案 (2)-推荐.doc

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九年级数学上册《圆的对称性中心对称圆心角与其所对弧弦关系定理》教案、教学设计

-学生在实际应用中可能会遇到计算方法和策略选择上的困难。
-教师应引导学生将理论知识与实际情境相结合，培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-通过展示生活中的圆形物体或图案，如车轮、硬币等，让学生感受圆的对称美，自然引入圆的对称性质的学习。
-设计互动环节，让学生在观察和操作中自主发现圆的对称特征，激发学生的学习兴趣。
2.分层次教学，逐步突破重难点
-对于基础层次的学生，通过具体实例和重复练习，帮助他们理解和记忆圆的对称性质。
-对于中等层次的学生，引导他们通过小组合作，探讨定理的证明过程，提升逻辑推理能力。
-对于高层次的学生，设计更具挑战性的问题，鼓励他们进行深度思考和探索，培养创新思维。
3.实践操作，加深理解
-安排剪纸、模型制作等实践活动，让学生亲自动手验证圆的对称性质和定理。
（二）过程与方法
1.通过直观演示和动手操作，让学生经历探索圆的对称性质的过程，培养观察能力和空间想象能力。
-教师通过多媒体演示或实物操作，引导学生观察圆的对称性质，激发学生的直观想象。
-学生通过剪纸、折叠等活动，亲身体验圆的对称性，增强空间想象力和动手能力。
2.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生团队协作能力和问题解决能力。
-布置有针对性的课后作业，让学生在实践中巩固所学知识，提高解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
今天我们将开启圆的对称性的探索之旅。首先，我想请大家回想一下，在我们的生活中，你见过的哪些物体或图形具有对称性？它们给你什么样的感觉？（等待学生回答）是的，对称性给人一种平衡和美的感觉。在数学中，圆是具有高度对称性的图形之一。今天，我们将深入研究圆的对称性质，并学习一些关于圆心角、弧和弦的重要定理。

苏科版-数学-九年级上册-圆的对称性(2) 导学案

四、当堂检测：补充习题》第页的第题.
五、小结反思
1.收获
2.困惑
六作业
必做;课本第49页第5题，选做：;课本第49页第.。
反思：
1、亮点：
2、不足：
1、改进
你可以发现：___________________________。
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
三、拓展提升
例1、如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？
例2、如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。⑴求的半径；⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
3、得出垂径定理:
____________________________________________________.
4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、几何语言:
练习：
（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
课题：
主备：
主核：
执教教师：
课型：新授课
使用日期：
学习
目标
1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；
2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；
3、能初步应用垂径定理进行计算和证明．
4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．
重点难
点
重点
垂径定理及应用
难点
灵活运用垂径定理
学生活动过程
教师导学过程
一、自主学习
任务1：①在圆形纸片上任画一条直径；

