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高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数
2
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
机动
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
机动
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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+
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
机动
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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+
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.4 反常积分
解
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
数学分析讲义第五版
)x
f
' y
(x0
,
y0
)y
涉及函数
f
(x,
y)
在点
p0 (x0 ,
y0 ) 邻域内所有的函数值，而偏导数
f
' x
(
x0
,
y0
)
与
f
' y
(
x0
,
y0 )
仅涉及二元函数 f (x, y) 在过点 p0 (x0 , y0 ) 的直线 x x0 与 y y0 上的函数值.因此，仅仅
两个偏导数
f
' x
由全微分的定义不难看到全微分的两个性质： dz 是 x 与 y 的线性函数； dz 与 z 之 差比 是高阶无穷小.
显然，若函数 f (x, y) 在 P0 （ x0 ， y0 ）可微，则函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 连续.
如果二元函数 f (x, y) 在 p0 (x0 , y0 ) 可微，全微分（2）中的常数 A,B 与二元函数 f (x, y) 有
x lim k Q
xk 0
xk
由此可见，多元函数的偏导数就是多元函数分别关于每一个自变量的导数。因此，
求多元函数的偏导数可按照一元函数的求导法则和求导公式进行。
u u
例 1 设 u x y (x 0) ，求
,
.
x y
解 u yx y1 （y 看作常数）。 x u x y ln x （x 看作常数）。 y
o(x)
= A lim
A.
x0 x
dz
f
' x
(x0
,
y0
)dx
f
' y
同济大学第五版高数第3章4节
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 27
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
31
小结
1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论 仍然成立.
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实 根的个数和证明不等式.
32
2、极值是函数的局部性概念: 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
驻点和不可导点统称为临界点.
函数的极值必在临界点取得.
第一充分条件;
判别法
(注意使用条件)
第二充分条件;
33
3、注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
16
例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
11
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
高等数学(第五版)同济大学主编 1-2节数列极限
第二节 数列的极限
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
高等数学同济第五版共17页
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注意 1
在运用牛顿—莱布尼兹公式求定积分时，
必须指明被积函数是否连续，如果被积
函数在积分区间上不连续，则不能用牛
顿—莱布尼兹公式进行计算． 例如
显然是1错1x12误d的x ，1x原11因在2.于 1
上不连续．
x2
在[-1，1]
注意 2
如果函数 f (x) 的原函数不是初等函数,
定了一个函数，记作 (x) ，即
x
(x)a f(x)dx
或
x
(x) f(t)dt
a
定理1 如果 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，则定
积分上限函数 (x) 并且它的导数是xaf
(t)dt
在 [a, b] 上可导，
'(x)d
x
f(t)d t f(x)
dxa
(axb )
b
af(x )d x F (b ) F (a ).
返回
三、变上限的函数及其导数
设 f (x)在[a, b]上连续，x[a,b] ，由于x在 [a, x]
上仍然连续，故定积分
x
a
f
(x)dx存在，于
是，如果上限 x在区间 [a, b] 上任意变
动，则对于每一个取定的 x值，定积
分有一个对应值，所以在区间[a, b]上确
n n3 6
lim1(11)(21) n6 n n
1
3
返回
二、变速直线运动中位置函数与速度函数
之间的联系
若一物体作变速直线运动，设时刻 t时，物体所
在位置为s(t ) ，其速度为连续函数 v (t ), 则由定积
分可来的以表定用示义 速 ；可v (得t ) 在物区体间在时[T1间,T2间]上隔的[T定1,T积2]分内，TT12经v(过t)d路t 程
注意 1
在运用牛顿—莱布尼兹公式求定积分时，
必须指明被积函数是否连续，如果被积
函数在积分区间上不连续，则不能用牛
顿—莱布尼兹公式进行计算． 例如
显然是1错1x12误d的x ，1x原11因在2.于 1
上不连续．
x2
在[-1，1]
注意 2
如果函数 f (x) 的原函数不是初等函数,
定了一个函数，记作 (x) ，即
x
(x)a f(x)dx
或
x
(x) f(t)dt
a
定理1 如果 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，则定
积分上限函数 (x) 并且它的导数是xaf
(t)dt
在 [a, b] 上可导，
'(x)d
x
f(t)d t f(x)
dxa
(axb )
b
af(x )d x F (b ) F (a ).
返回
三、变上限的函数及其导数
设 f (x)在[a, b]上连续，x[a,b] ，由于x在 [a, x]
上仍然连续，故定积分
x
a
f
(x)dx存在，于
是，如果上限 x在区间 [a, b] 上任意变
动，则对于每一个取定的 x值，定积
分有一个对应值，所以在区间[a, b]上确
n n3 6
lim1(11)(21) n6 n n
1
3
返回
二、变速直线运动中位置函数与速度函数
之间的联系
若一物体作变速直线运动，设时刻 t时，物体所
在位置为s(t ) ，其速度为连续函数 v (t ), 则由定积
分可来的以表定用示义 速 ；可v (得t ) 在物区体间在时[T1间,T2间]上隔的[T定1,T积2]分内，TT12经v(过t)d路t 程
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
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高等数学第五版辅导教程
是一本为高等数学学习者所编写的教材。
本书内容丰富，归纳总结了高等数学的各个分支，例如微积分、线性代数、概率论与数理统计等。
同时，在每章结尾处都设有课后习题，可供学习者用来巩固知识点和提高解题能力。
在微积分部分，本书详细阐述了极限、导数和积分等概念。
其中，初等函数的导数和积分的计算方法是学习的基础。
在此基础上，本书又介绍了微积分的应用，如曲线的切线和法线的求解、极值点和拐点的判定以及定积分的计算应用等。
这些应用题目的难度从简单到复杂逐渐递进，可帮助学习者深入理解微积分原理。
线性代数是高等数学的另一个重要分支，本书也有详尽的讲解。
矩阵运算是其中的重点，包括加法、乘法、秩、逆和转置等。
矩阵运算在矩阵方程的解法和向量组的线性相关性等问题中都有广泛的应用。
本书对这些问题也有细致的讲解和解题思路的介绍。
概率论与数理统计是数学中的一门重要课程，也是本书的一个分支。
在这一章节中，本书涵盖了随机事件的概念、概率分布的性质、随机变量的概念和性质、概率分布的常见类型以及常用分布公式和统计方法等。
此外，本书还详细介绍了假设检验、方差分析、回归分析和贝叶斯统计等高级统计方法。
这方面内容对统计学专业的学生来说尤其重要，因为它们是学习和研究各种现象，在研究中需要经常使用的数学方法。
在为数不多的高等数学教材中，本书是一本经典之作，其深入浅出的
授课风格，以及精准完备的理论阐述和计算方法的指导，较好地满足
了当前高等数学教学的需求。
此外，本书还特别注意了应用数学方向
的发展前沿，例如金融和应用统计学等领域的数学方法，为学习者提
供了实用性工作方向的信息和思路。
总之，对于想要提高高等数学能力的学生们，是一本不容错过的教材，曾经帮助许多学生成功地应对了学业上的各种难题。
希望每位学习者
都能充分利用本书的力量，不断拓展自己的数学知识和能力。