高三数学函数综合题训练(含详解)
高三数学 专题训练函数解析 试题
创作；朱本晓 2022年元月元日
创作；朱本晓 2022年元月元日
仲元中学高三数学专题训练测试系列(函数) 时间是：120分钟 分值：150分 一、选择题(每一小题5分，一共60分)
1．函数f(x)＝lgx－1x2－4的定义域为 ( ) A．{x|－21} C．{x|x>2} D．{x|－22}
解析：由x－1x2－4>0⇒(x－1)(x－2)(x＋2)>0，解得：x>2或者－2答案：D 2．函数f(x)＝x－1x＋1(x>1)的反函数为 ( ) A．y＝1＋x1－x，x∈(0，＋∞) B．y＝1＋x1－x，x∈(1，＋∞)
C．y＝1＋x1－x，x∈(0,1) D．y＝1＋xx－1，x∈(0,1) 解析：因为f(x)＝x－1x＋1＝1－2x＋1，x>1，所以f(x)∈(0,1)．由y＝x－1x＋1得x＝1＋y1－y，那么f(x)＝x－1x＋1(x>1)的反函数为f－1(x)＝1＋x1－x(0答案：C 3．函数y＝loga(3x－2)(a>0，a≠1)的图象过定点( )
A.0，23 B．(1,0) C．(0,1) D.23，0 解析：令3x－2＝1可解得x＝1，即得函数y＝loga(3x－2) 创作；朱本晓 2022年元月元日
创作；朱本晓 2022年元月元日
(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，应选B. 答案：B 4．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点( ) A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 答案：A 5．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图象大致是( )
解析：f(x)＝1＋log2x的图象是由y＝log2x的图象向上平移一个单位得到，g(x)＝2－x＋1当x＝0时，g(x)＝2.应选C.
高三数学函数练习题综合
高三数学函数练习题综合函数是数学中常见且重要的概念，也是高中数学中的重要内容之一。
理解和掌握函数的概念对于解决各种数学问题具有重要的意义。
下面将提供一些高三数学函数练习题，以帮助学生巩固函数的相关知识。
1. 题目一已知函数f(x) = 2x + 3，计算f(4)的值。
解析：将x = 4代入函数f(x)中，得到f(4) = 2 * 4 + 3 = 11。
2. 题目二已知函数g(x) = x^2 - 5x + 6，求解方程g(x) = 0的解。
解析：将g(x)置为0，得到方程x^2 - 5x + 6 = 0。
该方程可以通过因式分解或者求解一元二次方程公式得到解x = 2或x = 3。
3. 题目三函数h(x) = |2x - 5|，确定h(x)的定义域。
解析：由于h(x)中使用了绝对值符号，所以我们需要根据绝对值函数的性质来确定h(x)的定义域。
令2x - 5 = 0，得到x = 2.5。
因此，h(x)的定义域为R中除去x = 2.5的部分。
4. 题目四已知函数i(x) = log(x + 2)，求解方程i(x) = 2的解。
解析：将i(x)置为2，得到log(x + 2) = 2。
根据对数运算的性质，可以转化为指数形式x + 2 = e^2。
解出x = e^2 - 2。
5. 题目五已知函数j(x) = 3^x + 2^x，求函数j(x)的最小值。
解析：对于指数函数3^x和2^x，它们的值都大于0。
因此，函数j(x)的最小值为j(0) = 3^0 + 2^0 = 1 + 1 = 2。
通过以上练习题的解析，我们复习了函数的定义、求解方程、定义域以及最值等知识点。
希望这些练习题能帮助大家巩固函数的相关知识，提高解决数学问题的能力。
总结：本文给出了一些高三数学函数练习题，包括求函数值、求解方程、确定定义域和求最值等。
这些练习题能够帮助学生巩固函数的知识，提高解决数学问题的能力。
希望同学们能够认真完成这些练习题，并结合自己的学习情况进行反复训练，以便更好地掌握数学函数的相关内容。
2021年高考数学总复习之函数综合训练(附答案)
2021年高考数学总复习之函数综合训练（附答案）第-1-页共17页1.（2022澄海）已知的二次函数f（x）？ax2？bx？CX，不等式f（x）？？2x的解集是（1,3）。
（一）如果方程f（x）？6a？0有两个相等的实根，求F（x）的解析式；（二）如果F（x）的最大值为正，则找到实数a的值范围2、（2021广东揭阳）设定义在r上的函数f(x)＝a0x+a1x+a2x＋a3x(ai∈r，i＝0，1，2，3)，当x＝－时，f(x)取得极大值二，并且函数y＝f?(x)的图象关于y轴对称。
3四3二22（1）求F（x）的表达式；（2）试在函数f(x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f(sinx)－f(cosx)|≤3.（广东揭阳2022）已知二次函数y？F（x）的图像通过坐标原点，其导数函数是F'（x）？6x？2.序列{an}的前n项之和为Sn，点（n，Sn）（n？n？）都在函数y中？在F （x）的图像上。
22（十）∈r） .3（ⅰ）、求数列{an}的通项公式；（ⅱ）、设bn??m3，求使得tn?tn是数列{bn}的前n项和，20阿南？1个代表所有n？N是最小的正整数M。
4、（2021广东东莞）已知函数f?x??log2ax?a?0,a1??，2?222（1）若f?x1x2?x2021??8,求fx1?fx2fx2021的值.（2）什么时候x1,0? 什么时候，G？十、F十、1.0，查找A的值范围(3)若g(x)?f?x?1?,当动点p?x,y?在y?g?x?的图象上运动时，点m??xy?,?在函数3?2?y?h?x?的图象上运动，求y?h?x?的解析式.-1-第-2-页共17页5.（2022年广东东莞）已知功能y？F（x）（x？R）满足F（x）？f（1？x）？总数（f）（I）？F（1.2N？1）（n？n*）；n12n？1)? F（1），如果序列{an}满足a，求序列号{an}的公共项（II）？f（0）？f（）？f（）F（NNN公式）；（ⅲ）若数列{bn}满足anbn?等式2ksn?bn恒成立.6.（2022广州海珠）已知f？十、xlnx，g？十、x3？ax2？十、2（I）找到函数f？十、单调区间；(ⅱ)求函数f?x?在?t,t?2??t?0?上的最小值;（三） x？？0 2f？十、g'？十、2.如果常数为真，求实数a的取值范围121n1,sn?b1b2?b2b3?b3b4bnbn?1，则实数k为何值时，不4x?r，7、（2021广东湛江）已知函数f(x)?ax2?bx?1(a,b为实数)，f(x)??（1）如果f（？1）？0，且函数f（x）的取值范围为[0，？），求f（x）的表达式；f(x)(x0).f（x）（x？0）？（2）在（1）的条件下，当x？何时[2,2]，G（x）？f（x）？KX是一个单调函数。
高三数学函数综合试题
高三数学函数综合试题 1. 设函数若，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】由题意，或，解得，当或，解得，，解得． 【考点】分段函数,求范围.
