16.1.2分式的基本性质约通分导学案
人教版数学八年级上册15.1.2：分式的基本性质应用：约分、通分教案
5.激发学生的创新思维，鼓励他们在解决分式相关问题时，提出不同的解题方法和思路。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式的基本性质：理解并掌握分式约分和通分的概念及其应用；
-约分方法：熟练运用提公因式法、分解因式法等进行分式约分；
-在解决实际问题时，难点在于如何识别问题中的分式结构，例如在速度、密度等计算中，如何将问题转化为分式运算，并进行通分和比较；
-对于运算错误，需要强调检查和验算的重要性，通过示例分析常见的错误类型，如符号混淆、计算顺序错误等，并提供相应的纠错策略。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质应用：约分、通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要简化分数或者比较不同分母分数的情况？”（例如，烹饪时需要按照比例调整配料）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式约分和通分的奥秘。
2.教学难点
-理解分式约分的本质，即分子分母的公因式消除，对于复杂的分式能够快速识别公因式；
-掌握异分母通分的步骤，特别是确定公分母的方法，如最小公倍数（LCM）的求法；
-在实际问题中，如何将问题转化为分式运算，特别是当问题涉及到多个分式时，如何进行通分和比较；
-避免在运算过程中出现常见的错误，如计算错误、符号错误等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调提公因式法和寻找最小公倍数这两个重点。对于难点部分，我会通过具体示例和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式约分、通分相关的实际问题。
16.1.1分式的基本性质2导学案 2
8a 2 ba 1 （2） ； 24ab2 1 a
（B） 化简求值：
1 1 x2 4y （1） 2 其中 x , y 。 2 4 4 x 8 xy
a2 9 （2） 2 其中 a 5 a 6a 9
主
动
大
胆
参
与
搏
取
更
大
成
功
主
动
大
胆
参
与
搏
取
更
大
成
功
A
x y 1 x y
B
2x y 0 2x y
C
xa a xb b
D
m3 3 m
4、约分 ⑴
3a 3 b 3 c 12ac 2
⑵
x y y
xy 2
⑶
x y 2
x 2 xy
⑷
x y 2
x2 y2
四、课堂小结（给我点时间我一定行） 你对同学有哪些温馨的提示？_____________________________________ 你还需要老师为你解决哪些问题？_____________________________ 五. 课后巩固（每一次都尽力超越上次的表现，很快你就会超越周卫的人。 ） b （A）1、化简分式 的结果是： （ ） ab b 2 1 1 1 1 1 A、 B、 C、 D、 2 ab a b ab b ab 2、下列分式中是最简分式是（ ） A 。
⑷
x y 2
x 2 xy
⑸
x y 2
x2 y2
3.根据分数的约分，把下列分式化为最简分式：
26 a b 8a 2 125a 2 bc3 26a b =_____; =_______， =__________， =________。 2 12a 13a 2 b 2 45ab c 13a b
人教版数学八年级上册15.1.2分式的基本性质应用约分、通分教学设计
4.小组合作探究题：以小组为单位，共同完成一道综合性的分式应用题，要求学生在小组内部分工合作，共同分析问题、解决问题，并撰写解题报告。
5.思考题：请同学们思考分式在生活中的应用，并举例说明。通过这个作业，培养学生将数学知识应用于生活的意识。
4.针对学生普遍存在的问题，进行集中讲解，巩固所学知识。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，分享自己的收获。
2.教师对本节课的重点知识进行梳理和总结，强调分式的基本性质和约分、通分的方法。
