2012广东高考数学：有关任意、存在、至少、恒成立问题
广东省人教A版2012届高三数学理二轮复习函数压轴题精编解析二
第二轮复习----函数压轴题精编解析1、（本小题满分14分）已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；(2)若对12,,x x R ∀∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明()012,x x x ∃∈，使()()()01212fx f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立。
(3)是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件①对,(4)(2)x R f x f x ∀∈-=-，且()0f x ≥；②对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-。
若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由。
解（1）()10,0,f a b c -=∴-+= b a c =+ …………………1分2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-，当a c =时0∆=，函数()f x 有一个零点；当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点。
…………………3分 （2）令()()()()1212g x f x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦，则 ()()()()()()121112122f x f xg x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦()()()()()()212212122f x f xg x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦，…………………5分 ()()()()()()()212121210,4g x g x f x f x f x f x ∴⋅=--<≠⎡⎤⎣⎦()0g x ∴=在()12,x x 内必有一个实根。
即()012,x x x ∃∈，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立。
…………………8分（3） 假设,,a b c 存在，由①知抛物线的对称轴为x ＝－1，且min ()0f x =∴241,024b ac b a a--=-=⇒222,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒= ………………10分由②知对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤- 令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ⇒-=(1)1f ⇒=1a b c ⇒++=由12a b c b a a c++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得11,42a c b ===， …………………12分当11,42a c b ===时，221111()(1)4244f x x x x =++=+，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-，满足条件②。
恒成立与能成立的七类问题【解析版】--高中数学
恒成立与能成立的七类问题热点题型速览热点一分离参数法解答恒(能)成立问题1(2023·全国·统考高考真题)已知函数f x =ae x -ln x 在区间1,2 上单调递增，则a 的最小值为( )．A.e 2B.eC.e -1D.e -2【答案】C【分析】根据f x =ae x -1x≥0在1,2 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，f x =ae x -1x ≥0在1,2 上恒成立，显然a >0，所以xe x ≥1a，设g x =xe x ,x ∈1,2 ，所以g x =x +1 e x>0，所以g x 在1,2 上单调递增，g x >g 1 =e ，故e ≥1a ，即a ≥1e=e -1，即a 的最小值为e -1．故选：C ．2(2023春·江苏无锡·高二统考期末)已知函数f (x )=a ln x +x 2，在区间(0,2)上任取两个不相等的实数x 1，x 2，若不等式f x 1 -f x 2x 1-x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.[-8,+∞)B.(-∞,-8]C.[0,+∞)D.(-∞,0]【答案】C【分析】根据f x 1 -f x 2x 1-x 2>0可知f x 在(0,2)上单调递增，进而由导数即可求解.【详解】由f x 1 -f x 2 x 1-x 2>0可知f x 在(0,2)上单调递增，所以f (x )=ax +2x ≥0在(0,2)上恒成立，即a ≥-2x 2在(0,2)上恒成立，故a ≥-2x 2 max ，所以a ≥0，故选：C3(2023春·河南南阳·高二统考期末)若f x =log 0.5x 3-3x 2+ax +6 在区间1,2 上单调递增，则实数a 的取值范围为()热点一：分离参数法解答恒(能)成立问题热点二：构造函数法解答恒(能)成立问题热点三：最值比较法解答恒(能)成立问题热点四：“先分离后构造”解答恒(能)成立问题热点五：两次构造函数，解答恒(能)成立问题热点六：先分离参数、再两次构造函数，解答恒(能)成立问题热点七：构造函数法证明恒成立问题恒成立问题能成立问题“隐性”恒成立A.-∞,0B.-1,+∞C.-1,0D.-1,0【答案】C【分析】令f (t )=log 0.5t ,t =x 3-3x 2+ax +6，根据复合函数的单调性可得需满足t >0，且t =x 3-3x 2+ax +6在1,2 上单调递减，结合导数。
【数学】2012年高考真题广东卷(理)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（理科）解析【试卷总评】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。
本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。
选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第１６、17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数等重点知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查；第14题和第15题考查选修中的坐标系与参数方程、几何证明选讲.试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i为虚数单位，则复数56i i-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i2 设集合U={1,2,3,4,5,6}，M={1,2,4 }则UC M= A .U B {1,3,5} C {3,5,6}D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10)4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln（x+2）C.y=（12）x D.y=x+1x5.已知变量x，y满足约束条件241yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y的最大值为A.12B.11C.3D.-16,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. 49B.13C.29D.19【答案】D8. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )A ．12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。