2.2圆的对称性(2)导学案-2022-2023学年苏科版九年级数学上册

2.2 圆的对称性（2）导学案-2022-2023学年苏科版九年级数学上册引入在前面的学习中，我们已经了解了圆的基本性质和相关术语。

本节课我们将继续学习圆的对称性及其应用。

1. 圆的对称性圆是几何中最简单的图形之一，它具有很多重要的性质。

其中之一就是对称性。

对称性是指一个图形或一个物体中的一部分能够关于某条线、某个点或某个中心进行翻转、旋转或平移而得到与原来完全相同的图形或物体。

而圆具有无穷多个轴对称线，即任意通过圆心的直线都是圆的对称轴。

2. 圆的旋转对称性除了轴对称外，圆还具有旋转对称性。

当我们将一个图形绕着某个点旋转一定的角度之后，如果旋转后的图形与原图形完全重合，那么这个图形就具有旋转对称性。

对于圆来说，它是唯一一个具有旋转对称性的图形，因为无论是绕圆心旋转多少角度，旋转后的图形都与原图形完全重合。

这也是为什么圆具有无限多个旋转对称轴的原因。

3. 圆对称性的应用圆的对称性在现实生活中有很多应用。

下面我们来看一些例子：(1) 圆柱体和圆锥体的对称性圆柱体和圆锥体都是由平行于底面的圆所围成的。

它们的底面具有圆的对称性，因此整个图形具有旋转对称性。

这在工程建筑中非常重要，因为这些图形的对称性可以减少在设计和制造过程中的测量和调整的工作量，提高了生产效率。

(2) 圆的装饰和设计圆的对称性为装饰和设计提供了很大的创造空间。

无论是古代的建筑、雕塑还是现代的艺术品，圆的对称性都被广泛运用。

圆的旋转对称性可以使装饰品或设计更加美观和和谐。

(3) 圆的光学应用圆的对称性在光学中也有重要的应用。

例如，在显微镜镜片的设计中，圆的对称性可以减少由于镜片形状不规则而产生的畸变。

再比如，太阳能电池板利用了圆的旋转对称性，以最大限度地吸收太阳光。

4. 总结通过本节课的学习，我们了解了圆的对称性及其应用。

圆具有无穷多个轴对称线和旋转对称轴，这使得圆在现实生活中具有很多应用。

我们应该深入理解和运用圆的对称性，以提高解决实际问题的能力。

第2章第2讲圆的对称性-苏科版九年级数学上册教案

轴对称图形--圆：第二讲--圆的对称性教学目标：理解圆的对称性和与之相关的性质，掌握弦、弧、圆心角、弦心距直接的联系、熟练的掌握垂径定理并且用其解答相关的实际问题。

教学重点：辨析轴对称、中心对称、旋转对称的区别。

理解旋转不变形在实际生活中的应用。

理解圆形在生活中出现的目的和解决的问题。

掌握一推三定理。

导学相关：中心对称的定义：轴对称的定义：旋转对称的定义：圆的定义：半径的性质：生活中圆的举例：车轮为什么用圆形？：引申出圆的旋转不变性：1.圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

2. 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

3. 圆心角、弧、弦之间的关系（等对等定理）：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且弦所对的弧。

常见考点例 1．如图，AB 是半圆O 的直径，10AB ＝，点C 为半圆AB 上一动点，以AC 为边顺时针方向作正方形ACDE ，点F 为DE 的中点，点G 为AC 的中点，连结FG ，当点C 从点B 沿圆弧运动到点A 时，线段FG 的长（） A ．一直变小，且极小值为0 B ．一直变小，且最大值为5 C ．先变大再变小，且极小值为0 D ．先变大再变小，且最大值为5例 2．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB ＝，52OC CD ＝，＝，则AB 长为（） A ．3 B ．4C ．6D ．8例 3．过三点()()()115,13,4A B C -，﹣，，的圆的圆心坐标为（） A ．（3，176） B ．（3，1110） C ．（4，176） D ．（4，1110）例4. 如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若°2630AE cm BE cm CEA∠＝，＝，＝，求：（1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。

苏科版-数学-九年级上册-2.2 圆的对称性第1课时教案

2.2 圆的对称性第1课时教学过程一、知识要点归纳1. 圆中心对称图形，圆心是它的对称中心.实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合.2. 定理：在在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.3. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论.（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等.如图，同心圆，虽然，但，而且，弦心∠=∠⋂≠⋂≠AOB COD AB CD AB CD距也不相等.（2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系.下面举个错例：是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧.（4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等.4. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧.一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等.而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂AOB AB”之类的错误.因为角与弧是两个不能比较变量的概念.相等的弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧.圆心角的度数与它所对弧的度数相等.5. 圆中弧、圆心角、弦的不等关系（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大.当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径.（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立.注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短.6. 辅助线方法小结：（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距.（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角.（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角.二、主体活动，巩固新知，例1 如图2-12，AB.AC.BC是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC，∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？解：∠ABC与∠BAC相等.在⊙O中，∵∠AOC=∠BOC，∴AC=BC（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）.∴∠ABC=∠BAC.三、拓展创新、应用提高，1. 已知：如图，在⊙O中，弦AB.CD的延长线交于P点，PO平分∠APC.求证：（1）AB＝CD；（2）PA＝PC【解析】要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线PO 过圆心，利用弦心距相等可以解决. 证明：（1）过O 点作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ∵PO 平分∠APC ∴OM ＝ON∴AB ＝CD （在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）此题还有几种变式图形，道理是一样的. 弦AB.DC 的交点在圆上，即若PO 平分∠APC ，求证：PA 弦AB.CD 交于P 点（P PO 平分∠APC ，求证：AB ＝利用弦心距等.（2）在Rt △POM 和Rt △PON ∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪12OMP ONP OP OP∴≅∆∆POM PON AAS ()∴=PM PNAM AB CN CD AB CD ===1212，， ∴=AM CN∴+=+PM AM PN CN【解析】要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD 2（）把的一半作出来，然后比较与的大小；112AB AB CD ⋂⋂⋂（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。