3.布置课后作业，巩固所学知识。
4.鼓励学生在课后继续探索分式的应用，将数学知识运用到生活中。
五、作业布置
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握分式的基本性质，尤其是约分和通分的操作方法，这是本章节的核心知识点，也是学生容易混淆的地方。
2.将分式的基本性质应用于解决实际问题，这要求学生具备较强的逻辑思维能力和数学建模能力。
3.分式约分和通分的操作过程中，如何引导学生发现规律，总结方法，形成自己的认知结构。
人教版数学八年级上册15.1.2分式的基本性质应用约分、通分教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式的概念，掌握分式的分子、分母、分数线等基本构成元素，并能够准确地识别和书写分式。
2.掌握分式的基本性质，包括约分和通分的概念，能够熟练运用约分和通分的规则对分式进行简化。
3.能够运用分式的基本性质解决实际问题，如解决比例问题、分数比较问题等，提高解决问题的能力。
4.引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了应对考试，更是为了解决实际问题，为生活服务。
16.1.2分式的基本性质(3)-通分
a
b
a 1 , a 1 1 a
2、
a 1 6 , 2 a 2a 1 a 1
2
3、 5 x 20 , x 2 9 x 20 , 5 x
x5
5
x
活动五： 1、分式 x 2 ， 2 x 3 ，
( x 1) 2
(1 x )3
5 的最简公分母（ x 1
要为成功找方法
雅尔塞中学师生共用学导稿 3、
数 4、 a 3 , a 3
学 四、学习体会
人教版八年级下册
3 5 1 , 2 , 2 4a b 6b c 2ac 2
5
7
5、 x , x 1 , 3x
1
x
2
五、课后拓展
活动四： 通分： 1、
b a 已知 1 1 1 ，求 的值。
（6） x 2 x , x 2 x
2
1
3、已知 x y z ，求 xy yz xz 的值。 2 3页 )
要为成功找方法
不为失败找借口
第6页 ( 共4页 )
要为成功找方法
2、计算： 1 1 ，说说运算中应用了什么方法？依据是什么？
2 3
分式的通分： 二、探究活动 活动一： 最简公分母：__________________________________________________________ 1、指出下面各组分式的最简公分母： ①
③ 4 x2 , x 2
2
x
④ ( x y) 2 , x 2 y 2
2 xy
x
3 ab , 2a 2 b ab 2 c
1 x 2 , , x x 1 3x
八年级数学《分式的约分和通分》教案
“三部五环”教学模式设计《16.1.2分式的基本性质（2）》教学设计
活动三变式训练，巩固新知 题组一：选择题
1、下列说法错误的是（ ） A ．
a 21与24a b
通分后分别为242a a 与2
4a
b B ．
z xy 231与y
x 2
31
通分后分别为z y x x 223与z
y x yz
2
23 C ．
n m +1与m
n -1
的最简公分母为2
2
n m - D ．
)(1n m a -与m
n -1
最简公分
母为))((m n n m a -- 2、下列约分正确的是（ ） A ．
33
=+m
m B.
022=--y x y x C.
b
a
b x a x =++ D.
1-=-+-y x y x 题组二：快速解答 1、约分
2、通分 （1）
2
261
21xy
y x -与 （2）
6
4312---+x x x
x 与 题组三：挑战自我
【师生活动】
教师相机出示题组，其中题组一口答，题组二、三纸笔演练
（题组二的1题分组练习，交叉评价），生思考并独立完成，
教师巡视指导，相机提名板演，重点关注学困生的表现，
及时辅导、补救。
【设计意图】
培养学生自主学习的思想，观察其成效
板书设计
16.1.2分式的约分和通分（2）。
16.1.2分式的约分
(x + y )
x2 − y2
2Байду номын сангаас
x− y
=
( )
10a 3bc ; − 5a 2 b 3 c 2
(2).