高三数学专题——恒成立与存在性问题
高三数学专题——恒成立与存在性问题高三复专题——恒成立与存在性问题知识点总结：1.___成立问题：1) 若对于D中的任意x，都有f(x)>A，则f(x)的最小值>A；2) 若对于D中的任意x，都有f(x)<A，则f(x)的最大值<A；3) 若对于D中的任意x，都有f(x)>g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)>0，因此F(x)的最小值>0；4) 若对于D中的任意x，都有f(x)<g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)<0，因此F(x)的最大值<0；5) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有f(x1)>g(x2)，则f(x)的最小值>g(x)的最大值；6) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有f(x1)<g(x2)，则f(x)的最大值<g(x)的最小值。
2.存在性问题：1) 若存在D中的x，使得f(x)>A，则f(x)的最大值>A；2) 若存在D中的x，使得f(x)<A，则f(x)的最小值<A；3) 若存在D中的x，使得f(x)>g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)，因此F(x)的最大值>0；4) 若存在D中的x，使得f(x)<g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)，因此F(x)的最小值<0；5) 若存在D中的x1和E中的x2，使得f(x1)>g(x2)，则f(x)的最大值>g(x)的最小值；6) 若存在D中的x1和E中的x2，使得f(x1)<g(x2)，则f(x)的最小值<g(x)的最大值。
3.相等问题：1) 若对于D中的任意x1，存在E中的某个x2，使得f(x1)=g(x2)，则{f(x)}={g(x)}；4.___成立与存在性的综合性问题：1) 若对于D中的任意x1，存在E中的某个x2，使得f(x1)>g(x2)，则f(x)的最小值>g(x)的最小值；2) 若对于D中的任意x1，存在E中的某个x2，使得f(x1)<g(x2)，则f(x)的最大值<g(x)的最大值。
2012年普通高等学校招生全国统一考试广东卷文科数学
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）B数学（文科）本试卷共4页，21题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：球的体积34=3V R π，其中R 为球的半径. 锥体的体积公式为1=3V Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一组数据x 1，x 2，…，x n 的标准差s ，其中x 表示这组数据的平均数。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 为虚数单位，则复数34i i +=A. 43i --B. 43i -+C. 43i +D. 43i -2.设集合U={1，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则U M ð=A.{2.4.6}B.{1.3.5}C.{1.2.4}D.U3.若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =A.（4.6）B.（-4,-6）C.（-2，-2）D.（2，2）4.下列函数为偶函数的是.sin A y x = 3.B y x = .x C y e =.l D y =5.已知变量x ，y 满足约束条件11.10 x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则z=x+2y 的最小值为A ．3 B.1 C.-5 D.-66.在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，，则AC=A ．BC.D27．某几何的三视图如图1所示，它的体积为A ．72πB 48π C.30π D.24π8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x+4y-5=0与圆2x +2y =4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A ．D 19．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为A ．105B ．16C ．15D ．110．对任意两个非零的平面向量α和β，定义=αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且.a b 和.b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩中，则a b o r r = A ．52 B ．32 C ．1 D ．12二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2012年广东省高考数学考试大纲解读全部高考考点
2012年广东省高考数学考试大纲解读全部高考考点2012年广东省高考数学考试大纲解读全部高考考点Ⅰ.命题指导思想坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的基本原则，适当体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养、发挥数学作为主要基础学科的作用，考察考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能。
Ⅱ.考试内容与要求一、考核目标与要求1. 知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能。
各部分知识的整体要求以及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明。
对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。
（１）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关问题中识别和认识它。
这一层次涉及的主要行为动词有：了解，知道，识别，模仿，会求，理解等。
（２）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道之所见的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。
这一层次涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测，想象，比较，判别，初步应用等。
（３）掌握：要求能对所列的知识内容能够推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。
这一层次涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。
2. 能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能以及应用意识和创新意识。
