高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数例题与探究 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试

word 1 / 9 高中数学 第1章 三角函数 1.2 任意角的三角函数例题与探究 苏教版必修4 典题精讲 例1 已知sinα=t且|t|<1,求角α的余弦值和正切值. 思路分析:利用三角函数基本关系式,分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况. 解:∵sinα=t且|t|<1,∴角α可能为四个象限的角和x轴上的轴线角. (1)当α为第一、四象限或x轴正半轴上的角时,

有cosα=221sin1t,tanα=cossin=21tt. (2)当α为第二、三象限或x轴负半轴上的角时, 有cosα=221sin1t, tanα=cossin=-21tt. 绿色通道:若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论. 变式训练 1

(2006某某高考卷，文13) 已知sinα=552，2≤α≤π，则tanα等于______.

思路解析:由sinα=552，2≤α≤πcosα=55,所以tanα=-2. 答案:-2 变式训练 2 sin2α>0且cosα<0,试确定α所在的象限. 思路分析:由sin2α>0得出α的X围,再由cosα<0得出α的X围,两者取交集即可. 解:∵sin2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z). word 2 / 9 ∴kπ当k=2n(n∈Z)时,有2nπ∴α为第一象限角. 当k=2n+1(n∈Z)时,有2nπ+π∴α为第一或第三象限角. 由cosα<0，知α在第二或第三象限或α终边在x轴的负半轴上. 综上所述,知α为第三象限角. 例2 y=xxxtancossin的定义域是_____________. 思路解析:利用函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的定义域及分式函数的定义域即可求解. 要使函数有意义必须使tanx有意义且tanx≠0，

即kxkx,2（k∈Z） ∴函数y=xxxtancossin的定义域为{x|x≠2k,k∈Z}. 答案:{x|x≠2k,k∈Z} 黑色陷阱:解答本题，往往容易忽视tanx本身有意义这个条件，只考虑到tanx作为分母不能为0. 变式训练 若|cosα|=cos(π+α),则角α的集合为_____________. 思路解析:由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出X围. 由已知,得|cosα|=-cosα， ∴α为第二、三象限角或终边落在y轴上的角. ∴2kπ+2≤α≤2kπ+23(k∈Z). 答案:{α|2kπ+2≤α≤2kπ+23,k∈Z} 例3 分别作出32和-43的正弦线、余弦线和正切线. word 3 / 9 思路分析:利用单位圆中三角函数线的作法作图. 解:(1)在直角坐标系中作单位圆,如图1-2-4,以Ox轴为始边作32角,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥Ox轴,垂足为M,由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线与OP的反向延长线交于T点,则32的正弦线为有向线段MP,余弦线为有向线段OM,正切线为有向线段AT.

图1-2-4 (2)同理可作出-43的正弦线、余弦线和正切线,如图1-2-5. -43的正弦线为有向线段M1P1,余弦线为有向线段O1M1,正切线为有向线段A1T1.

图1-2-5 黑色陷阱:容易忽视32的正切线的数量为负，即有向线段的方向与y轴负方向相同，所以应反向延长.-43的正切线同样应反向延长. 变式训练 集合M={x|sin|x|=1},N={x||sinx|=1},则M与N之间的关系是( ) A.MN B.MN C.M=N D.M∩N= 思路解析:采用淘汰法. sin|x|=1|x|=2kπ+2(k∈Z)x=±(2kπ+2)(k∈Z), |sinx|=1sinx=±1x=2kπ±2(k∈Z),从而淘汰D. 又|sin23|=1,∴23∈N,而sin|23|=sin23=-1,∴23M,从而淘汰B、C. word 4 / 9 答案:A 例4 已知tanα=2,求值: (1)cos9sin4cos3sin2=_____________；

(2)2222cos9sin4cos3sin2=______________. 思路解析:根据同角的三角函数之间的关系，对所求代数式进行适当变形. (1)∵cosα≠0， 分子分母同除cosα，得cos9sin4cos3sin2 =9243229tan43tan2=-1. (2)∵cos2α≠0，分子分母同除cos2α，