2a 2 ( x − y ) a( y − x )
3
(3)
x 2 − 3x . x4 − 6 x3 + 9 x2
三 能力提升训练 x+ y 1、分式 的值是 m ，如果分式中 x, y 用它们的相反数代入，那么所得的值为 n 则 m, n 1 − xy
(2)
( ) x 练习：（ ） 1 = ; 2 x+2 x −4 (2)
2x + 2x 2 y 1 + xy = ; 3x ( ) ) 5m - 3n ( = (n ≠ 0); 2 m mn
mn 2
( )
=
mn ; m+n
知识点二：分式符号的变化 知识点二：分式符号的变化
思考：在下面分式的分子、分母、分式前，适当的添加“-”号，使分 式的值不变，有多少种添法？ A =( ) ( )A B ( )B 结论：1、分子和分母同时改变符号，分式的值不变 结论 2、只改变分子或分母的符号，分式本身的符号也要改变
2、若分式
四 作业及梳理小结
1、必做：书 P8 习题 16.1 4、5、6（本） 2、选作：课上能力提升训练， 书 P9 9、12 导航能力提高题选作
最大公约式：① 最大公约式 ①系数取最大公约数；②字母取相同字母；③相同字母取最低 ② ③ 次幂． 例 2 约分： （1） − 25a 2 bc 3 15ab 2 c （2）
x2 − 9 x 2 + 6x + 9
分式的基本性质教案
通过具体例子， 引导学生 回忆前面学段学过的分数约 分、通分的依据-----分数的基 本性质， 再用类比的方法得出 分式的基本性质.在这个活动 中， 首先激活了学生原有的知 识， 体现了学生的学习是在原 有知识的基础上自我生成的 过程.
问题与情境 活动 2 问题 （1）类比分数的基本性质， 你能想出分式有什么性质 吗？
（2）应用分式的基本性质时 需要注意什么？
学生归纳出以下要点： ① 分子、 分母应同时做乘、 除法 中的同一种变换； ②所乘 （或 除以）的必须是同一个整式； ③所乘 （或除以） 的整式应该 不等于零. 在活动中教师要注意： （1）学生能否用数学语 言表述新知识； （2）学生对“性质”的 运用注意事项是否理解.
师生行为
设计意图
教师提出问题 学生思考、 讨论后在全班 交流. 分式的分子与分母都乘 （或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变.这个 性质叫做分式的基本性质.用 式子表示为：
A A•C A A÷C = ， = B B•C B B ÷C
其中 A,B,C 是整式.
教师引导学生用语言和 式子表示分式的基本性质， 这 是学生运用类比的方法可以 做到的.在这一活动中，学生 的知识不是从老师那里直接 复制或灌输到头脑中来的， 而 是让学生自己去类比发现， 即 让学生自己经历发现结论的 过程， 并总结出结论， 从而实 现学生主动参与、 探索新知识 的目的.
问题与情境 活动 6 教学反思
师生行为 这节新授课的设计， 目的 是让学生学会学习，学会思 考， 学会创造， 进而培养学生 用数学的思想方法， 思考并解 决实际生活中所遇到的各种 问题， 这也是学生适应未来生 活必须的基本素质。
设计意图 对本节课教学效果的评价.
教学过程设计
分式的基本性质
= ， = (c≠0)其中A、B、C是整式。
(学生分组讨论、归纳)
活动(二)
出示例2 填空：
（1） = , = ；(2) = , = .
师生互动分析：我们利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不变分式的值，把 和 化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
课后作业
教科书：第11页内容
板书设计：1、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以)
同一个不为零的整式，分式的值不变。
分式的基本性质可用式子表示为：
= ， = (c≠0)
其中A、B、C是整式。
2、例3解：
(1) =－ =
(2) = =
辅助设计：
教学反思：本节课的内容有三点:分式的基本性质、约分、通分。总的来说分式的基本性质比较简单，而约分和通分是比较难的，因为在这之前需要先对分子分母进行因式分解，而因式分解这个知识点是上学期学的，必须要复习。所以我对本节课的内容做了如下安排，先讲基本性质和约分，中间花一段时间复习因式分解，使得基础比较差的学生也能接受，而通分的内容就安排到第二课时。
分析：为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
解：（1）最简公分母是2a2b2c.
= = , = = .
（2）最简公分母是(x－5)(x+5).
= = , = =
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式.