2. 已知不等式x2－logax<0，当x∈(0，)时恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】[，1) 【解析】解：由x2－logax<0，得x2设f(x)＝x2，g(x)＝logax.
由题意知，当x∈(0，)时，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方，
如图，可知 即 解得≤a<1. ∴实数a的取值范围是[，1)．
3. 若函数f(x)的导函数是(x)=－x(x+1)，则函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间是（ ） A．[－1,0] B．[，+∞),(0,1]
C．[1, ] D．(－∞,) ，(,+∞)
【答案】C 【解析】由(x)=－x(x+1)知,－1＜x＜0时, (x)＞0f(x)是增函数; x＞0或x＜－1时,(x)＜0f(x)是减函数; 而0＜a＜1时,logax为减函数 所以由复合函数的性质知, 若函数g(x)=f(logax)(0＜a＜1)为单调递减函数,则－1＜logax＜0
x∈[1, ] 4. 已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)有最小值. (1)求实数a的取值范围. (2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.
【答案】(1) [-2,2] (2)
【解析】(1)f(x)= 要使函数f(x)有最小值,需∴-2≤a≤2, 即当a∈[-2,2]时,f(x)有最小值. (2)∵g(x)为定义在R上的奇函数,∴g(0)=0. 设x>0,则-x<0, ∴g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,
∴g(x)=
5. 设函数f(x)＝－x3＋3x＋2，若不等式f(3＋2sin θ)＜m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围为________． 【答案】(4，＋∞) 【解析】因为f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)≤0对x∈[1，＋∞)恒成立，所以原函数在x∈[1，＋∞)递减，而1≤3＋2sin θ≤5，所以m＞[f(3＋2sin θ]max＝f(1)＝4.
高三数学函数专题训练题
高三数学函数专题训练题题1：设函数$f(x)=e^x+ax^2+bx+c$，已知点$A(0,\ln2)$是$f(x)$的极小值点，且$f(x)$在$x=1$处取得极大值。
求函数$f(x)$的解析式。
解：由题意，点$A(0,\ln2)$是$f(x)$的极小值点，即$f'(0)=0$且$f''(0)>0$。
首先求导，得到$f'(x)=e^x+2ax+b$，再求二次导数得到$f''(x)=e^x+2a$。
代入$x=0$得到$f'(0)=1+b=0$，解得$b=-1$。
代入$x=0$得到$f''(0)=1+2a>0$，解得$a>-\frac{1}{2}$。
再代入$x=1$得到$f'(1)=e+2a-1=0$，代入$a>-\frac{1}{2}$，解得$a=\frac{1}{2}-\frac{e}{2}$。
所以，$f(x)=e^x+(\frac{1}{2}-\frac{e}{2})x^2-x+1$。
题2：设函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，已知曲线$y=f(x)$与直线$y=2x+1$有两个相交点，其中一个为$A(2,5)$。
求函数$f(x)$的解析式。
解：由题意，曲线$y=f(x)$与直线$y=2x+1$有两个相交点，即方程$f(x)=2x+1$有两个根。
代入$A(2,5)$，得到$5=2(2)+1=5$，所以$A(2,5)$是曲线$y=f(x)$的一个点。
根据韦达定理，设另一个相交点为$B(x_0,y_0)$，那么$(x-2)(x_0-2)<0$。
展开得到$x_0-2+x-2<0$，即$x_0+x<4$。
由于$x_0$和$x$分别是$f(x)$和$2x+1$的根，根据根的性质，$x_0+x=-\frac{a}{1}$，即$a=-x_0-x$。
所以，函数$f(x)=x^3+(-x_0-x)x^2+bx+c$。
高三复习函数综合练习题
高三复习函数综合练习题函数是高中数学中的一个重要概念，它是一种将一个或多个自变量映射到一个或多个因变量的规则。
函数的研究在数学和实际问题中起到了至关重要的作用。
为了巩固和提升高三学生的函数知识水平，以下是一些综合练习题。
请同学们仔细阅读题目，并按要求回答。
1. 已知函数 f(x) = 2x + 3 和 g(x) = x^2 - 4x + 5，求解以下问题：a) 求解 f(x) = 0 和 g(x) = 0 的解集。
b) 求解 f(x) = g(x) 的解集。
2. 已知函数 h(x) = 3x - 4，求解以下问题：a) 求解 h(x) = 5 的解集。
b) 根据已知函数 h(x)，绘制函数图像。
3. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求解以下问题：a) 求解 f(x) = -1 的解集。
b) 根据已知函数 f(x)，求函数的对称轴，并绘制函数图像。
4. 对于函数 f(x) = x^3 - x^2 + x - 1，求解以下问题：a) 求解 f(x) = 0 的解集。
b) 根据已知函数 f(x)，求函数的导数，以及求导后的函数图像。
5. 已知函数 f(x) = e^x + ln(x)，求解以下问题：a) 求解 f(x) = 0 的解集。
b) 根据已知函数 f(x)，求函数的反函数，并求反函数的定义域和值域。
6. 已知函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，求解以下问题：a) 求解 f(x) = 0 的解集。
b) 根据已知函数 f(x)，求函数的周期，并绘制函数图像。
以上是关于高三复习函数的综合练习题。
希望同学们认真思考，并自行查阅相关知识来解答问题。
函数的学习需要多加练习和实践，相信通过努力，同学们一定能够掌握函数的概念和应用，取得优秀的成绩。
祝愿同学们在高考中取得好的成绩！。
(选择)高中数学函数,三角函数,不等式,向量练习题二(含详解)
29．（2022·全国高三专题练习）已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >30．（2021·浙江高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a =，OB b =，则AF =（ ）A ．5122a b --B ．322a b ⎛-- ⎝⎭C ．323a b ⎛-+ ⎝⎭D ．323a b ⎛-+- ⎝⎭31．（2022·全国高三专题练习）在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB BC CD ===，P 是腰AD 上的动点，则2PB PC -的最小值为（ ）AB ．3C D ．27432．（2021·云南高三二模（文））已知函数()()sin 222f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象经过点P ⎛ ⎝⎭，则下列命题是真命题的是（ ） A ．函数()f x 在55,1313ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. B ．函数()f x 的图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭.C ．2π-是函数()f x 的一个周期.D ．函数()f x 的图象的对称轴方程为6x k ππ=+（k Z ∈）.33．（2021·陕西高三其他模拟（理））函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，下列描述错误的是（ ）A ．定义域是R ，值域是[]0,3B ．其图象有无数条对称轴C ．712π是它的一个零点 D ．此函数不是周期函数34．