高等数学辅导讲义和高等数学基础篇
汤家凤高数基础班讲义
汤家凤高数基础班讲义1. 引言本讲义旨在介绍汤家凤高数基础班的课程内容和教学方法。
汤家凤高数基础班是一门为初学者设计的高等数学课程，旨在帮助学生建立扎实的高数基础，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。
2. 课程目标•掌握代数与初等函数相关知识；•理解微积分的基本概念和方法；•学会运用微积分解决实际问题；•培养逻辑思维和问题解决能力。
3. 课程大纲3.1 代数与初等函数•实数与复数•集合论与不等式•函数与映射关系•初等函数及其性质3.2 极限与连续•数列极限及其性质•函数极限及其性质•连续性及其应用3.3 导数与微分•导数的概念与计算法则•高阶导数与隐函数求导法则•微分中值定理及其应用3.4 积分与应用•不定积分与定积分•定积分的计算法则•积分中值定理及其应用3.5 微分方程•常微分方程的基本概念•一阶常微分方程及其解法•高阶常微分方程及其解法4. 教学方法4.1 理论讲解教师将通过清晰明了的语言和示例，对每个知识点进行详细讲解。
教师会引导学生理解概念、掌握基本原理，并提供相关的数学推导过程。
4.2 练习与讨论教师将提供大量练习题，并指导学生进行课堂练习和小组讨论。
通过实际操作和合作交流，加深对知识点的理解和应用能力。
4.3 解题技巧分享教师将分享一些常见的解题技巧和方法，帮助学生更好地应对考试和实践中的各种问题。
同时，鼓励学生探索不同的解题思路，培养独立思考和创新能力。
4.4 实践案例分析教师将选取一些实际问题，通过案例分析的方式，将抽象的数学知识与实际问题相结合。
通过分析和解决实践问题，加深学生对数学应用的理解和体验。
5. 学习资源•教材：《高等数学》（第三版），汤家凤、吴立宗编著•参考书：《高等数学辅导教程》，汤家凤、吴立宗编著•网上资源：汤家凤高数基础班在线课程6. 考核方式•平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等；•期中考试：对前半个学期的知识进行检测；•期末考试：对全年知识进行综合考核。
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容1. 极限与连续数列极限的定义及性质函数极限的定义及性质无穷小、无穷大的概念极限的运算法则函数在一点处的连续性定义函数在区间上的连续性2. 导数与微分导数的定义及几何意义基本导数公式高阶导数微分的定义及运算法则隐函数、参数方程函数求导3. 微分中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则泰勒公式函数的单调性、凹凸性、极值和最值二、教学目标1. 掌握极限、导数、微分等基本概念及其性质、运算法则。
2. 能够运用微分中值定理解决实际问题，分析函数的性质。
3. 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：极限、导数、微分等概念的理解；微分中值定理的应用。
2. 教学重点：极限、导数、微分的基本性质和运算法则；函数的单调性、凹凸性、极值和最值的求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过实际案例，如物体的运动轨迹、温度变化等，引出极限、导数、微分等概念。
2. 例题讲解选取具有代表性的例题，详细讲解极限、导数、微分的基本性质和运算法则。
结合图形，解释函数的单调性、凹凸性、极值和最值的概念。
3. 随堂练习布置与例题难度相当的练习题，让学生巩固所学知识。
对学生进行个别辅导，解答疑问。
4. 课堂小结六、板书设计1. 极限、导数、微分的基本概念及性质。
2. 极限、导数、微分的运算法则。
3. 微分中值定理及其应用。
4. 函数的单调性、凹凸性、极值和最值。
七、作业设计1. 作业题目求下列函数的极限、导数、微分。
判断下列函数的单调性、凹凸性，并求极值、最值。
2. 答案详细的解答过程和答案。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生研究更高级的微积分概念，如泰勒级数、场论等。
鼓励学生参加数学竞赛、数学建模等活动，提高数学素养。
重点和难点解析1. 教学内容的布局与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的识别4. 教学过程的实践情景引入5. 例题讲解的深度和广度6. 板书设计的清晰度与逻辑性7. 作业设计的针对性与答案的详细性8. 课后反思与拓展延伸的实际效果详细补充和说明：一、教学内容的布局与组织教学内容应遵循由浅入深、循序渐进的原则。
高等数学讲义
