江苏省苏北四市徐淮宿连届高三第三次调研—答案

江苏省苏北四市2011届高三年级第三次调研考试数学参考答案及评分标准一、填空题： 1．1-； 2．}{x x >；3．100； 4. 60； 5．92； 67．14； 8．2； 9； 10．11(1,)(,1)22-- ； 11．24； 12．(0,0)； 13．94； 14．162（或者65536）． 二、解答题:15. (1)在△ABC 中，因为2OB =，θπθπππ-=--=∠=∠434,4ABO BAO ，， 由正弦定理，得sin sin4OBOAABO，……………………………………3分 3sin()42OA ，所以 322sin()4OA. ……………6分注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB 方程求得2(sin cos )OA 或)4OA πθ=+也得分.(2)由(1)得3||||cos =42sin()cos 4OA OBOAOB ，…………………8分2(sin 2cos2)2θθ=++)24θπ=++， …………………10分因为3(,),24所以572(,)444， 所以当3242，即58时，OA OB 的最小值为2-．…14分 16. （1）因为BD //平面EFGH ，BDC EFGH FG =平面平面，所以BD //FG ．同理BD //EH ，又因为EH FG =， 所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以HG //EF ，又HG ABC ⊄平面，所以HGABC 平面． ……………………………………………………6分（2）在ABC 平面内过点E 作EP AC ⊥，且交AC 于P 点，在ACD 平面内过点P 作PQ AC ⊥，且交AD 于Q 点，连结EQ ，则EQ 即为所求线段．………………………………………………10分 证明如下：EP AC AC EPQ PQ AC EQ AC EQ EPQ EP PQ P ⊥⎫⇒⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭平面平面…………………………………14分17解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线1y =上， 设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为21:，得23ACB π∠=， 所以2CA CB ==，圆心C 的坐标为(2,1)-，所以圆C 的方程为：22(2)(1)4x y ++-=． ………………………………4分 （2）当1t =时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为1y mx =+，由221(2)(1)4y mx x y =+⎧⎨++-=⎩得01x y =⎧⎨=⎩或22241411x m m m y m -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 不妨令222441(,),(0,1)11m m M N m m --+++， 因为以MN 为直径的圆恰好经过(0,0)O ，所以2222244141(,)(0,1)0111m m m m OM ON m m m m --+-+⋅=⋅==+++，解得2m =±，所以所求直线l方程为(21y x =++或(21y x =-+．………………………………10分（3）设直线MO 的方程为y kx =，2，解之得34k ≤，同理得，134k-≤，解之得43k ≤-或>0k ． 由（2）知，=0k 也满足题意． 所以k 的取值范围是43(,][0,]34-∞-． ………………………………………14分18. 设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y ，由题意知，228()(4)(4)4a y x t t t t =-+>++ ………………………………2分所以21284()(4)(4)44a y y y x t t t t x =-=-+->+++ ……………………4分 (1) 当1,5a t =-=时，2184(5)(54)544y x x -=-+-+++(4)41814x x -+=-++≤1-59=， 当且仅当 14x = 时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天． ………………10分 (2) 284()(4)44a y x t t t x =-+-+++22(4)48(4)(4)44(4)a x a t t x t t -++=--+-++++≤84at --+， …………………………………………14分 当且仅当4)4(244)4()4(2-+-=+=++-t ax x t x a 即 时取等号，由题意t t a>-+-4)4(2，所以 40a -<<． ………………16分注：使用求导方法可以得到相应得分.19．⑴ 因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =， 又12a =，所以1d =， 112b a ==，32111122a b a d q b a a +====， 所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=， ……………………………4分 ①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯； ………6分② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221n n n n n n n S ----+-=-=---.所以211212321n n n n S -----+⋅=-． ………………………10分 ⑵ 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ， 因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111232a a d k q a a +-===.