离散数学
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是一门研究离散对象及其关系、运算规则的数学学科。
它在计算机科学、信息学等领域中扮演着重要的角色，是这些领域的基础知识之一。
本文将对离散数学的一些重要知识点进行总结。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是元素的集合以及集合之间的关系。
在集合论中，我们需要了解集合的运算、集合的关系、集合的分割等概念。
集合的运算包括交集、并集、差集和补集等，而集合的关系则包括子集、包含关系等。
此外，集合的分割也是一个重要的概念，它将一个集合划分为不相交的子集。
二、图论图论是离散数学中的重要分支，它研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和边组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论的核心概念包括图的表示方法、图的遍历算法、最短路径算法等。
在实际应用中，我们可以利用图论来解决线路规划、网络优化等问题。
三、逻辑与真值表逻辑是离散数学的重要组成部分，它研究的是命题之间的关系，以及命题的真值。
逻辑的核心概念包括命题、谓词、命题逻辑和一阶谓词逻辑等。
命题逻辑研究的是命题之间的关系，通过真值表可以展示命题的真值。
一阶谓词逻辑则考虑了命题中的变量、量词等。
四、组合数学组合数学是研究离散对象组合方式的数学学科。
它包括排列、组合、二项式系数等概念。
排列是指从一组对象中取出一些对象按照一定的顺序排列，而组合则是指从一组对象中取出一些对象作为一个集合。
二项式系数是组合数学中常用的工具，它表示在一组对象中选择出一个子集的方式数目。
五、数论数论是离散数学中研究自然数的性质和关系的学科。
它研究整数、素数、同余关系等。
数论的核心概念包括质数与合数、素数分解、同余关系和模运算等。
数论在加密算法、密码学中有广泛的应用，对于保证数据安全性至关重要。
总结起来，离散数学是一门研究离散对象及其关系、运算规则的数学学科，其中包括集合论、图论、逻辑与真值表、组合数学和数论等重要知识点。
它在计算机科学、信息学等领域中具有重要的应用价值。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面我们来对离散数学中的一些重要知识点进行整理。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
比如，｛1, 2, 3}就是一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所得到的集合；补集是在给定的全集范围内，某个集合的补集就是全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合的关系有包含、相等、真包含等。
二、数理逻辑数理逻辑是用数学方法来研究逻辑问题。
命题是具有真假值的陈述句。
比如，“今天是晴天”就是一个命题。
命题逻辑中的连接词有“非”“与”“或”“蕴含”“等价”等。
通过这些连接词，可以将简单命题组合成复合命题，并研究其真假性。
谓词逻辑则是对命题逻辑的扩展，它引入了量词“存在”和“任意”，能够更精确地表达命题。
三、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如，在整数集合中，“大于”就是一种关系。
关系可以用矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
等价关系是一种特殊的关系，满足自反性、对称性和传递性。
比如，在整数集合中，“模 n 同余”就是一种等价关系。
偏序关系则是满足自反性、反对称性和传递性的关系。
四、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的自变量对应不同的函数值；满射是指函数的值域等于整个目标集合；双射则是既单射又满射。
五、图论图由顶点和边组成。
可以分为无向图和有向图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
最短路径问题是图论中的一个重要问题，比如迪杰斯特拉算法可以用来求解单源最短路径。
六、树树是一种特殊的图，没有回路且连通。
离散数学知识点整理
离散数学知识点整理离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、数理逻辑等领域都有着广泛的应用。
下面为您整理了一些离散数学的关键知识点。
一、集合论集合是离散数学中最基本的概念之一。
集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。
比如，｛1, 2, 3}就是一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集和补集。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集则是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合；补集是在给定的全集范围内，某个集合的补集是全集中不属于该集合的元素组成的集合。