为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
教学课时：两课时教学课件：见ppt分式的基本性质一
教学过程
教学环节
教师导学
分式的基本性质约通分导学案
八年级数学下册16.1.2分式的约分导学案姓名_______ 班别_______学习目标：能说出分式的基本性质，并能灵活运用此性质将分式变形.学习重点：分式的基本性质的理解与运用.学习难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．学习过程：一、自主学习观察：（1）232232⨯⨯= （2）484484÷÷=利用了 分数的基本性质： 。
类比：得出分式的基本性质：分式的 与 都乘（或除以） 的整式，分式的值不变，这个性质叫做 ，用式子表示是：新知探究：例1：填空：（1）22233,,226x x xy x y x x x x ++==-- （2）2222,(0)a b a b b ab a b a a b+-==≠ 仿照课本第6页例3，完成约分：（1）cab bc a 23245125 （2）22699x x x ++-； （3）2232m m m m -+-学以致用：完成以下题目：在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立：（1）b a ab 2) (1= （2）)(22y x x xy x +=+ （3）)0()(663≠=+b ab a a （4）y x x 24y -x ) (22+= 2.根据分数的约分，把下列分式化为最简分式： a a 1282=_____; cab bc a 23245125=_______， ()()b a b a ++13262=__________， 221326b a b a -+=________。
3.找出下列分式中分子分母的公因式: ⑴acbc 128 ⑵233123ac c b a ⑶ ()2xy y y x + 4.分式的符号法则:填空:.____________,_______,=--=--=-ba b a b a － 尝试：不改变分式的值,使下列分式的分子与分母都不含负号? (1)a b 32- (2)d abc -- (3)q p 43- (4)xyz 52-- (2)完成课本第9页习题第5题三.总结反思：1.分式的基本性质：2.运用分式的基本性质进行分式的变形四、自我检测：1.在括号内填上适当的整式.（1）) () () (25323-=⋅-=-ab a c ab c （2）)(2) (6) (46422=÷÷=y x xy y x xy （3）2)() () ()() ()(b a b a b a b a b a +=⋅+⋅-=+- （4）x x x x 21)()12() () )( (12412-=÷+÷=+- 2.、当x=________时，()()4322--+m m m 的值为0.3.、下列分式中是最简分式是（ ） A 。
16.1.2分式的基本性质-通分导学案
15.1.2分式的基本性质---通分班级： 姓名：学习目标：1、经历用类比、观察、联想的方法探索分式通分的方法的过程，理解通分与最简公分母的意义.2、能正确熟练地运用分式的基本性质将分式通分.课前回顾：约分(1)1616822-+-a a a （2）ba b a +---2 （2）y x y x -+--32 学习过程：一、自学探究1、回顾：将异分母分数854123，，化成同分母分数为._____85____,41___,23=== 2、分数的通分是：把 分母的分数化成 分母的分数叫做分数的通分。
其根据是 。
3、启发：分式的通分与分数的通分类似，那么什么是分式的通分呢？其根据又是什么？4、尝试概括：分式通分的定义： 。
分式的通分的根据是5、最简公分母：(1)分式ba x abc a 22,,b 的最简公分母是 ; 22,y x y y x x --的最简公分母是 .22222,2,,bab a b a b ab a b a b a b b a a +-+++--+的最简公分母是 . (2)请概括最简公分母：最简公分母的系数是各分母的系数的 , 字母取各分母所有因式的 的积。
二、新知运用:1、指出下列各组分式的最简公分母. （1）； （2）； （3）.2、举例：例1、通分： ().5352)2(,2a 3122+--x x x x c ab b a b 与与 解：（1）最简公分母是 . =b 22a 3 = cab b a 2-= = （2）最简公分母是 . =-52x x = =+53x x =3、巩固练习：通分： (1),43bd 2c 2bac 与； （2) (3) ;)(2222y x x y x xy -+与(4) (5) (6)xx x 26912--与三、知识总结：1、分式的通分是： . 分式的通分的根据是: .2、分式的最简公分母是：四、当堂检测：1、判断下列通分是否正确：解：∵ 最简公分母是∴ ,2、填空：（1）将 通分后的结果是 ；（2）分式 与 的最简公分母是__________。
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1
§16.1.2.1分式的约分导学案 一、知识导航
分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变。
分式的约分
(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．
