中考数学复习：专题4-12 网格中的勾股定理

专题12 网格中的勾股定理
【专题综述】
网格题型是近几年的常考题型，也是近期各地中考考试的一个热点。

正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算。

【方法解读】
一、面积问题
例1 如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）
A、3：4
B、5：8
C、9：16
D、1：2
【举一反三】
如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为，面积为．
【来源】山东省青岛市第四中学八年级数学上册：1.1探索勾股定理同步练习
二、长度问题
例2 如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A 、a ＜b ＜c
B 、c ＜a ＜b
C 、c ＜b ＜a
D 、b ＜a ＜c
【举一反三】
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦。

我国西汉《周髀算经》中周公与商高对话中涉及勾股定理，所以这个定理也有人称商高定理，勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。

我们知道，可以用一个数表示数轴上的一个点，而每个数在数轴上也有一个点与之对应。

现在把这个数轴叫做x 轴，同时，增加一个垂直于x 轴的数轴，叫做y 轴，如下图。

这样，我们可以用一组数对来表示平面上的一个点，同时，平面上的一个点也可以用一组数对来表示，比如下图中A 点的位置可以表示为（2，
3），而数对（2，3）所对应的点即为A 。

若平面上的点M ()11,x y ，N ()22,x y ，我们定义点M 、N 在x 轴方向上的距离为： 12x x -，点M 、N 在y 轴方向上的距离为： 12y y -。

例如，点G （3，4）与点H （1，-1）在x 轴方向上的距离为：|3-1|=2，点M 、N 在y 轴方向上的距离为：|4-（-1）|=5。

（1）若点B 位置为（-1，-1），请在图中画出点B ；图中点C 的位置用数对______来表示。

（2）在（1）条件下，A 、B 两点在x 轴方向上的距离为________，在y 轴方向上的距离为_______，A 、
B 两点间的距离为______；若E 点、F 点的位置分别为（a ，b ）、（c ，d ），点E 、F 之间的距离为|EF|，则2
||EF =_______________。

（3）有一个点D ，它与（0，0）点的距离为1，请画出D 点所有可能的位置。

【来源】北京师范大学附属中学2017-2018学年七年级上学期期中考试数学试题
三、三角形形状问题
例3 如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC 、△A ’B ’C ’、△A ’’B ’’C ’’三个三角形中，直角三角形有（ ）
A 、3个
B 、2个
C 、1个
D 以上都不对
【举一反三】
在所给的8×6网格图中，横竖每相邻两点间的长度均为1，以这些点为顶点的三角形称为网格三角形，请找出点M ，使以A ，B ，M 为顶点的网格三角形是直角三角形，这样的点M 有_______个．
【来源】浙江省吴兴区2017-2018学年八年级上学期期终模拟数学试题
【强化训练】
1.如图，在由单位正方形组成的网格图标中有AB,CD,EF,GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A. AB,CD,EF
B. AB,CD,GH
C. AB,EF,GH
D. CD,EF,GH
【来源】陕西省西安市陕师大附中2017-2018学年度第一学期八年级数学第一阶段模拟测试题 中，AB，BC，AC三边的长分别为5，32，17，求这个三角形的面积.
2.在ABC
小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中
画出格点△ABC中，（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要△ABC高，借用网格就能计算出它的面积.
（1）△ABC的面积为；
（2）如果△MNP三边的长分别为10，25，26，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的格点△MNP，并直接写出△MNP的面积为.
【来源】北京市顺义区2017-2018学年度第一学期期末教学质量检测八年级数学试卷
3.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请在所给网格中画一个边长分别为5、22、3的三角形．
【来源】吉林省长春汽车经济技术开发区2017-2018学年八年级上学期期末教学质量跟踪测试数学试题
4.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你利用上述方法求出△ABC的面积．
（2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为2、8、10
①判断三角形的形状，说明理由．
②求这个三角形的面积．（直接写出答案）
【来源】山东省枣庄市滕州市2017-2018学年八年级（上）期中数学试卷
5.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）画一个三角形，使它的三边长都是有理数．
（2）画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
（3）画出与ABC成轴对称且与ABC有公共点的格点三角形（画出一个即可）．
【来源】浙江省杭州市西湖区绿城育华2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题
6.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，图中虚线叫做格线，每个小格的顶点叫做格点，以格点
为顶点分别按下列要求画三角形（只要求画出图形，不写作法和结
论，作图需用黑笔描画）：
（1）使三角形为直角三角形，且不以格线为任意一边（在图1中画一个即可）；
（2）使三角形的三边长分别为3，22，5（在图2中画一个即可）；
（3）使三角形为钝角三角形且面积为4（在图3中画一个即可）．
【来源】浙江省杭州市余杭区英特外国语学校2017-2018学年八年级上学期期中考试数学试题
7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点．
【来源】江苏省南通市八一中学2018届九年级上学期第三次月考数学试题
8.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB、线段EF的端点均在小正方形的顶点上.
（1）在图中画以EF为直角边的等腰直角△DEF，点D在小正方形的格点上；
（2）在（1）的条件下，在图中画一个Rt△BAC，点C在小正方形的格点上;使∠BAC=90°，且△BAC的面积为2，连接CD，直接写出线段CD的长.
【来源】黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2018届九年级（五四学制）上学期期中考试数学试题
9.阅读下列材料：
小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．
小明是这样解决问题的：如图①所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．
参考小明解决问题的方法，完成下列问题：
（）图是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为）．
①利用构图法在答卷
．．的图中画出三边长分别为、、的格点．
②计算①中的面积为__________．（直接写出答案）
（）如图，已知，以，为边向外作正方形，，连接．
①判断与面积之间的关系，并说明理由．
②若，，，直接
．．写出六边形的面积为__________．
【来源】浙江杭州上城区建兰中学2017-2018学年八年级上学期中考试数学试题
10.在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．我们将从一个格点移动到与之相
距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换
．．．．．
（1）在图1中画出边长为5的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
（2）在图2中有一只电子小马从格点M出发，经过跳马变换到达与其相对的格点N，则最少需要跳马变换的次数是次．
的正方形网格中，一只电子小马从格点S经过若干次跳马变换到达与其相对的格点（3）如图3，在2020
T，则它跳过的最短路程为．
【来源】浙江省温州市瑞安外国语学校2017-2018学年七年级12月月考数学试题。