集合之间的关系有包含、相等、真包含等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B，那么 A 包含于 B；如果 A 和 B 的元素完全相同，则 A和 B 相等；如果 A 包含于 B 且 A 不等于 B，那么 A 真包含于 B。
二、关系关系是集合中元素之间的某种联系。
比如在集合{1, 2, 3}中，“小于”就是一种关系。
关系可以用矩阵和图来表示。
矩阵表示法通过 0 和 1 来表示元素之间是否存在关系；图表示法则用节点代表元素，用边表示关系。
关系的性质包括自反性、对称性、反对称性和传递性。
自反性是指每个元素都与自身有关系；对称性是指如果 a 与 b 有关系，那么 b 与 a 也有关系；反对称性是指如果 a 与 b 有关系且 b 与 a 有关系，那么 a ＝b；传递性是指如果 a 与 b 有关系，b 与 c 有关系，那么 a 与 c 有关系。
三、函数函数是一种特殊的关系，对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型有单射、满射和双射。
单射是指不同的自变量对应不同的函数值；满射是指函数的值域等于其到达的集合；双射则是既单射又满射。
四、数理逻辑数理逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题是可以判断真假的陈述句。
命题逻辑中的基本运算有与（并且）、或、非、蕴含和等价。
离散数学复习题
离散数学（本）模拟试题一、填空题(共20分)1．设全集E＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，5}，B＝{1，2，3，4}，C＝{2，5}，求(A∩B)∪～C＝，ρ(A)∩ρ(C)＝ .2．若关系R具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角线上元素；若关系只具有对称性，当且仅当关系矩阵是 .3．设P：2+2＝4，Q：3是奇数；将命题“2+2＝4，当且仅当3是奇数．”符号化，其真值为 .4．表达式中谓词的定义域是{a，b，c}，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为 .二、单项选择题(选择一个正确答案的代号，填入括号中。
共14分)1．下面关于集合的表示中，正确的是( )．A．φ＝0 B．φ∈{φ}C．φ∈φ D．φ∈{a，b}2．设R1，R2是集合A＝{1，2，3，4}上的两个关系，其中R1＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(4，4)}，R2＝{(1，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，4)}，则R2是R1的( )闭包．A．自反 B．反对称C．对称 D．以上都不是3．设半序集(A，≤)上关系只的哈斯图如下图所示，若A的子集B＝{2，3，4，5}，则元素6为B的( )．A．下界 B．上界C．最小上界 D. 最大下界4．设命题公式则G是( )．A．恒假的 B．恒真的C．可满足的 D．以上都不对6．对于公式，下面的改名中，正确的是( )。
三、计算题(共50分)1．化简下式：((A∪B∪C)∩(A∪B))一((A∪(B—C))∩A) (9分)2．试画出集合A＝{1，2，3，4，5，6}在半序关系“整除”下的哈斯图，并分别求出：(1)集合A的最大元、最小元、极大元和极小元；(2)集合B＝{2，3，6}的上界、下界、最小上界、最大下界．(11分)3．设公式G的真值表如下，试求出G的主析取范式和主合取范式． (12分) P Q R G0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 01 1 1 04．设解释I为：(1)定义域D＝{-2，3，6}；(2)F(x)：x≤3G(x)：x＞5在解释I下求公式的真值． (8分)一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
离散数学划分的定义
离散数学划分的定义
嘿，朋友们！今天咱来聊聊离散数学里一个挺重要的概念——划分。
这玩意儿可有意思啦！
你可以把划分想象成是给一堆东西进行分组。
比如说，咱有一堆不同颜色的球，红的、蓝的、绿的等等，那我们就可以按照颜色把它们分成不同的组，这就是一种划分。
在离散数学里，划分是对一个集合进行的操作哦。
它是把一个集合分成若干个互不相交的子集，而且这些子集合起来又能完全覆盖原来的集合。
这不就跟我们刚才分球是一个道理嘛！
比如说有个集合 A 包含了数字 1、2、3、4、5，那我们可以把它划分成{1,2}、{3,4}、{5}这几个子集。
你看，这些子集之间没有重复的元素，而且它们加起来就是集合 A 所有的元素啦。
划分可是有很多用处的哦！它能帮助我们更好地理解和处理一些复杂的问题呢。
就好像我们把一个大难题拆分成一个个小问题来解决，多轻松呀！
再举个例子吧，想象一个班级里的同学，我们可以按照性别来划分，分成男生组和女生组；也可以按照兴趣爱好来划分，比如喜欢音乐的一组，喜欢运动的一组等等。
这样是不是一下子就让班级的情况变得更清晰啦？