（2021·河南高三其他模拟（文））若93tan 45πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos2α=（ ） A ．1517- B ．217- C ．217 D ．151735．（2020·全国高三专题练习）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线520x y +=上，则23cos 221cos παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+（ ） A ．3320-B ．2033-C ．2033D ．332036．（2021·河南郑州外国语中学高一月考）已知4sin()5πα+=，且α是第四象限角，则cos(2)απ-的值是（ ）A ．35 B ．35C ．35±D ．4537．（2019·三台县芦溪中学高三其他模拟（文））若sin()4πα-cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为 AB． C．D ．-38．（2018·湖南长郡中学高三其他模拟（理））2cos 210cos752cos 15sin15-= A ．12B．C ．12-D39．（2021·河南高一期末（理））已知5cos 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos 6πα-=（ ）A ．1113B ．726 CD40．（2020·全国高二单元测试）已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为A ．1010πB ．20212π C ．2020π D ．40412π 41．（2020·广西高三一模（理））22sin 42cos 123cos361︒︒︒+＝ （ ）A ．18B ．16C ．14D ．1242．（2021·江苏高一期中）我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =()cos 3cos 0c B b a C ++=，且222 4c a b --=，则ABC 的面积为（ ）A B ．CD ．43．（2021·安徽高三一模（文））将方程2sin cos x x x =的所有正数解从小到大组成数列{}n x ，记()1cos n n n a x x +=-，则122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．B ．C ．D ．44．（2020·南昌市第八中学高三期末（文））2sin18m =，若24m n +=，=（ ） A ．1B ．2C ．4D ．845．（2019·四川高考模拟（文））A ，B 是O ：221x y +=上两个动点，且120AOB ∠=︒，A ，B 到直线l ：34100x y +-=的距离分别为1d ，2d ，则12d d +的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．646．（2020·重庆八中高一期末）在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=，且cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ）A ．(B ．(0,C ．(D ．(6,47．（2020·四川成都七中高三其他模拟（理））已知正实数,m n ，设a m n =+，b =.若以,a b 为某个三角形的两边长，设其第三条边长为c ，且c 满足2c k mn =⋅，则实数k 的取值范围为（ ）A ．()1,6B ．()2,36C ．()4,20D ．()4,3648．（2022·全国高三专题练习）在一座尖塔的正南方地面某点A ，测得塔顶的仰角为2230'︒，又在此尖塔正东方地面某点B ，测得塔顶的仰角为6730︒'，且A ，B 两点距离为540m ，在线段AB 上的点C 处测得塔顶的仰角为最大，则C 点到塔底O 的距离为（ ） A ．90mB ．100mC ．110mD ．270m49．（2019·浙江衢州二中高三二模）已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A B C D ．50．（2021·海原县第一中学高二期末（理））设P 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>上一点，两焦点分别为1F ，2F ，如果1275PF F ∠=︒，2115PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A B C D二、多选题51．（2021·河北高三其他模拟）已知,0,1a b a b >+=，则（ ） A ．22a b -> B ．12log ()2ab ≥C ．(2)b b a a >-D ．234a b +≥52．（2021·山东高三二模）已知0a >，0b >，21a b +=，则（ ）A ．54a b +<B ．1a b ->-C 12b ≤D ≥53．（2021·全国高三其他模拟）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]1.81=，2⎡=-⎣等，定义{}[]x x x =-，则下列结论正确的有（ ） A ．x R ∀∈，[]{}x x ≥B ．不等式[][]240x x -<的解集为()0,5C ．(){}f x x =的值域为[)0,1D ．(){}f x x =是周期函数54．（2022·全国高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（ ）A ．10a e-≤<B ．4312a e e ≤< C ．3211a e e ≤< D ．1a e e≤<答案及解析29．A 【分析】建立坐标系，设(),3a t t =，()0,0b x =， (),c x y =，根据已知条件得到所设未知数的关系，代换之后即可逐项判断. 【详解】解：因为向量a ，b 夹角为3π，设(),3a t t =，()0,0b x =，00,0x t >>，(),c x y =， 因为a b a c bc++=，1b c-=()()022001,t x t x yx x yx +++-+=001t x =（1）()00y y y y ⎧≤⎪=-≥⇒⎨=⎪⎩若0y =，则由（1）得0x x x ==，这与()2201x x y -+=矛盾.∴0y ≠，y =带入（1）得02022t x x t t x t x x x x+--==⇒>> 0000,202x xt x x x x=>>>-由()()22220031x x y x x x -+=-+=得012,02x x x x =<<综上：010,,2x y x x t <<===10312x b c x <<⇒+=+令x =，则sin α=，所以0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭31cos 2sin 6b c x πααα⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭62,6πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()2sin 1,26πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故2b c +<故A 正确1b x =+-x，则sin α=，所以0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 3b x πααα⎛⎫=+-++⎪⎝⎭2,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭3πα⎛⎛⎫+∈⎪ ⎝⎭⎝⎦，故2313b <≤ 222x a +=lim 0x a →=，故B 、C 、D 均错误. 故选：A 【点睛】平面向量的解题思路：(1)利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)建立直角坐标系，然后利用平面向量的坐标运算进行解题． 30．