2012年广东省高考理科数学试题(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC = A ．（-2,-4）B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(-6,-10)4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+ B．y = C ．y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D ．1y x x =+5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1-6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A ．49 B ． 13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．12 B ．1C ．32 D ． 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）9．不等式21x x +-≤的解集为_____． 10． 261()x x+的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = ____． 12．曲线33y x x =-+在点（1，3）处的切线方程为 ．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 ． （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为)x tty =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数和()x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()2cos()(0,)6f x x x R πωω=+>∈其中的最小正周期为10π（1）求ω的值；（2）设56516,0,,(5),(5)235617f f παβαπβπ⎡⎤∈+=--=⎢⎥⎣⎦，求cos()αβ+的值．17． （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ． （1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；19． （本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足11221,,n n n S a n N +*+=-+∈且123,5,a a a +成等差数列． （1） 求a 1的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式． （3） 证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）设a ＜1，集合{}{}20,23(1)60A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B =（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012广东高考数学（理科）参考答案选择题答案：1-8： DCAAB CDC 填空题答案：9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦10. 20 11. 21n - 12. 21y x =+ 13. 8 14. ()1,115.解答题16.（1）15ω=（2）代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒=162cos 17β=8c o s 17β⇒= ∵ ,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 415cos ,sin 517αβ==∴ ()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ===()11932129122C C P C ξ===()232121222C P C ξ===∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯= 18.（1）∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥ ∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面（2）设AC 与BD 交点为O ，连OE∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC OE ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面∴ PC BE ⊥∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角 ∵ BD PAC ⊥平面 ∴ BD AC ⊥∴ ABCD 四边形为正方形 ∴BO =在PAC ∆中，13OE PA OE OC AC =⇒=⇒=∴ tan 3BOBEO OE∠== ∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为319.（1）在11221n n n S a ++=-+中 令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+ 又()21325a a a +=+ 解得11a =（2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得 12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+ 所以132n n n a a n N *+=+∈对成立 ∴ ()11+232n n n n a a ++=+ ∴ 23n n n a += ∴ 32n n n a =- （3）（法一）∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴1113n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-（法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->⨯-=∴11112n n a a +<⋅ 当2n ≥时，321112a a <⋅ 431112a a <⋅541112a a <⋅ ………11112n n a a -<⋅累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅⎪⎝⎭∴212311111111173...1 (5252552)n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<< ⎪⎝⎭ 20. （1）由e =223a b =，椭圆方程为22233x y b += 椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b <,max 3d ==得1b =（舍） ∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y +=（2）11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠ 当90AOB ∠=，AOB S ∆取最大值12，点O 到直线l距离2d ==∴222m n +=又∵2213m n += 解得：2231,22m n ==所以点M的坐标为22222222⎛⎫⎛⎛⎛---- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭或或或AOB ∆的面积为1221.（1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a aa a ∆=+-=-- ① 当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞② 当103a <≤，D ⎛⎫=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③ 当0a ≤，D ⎫=+∞⎪⎪⎝⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1② 当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴ ()D f x a 在内有一个极大值点 ③ 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-< ∴ ()D f x 在内有无极值点理科数学试卷评析——汪治平1. 整体分析：试卷难度偏易，题型较正统，解答题考查了常见六大板块：三角函数、概率统计、立体几何、数列、解析几何、函数与导数。