(3)分式约分的方法：分子分母为单项式的直接约分，多项式的先分解因式，再约分 (4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
二、新知探究：填空： （1）222
33,
,22
6x
x xy x y
x x x x ++==--
（2）
22
22,(0)a b
a b
b ab a b
a a b
+-==≠ 3，完成约分：步凑：先约系数，再约字母 多项式先分解因式
（1）c ab bc a 2
3245125 （2）22699x x x ++-； （3）2232
m m m m -+- 三、填空（1）b a ab 2) (1= （2）)
(22y
x x xy x +=+ （3）
)0()
(663≠=+b ab
a a （4）y x x 24y -x ) (22+=
2.根据分数的约分，把下列分式化为最简分式：
a a 1282=_____c a
b b
c a 23245125=_____()()
b a b a ++13262
= 22262169a b a b +-=______。
3、已知
234x y z ==，求222xy yz zx
x y z ++++的值。
4、已知
1132a b +=，则254436a ab b ab a b
-+--的值。
(1)4、分式的符号法则:1. 先填空，后归纳： (2)(1)a b -
a b - a b - (2)a b -- a b -- a b -- a b (3)a b --- a
b
-
根据上面的规律可将分式变形的符号法则编成口诀如下：一个负号任意调，两个
负号 ，三个负号 四、自我检测：
1.在括号内填上适当的整式. （1）) () () (25323-=⋅-=-
ab a c ab c （2）)
(2
) (6) (46422=÷÷=y x xy y x xy （3）2
)() () ()() ()(b a b a b a b a b a +=⋅+⋅-=+-（4）x x x x 21)
()12() () )( (12412-=÷+÷=+- 2.、当x=________时，
()()
4
322
--+m m m 的值为0.
3.、下列分式中是最简分式是（ ）
A 。
2222n m n m +-
B 。
9322-+m m m
C 。
3
2
2)(y x y x +- D 。
222)(n m n m --
4.把分式
y
x x
+中的字母x 、y 的值都扩大10倍，则分式的值（ ） A ．扩大10倍 B ．扩大20倍 C ．不变 D ．是原来的
10
1 5.化简分式2
b ab b
+的结果是： （ ）
A 、b a +1
B 、b a 11+
C 、2
1b
a + D 、
b ab +1
6、约分：
（1）22248ab b a ； （2）()()
a a
b a b a --1241822； （3）12122+--x x x
2
§ 16.1.2.2分式的基本性质---通分 一、知识导航
分式的通分 把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分式的通分。
步骤：先求出几个异分母分式的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分式化成用这个公分母做分母的分式。
（最简公分母）（与分数通分一样关键是确定几个分式的公分母）。
找最简公分母的步骤：
（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数； （2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
（3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
1、（1）b a x ab c a 22,,b 的最简公分母是 ;22,y x y
y x x --的最简公分母是 . 22222,2,,b ab a b
a b ab a b a b a b b a a +-+++--+的最简公分母是 . (2)请概括最简公分母：最简公分母的系数是各分母的系数的 , 字母取各分母所有因式的 的积。
2、指出下列各组分式的最简公分母.
（1）； （2）； （3）.
3、通分： ().5
352)
2(,2a 3122+--x x
x x c ab b a b 与与 解：（1）最简公分母是 .
=b 22a 3 = c
ab b
a 2-= = （1）最简公分母是 .
=-52x x = =+5
3x x
=
4、巩固练习：通分： (1)
,43bd 2c 2b ac 与； （2) ;)(2222y
x x y x xy -+与 （3）
(4) (5) （6）
5、当x 为何值时，下列各式值为0.
（1）512x x -+ （2）26836x x x -+- （3）244
24
x x x -+-
6、已知a 为整数，且分式2
6189a a +-的值是正整数，则a 的值为 。
7、已知2114x x =+，求（1）241x x +，（2）242
1x x x ++的值。
8、已知0234x y z ==≠，求222
xy yz xz
x y z ++++得值。
＆ 复习：对于分式A B 而言，如21
32
x x --
（1）当 分式有意义，（2）当 分式无意义。
（3）当 分式值为零，（4）当 分式值为1. （5）当 分式值为-1，（6）当 分式值为5. （7）当 分式值为正，（8）当 分式值为负。