苏科版九年级上册数学课件 2.2 圆的对称性(共25张PPT)

慧眼识珠
1.(判断正误☺)
(1)弦是直径； (2)直径是最长的弦；
(3) 半圆是最长的弧； (4)半圆是弧，但弧不一定是半圆；
(5)若P是⊙O内一点，过P点的最长的弦有一条.
慧眼识珠
1. 判断正误☺)
(6)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆； (7)半径相等的两个圆是等圆；
(8)面积相等的两个圆是等圆； (9)长度相等的两条弧是等弧； (10)半径相等的两个半圆是等弧； (11)同一条弦所对两条弧一定是一条优弧一条劣弧.
Oபைடு நூலகம்
A
B
C
D
2.1 圆（2）
圆的相关概念2（弧）
B
A
●O
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A、B两点为端点的弧，记作
,
读作 “弧AB”.
知识梳理
圆的任意直径的两个端点分圆成两条
C
弧，每条弧都叫半圆
小于半圆的弧叫做劣弧如：劣弧BC(用两个字母).
大于半圆的弧叫做优弧如：优弧BAC(用三个字母).
求∠ EOA的度数.
O
E
A
B
C
2.如图，⊙O中，直径MN=10 ，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM = 45°，求AB的长.
2.1 圆（2）
拓展探究
1.如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝ 90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作 CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、 H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
⌒ ⌒ 弦EF所对的弧有
E
D
___E__F______E__A__F_____

【最新苏科版精选】苏科初中数学九上《2.2 圆的对称性》word教案 (5).doc

圆的对称性学习目标：1．知识与技能：使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；运用垂径定理进行有关的计算和证明.2．过程与方法：经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.3．情感态度与价值观：通过学习垂径定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神.学习重点：垂径定理及应用．学习难点：垂径定理的证明学习过程：一、知识回顾:1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。

2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。

二、操作与探索:提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？操作：①在圆形纸片上任画一条直径；②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？结论：圆也是_________图形，___________________________它的对称轴。

三、探究与思考:1.判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

2.(1) 将第一个图中的弦AB 改为直径（AB 与CD 相互垂直的条件不变），结果如何？(2)将第二个图中的直径AB 改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？3、思考：如何确定圆形纸片的圆心？四、尝试与交流: 1、如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ，将圆形纸片沿AB 通过折叠活动，我们可以发现：___________________________。

2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）3、得出垂径定理: _垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

4、注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

2.2圆的对称性1 教案-苏科版九年级数学上册

2.2 圆的对称性1 教案-苏科版九年级数学上册教学目标•理解圆的对称性的概念和性质；•掌握圆的对称性的判断方法；•运用圆的对称性进行问题求解。

教学准备•教学课件；•黑板、白板和彩色粉笔/白板笔；•学生练习题。

教学步骤导入新知识（5分钟）1.引入新知识：同学们，上节课我们学习了点和直线的对称性，你们还记得吗？那么今天我们要学习的是圆的对称性。

你们对圆的对称性有什么了解呢？2.学生回答：老师，圆的对称性是指圆上的点与圆心关于某条直线、圆心或某个点对称。

3.引导学生思考：那么，圆的对称性和点、直线的对称性有什么不同呢？4.学生回答：老师，圆的对称性是指点和圆心关于某条直线、圆心或某个点对称，而点和直线的对称性只涉及点和直线之间的对称。