[高考数学] 2012年广东高考(理科)数学试题及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数56ii-=A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U=A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量(2,3)BA =，(4,7)CA =，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B 1y x =-+C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-16．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12B ．10πC ．32D ．52二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________．10．261()x x +的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________． 12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________． 13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为_______．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线C 1和曲线C 2的参数方程分别为{x =t |（t 为参数）和{x =√2cos θ|（θ为参数），则曲线C 1和曲线C 2的交点坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆上三点，且满足∠ABC =30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交与点P ，则PA= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．A B CPO图316．（本小题满分12分）已知函数f(x)=2cos (ωx +π6)（其中ω>0,x ∈R ）的最小正周期为10π．（1） 求ω的值；（2） 设α,β∈[0,π2],f(5α+5π3)=−65,f(5β−5π6)=1617，求cos (α+β)的值．17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n N ∈，且123,5,a a a +成等差数列． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率23e =，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3． （1） 求椭圆C 的方程（2） 在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．）21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R xB x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B =．（1） 求集合D （用区间表示）；（2） 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012广东高考数学（理科）参考答案选择题答案：1-8： DCAAB CDC 填空题答案：9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10. 20 11. 21n - 12. 21y x =+13. 8 14. ()1,115.解答题 16. （1）15ω=（2）代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒=162cos 17β=8cos 17β⇒=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴415cos ,sin 517αβ==∴()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ===()11932129122C C P C ξ===()232121222C P C ξ===∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=18.（1）∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面（2）设AC 与BD 交点为O ，连OE∵ PC BDE ⊥平面∴ PC OE ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面∴ PC BE ⊥∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角∵ BD PAC ⊥平面 ∴ BD AC ⊥∴ ABCD 四边形为正方形 ∴BO =在PAC ∆中，13OE PA OE OC AC=⇒=⇒=∴tan 3BOBEO OE∠==∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3 19.（1）在11221n n n S a ++=-+中令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+ 又()21325a a a +=+解得11a = （2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得 12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+ 所以132n n n a a n N *+=+∈对成立∴()11+232n n n n a a ++=+∴ 23nnn a += ∴ 32n nn a =-（3） （法一）∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴ 1113n n a -≤∴21123111311111113...1...1333213n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-（法二）∵1111322322n n n n n na a ++++=->⨯-=∴ 11112n na a +<⋅当2n ≥时，321112a a <⋅431112a a <⋅541112a a <⋅ (1)1112n n a a -<⋅累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭∴212311111111173...1...5252552n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<<⎪⎝⎭20.（1）由e =223a b =，椭圆方程为22233x y b+=椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b<,max 3d ==得1b =（舍）∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y +=（2）11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠当90AOB ∠=，AOB S∆取最大值12，点O 到直线l距离d ==∴222m n +=又∵2213m n +=解得：2231,22m n ==所以点M的坐标为⎛⎛ ⎝⎝或或或AOB ∆的面积为1221. （1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=--1当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞2 当103a<≤，D ⎛⎫=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭3当0a ≤，D ⎫=+∞⎪⎪⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点12当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴()D f x a在内有一个极大值点3 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴()D f x 在内有无极值点。