高等数学讲义 第一章 函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求 1.理解函数的概念．2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型. （二） 内容提要 1.函数的定义 (1) 函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域.定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或,y 称为x 对应的函数值，记为D x x f y ∈=),(,其中，x 称为自变量，y 称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数)(x f y =中，f 表示函数，)(x f 是对应于自变量x 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x 处的函数值y 称为函数，并用)(x f y =的形式表示y 是x 的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则f .例如104(23-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为10)(4)()(23-+=f就是一个函数.(2) 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.2． 函数的三种表示方法(1) 图像法(2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数 用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x xy 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示.③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该 方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .3． 函数的四种特性设函数)(x f y =的定义域为区间D ，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f4． 基本初等函数六种基本初等函数见下表5. 反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1．求函数定义域的方法 例1 求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin22+=x y ， （2） )e ln(tan sin 22xxy +=.小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3． 建立实际问题的函数模型的方法例3 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.例4 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A ，A 是一常量。
高等数学教材讲义
高等数学教材讲义第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质在这一节中，我们将介绍导数的定义及其基本性质。
导数是描述函数变化率的重要概念，它与切线的斜率密切相关。
我们将详细解释导数的定义，并通过例题演示如何求取导数。
1.2 常见函数的导数本节将探讨一些常见函数的导数计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些常见函数。
我们将给出这些函数的导数公式，并通过具体例子进行说明和求解。
1.3 高阶导数在这一节中，我们将讨论高阶导数及其应用。
高阶导数描述了函数变化率变化的速度，它可以帮助我们更全面地理解函数的性质。
我们将介绍高阶导数的定义和计算方法，并通过实例说明如何应用高阶导数解决实际问题。
第二章积分与定积分2.1 不定积分与原函数这一节我们将引入不定积分的概念，并介绍原函数的定义及其计算方法。
不定积分是求解定积分的重要步骤，它可以帮助我们找到函数的原始形式。
我们将详细解释不定积分的定义和性质，并通过实例演示如何求取原函数。
2.2 定积分的概念与性质在这一节中，我们将介绍定积分的概念和性质。
定积分描述了函数在一定区间内的累积变化量，它可以用来计算曲线下的面积、求解平均值等。
我们将详细讲解定积分的定义和性质，并通过例题演示如何求解定积分。
2.3 定积分的计算方法本节将讨论定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
这些方法可以帮助我们解决各种形式的定积分问题。
我们将给出这些方法的具体步骤，并通过实例演示如何应用它们求解定积分。
第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念在这一节中，我们将介绍微分方程的基本概念和分类。
微分方程是描述变量之间关系的方程，它在自然科学和工程技术中具有广泛应用。
我们将详细解释微分方程的定义和分类，并通过例题演示如何求解微分方程。
3.2 常微分方程本节将讨论常微分方程的求解方法。
常微分方程是最常见的微分方程类型之一，它描述了未知函数及其导数之间的关系。
高等数学基础篇和复习全书
高等数学基础篇和复习全书今天，要一起走进一个超级有趣的世界——高等数学的基础世界。
这个世界就像一个充满宝藏的神秘城堡，里面藏着好多好多奇妙的东西，等着去发现！想象一下，你手里有一堆糖果，要把它们平均分给你的小伙伴们。
这时候，你就用到了数学里的除法。
比如说，你有10颗糖果，要分给5个小伙伴，那每个人能得到几颗？对，10除以5等于2，每个人能得到2颗糖果。
这就是数学在我们生活中的一个小应用。
再比如说，玩搭积木的时候。
你看，一层一层地往上搭，这就和数学里的加法有关系。
你先搭了5块积木，又搭了3块，那一共搭了多少块？5加3等于8，一共搭了8块积木。
还有，看时钟的时候，分针转一圈是60分钟，时针转一圈是12个小时。
