高中数学导数经典题型解题技巧(运用方法)(可编辑修改word版)

高中数学导数经典题型解题技巧（运用方 法）

高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。

第一·认识导数概念和几何意义 1. 导数概念及其几何意义 （1） 了解导数概念的实际背景。 （2） 理解导数的几何意义。 2. 导数的运算 （ 1） 能 根 据 导 数 定 义 求 函 数 y  C(C为常数), y  x, y  x2 , y  x3, y  1 , y x 的导数。

（2） 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

（3） 能求简单的复合函数（仅限于形如 f (ax  b) 的复合函数） 的导数。

3. 导数在研究函数中的应用 （1） 了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。

（2） 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。

4. 生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5. 定积分与微积分基本定理 （1） 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定

x 积分的概念。 （2） 了解微积分基本定理的含义。 总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！

第二·导数运用和解题方法 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦：1．利用导数研究曲线 y  f (x) 的切线是导数的重要应 用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。 解题技巧：1．导数的几何意义 函数 y f (x) 在 x0 处的导数 f (x) 的几何意义是：曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数s(t) 对时间t 的导数）。

2．求曲线切线方程的步骤： （1） 求出函数 y f (x) 在点 x  x0 的导数，即曲线 y f (x) 在点 P(x0 , f (x0 )) 处切线的斜率；

（2）在已知切点坐标P(x0 , f (x0 )) 和切线斜率的条件下，求得切线 方程为 y  y0  f (x0 )(x  x0 ) 。

注：①当曲线 y f (x) 在点P(x0 , f (x0 )) 处的切线平行于 y 轴（此时 导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x  x0 ；

②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 例 1：（2010 ·海南高考·理科 T3）曲线 y 

的切线方程为（ ）

x x  2 在点1, 1 处

（ A） y  2x 1 （ B） y  2x 1 （ C） y  2x  3 （ D） y  2x  2

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运 算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.

【 规 范 解 答 】 选 A.因 为 y 2 (x  2)2 ， 所 以 ， 在 点 1, 1 处 的 切 线 斜 率

k  yx1 2 (1 2)2  2

，所以，切线方程为 y 1  2(x 1) ，即 y  2x 1，故选 A.

二、利用导数研究导数的单调性 考情聚焦：1．导数是研究函数单调性有力的工具，近几年各省 市高考中的单调性问题，几乎均用它解决。 2．常与函数的其他性质、方程、不等式等交汇命题，且函数一般为含参数的高次、分式或指、对数式结构，多以解答题形式考查， 属中高档题目。 解题技巧：利用导数研究函数单调性的一般步骤。 （1） 确定函数的定义域； （2） 求导数 f (x) ； （3） ①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数 f (x) 的定义域内解（或证明）不等式 f (x) ＞0 或 f (x) ＜0。

②若已知 f (x) 的单调性，则转化为不等式 f (x) ≥0 或 f (x) ≤0 在单调区间上恒成立问题求解。

例 2： （ 2010· 山 东 高 考 文 科 · Ｔ 21） 已 知 函 数 f (x)  ln x  ax  1 a 1(a  R) x

（1） 当a  1 时，求曲线 y  f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程； （2） 当a  1 时，讨论 f (x) 的单调性. 2

【命题立意】本题主要考查导数的概念、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力.考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想. 【思路点拨】(1)根据导数的几何意义求出曲线 y  f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率；（2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择.

【规范解答】（1） 当 a  1 时，f (x)  ln x  x  2  1, x  (0,), 所以 x

f  x 

x2  x  2

x2

因此， f 2  1 ,即曲线

y  f (x)在点（2，f (2))处的切线斜率为1，.

又 f (2)  ln 2  2, 所 以 曲 线 y  f (x)在点（2，f (2)) 处的切线方程为 y  (ln 2  2)  x  2,

即 x  y  ln 2  0. （2）因为 f (x)  ln x  ax 

1  a

x  1,所以 f '(x)  1  a 

x

a  1

x 2   ax 2  x  1  a

x 2

x  (0,) ,令g(x)  ax 2  x  1  a, x  (0,),

（1）当a  0 时， g(x)  x 1, x 0, , 所以 当x 0,1 时， g  x >0，此时 f  x  0 ，函数 f  x 单调递减； 当x 1,  时， g  x <0，此时 f  x  0 ，函数 f  x 单调递增. （2）当a  0 时，由 f  x  0 ，即 ax2  x 1 a  0 ，解得x  1, x  1 1

.

1 2 a

① 当a  1 时， x  x

2 1 2 ， g  x  0 恒成立，此时 f  x  0 ，函数 f  x

在（0，+∞）上单调递减; ② 当0  a  1 时， 1 1  1  0 ， 2 a

x 0,1 时， g  x  0 ,此时 f  x  0 ,函数 f  x 单调递减

x 1, 1 1 时， g  x <0,此时 f  x  0 ,函数 f  x 单调递增  a 

 

x  1 1,  时， g  x  0 ，此时 f  x  0 ，函数 f  x 单调递减  a 

 

③ 当a  0 时，由于 1 1  0 , a

x 0,1 时， g  x  0 ,此时 f  x  0 ,函数 f  x 单调递减：

x 1,  时， g  x <0,此时 f  x  0 ,函数 f  x 单调递增.

综上所述： 当a  0 时，函数 f  x 在0,1 上单调递减;函数 f  x 在1,  上单调递增

当a  1 时,函数 f  x 在0,  上单调递减2

当0  a  1 时，函数 f  x 在0,1 上单调递减；函数 f  x 在1, 1 1 上 2  a 

 单调递增；

函数 f  x 在 1 1,  上单调递减.  a 

 