高中数学恒成立与存在性问题
恒成立与存在性问题1.单变量型恒成立问题方法一：参变量分离法解恒成立问题例1.已知函数f(x)＝lnx＋ax＋1，若f(x)＜0恒成立，求a的取值范围.解：∵f(x)＝lnx＋ax＋1＜0在(0，＋∞)上恒成立，∴a＜－lnx－1x，x∈(0，＋∞)，即a＜(－lnx－1x)min令H(x)＝－lnx－1x，x∈(0，＋∞)，H′(x)＝lnxx²当x∈(0，1)时，H′(x)＜0，H(x)在(0，1)上单调递减当x∈(1，＋∞)时，H′(x)＞0，H(x)在(1，＋∞)上单调递增∴H(x)min＝H(1)＝－1∴a＜－1例2.已知函数f(x)＝1xlnx(x＞0,x≠1)，求函数f(x)单调区间，解：f(x)＝1xlnx的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－(lnx＋1)(xlnx)²令f′(x)＞0，则0＜x＜1e；令f′(x)＜0，则1e＜x＜1或x＞1∴f(x)的增区间为(0，1e)，减区间为(1e，1)和(1，＋∞)例3.已知22x＞xa对任意x∈(0,1)成立，求a的取值范围.解：两边取自然对数：1xln2＞alnx，即1xlnx＜aln2，x∈(0，1)∴aln2＞(1xlnx)max，x∈(0，1)∵f(x)在(0，1e)上单调递增，在(1e，1)上单调递减，∴f(x)max＝f(1e)＝－e∴aln2＞－e，即a＞－eln2必背结论一：恒成立问题与函数最值的相互转化若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)min和最大值f(x)max.⑴∀x∈D，都有f(x)＞M⇔f(x)min＞M⑵∀x∈D，都有f(x)≥M⇔f(x)min≥M⑶∀x∈D，都有f(x)＜M⇔f(x)min＜M⑷∀x∈D，都有f(x)≤M⇔f(x)min≤M若函数f(x)在区间D上不存在最大(小)值，且值域为(m，n)，则⑴∀x∈D，都有f(x)＞M⇔m≥M⑵∀x∈D，都有f(x)≥M⇔m≥M⑶∀x∈D，都有f(x)＜M⇔n≤M⑷∀x∈D，都有f(x)≤M⇔n≤M方法二：分类讨论法解决恒成立问题例1.已知函数f(x)＝lnx＋ax＋1，若f(x)＜0恒成立，求a取值范围.解：∵f(x)＝lnx＋ax＋1∴f′(x)＝1x＋a＝1x－(－a)①当－a≤0，即a≥0时，f′(x)＞0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增∵f(1)＝a＋1＞0，这与f(x)＜0矛盾，∴a≥0不合题意.②当－a＞0，即a＜0时，令f′(x)＞0，则0＜x＜－1a；令f′(x)＜0，则x＞－1a∴f(x)在(0，－1a)上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减∴f(x)max＝f(－1a)＝ln(－1a)＜0＝ln1∴－1a＜1，即a＜－1例2.【2017年全国3卷】已知函数f(x)＝x－1－alnx，若f(x)≥0恒成立，求a的值.解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，①若a≤0，因为＝－12＋aln2<0，所以不满足题意；②若a>0，由f′(x)＝1－ax＝x－ax知，当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，故x＝a是f(x)在x∈(0，＋∞)上的唯一极小值点也是最小值点．由于f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.例3.【2015年全国2卷】已知函数f(x)＝e mx＋x²－mx⑴证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；⑵若对于任意x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围.解：⑴∵f(x)＝e mx＋x²－mx，∴f′(x)＝me mx＋2x－mf′′(x)＝m²e mx＋2≥0在R上恒成立，∴f′(x)＝me mx＋2x－m在R上单调递增而f′(0)＝0，∴x＞0时，f′(x)＞0；x＜0时，f′(x)＜0∴f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；⑵由⑴知f(x)min＝f(0)＝1当m＝0时，f(x)＝1＋x²，此时f(x)在[－1,1]上的最大值是2∴此时|f(x1)－f(x2)|≤e－1成立当m≠0时，f(1)＝e m＋1－m，f(－1)＝e－m＋1＋m令g(m)＝f(1)－f(－1)＝e m－e－m－2m，在R上单调递增而g(0)＝0，∴m＞0时，g(m)＞0，即f(1)＞f(－1)∴m＜0时，，g(m)＜0，即f(1)＜f(－1)当m＞0时，|f(x1)－f(x2)|≤f(1)－1＝e m－m≤e－1，即0＜m＜1当m＜0时，|f(x1)－f(x2)|≤f(－1)－1＝e－m＋m＝e－m－(－m)≤e－1，即－1＜m＜0综上所述：m∈(－1，1)方法三：“端点值代入型”恒成立问题例1.【2006全国2卷理20】设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1).若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求a的取值范围.解：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，则g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，即x＝e a－1－1当a≤1时，对所有的x＞0都有g′(x)＞0，∴g(x)在[0，＋∞)上为单调增函数，又g(0)＝0，∴当x≥0时，有g(x)≥g(0)，即当a≤1时都有f(x)≥ax，∴a≤1成立当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1时，g′(x)＜0∴g(x)在(0，e a－1－1)上为单调减函数，又g(0)＝0，∴对于0＜x＜e a－1－1时，有g(x)＜g(0)，即f(x)＜ax，∴当a＞1时，f(x)≥ax不一定成立综上所述：a∈(－∞，1]例2.【2007全国1卷理20⑵】设函数f(x)＝e x－e－x.若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax 成立，求a的取值范围.解：f′(x)＝e x＋e－x，由于e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，故f′(x)≥2令g(x)＝f(x)－ax，g′(x)＝e x＋e－x－a⑴若a≤2，当x＞0时，g′(x)＝e x＋e－x－a＞2－a≥0∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴x≥0，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax⑵当a＞2，方程g′(x)＝0的正根为x1＝ln a＋a²－42此时，若x∈(0，x1)时，g(x)＜g(0)＝0，即f(x)＜ax，与题设f(x)≥ax相矛盾.综上所述：a∈(－∞，2].例3.【2008全国2卷理22⑵】设函数f(x)＝sinx 2＋cosx.⑴求f (x )的单调区间；⑵若对所有的x ≥0，都有f (x )≤ax 成立，求a 的取值范围.解：⑴f ′(x )＝(2＋cosx )cosx －sinx (－sinx )(2＋cosx )²＝2cosx ＋1(2＋cosx )²当2k π－2π3＜x ＜2k π＋2π3(k ∈Z )时，cosx ＞－12，即f ′(x )＞0；当2k π＋2π3＜x ＜2k π＋4π3(k ∈Z )时，cosx ＜－12，即f ′(x )＜0；因此f (x )在每一个区间(2kπ－2π3，2kπ＋2π3)(k ∈Z )是增函数，f (x )在每一个区间(2kπ＋2π3，2kπ＋4π3)(k ∈Z )是减函数，⑵令g (x )＝ax －f (x )，则g ′(x )＝a －2cosx ＋1(2＋cosx )²＝a －22＋cosx ＋3(2＋cosx )²＝3(12＋cosx －13)²＋a －13故当a ≥13时，g ′(x )≥0.