D 【分析】以AB的中点M 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，并设2AB =，可得OA ，OB ，AF 的坐标，再设AF OA OB λμ=+，得2,2λμ-+=⎧⎪⎨=+⎪⎩解得2λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即可得解． 【详解】如图，以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(O ，()1,0A -，()10B ,，(1,2F +，所以(1,OA =-，(1,OB =，(2,2AF =+．设AF OA OB λμ=+，则2,2λμ-+=⎧⎪⎨=+⎪⎩解得2λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以33233AF OA OB ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即33233AF a b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的线性表示，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的线性运算用坐标表示，解方程组得出结论．本题也可直接利用向量的线性运算求解，如图中1OM (OA OB)2=+，OK OM =-，KF OA =-，再由向量加减法法则计算可得． 31．C【分析】过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，过C 作CF AB ⊥，垂足为F ，以E 为原点，分别以EB ，ED所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，运用坐标表示出2(2,PB PC x -=-，再由向量的数量积运算求得2PB PC -，根据二次函数的性质可得最值得选项. 【详解】过D 作DE AB ⊥，垂足为E ，过C 作CF AB ⊥，垂足为F ，以E 为原点，分别以EB ，ED 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：由已知可得：1,1CD BC AD EF ====， 12AE BF ==，所以DE =1.(0,0),(,0),2E A D -，3(1,0),(,0)2C F B ，因为P 是腰AD 上的点，所以设点P 的横坐标为 1(0)2x x -≤≤，因为直线AD的方程为112=-x，即=+y(P x，所以3(,2PB x =-，(1,)PC x =-，2(2,PB PC x ∴-=-，所以|2|(2PB PC -=11,042x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，|2|PB PC -，故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查求向量的模的最值，关键在于建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算求得向量的模，再利用函数的性质求得最值. 32．C 【分析】首先求出函数()f x 的解析式，然后利用正弦型函数的性质分别判断A 、B 、C 、D 选项即可得答案． 【详解】解：因为函数()sin(2)f x x θ=+的图象经过点P ⎛⎝⎭，所以sin θ=又22ππθ-<<，所以3πθ=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A ：因为sin y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，而55,1313x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，17432,33939x πππ⎛⎫+∈-⎪⎝⎭不是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的子区间，故A 错误；对于B ：当6x π=时，06f π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ：函数的最小正周期为222πππω==，所以2π-为函数的周期，故C 正确； 对于D ：令232x k πππ+=+，解得()212k x k Z ππ=+∈，故D 错误． 故选：C ． 33．D 【分析】根据正弦型函数值域可确定32sin 2113x π⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭，结合绝对值的含义可知A 正确；根据正弦函数对称轴，采用整体对应的方式可知()5212k x k Z ππ=+∈是()f x 的对称轴，知B 正确； 根据7012f π⎛⎫=⎪⎝⎭可知C 正确； 由()()f x f x π+=知π是()f x 的周期，知D 错误. 【详解】对于A ，易知()f x 定义域为R ，1sin 213x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，32sin 2113x π⎛⎫∴-≤--≤ ⎪⎝⎭，02sin 2133x π⎛⎫∴≤--≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为[]0,3，A 正确；对于B ，由()sin 2sin k x x ππ+-=得：()sin 22sin 233k x x k Z ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎝⎭⎝⎭=-∈，即()sin 2sin 22333x k x k Z πππππ⎛⎫⎛-+++-=-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭∈⎝，即()()23f x k f x k Z πππ⎛-+++=⎫⎪⎝⎭∈ ，()5212k x k Z ππ∴=+∈是函数图象的对称轴，故有无数条，B 正确，对于C ，772sin 21012123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，712π∴是()f x 的一个零点，C 正确； 对于D ，()()2sin 2212sin 2133f x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π∴是函数的周期，D 错误.故选：D. 34．A 【分析】由诱导公式求得3tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得到tan 4α=，然后由三角恒等变换可得结果.【详解】因为93tan tan 2tan 4445πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1tan 3tan 41tan 5πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，解得tan 4α=， 则22222222cos sin 1tan 11615cos2cos sin cos sin 1tan 11617ααααααααα---=-====-+++ 故选：A. 【点睛】方法点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子.比如 2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan ααααααααα===++，22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++. 35．B 【分析】先根据题意求出角α的正余弦值，再对23cos 221cos παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+化简，代入求值即可. 