得759243229tan43tan2cos9sin4cos32sin22222222. 答案:(1)-1 (2)75 绿色通道:这是一组在已知tanα=m的条件下,求关于sinα、cosα的齐次式值的问题 .解这类问题 需注意以下几点: (1)一定是关于sinα、cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式; (2)因为cosα≠0,所以可用cosnα(n∈N*)除之.这样可以将所求式化为关于tanα的表达式,整体代入tanα=m的值求解. 变式训练 已知sin(α+β)=1，求证:tan(2α+β)+tanβ=0. 思路分析:由已知得α+β的取值，注意将α+β变形得到α，代入被证式左边，然后利用诱导公式进行化简，直到推得右边. 证明:∵sin(α+β)=1，∴α+β=2kπ+2(k∈Z)， ∴α=2kπ+2-β(k∈Z). ∴tan(2α+β)+tanβ=tan［2(2kπ+2-β)+β］+tanβ =tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ word 5 / 9 =tan(4kπ+π-β)+tanβ =tan(π-β)+tanβ =-tanβ+tanβ=0. ∴tan(2α+β)+tanβ=0得证. 例5 已知sinα是方程6x=1-x根，那么)cot()23cos()2tan()5cos(的值等于( )

A.±205 B.±1515 C.205 D.801 思路解析:先求出方程6x=1-x的根，即为sinα的值，然后对所求式子用诱导公式化简，最后把sinα的值代入化简后的式子即可. 由6x=1-x,解得x=91，即sinα=91，

)cot(sin)tan)(cos()cot()23cos()2tan()5cos(=-tanα，∵sinα=91，∴α应为第一或第

二象限的角. ∴tanα=±205，-tanα=±205. 答案:A 黑色陷阱:解答此题容易出错的地方有两处，一是在解方程6x=1-x时，忽视了x的定义域，错误地把得到的负值也保留；二是对各诱导公式掌握不熟练，在化简所求关系式的过程中出错. 变式训练 1

已知sin(π-α)-cos(π+α)=32(2思路解析:将已知平方，得sinαcosα,然后利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα求解. 易知sin(π-α)-cos(π+α)=sinα+cosα=32. 两边平方，得1+2sinαcosα=92， word 6 / 9 ∴2sinαcosα=97. ∵20>cosα.

故有sinα-cosα=971cossin21)cos(sin2=34. 答案:34 变式训练 2 如图1-2-6，已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1).一质点从AB的中点P0

出发,沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3、

P4(入射角等于反射角).设P4的坐标(x4,0),若1

图1-2-6 A.(31,1) B.(31,32) C.(52,21) D.(52,32) 思路解析:可以把tanθ表示为x4的函数,即得到tanθ=f(x4),再根据1x4=f(tanθ)，然后根据1设P1(2,y1),P2(x2,1),P3(0,y3),其中P0(1,0),根据反射角与入射角相等的关系，得到关系式

tanθ=43232111211xyxyxyy. ∴y1=tanθ，x2=2-tan13tan11y， y3=1-x2tanθ=2-3tanθ,

x4=tan2tantan32tan3y-3. ∵θ∈(0，2),x4∈(1,2)，∴1<tan2-3<2. word 7 / 9 解得52答案:C

例6 已知cos(6-α)=33，求cos(65+α)-sin2(α-6)的值. 思路分析:注意到6-α+65+α=π，可以把65+α化成π-(6-α)，α-6=-(6-α)，利用诱导公式化简即可.

解:cos(65+α)=cos［π-(6-α)］=-cos(6-α)=33，

sin2(α-6)=sin2［-(6-α)］=1-cos2(6-α)=1-(33)2=32， ∴cos(65+α)-sin2(α-6)=33-32=332. 绿色通道:此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如65+α=π-(6-α)，利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数表示出来.

变式训练 求函数y=lgsin(630°-2x)的最大值. 思路分析:将sin(630°-2x)化简为-cos2x，然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性,求得y=lgsin(630°-2x)的最大值. 解:sin(630°-2x)=sin(360°+180°+90°-2x)=sin(180°+90°-2x) =-sin(90°-2x)=-cos2x， ∴y=lgsin(630°-2x)=lg(-cos2x). 其中-cos2x>0，∴cos2x<0.又cos2x≥-1， ∴当且仅当cos2x=-1时，ymax=lg1=0. 例7 若f(sinx)=cos17x，求f(21)的值. 思路分析:此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式.