又g (0)＝0，所以当x ≥0时，g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≤ax .当0＜a ＜13时，令h (x )＝sinx －3ax ，则h ′(x )＝cosx －3a .故当x ∈[0，arccos 3a )时，h ′(x )＞0，因此h (x )在[0，arccos 3a )上单调递增.故当x ∈(0，arccos 3a )时，h (x )＞h (0)＝0，sinx ＞3ax .于是，当x ∈(0，arccos 3a )时，f (x )＝sinx 2＋cosx ＞sinx 3＞ax .当a ≤0时，有f (π2)＝12＞0≥a ·π2综上所述：a ∈[13,＋∞)例4.【2014全国2卷理21】已知函数f (x )＝e x －e －x －2x .设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b max .解：由f (x )得f ′(x )=e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2=0，即f ′(x )≥0，当且仅当e x ＝e －x ，即x =0时，f ′(x )=0，∴函数f (x )在R 上为增函数；g (x )=f (2x )－4bf (x )=e 2x －e -2x －4b (e x －e －x )＋(8b －4)x ，则g '(x )=2[e 2x ＋e -2x －2b (e x +e -x )＋(4b －2)]=2[(e x ＋e -x )2－2b (e x ＋e -x )＋(4b －4)]=2(e x ＋e -x －2)(e x ＋e -x －2b ＋2)．①∵e x ＋e -x ≥2，e x ＋e -x ＋2≥4，∴当2b ≤4，即b ≤2时，g '(x )≥0，当且仅当x =0时取等号，从而g (x )在R 上为增函数，而g (0)=0，∴x ＞0时，g (x )＞0，符合题意．②当b ＞2时，若x 满足2＜e x ＋e -x ＜2b －2即0＜x ＜ln (b －1＋b ²－2b )时，g '(x )＜0，又由g (0)=0知，当0＜x ≤ln (b －1＋b ²－2b )时，g (x )＜0，不符合题意．综合①、②知，b ≤2，得b 的最大值为2．2.单变量型存在性问题例1.f (x )＝xlnx ，g (x )＝－x ²＋ax －3.若存在x ∈[1e ，e ]，使得2f (x )＞g (x )成立，求a 的取值范围.解：由2f (x )＞g (x )得，2xlnx ＞－x ²＋ax －3∴a ＜2xlnx ＋x ²＋3x＝2lnx ＋x ＋3x ∴a ＜(2lnx ＋x ＋3x )max ，x ∈[1e，e ]，令H (x )＝2lnx ＋x ＋3x ，x ∈[1e ，e ]，则H ′(x )＝2x ＋1－3x ²＝(x ＋3)(x －1)x ²当x ∈[1e ，1]时，H ′(x )＜0，则H (x )在[1e，1]上单调递减当x ∈(1，e ]时，H ′(x )＞0，则H (x )在(1，e ]上单调递增∵H (1e )－H (e )＝(－2＋1e ＋3e )－(2＋e ＋3e )＝2e －2e －4＞0∴H (1e )＞H (e )，∴a ＜H (1e )＝3e ＋1e－2例2.已知函数f (x )＝x －alnx ，g (x )＝－a ＋1x(a ∈R ).若存在[1，e ]上存在一点x 0，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求a 的取值范围.解：令H (x )＝f (x )－g (x )＝x －alnx ＋a ＋1x，x ∈[1，e ]H ′(x )＝1－a x －a ＋1x ²＝(x ＋1)[x －(a ＋1)]x ²，由题意知∃x ∈[1，e ]，使得H (x )＜0，∴H (x )min ＜0当a ＋1≥e ，即a ≥e －1时，H ′(x )＜0，H (x )在[1，e ]上单调递减∴H (x )min ＝H (e )＝e －a ＋a ＋1e ＜0，∴a ＞e ²＋1e －1当a ＋1≤1，即a ≤0时，H (x )在[1，e ]上单调递增∴H (x )min ＝H (1)＝a ＋2＜0∴a ＜－2当1＜a ＋1＜e 时，H (x )在[1，a ＋1)上递减，在(a ＋1，e ]上递增，∴H (x )min ＝H (a ＋1)＝a ＋2－aln (a ＋1)＜0令a ＋1＝x ，则φ(x )＝x ＋1－(x －1)lnx ，x ∈(1，e )φ′(x )＝1－lnx －x －1x＝1x －lnx ，令φ′(x )＝0，设其解为x 0∴则φ(x )在(1，x 0)上递增，在(x 0，e )上递减φ(x )min ＝(φ(1)，φ(e ))min ＝2，即H (x )min ＝2这与H (x )min ＜0相矛盾，与题意不合，综上所述：a ∈(－∞，－2)∪(e ²＋1e －1，＋∞)必背结论二：存在性问题与函数最值的相互转化若函数f (x )在区间D 上存在最小值f (x )min 和最大值f (x )max ，则⑴∃x ∈D ，使得f (x )＞M ⇔f (x )max ＞M⑵∃x ∈D ，使得f (x )≥M ⇔f (x )max ≥M⑶∃x ∈D ，使得f (x )＜M ⇔f (x )min ＜M⑷∃x ∈D ，使得f (x )≤M ⇔f (x )min ≤M若函数f (x )在区间D 上不存在最大(小)值，且值域为(m ，n )，则⑴∃x ∈D ，使得f (x )＞M ⇔n ＞M⑵∃x ∈D ，使得f (x )≥M ⇔n ＞M⑶∃x ∈D ，使得f (x )＜M ⇔m ＜M⑷∃x ∈D ，使得f (x )≤M ⇔m ＜M3.双变量型的恒成立与存在性问题必背结论三存在性问题与函数最值的相互转化⑴∀x 1∈[a ，b ]，总∃x 2∈[m ，n ]，使得f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x 1)max ≤g (x 2)max ；⑵∀x 1∈[a ，b ]，总∃x 2∈[m ，n ]，使得f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x 1)min ≥g (x 2)min ；⑶∃x 1∈[a ，b ]，∀x 2∈[m ，n ]，使得f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x 1)min ≤g (x 2)min ；⑷∃x 1∈[a ，b ]，∀x 2∈[m ，n ]，使得f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x 1)max ≤g (x 2)max ；⑸∀x 1∈[a ，b ]，x 2∈[m ，n ]，使得f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x 1)max ≤g (x 2)min ；⑹∀x 1∈[a ，b ]，x 2∈[m ，n ]，使得f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x 1)min ≤g (x 2)max ；⑺∃x 1∈[a ，b ]，总∃x 2∈[m ，n ]，使得f (x 1)≤g (x 2)⇔f (x 1)min ≤g (x 2)max ；⑻∃x 1∈[a ，b ]，总∃x 2∈[m ，n ]，使得f (x 1)≥g (x 2)⇔f (x 1)max ≤g (x 2)min ；例1.f (x )＝lnx －x 4＋34x －1.设g (x )＝x ²－2bx ＋4，若对任意的x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围.解：f (x )＝lnx －x 4＋34x －1，x ∈(0,2)，f ′(x )＝1x －14－34x ²＝－(x －1)(x －3)4x ²当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(0,1)上递减当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1,2)上递增∴f (x )min ＝f (1)＝－12由题意知，f (x )min ≥g (x )，∃x ∈[1,2]∴∃x ∈[1,2]，使得x ²－2bx ＋4≤－12，即b ≥12(x ＋92x )∴[12(x ＋92x )]min ≤b ，x ∈[1,2]，即b ≥178例2.