【详解】直线520x y +=的斜率为52-，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线520x y +=上，所以5tan 2α=-，当角α终边在第二象限时，529sin 29α，229cos 29α，此时222232cos2sin22sin cos2021cos1cos1cos331πααααααα⎛⎛⎫+⎪⎝⎭⎝⎭====-+++⎛+⎝⎭；当角α终边在第四象限时，529sin29α，229cos29α，此时222232cos2sin22sin cos2021cos1cos1cos331πααααααα⎛⎛⎫⨯+⎪⎝⎭⎝⎭====-++++⎝⎭.故选: B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及三角函数诱导公式的应用，属于中档题.36．B【分析】先化简已知得到4sin5α=-，再化简()cos2απ-=cosα，再利用平方关系求值得解.【详解】因为()4sin5πα+=，所以4sin5α=-，因为()cos2απ-=cosα，α是第四象限角，所以3cos5α=.故答案为B【点睛】(1)本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 利用平方关系22sin cos1αα+=求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号.37．D【分析】首先根据角之间的关系，应用诱导公式求得结果.【详解】由题意可得cos()sin[()]sin()sin()42444πππππαααα+=-+=-=--=，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，属于简单题目. 38．B 【分析】首先利用诱导公式，将三角式子进行化简，之后应用和角正弦公式，结合特殊角的三角函数值，求得结果. 【详解】根据相应公式可得cos210cos752cos15sin15cos15cos30cos75sin30cos15-=-- ()2sin15cos30cos15sin30sin452=-+=-=-. 故选B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式和正弦的和角公式，属于简单题目. 39．D 【分析】根据角的范围求得sin 32611πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再运用余弦差角公式可求得答案.【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin 06πα⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭，由5cos 613πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得sin 32611πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 6636363πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦511213213=⨯+=故选：D. 40．A 【分析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=由余弦和角与差角公式的应用，变形可得()12020202120212cos cos 2cos cos22i i i d a a a a --++=⨯，令120202a a m +=，代入化简并构造函数()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦，求得()g x '并判断符号，可证明()g x 为单调递增函数，且可得2m π=，从而1202022a a π+=，进而由等差数列前n 项和公式即可求解. 【详解】等差数列{}n a 的公差为2020，设2020.d = 函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=，则()()122020122020cos cos cos 1010a a a a a a π+++++++=，即()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=①对11010,i i Z ≤≤∈，由余弦的和角与差角公式化简可得 2021cos cos i i a a -+()()()()2202122021222021220212cos cos 2222i i a i d i d a i d i d +--+--⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()220212202122coscos22i a i d i d +--=⨯()2021202122cos cos22i i i d a a --+=⨯()12020202122cos cos22i d a a -+=⨯， 记120202a am +=，将①化简可得()()()12020220191010101120201010m a a a a a a π⎡⎤-++++=⎣⎦，即20192017201520202cos cos cos cos cos 10102222d d d d m m π,⎡⎤-⋅+++=⎢⎥⎣⎦② 令()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦， 由2020.d =可得()20192017201520202sin cos cos cos cos 2020202002222d d d d g x x ⎡⎤'=+⋅+++>-=⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递增，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由②可知()0g m =，所以2m π=，即1202022a a π+=， 所以()120202020202010102a a S π⨯+==，故选：A. 【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题. 41．A 【分析】先求出cos36︒，然后，利用2221s (in 42o cos 3123s c 311c s 66os )42o 31c 63︒︒︒=++︒︒+，代入 cos36︒的值求解即可 【详解】sin 72cos72sin1441cos36sin18cos36cos722sin 364sin 364︒︒︒︒︒=︒︒===︒︒，1cos36sin18sin 54sin18sin(3618)sin(3618)2cos36sin182︒-︒=︒-︒=︒+︒-︒-︒=︒︒=令cos36x =︒，得1sin184x ︒=， 1142x x ∴-=，x ∴=cos36∴︒=所以，()222sin 42cos12sin 42cos 123cos3613cos361︒︒︒︒︒=+︒+[]21sin(4212)sin(4212)43cos361︒+︒+︒-︒=︒+ ()1sin 54sin 3043cos361︒+︒=︒+()2221111cos3642423cos3611314⎫⎛⎫⎪︒+ ⎪⎝⎭⎝⎭==︒++1(713218(74+==+ 故选：A 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用sin1441cos36sin184sin 364︒︒︒==︒和 1cos36sin182︒-︒=，求出cos36︒，然后利用余弦函数的两角和差公式进行求解，运算量较大，属于难题42．B 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，求得cos C ，再结合已知及余弦定理，求得ab 的值，代入已知公式，即可求解.【详解】由题意，因为()cos 3cos 0c B b a C ++=，所以()sin cos sin 3sin cos 0C B B A C ++=， 即sin()3sin cos 0B C A C ++=，又由sin()sin B C A +=，所以sin 3sin cos 0A A C +=，由因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以13cos 0C +=，即1cos 3=-C ，因为2224c a b --=，由余弦定理可得22241cos 223a b c C ab ab +--===-，解得6ab =，则ABC 的面积为S == 故选：B. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和两角和与差的正弦函数公式的化简求值的综合应用，意在考查推理与运算能力，属于中档试题. 43．C 【分析】由三角函数的恒等变换化简方程2sin cos x x x ，并求值，判断{}n a 以重复循环出现，且120a a +=，340a a +=，⋯，计算可得所求和． 【详解】解：2sin cos x x x =，即为1sin 2sin(2)23x x π=-即sin(2)3x π-=所以2arcsin(23x k ππ-=+或2arcsin(k ππ+-，k Z ∈，即223x k ππ=-+或423k ππ++，k Z ∈，而3π<=，所以123x π=-，2423x π=+，3223x ππ=-， ⋯，所以212x x π-=+，211cos()x x a -=-=，322x x π-=-212cos()x x a -==，后面的值都是以120a a +=，340a a +=，⋯，所以12202120211a a a a a ++⋯+=== 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用反三角函数求得12,x x 的值，从而得出循环，得出120a a +=，340a a +=，⋯，从而求得结果.44．B 【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解. 【详解】 由题：== 4sin18cos182sin 362cos542cos54cos54cos54︒︒︒︒︒︒︒====. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力. 45．C 【分析】由题设00(cos ,sin ),B(cos(120),sin(120))A αααα++,其中α∈R ，先利用两点间的距离公式求出001214[3cos 3cos(120)4sin 4sin(120)]5d d αααα+=-+++++，再利用三角恒等变换知识化简，再利用三角函数的图像和性质求最值得解.【详解】由题设00(cos ,sin ),B(cos(120),sin(120))A αααα++,其中α∈R .可以由题得0012103cos 4sin 103cos +1204sin +120,55d d αααα----==（）（）001214[3cos 3cos(120)4sin 4sin(120)]5d d αααα+=-+++++00001=4[6cos60cos(60)8cos60sin(60)]5αα-+++001=4[3cos(60)4sin(60)]5αα-+++01=45[sin(60+)]5αβ-⋅+≤5，此时0sin(60+)=-1αβ+.故选C 【点睛】本题主要考查圆的方程，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 46．D 【分析】cos 2sin()26C C C π+=+=，可得3C π=；再结合正弦定理余弦定理，将cos cos sin sin3sin A C B C a c A +=中的角化边，化简整理后可求得c =；根据锐角ABC ∆和3C π=，可推出(6A π∈，)2π，再根据可得4sin a A =，4sin b B =，于是24(sin sin )4[sin sin()]3a b A B A A π+=+=+-，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解． 【详解】cos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，k Z ∈，(0,)2C π∈，3C π∴=．由正弦定理知，sin sin B bA a=， 由余弦定理知，222cos 2b c a A bc+-=，cos cos sin sin3sin A C B Ca c A+=，∴22211223b c a bbc a c a +-⨯+=)0b c =， 0b ≠，c ∴=由正弦定理，有4sin sin sin a b c A B C ====，4sin a A ∴=，4sin b B =， 锐角ABC ∆，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，)2π，214(sin sin )4[sin sin()]4(sin sin ))326a b A B A A A A A A ππ∴+=+=+-=+=+， (6A π∈，)2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]，a b ∴+的取值范围为(6，．故选：D ． 【点睛】本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 47．D 【分析】先根据基本不等式得a m n =+≥b =2222cos 41616cosc a b ab C mn mn mn C =+-≥+-，由1cos 1C -<<得2436mn c mn <<，故436k <<.【详解】解：先根据基本不等式得：a m n =+≥b 因为其第三条边长为c ，且c 满足2c k mn =⋅，所以由余弦定理得：2222cos 41616cos c a b ab C mn mn mn C =+-≥+-， 因为1cos 1C -<<所以2436mn c mn <<，即436k m m m n n n ⋅<<， 所以436k <<. 故选：D.本题考查满足三角形的条件时求参数的取值范围，解题的关键是结合余弦定理和基本不等式进行，是难题. 48．A 【分析】作出图示，根据正切的二倍角公式和解直角三角形求得塔的高度，再运用等面积法可求得选项. 【详解】如下图所示，设,,OC z OA x OB y ===，则222540x y +=，22.5,67.5OAP OBP ∠=∠=， 则22tan 22.5tan 4511tan 22.5==-，解得tan 22.521=，22tan 67.5tan13511tan 67.5==--，解得tan 67.52+1=，所以222540+=，解得z =所以)1x ==)y ==要使点C 处测得塔顶的仰角为最大，则需tan PCO ∠最大，也即需OC 最小，所以OC AB ⊥，又1122ABOSOA OB AB OC =⨯⨯=⨯⨯，即(90540OA OB OC AB ⨯===， 所以C 点到塔底O 的距离为90m ， 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查立体图形的计算实际运用，关键在于依据已知作出图形，明确已知条件中的数据在图形中的表示，再运用解三角形的知识得以解决.【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB =x , AC =y ,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC 外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案. 【详解】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =， 由2420R ππ=，得25R =． 如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则2AG =． 在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BCAG ==︒，即BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++，4xy ∴．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为114sin120232⨯⨯⨯︒⨯ 故选：B ． 【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题． 50．A【分析】 利用正弦定理可求1212PF PF F F +的值，此值即为椭圆的离心率的倒数，故可求椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的半焦距为c ，则122F F c =.