这时间的计算也是数学知识。
你想想看，从1点到2点，经过了多长时间？对，1个小时。
这就是数学在时间里的小秘密。
数学就像一个神奇的魔法，它藏在我们生活的每一个角落。
只要你用心去发现，就能找到好多好多有趣的数学小秘密。
又要开始一场特别好玩的冒险！这次，是在高等数学复习的世界里。
就好像是要去闯一个个关卡，每过一关，你就会变得更厉害！先来看看数字这一关。
数字就像一群可爱的小精灵，它们有自己的规律和特点。
比如说，1、3、5、7、9这些数字，它们都是单数，也叫奇数；而2、4、6、8、10这些，就是双数，也叫偶数。
你看，是不是很有趣？就像小朋友们排队，单数和双数各自排好了队伍。
再看看图形这一关。
三角形就像一个小帐篷，有三条边；正方形，就像一个方方正正的小盒子，四条边都一样长；圆形，就像一个圆圆的皮球，滚来滚去真好玩。
认识了这些图形，就能在生活中发现好多它们的影子。
交通标志里有三角形，窗户可能是正方形的，篮球是圆形的。
还有计算这一关。
计算就像一场有趣的比赛，看看谁能又快又准地算出答案。
比如说，20以内的加减法，3 + 5等于8，15 7等于8。
多做一些这样的练习，你就能变得像数学小天才一样！只要勇敢地去闯关，把这些数学知识都掌握好，就能在数学的世界里自由自在地玩耍！加油！。
高等数学辅导资料(1-6)
山东广播电视大学开放教育高等数学基础课程辅导资料（1）第一章 函数一、学习目标（一）理解函数的概念；掌握函数)(x f y =中符号f ( )的含义；了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等．两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同． （二）了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性． 若对任意x ，有)()(x f x f =-，则)(x f 称为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称． 若对任意x ，有)()(x f x f -=-，则)(x f 称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称．（三）熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形． 基本初等函数指以下几种类型： 1.常数函数：c y =2．幂函数：)(为实数ααx y = 3．指数函数：)1,0(≠>=a a a y x4．对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a5．三角函数：x x x x cot ,tan ,cos ,sin6．反三角函数：x x x arctan ,arccos ,arcsin（一）了解复合函数、初等函数的概念，会把一个复合函数分解成较简单的函数． 如函数xy 2arctane =可以分解uy e =，v u arctan =，21wv =，x w 2=．分解后的函数前三个都是基本初等函数，而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积．（四）会列简单的应用问题的函数关系式． 二、典型例题解析 （一）填空题⒈设x x x f 2)1(2-=-，则f x ()= ．解：设t x =-1，则1+=t x ，得1)1(2)1()(22-=+-+=t t t t f故1)(2-=x x f ．⒉函数y x x =-+-124ln()的定义域是 ．解：对函数的第一项，要求02>-x 且0)2ln(≠-x ，即2>x 且3≠x ；对函数的第二项，要求04≥-x ，即4≤x ．取公共部分，得函数定义域为]4,3()3,2( ．⒊设f x ()的定义域为(,)-∞+∞，则函数f x f x ()()+-的图形关于对称．解：设)()()(x f x f x F -+=，则对任意x 有)()()())(()()(x F x f x f x f x f x F =+-=--+-=-即)(x F 是偶函数，故图形关于y 轴对称．（二）单项选择题⒈下列各对函数中，（ ）是相同的． A.f x xg x x ()(),()==2；B.f x xg x x ()ln ,()ln ==22；C.f x xg x x ()ln ,()ln ==33；D.f x x xg x x (),()=-+=-2111解：A, B, D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，而选项C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C 正确．⒉设函数f x ()的定义域为(,)-∞+∞，则函数f x f x ()()－-的图形关于（）对称．A.x y =；B.x 轴；C.y 轴；D.坐标原点解：设)()()(x f x f x F --=，则对任意x 有)())()(()()())(()()(x F x f x f x f x f x f x f x F -=---=--=----=-即)(x F 是奇函数，故图形关于原点对称．选项D 正确． 3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（）．A.单调减函数；B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数解：A, B, D 三个选项都不一定满足。