已知函数f (x )＝12ax ²－(2a ＋1)x ＋2lnx .设g (x )＝x ²－2x ，若对于任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)＜g (x 2)，求实数a 的取值范围.解：由g (x )＝x ²－2x ，x ∈(0,2]知，g (x )max ＝0由题意知，∀x ∈(0,2)，12ax ²－(2a ＋1)x ＋2lnx ＜0f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x ＝ax ²－(2a ＋1)x ＋2x ＝(x －2)(ax －1)x(注：此处主导函数为－ax ＋1)⑴当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0,2]上单调递增，f (x )max ＝f (2)＝－2a －2＋2ln 2＜0∴a ＞－1＋ln 2⑵当a ＞0时，①若1a ≥2，即0＜a ≤12，f (x )在(0,2]上单调递增，f (x )max ＝f (2)＝－2a －2＋2ln 2＜0，∴－1＋ln 2＜a ≤12②若1a ＜2时，f (x )在(0，1a )上单调递增，在(1a ，2]上单调递减f (x )max ＝f (1a )＝－12a－2－2lna ＜0恒成立综上所述：a ∈(－1＋ln 2，＋∞)4.等式型恒成立与存在性问题模型一：“任意＝存在”型问题必背结论四：∀x 1∈A ，∃x 2∈B ，使得f (x 1)＝g (x 2)⇔f (x )值域⊆g (x )值域例1.已知函数f (x )＝x ²＋2x ＋a 和函数g (x )＝2x ＋x ＋1，对任意实数x 1，总存在实数x 2，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围为.解：∵f (x )＝x ²＋2x ＋a 的最小值为f (－1)＝a －1，∴f (x )的值域为[a －1，＋∞)，∵g (x )＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增，∴g (x )的值域为[－2，＋∞)∵∀x 1，总∃x 2，使得g (x 1)＝f (x 2)成立∴g (x )值域⊆f (x )值域，即[－2，＋∞)⊆[a －1，＋∞)∴a －1≤－2，即a ≤－1例2.函数f (x )＝x ²－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .若对任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1，求a 的取值范围.解：∀x 1∈(2，＋∞)，∃x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)＝1f (x 2)∴f (x )的值域⊆1f (x )的值域f (x )＝x ²－23ax 3，f ′(x )＝2x －2ax ²＝2x (1－ax )①当32a ＞2即0＜a ＜34时，0∈f (x )的值域，但是0不属于1f (x )的值域∴f (x )的值域⊆1f (x )的值域不成立②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故f (x )的值域是(－∞，f (2))，因而(－∞，f (2))⊆(－∞，0)，由f (1)≥0，则f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，∴f (x )的值域⊆1f (x )的值域③当32a ＜1即a ＞32时，有f (1)＜0且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故1f (x )的值域时(1f (1)，0)，f (x )的值域是(－∞，f (2))，∴f (x )的值域⊆1f (x )的值域不成立综上所述：a ∈[34，32]模型二：“存在＝存在”型问题必背结论五：∃x 1∈A ，∃x 2∈B ，使得f (x 1)＝g (x 2)⇔f (x )值域∩g (x )值域≠∅例3.函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x ²＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 取值范围为.解：∵f (x )＝e x －1＞－1，∴f (x )的值域为(－1，＋∞)∵g (x )＝－x ²＋4x －3≤1，∴g (x )的值域为(－∞，1]∴f (x )的值域∩g (x )的值域＝(－1，1]∴g (b )＝－b ²＋4b －3∈(－1，1]，即－1＜－b ²＋4b －3≤1解得：2－2＜b ＜2＋2例4.f (x )＝x 3＋(1－a )x ²－a (a ＋2)x (a ∈R )，g (x )＝196x －13.是否存在实数a ，存在x 1∈[－1,1]，x 2∈[0,2]，使得f ′(x 1)＋2ax 1＝g (x 2)成立？解：令H (x )＝f ′(x )＋2ax ＝3x ²＋2x －a (a ＋2)则H (x )的值域为[－13－a ²－2a ，5－a ²－2a ]∵g (x )＝196x －13在[0,2]上单调递增∴g (x )的值域[－13，6]∵存在x 1∈[－1,1]，存在x 2∈[0,2]，使得f ′(x 1)＋2ax 1＝g (x 2)成立∴[－13－a ²－2a ，5－a ²－2a ]∩[－13，6]≠∅当[－13－a ²－2a ，5－a ²－2a ]∩[－13，6]＝∅时，则5－a ²－2a ＜－13或－13－a ²－2a ＞6，即a ＜－1－573或a ＞－1＋573∴a ∈[－1－573，－1＋573]。
高三年级 函数中的存在、任意与恒成立问题
高三年级 数学复习之 函数中的存在、任意与恒成立问题一、引出主题接下来，我们由一道例题（重点看第③小问）来引出我们今天的主旨。
例1.设函数()a f x x x=+，2()22g x x x a =-+-，其中0a > （1）若1x =是关于x 的不等式()()f x g x >的解，求a 的取值范围；（2）求函数()a f x x x=+在(0,2]x ∈上的最小值； （3）若对任意的1x ，2(0,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；题型是：对于任意的1x ，x 2③（a ，b ），不等式12()()f x g x >恒成立，最后求。
（最常见的求一个参数的值或范围，当然也有别的问法）？也就是说两个自变量的在一个区间的任意值，都有对应函数值满足某个不等式的恒成立问题。
即任意对应恒成立问题。
解题思路：只要f （x 1）在这个给定区间（a ，b ）的最小值大于g （x 2）在这个给定区间的最大值，即f （x 1）min>g （x 2）max 。
那么如果是其他的问法呢？任意对应存在（如对于任意的1x ，x 2∈（a ，b ），存在不等式12()()f x g x >成立，最后求。
？）存在对应存在，等等问法，又该如何解题？那么笔者对于这种题型做了如下总结：二、有解问题转化到存在任意问题中解决例题2.已知关于x 的不等式log 2（-2x 2+3x +t ）＜0，其中t ∈R ．（1）当t =0时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t 的取值范围．（2）解题思路，先分离参数，有解即是在满足题意的区间的存在问题，即任意对应存在问题。
例题3.已知函数()2a f x x x=+（其中a 为常数） （1）判断函数()2x y f =的奇偶数；（2）若不等式()2122++42x x f <在[]0,1x ∈时有解，求实数a 的取值范围。
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1 有关任意、存在、至少、恒成立问题2012-5-29 1．（本小题满分14分）
已知函数()ln,.fxxmxmmR。
（Ⅰ）求函数()fx的单调区间。 （Ⅱ）若()0(0,)fxx在上恒成立，求实数m的取值范围（求f(x)的最大值） （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，对任意的ba0，求证：)1(1)()(aaabafbf。