在12PF F ∆中，由正弦定理有1212211212sin sin sin PF PF F F PF F PF F F PF ==∠∠∠，所以1212sin15sin 75sin 90PF PF F F ==︒︒︒，故1212sin15sin 75sin 90PF PF F F +=︒+︒︒，整理得到()1212sin15sin 751545sin 90PF PF F F +︒+︒==︒+︒=︒故22a c =e =. 故选：A.【点睛】 一般地，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，点P 为椭圆上的动点，则122PF PF a +=，因122F F c =，故可以用正弦定理、余弦定理求解与焦点三角形12F PF 的边角有关系的数学问题.51．BD【分析】对AC 选择，只需要举反例说明即可；对于BD 选项需要借助于不等式的性质以及函数的图像与性质进行证明.【详解】对A ：当12a b ==时，02221a b -==<，即22a b -<，故A 错误； 对B ：因为1a b +=，a b +≥1≥，即104ab <≤，由于12log y x =在R 上单调递减，所以()12log 2ab ≥，故B 正确；对C ：当12a b ==时，1212b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1122132(2)22b a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，又由于12y x =在R 上单调递增，所以11221322⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(2)b b a a <-，故C 错误；对D ：()22213124431a a a a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭+-≥，故D 正确. 故选：BD.52．BCD【分析】 先根据已知条件判断出,a b 的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证明判断出各选项的对错.【详解】因为2,100a b b =>>-，所以01b <<，所以01a <<；A ．因为221551244a b b b b ⎛⎫+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭，取等号时31,42a b ==满足，故A 错误； B ．因为22215151112424a b b b b ⎛⎫⎛⎫-=--=-++>-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；C ．12b =，取等号时1,2a b ==故C 正确；D ．因为20b -<≥()2132a b ≤-，只需证()232a b ≤-， 即证()()22312b b -≤-，即证24410b b -+≥，即证()2210b -≥， 显然()2210b -≥成立，且31,42a b ==时取等号，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题中D 选项的判断除了可以通过分析法证明的方式进行判断，还可以通过三角换元的方法进行分析判断：设2sin ,cos ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，然后分析形如sin cos a b θθ--的式子的几何意义去进行求解并判断.53．CD【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；解不等式[][]240x x -<可判断B 选项的正误；取[)(),1x n n n Z ∈+∈可判断C 选项的正误；验证()()1f x f x +=可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，当 1.2x =-时，[]2x =-，{}()1.220.8x =---=，不满足[]{}x x ≥，故A 错误； 对于B ，由[][]240x x -<可得[]04x <<，故[]x 的取值集合为{}1,2,3，故14x ≤<，故B 错误；对于C ，对于函数(){}f x x =，若n Z ∈且1n x n ≤<+，则[]x n =，则(){}[][)0,1f x x x x ==-∈，C 选项正确；对于D ，对任意的x ∈R ，存在n Z ∈使得1n x n ≤<+，则[]x n =，112n x n +≤+<+，故[]11x n +=+，所以，(){}[](){}()111111f x x x x x n x n x f x +=+=+-+=+-+=-==，故函数(){}f x x =为周期函数，D 选项正确.故选：CD.54．CD【分析】根据奇函数性质判断()f x 在R 上的单增，将函数不等式恒成立转化为自变量大小恒成立，分离参数，构造新函数，研究新函数的最大值，从而求得参数取值范围，再根据充分不必要条件的定义判断选项即可.【详解】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数； 222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln x ae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln x x x x x a e --≥在(0,1]x ∈上恒成立； 令22ln ()xx x x x g x e --=， 则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x xx x e x x x x e x x x x g x e e -------+-+-'== (1)(3ln )xx x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x'=-≤恒成立，即()h x 单减， 又3311()0h e e=>，(1)20h =-<， 则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减， 因此0020000000002ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e ----≤==， 由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e ---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e--≤===， 故若使22ln x x x x x a e--≥在(0,1]x ∈上恒成立，则031()a g x e ≥=， 根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD.【点睛】方法点睛：根据单调性把函数不等式转化为自变量大小比较，分离参数，借助导数研究函数最大值，从而求得参数取值范围.。
高考数学函数专项复习押题密卷含参考解析 (7)
点
Q
x0
−t 2
+1 ,
y0
(t
R)
在函数
y
=
g
(
x)
的图像上移动，
（1）若点 P 的坐标为 (1, −1) ，点 Q 也在 y = f ( x) 图像上，求 t 的值．
（2）求函数 y = g ( x) 的解析式．
（3）当 t
0
，令
h(x)
=
log 1
2
1− x 2x +t
，求
当 y −1,0时， f '( y) 0 ，此时 f ( y) 单调递减，当 y (0,1时， f '( y) 0 ，
此时 f ( y) 单调递增，则 f (−1) = e−1 ， f (1) = e ， f ( y) 的最小值为 f (0) = 0 ，
因为对任意 x 1, e，总存在唯一的 y −1,1 ，使得 lnx + y2ey − a = 0 成立，
②若函数 f（x）＝ ，则
，都有
；
③若函数 f（x）＝loga|x| 2）>f（a＋1）；
在（0，＋∞）上单调递增，则 f（－
④若函数
(x∈ )，则函数 f(x)的最小值为-2.