学习新知识（20分钟）1.呈现示例：让我们来看一个例子，如下图所示。

请你们观察并回答问题：哪些点在圆上具有对称性？为什么？（示例图）2.学生思考一分钟后，教师鼓励学生回答问题。

3.鼓励学生思考：那么，如何判断一个点在圆上是否具有对称性呢？4.学生回答：老师，如果一个点与圆心关于某条直线、圆心或某个点对称，那么这个点就在圆上具有对称性。

5.教师总结：非常好！所以，一个点在圆上具有对称性的关键是，它与圆心关于某条直线、圆心或某个点对称。

6.引导学生思考：那么，圆上具有对称性的点有什么特点呢？7.学生思考一分钟后，教师鼓励学生回答问题。

8.鼓励学生思考：是不是圆上的所有点都具有对称性？9.学生回答：老师，是的。

圆上的所有点都具有对称性。

10.引导学生思考：如果一个点在圆上满足对称性的要求，那么与这个点对称的点在哪里呢？11.学生思考一分钟后，教师鼓励学生回答问题。

12.引导学生思考：对称点是否一定在圆上？13.学生回答：老师，不一定。

对称点有些在圆上，有些在圆外。

14.教师总结：非常好！对称点有些在圆上，有些在圆外。

巩固练习（15分钟）1.分发练习题，让学生独立完成，并在规定时间内交卷。

苏科版数学九年级上册2.2圆的对称性课件(共17张PPT)

所对的弦相等．
2.2 圆的对称性（1）
议一议
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弧相等,那么
它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?为什么?
B
B′
A O
A′ O′
AB＝A′B′
AB＝A′B′
∠AOB ＝∠ A′O ′B ′
2.2 圆的对称性（1）
议一议
在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弦相等,那
么圆心角所对的弧相等吗？它们圆心角相等吗？为
九年级(上册)
2.2 圆的对称性（1）
2.2 圆的对称性（1）
看一看
你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？
2.2 圆的对称性（1）
想一想
圆绕着圆心旋转任何角度后, 都能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
2.2 圆的对称性（1）
想一想
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O′. (2)在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB ,
什么？
B
B′
A O
A′ O′
AB＝A′B′
AB＝ A′B′
∠AOB ＝∠ A′O ′ B ′
2.2 圆的对称性（1）
议一议
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条
弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分
别相等.
B
B′
O
A
O′
A′
1．因为∠AOB＝∠ A′O ′B ′，所以 AB＝A′B′; AB＝A′B′. 2．因为AB＝A′B′,所以 AB＝A′B′; ∠AOB＝∠ A′O′ B′.
2.2 圆的对称性（1）
作业

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圆的对称性
教学目标：1．会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；
2．能利用垂径定理进行相关的计算和证明；
3．在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，明白
圆的问题依旧要化归为直线形问题解决．
教学重点：垂径定理的证明定理及其简单应用．
教学难点：垂径定理的证明定理．
情境引入
圆是什么对称图形？你是如何验证的？
实践探索一
圆的轴对称性．
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少
条对称轴？你是如何验证的？
2．如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！
实践探索二
垂径定理．
1．操作、探索
学生拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O，再任意画一
条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图1）．沿着
直径将圆对折（如图2），你有什么发现？

图1 图2

2．请你用文字语言概括你对垂直于弦的直径的研究过程中发现的结
论，其中条件和结论分别是什么？请用几何语言表示．
3．请证明你的发现．
定理巩固训练
1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？

二次备课

EE
E
EE
E
EE
E

EE
E
2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M，
添加一个条件：____________，就可得到点M是AB的中点．

例题精讲
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距
离为3厘米，求⊙O的半径．

例2 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点
C、D．AC与BD
相等吗？为什么？

知识应用
1．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个
问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道
长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，
CD
为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根
据题意可得CD的长为________．

已知⊙O的直径50cm，弦AB∥CD，且AB＝40cm，CD＝48cm，求AB、
CD
之间的距离．

拓展延伸

如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，⌒AC与⌒BD相等吗？为什么？

小结与反思
通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？
课后作业
课本P49第5、6、7、8．

·
A
M

.
A B
O

B
A

D
O
教后记