解：（Ⅰ）)),0((,11)(/xxmxmxxf 当0m时，0)(/xf恒成立，则函数)(xf在),0(上单调递增；„„„2分 当0m时，由011)(/xmxmxxf，则)1,0(mx 则)(xf在)1,0(m上单调递增，在),1(m上单调递减． „„„„„„„4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得：当0m时显然不成立； 当0m时，1ln11ln)1()(maxmmmmmfxf, 只需01lnmm即可 ． „„„„„„„„„„．6分 令1ln)(xxxg,
则xxg11)(/，函数)(xg在)1,0(上单调递减，在),1(上单调递增． 0)1()(mingxg，
即()0gx对(0,)x恒成立，也就是ln10mm对(0,)m恒成立， ∴ln10mm解得1m，„„„„„„„„„„9分 ∴若0)(xf在),0(x上恒成立，m=1． „„„„„10分
分析;即求1ln)(xxxg的取值范围，因为1ln11ln)1()(maxmmmmmfxf要不大于0，而1ln)(xxxg是小于或等于0，所以只有ln10mm，解得1m， 2
(Ⅲ）111ln1lnlnlnln)()(aabababababbaababafbf, „„„11分 由ba0得1ab, 由（Ⅱ）得： 1lnabab,„„„12分
则)1(1)1(1111111ln2aaaaaaaaaabab, 则原不等式)1(1)()(aaabafbf成立 ． „„„„„„„„„„14分 2（本小题共14分） 已知函数1()ln(0,)fxaxaax R
（Ⅰ）若1a，求函数()fx的极值和单调区间； (II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x，使得0()0fx成立，求实数a的取值范围. 解：（I）因为2211'()aaxfxxxx ， …………………2分 当1a， 21'()xfxx ， 令'()0fx，得 1x， …………………3分 又()fx的定义域为(0,)， ()fx，()fx随x的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1,)
'()fx 0
()fx 极小值
所以1x时，()fx的极小值为1 . …………………5分 ()fx的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(0,1)； …………………6分
（II）解法一： 3
因为2211'()aaxfxxxx ，且0a， 令'()0fx，得到1xa ， 若在区间(0,]e上存在一点0x，使得0()0fx成立， 其充要条件是()fx在区间(0,]e上的最小值小于0即可. …………………7分 （1）当10xa，即0a时，'()0fx对(0,)x成立， 所以，()fx在区间(0,]e上单调递减， 故()fx在区间(0,]e上的最小值为11()lnfeaeaee， 由10ae，得1ae，即1(,)ae …………………9分 （2）当10xa，即0a时， ① 若1ea，则'()0fx对(0,]xe成立，所以()fx在区间(0,]e上单调递减， 所以，()fx在区间(0,]e上的最小值为11()ln0feaeaee， 显然，()fx在区间(0,]e上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10ea，即1ae时，则有 x 1(0,)a 1a 1(,)e
a
'()fx 0
()fx 极小值
所以()fx在区间(0,]e上的最小值为11()lnfaaaa， 由11()ln(1ln)0faaaaaa， 得 1ln0a，解得ae，即(,)ae. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1(,)(,)aee符合题意. …………………14分
解法二：若在区间(0,]e上存在一点0x，使得0()0fx成立， 即001ln0axx， 4
因为00x, 所以，只需001ln0axx …………………7分 令()1lngxaxx，只要()1lngxaxx在区间(0,]e上的最小值小于0即可 因为'()ln(ln1)gxaxaax， 令'()(ln1)0gxax，得1xe …………………9分 （1）当0a时： x 1(0,)e 1e 1
(,]e
e
'()gx 0
()gx 极大值
因为1(0,)xe时，()1ln0gxaxx，而()1ln1geaeeae， 只要10ae，得1ae，即1(,)ae …………………11分 （2）当0a时： x 1(0,)e 1e 1
(,]e
e
'()gx 0
()gx 极小值
所以，当 (0,]xe时，()gx极小值即最小值为111()1ln1agaeeee， 由10ae， 得 ae，即(,)ae. ………13分 综上，由(1)（2）可知，有1(,)(,)aee . ………14分 3 [2011·山东青岛一模]已知函数32()2fxxaxx． (1)若1a,令函数()2()gxxfx,求函数()gx在(1,2)上的极大值、极小值；
(2)若函数()fx在1(,)3上恒为单调递增函数,求实数a的取值范围. 解：(1)3232()2(2)2gxxxxxxxx，所以2()321gxxx．由()0gx得13x或1x． 5
x 1(1,)3 13 1(,1)3 1
(1,2)
()gx 0 0
()gx 5927 1
所以函数()gx在13x处取得极小值5927；在1x处取得极大值1． (２) 因为2()321fxxax的对称轴为3ax． ①若133a即1a时，要使函数()fx在1(,)3上恒为单调递增函数，则有24120a，解得：33a，所以31a；
②若133a即1a时，要使函数()fx在1(,)3上恒为单调递增函数，则有2111()3()2()10333fa，解得：2a，所以12a．
综上，实数a的取值范围为32a． 4．（本小题共14分） 已知0a，函数23212()33fxaxax，()1gxax， xR. （Ⅰ）当1a时,求函数()fx在点(1,(1))f的切线方程； （Ⅱ）求函数()fx在[1,1]的极值;
（Ⅲ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x，使00()()fxgx成立，求正实数．．．a的取值范围．
解: 由23212()33fxaxax求导得，22()2fxaxax. …………1分 （Ⅰ）当1a时(1)1f, (1)0f …………3分 所以()fx在点(1,(1))f的切线方程是1yx …………4分
（Ⅱ）令()0得：fx10x,22xa
(1)当201a即2a时 x (-1,0) 0 2(0,)a 2a 2(,1)a
()fx + 0 - 0 + 6
()fx ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
………6分
故()fx的极大值是23;极小值是243aa; …………7分
(2) 当21a即02a时 ()fx在(1,0)上递增, 在(0,1)上递减, …………8分
所以()fx的极大值为2(0)3f,无极小值. …………9分
（Ⅲ）设23211()()()33Fxfxgxaxaxax 1(0,]2x. 对()Fx求导，得2222()2(12)Fxaxaxaaxax， ……………10分 因为1(0,]2x，0a，所以22()(12)0Fxaxax，
()Fx在区间1(0,]2上为增函数，则max1()()2FxF. ……12分
依题意，只需max()0Fx，即211111038423aaa， 即2680aa，解得317a或317a（舍去）. 所以正实数a的取值范围是(317,). ……14分 5.（本小题满分14分）
已知函数()lnfxaxx()aR. (Ⅰ)若2a，求曲线()yfx在1x处切线的斜率； (Ⅱ)求()fx的单调区间； （Ⅲ）设2()22gxxx，若对任意1(0,)x，均存在20,1x，使得12()()fxgx，求a的取值范围. 转化为maxmax()()fxgx.
解：(Ⅰ)由已知1()2(0)fxxx， „„„„„„2分 (1)213f.
故曲线()yfx在1x处切线的斜率为3. „„„„„„4分
(Ⅱ)11'()(0)axfxaxxx. „„„„„„5分 ①当0a时，由于0x，故10ax，'()0fx 所以，()fx的单调递增区间为(0,). „„„„„„6分
②当0a时，由'()0fx，得1xa.