其中真命题的序号是
三、解答题
15．已知动圆过定点 (0, 2) ，且在 x 轴上截得的弦长为 4 ，记动圆圆心的轨迹为
曲线 C . （1）求直线 x − 4 y + 2 = 0 与曲线 C 围成的区域面积；
F
(
x)
=
f
(
x)
+
g
(
x
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(含解析)
A． a b
B． 2a 2b
C． a b
D． log2 a2 log2 b2
5．已知
(x3
2 x2
)n
的展开式中各项系数和为
243，则展开式中常数项为（
）
A．60
B．80
C．
D．
6．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 F 是线段 AB 的中点，则
AB （ ）
C．1, 2
2．已知向量
a
1,
m，b
3,
2
，且
(a
b)
b
，则
m=
D． 2,
A．−8
B．−6
C．6
D．8
3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A． f x sin x
B． f x 2 x
C． f x x3 x
D． f x 1 ex ex 2
4．若实数 a 、 b 满足 a2 b2 0 ，则下列不等式中成立的是（ ）
评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7
（1）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评
分不小于 9 的概率； （2）从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9 分的人数；从场外观众中随机 选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E（X）与 E（Y）的 值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分
六、填空题
15．在数列an 中，对任意的 n N*
都有 an
0
，且
an
2 1
an1
an
，给出下列四个结论：
①对于任意的 n 3 ，都有 an 2 ；
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高三数学函数综合题训
练(含详解)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三函数综合题
1.已知函数f（x）=2x+2-xa（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．
2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．
3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．
4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．
答案详解
1.已知函数f（x）=2x+2-xa（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．
解：（1）由a=-1，f（x）=4，可得2
x-2-x=4，设2x
=t，
则有t-t
-1=4，即t2-4t-1=0，解得t=2±5，当t=2+5时，有2x
=2+5，可得
x=log2(2+5)．
当t=2-5时，有2
x
=2-5，此方程无解．故所求x的值为log2(2+5)．
（2）设x
1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2
，
则f(x
1)-f(x2)=(2x1+2-x1a)-(2x2+2-x2a)=(2x1-2x2)+2112222xxxxa=2121222xxxx(2x1+x2
-a)
由x
1＞x2，可得2x1＞2x2，即2x1-2x2＞0，由x1，x2∈[1，+∞），x1＞x2，得x1+x2
＞2，
故2
x1+x
2
＞4＞0，
又a≤4，故2
x1+x2＞a，即2x1+x
2-a＞0，所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1
）＞f
（x
2
），
故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（3）因为函数f（x）=2
x+2-x
a，存在x∈[0，1]，
f（2x）＞[f（x）]2⇔22x+2-2xa＞22x+2a+2-2xa2⇔2-2x（a2-a）+2a＜0
设t=2-2x，由x∈[0，1]，可得t∈[41，1]，由存在x∈[0，1]使得f（2x）＞[f
（x）]2，
可得存在t∈[41，1]，使得（a
2-a）t+2a＜0，令g（t）=（a2
-a）t+2a＜0，
故有g(
41)=4
1
(a2-a)+2a＜0或g（1）=（a2-a）+2a＜0，
可得-7＜a＜0．即所求a的取值范围是（-7，0）．
2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．
解析：（1）当a=-1时，f（x）=x2+（x-1）|x+1|，故有，f(x)= 111122xxx，
当x≥-1时，由f（x）=1，有2x
2
-1=1，解得x=1，或x=-1．
当x＜-1时，f（x）=1恒成立，
∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．
（2）f(x)=
axaxaaxaxax)1(
)1(2
2
若f（x）在R上单调递增，则0141aaa，解得a≥31，∴当a≥31时，f（x）在R
上单调递增．
（3）
设g（x）=f（x）-（2x-3），则
g(x)=
axaxaaxaxa,3)1(
,3)3(2x
2
，
不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．∵a＜1，
∴当x∈（-∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a2-2a+3，+∞），∵a2-2a+3=（a-1）2+2≥2，∴g（x）≥0成立．
当x∈[a，+∞）时，由a＜1，知a＜43a，g（x）在x=43a处取得最小值，
令
g(43a)=a+3-
8
)3(2
a
≥0，解得-3≤a≤5，又a＜1，∴-3≤a＜1．综上，a∈[-3，1）．
3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．
解析：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3，
①2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）2+6，
当x=2时，f（x）
min=5；当x=3时，f（x）max
=6
②当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）2-4，
当x=4时，f（x）
min=5；当x=5时，f（x）max
=12
综上所述，当x=2或4时，f（x）
min=5；当x=5时，f（x）max
=12
（2）若x≥a，f（x）+3=x[x-（a-2）]，
当a＞2时，x＞a-2，或x＜0，因为a＞a-2，所以x≥a；
当a=2时，得x≠0，所以x≥a；
当a＜2时，x＞0，或x＜a-2，①若0＜a＜2，则x≥a；②若a≤0，则x＞0
综上可知：当a＞0时，所求不等式的解集为[a，+∞）；（10分）
当a≤0时，所求不等式的解集为（0，+∞）（12分）
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2，即x•|x-a|≤1⇔-
x
1≤x-a≤x1
⇔x-
x
1≤a≤x+x1
因为x-x1在x∈[1，2]上增，最大值是2-21=23，
x+x1在x∈[1，2]上增，最小值是2，故只需23≤a≤2．故实数a的取值范围是
2
3
≤a≤2．
4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．
解：（1）∵函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，即h（x）=|f（x）|-g（x）=|
x2-1|-a|x-1|只有一个零点，显然x=1是函数的零点，∴即|x+1|-a=0无实数根，∴a＜
0；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x2-1|+a|x-1|=121111211222xaaxxxaaxxxaaxx，
当1＜x≤2时，∵a≥-3，∴-2a≤23，当x=2时，h（x）的最大值为h（2）=a+3；
当-2≤x＜-1时，2a≥-23，当x=-2时，h（x）的最大值为h（-2）=3a+3；
当-1≤x≤1时，h（x）的最大值为max{h（-1），h（1），h（-2a）}=max{2a，0，
4
1
a
2
+a+1}=41a2+a+1，
∴函数h（x）最大值为h（a）=
6241
4
1
624033
033
2
aaa
xa
aa
.