因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭⎫⎝⎛-==k a q a a m ， ………………………………………………12分又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+=-+=k m a a d m a a m ， ……13分所以3111234)5)(1(⎪⎭⎫⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-， …………………………………14分 因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数，即3-k 为偶数，所以k 为奇数. ……………………………………16分20. (1)因为1()2f x ax x '=+ ，所以()f x 在点(e,(e))f 处的切线的斜率为12k ae e=+， 所以()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为21(2)()1y ae x e ae e=+-++ ，……2分整理得11(2)()22e y ae x e -=+-，所以切线恒过定点1(,)22e ． ………4分(2) 令x ax x a x f x f x p ln 2)21()()()(22+--=-=<0，对(1,)x ∈+∞恒成立，因为21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x p x a x a x x x--+---'=--+== （*）………………………………………………………………6分 令()0p x '=，得极值点1x 1=，2121x a =-， ①当112a <<时，有1x x 12=>，即1a 21<<时，在（2x ，+∞）上有()0p x '>，此时)(x p 在区间2(,)x +∞上是增函数，并且在该区间上有)(x p ∈2((),)p x +∞，不合题意；②当1a ≥时，有211x x <=，同理可知，)(x p 在区间(1,)+∞上，有)(x p ∈((1),)p +∞，也不合题意； …………………………………………… 8分③当12a ≤时，有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0p x '<， 从而)(x p 在区间(1,)+∞上是减函数；要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a p 12a ⇒≥-， 所以1122a -≤≤．综上可知a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． ……………………………………………12分(3)当23a =时，221214514()ln ,()63923f x x x x f x x x =++=+记22115()()ln ,(1,)39y f x f x x x x =-=-∈+∞．因为225650399x x y x x-'=-=>，所以21()()y f x f x =-在(1,)+∞上为增函数， 所以21211()()(1)(1)3f x f x f f ->-=， ………………………………14分设11()(),(01)3R x f x λλ=+<<, 则12()()()f x R x f x <<,所以在区间()1,+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个． ………………………………………………………………16分数学附加题答案与评分标准B ．选修4—2 矩阵与变换解：（1）由已知1283122b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即238,2612b c +=+=，2,3b c ==， 所以1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦; …………………………4分（2）设曲线上任一点P (,)x y ，P 在M 作用下对应点///(,)P x y ，则//1232x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即{//232x x y y x y=+=+，解之得////234y x x x y y ⎛-= - =⎝，代入225841x xy y ++=得222x y ''+=， 即曲线225841x xy y ++=在M 的作用下的新曲线的方程是222x y +=．………10分 C ．选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）直线l的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos ρθθ=，即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=； ……………4分（2）P 为椭圆221169x y C +=:上一点，设(4cos 3sin )P αα,，其中[02)α∈π,，则P 到直线l的距离d =4cos 5ϕ= 所以当cos()1αϕ+=时，d………………………………10分22．解：（1）建立如图所示直角坐标系，则(0,0,0)A ,(1,0,0)B ,(0,1,0)C ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B ,1(0,1,1)C , 1(,0,1)2P ,1(0,1,)2M ,11(,,0)22N ,NP 1(0,,1)2=-,AM 1(0,1,)2=, 因为⋅11001(1)022=⨯+⨯+-⨯=,所以AM PN ⊥． ………………4分（2）设平面PMN 的一个法向量为1111(,,)n x y z =,1(0,,1)2NP =-,111(,,)222NM =-,则1100n NP n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒1111110,21110.222y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令12y =，得11z =，13x =所以1(3,2,1)n =． ……………………………………6分又1(1,1,)2MB =--，所以1112sin 342||||2n MB n MB θ⋅===⨯ ……………………10分 23．证明：⑴因为1n a >，3143n n n a a a +=-所以2311143(43)1n n n n n a a a a a +++=-=->． ……………………2分 ⑵① 假设11a >，则232111143(43)1a a a a a =-=->若1k a >，则2311143(43)1k k k k ka a a a a +++=-=->．所以当1||1a >时，有*||1()n a n N >∈，这与已知1m a =矛盾，所以11a ≤. ………………………………………………………6分 ②由①可知，存在θ，使得1cos a θ=．则324cos 3cos cos3a θθθ=-=假设 n k =时，有1cos3n n a θ-=即1cos3k k a θ-=则()()33111434cos33cos3cos3k k k k kk a a a θθθ--+=-=-=所以对任意*n N ∈,1cos3n n a θ-=，则1cos3m m a θ-==1，132m k θπ-=，其中k Z ∈即123m k πθ-=， 所以112cos 3m k a π-= (其中k 为整数). ……………………………10分（本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。