《高等数学讲义》课件
概率的性质和运算
规则
概率具有可加性、有限可加性、 有限可乘性等性质，同时也有概 率的加法、乘法等运算规则。
条件概率与独立性
条件概率描述了事件之间的条件 关系，而独立性则描述了事件之 间的相互独立性。
随机变量及其分布
随机变量的定义和性质
01
随机变量是从样本空间到实数的映射，其性质包括可测性、可
加性等。
测度论
介绍了测度的定义、性质和可测函数，以及测 度的扩张定理和可测函数的收敛定理。
积分论
包括积分的基本概念、性质和计算方法，以及积分与极限之间的关系。
复变函数
复数与复变函数的基本概念
介绍了复数、复平面、复变函数的定义和性 质，以及函数的极限和连续性。
解析函数
解析函数的定义、性质和判定条件，以及全 纯函数和亚全纯函数的定义和性质。
《高等数学经典讲义》
目 录
• 高等数学概述 • 微积分基础 • 线性代数 • 概率论与数理统计 • 实变函数与复变函数 • 应用高等数学
01
高等数学概述
高等数学的定义与特点
定义
高等数学是数学的一个分支，主要研 究变量、函数、极限、连续性、可微 性、积分等概念和性质。
特点
高等数学具有高度的抽象性和逻辑性 ，需要学习者具备扎实的数学基础和 严谨的思维方式。
积分的基本性质
包括积分的线性性质、可加性、积分区间可分性等。
积分的计算方法
通过不定积分、微元法、分部积分法等方法，可以计算各种函数的定积分。
积分的几何意义
定积分可以理解为曲线与x轴围成的面积。
微分方程
微分方程的基本概念
微分方程是包含未知函数及其导数的方程，它描述了函数的变化规律 。
高等数学基础教学讲稿
《高等数学基础》教学讲稿2006．9．一、课程的性质和任务“高等数学基础”课程是中央广播电视大学理工科建筑施工与管理专业的一门必修的重要基础课，通过本课程的学习，使学生系统地获得一元函数微积分的基本知识，掌握必要的基础理论和常用的计算方法，使学生初步受到用数学方法解决实际问题的能力训练。
通过各个教学环节，逐步培养学生的抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。
二、课程教学基本要求1.微积分是研究变量变化的一门科学，它所研究的对象是事物运动、变化过程中变量间相互依赖的函数关系。
使学生建立变量的思想，认识到学好函数关系的重要性。
2.使学生对极限的思想和方法有初步认识，对静止与变化、量变与质变以及有限与无限等辩证关系有初步的了解。
使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，培养学生辩证唯物主义观点，受到运用变量数学方法解决一些较简单的实际问题的初步训练，为学习其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。
三、教学方法和教学形式建议面授助学要服务于教学实施方案中的教学要求，采用讲解、讨论、答疑等方式，通过解题思路分析，基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析问题、解决问题的能力。
四、课程教学要求的层次教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
教学内容和教学要求一、极限与连续（一）教学内容函数：常量与变量，函数的定义函数的表示方法：解析法，图示法、表格法函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量及其性质，两个重要极限连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点，初等函数的连续性重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念（二）教学要求1.理解函数的概念，了解分段函数。
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高等数学辅导讲义和高等数学基础篇
高等数学辅导讲义：
1.函数与极限。
函数的概念，函数的性质，常用初等函数，极限的概念和性质，无穷
小量和无限大量，函数的极限与连续性，中值定理。
2.导数与微分。
导数的概念和性质，常用导数公式，导数的应用，微分的概念和性质，微分的应用。
3.积分。
积分的概念和性质，不定积分和定积分的计算方法，常用积分公式，
积分的应用。
4.微分方程。
微分方程的基本概念，一阶微分方程的解法，高阶微分方程的解法，
常微分方程的初值问题，线性微分方程。
5.多元函数微积分。
多元函数的概念和性质，多元函数的极限和连续性，多元函数的偏导
数和全微分，多元函数的积分和重积分，常用多元函数的积分公式。
高等数学基础篇：
1.数集和数系。
自然数、整数、有理数、实数、复数等数集和数系，数的基本性质和运算，数轴和坐标系。
2.函数与方程。
函数的概念和性质，函数图像和函数关系，函数的单调性和奇偶性，方程的概念和解法，一元二次方程和一元三次方程的根式解法。
3.数列和级数。
数列的概念和性质，等差数列和等比数列，数列极限和收敛性，无穷级数的概念和性质，收敛级数的判定方法。
4.三角函数和三角恒等式。
角度制和弧度制，三角函数的概念和性质，常用三角函数的图像和性质，三角函数和三角恒等式的应用。
5.解析几何和向量代数。
平面和空间直角坐标系，向量的概念和运算，向量的线性运算和向量的数量积、向量积，直线和平面的解析式，球面和圆锥面的解析式。