总之，划分在离散数学里真的是很重要的一个概念呀！它就像一把神奇的钥匙，能打开很多知识的大门呢！离散数学的世界丰富多彩，划分就是其中一颗闪亮的星星呀！。
离散数学PPT课件
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例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
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置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
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离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
离散数学符号大全
离散数学符号⼤全├断定符（公式在 L 中可证）╞满⾜符（公式在 E上有效，公式在 E上可满⾜）┐命题的 “⾮”运算∧命题的 “合取 ”（“与”）运算∨命题的 “析取 ”（“或”，“可兼或 ”）运算→命题的 “条件 ”运算A<=>B 命题 A 与 B 等价关系A=>B 命题 A 与 B 的蕴涵关系A* 公式 A 的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当↑命题的 “与⾮ ” 运算（ “与⾮门 ” ）↓命题的 “或⾮ ”运算（ “或⾮门 ” ）□模态词 “必然 ”◇模态词 “可能 ”φ空集∈属于（ ??不属于）P（A）集合 A 的幂集|A| 集合 A 的点数R^2=R○R [R^n=R^(n-1)○R] 关系 R 的“复合 ”∪集合的并运算∩集合的交运算- （～）集合的差运算〡限制[X](右下⾓ R) 集合关于关系 R 的等价类A/ R 集合 A 上关于 R 的商集[a] 元素 a 产⽣的循环群I (i ⼤写 ) 环，理想Z/(n) 模 n 的同余类集合r(R) 关系 R 的⾃反闭包s(R) 关系的对称闭包CP 命题演绎的定理（ CP 规则）EG 存在推⼴规则（存在量词引⼊规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推⼴规则（全称量词引⼊规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）R 关系r 相容关系R○S 关系与关系的复合domf 函数的定义域（前域）ranf 函数的值域f:X →Y f是 X 到 Y的函数GCD(x,y) x,y最⼤公约数LCM(x,y) x,y最⼩公倍数aH(Ha) H 关于 a 的左（右）陪集Ker(f) 同态映射 f 的核（或称 f 同态核）[1，n] 1 到 n 的整数集合d(u,v) 点 u 与点 v 间的距离d(v) 点 v 的度数G=(V,E) 点集为 V，边集为 E的图W(G) 图 G 的连通分⽀数k(G) 图 G 的点连通度△（ G) 图 G 的最⼤点度A(G) 图 G 的邻接矩阵P(G) 图 G 的可达矩阵M(G) 图 G 的关联矩阵C 复数集N ⾃然数集（包含 0 在内）N* 正⾃然数集P 素数集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴Ring 有单位元的（结合）环范畴Rng 环范畴CRng 交换环范畴R-mod 环 R 的左模范畴mod-R 环 R 的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴。
离散数学简介
授课教师：林旭平
学习离散数学需要弄清楚的两个问题
为什么要学习离散数学？ 离散数学都学习什么内容？
为什么要学习离散数学？
离散数学在整个学科体系中的作用 离散数学的实际应用
离散数学在整个学科体系中的作用
基础数学的延伸 算法与数据结构 的理论基础
算法设计 与分析 编译技术 网络技术 软件工程 人工智能 概率
离散数学的实际应用-1
解 ① 设p：派赵去，q：派钱去，r：派孙去， ：派赵去， ：派钱去， ：派孙去， s：派李去，u：派周去. ：派李去， ：派周去. ② (1) (p→q) → (2) (s∨u) ∨ (3) ((q∧¬ ∨(¬q∧r)) ∧¬r)∨ ¬ ∧ ∧¬ (4) ((r∧s)∨(¬r∧¬ ∧¬s)) ∧ ∨ ¬ ∧¬ (5) (u→(p∧q)) → ∧
离散数学的实际应用-6
历史背景：哈密顿周游世界问题 从正十二面体的一个顶点出发，沿着正十二面体的棱前 进，要把二十个顶点无一遗漏地全部通过，而且每个顶 点恰好只通过一次，最后回到出发点，这样，便是哈密 顿周游世界问题。
离散数学的实际应用-7
货郎担问题：有n个城市，给定城市之间道路的长度 （长度可以为∞，对应这两个城市间没有交通线）。 一个旅行商从某个城市出发，要经过每个城市一次且 仅一次，最后回到出发的城市，问如何走才能使他走 的路线最短？
离散数学的实际应用-4
从根到树叶的每条路表示 一种情况。 一种情况。 共有10片树叶， 共有 片树叶，所以共有 片树叶 10种比赛情况。如 种比赛情况。 种比赛情况 EE,EMM,EMEMM, EMEME
离散数学的实际应用-5
1736年瑞士数学家欧拉提出哥尼斯堡七桥问题
在图中从某点出发找一条通路， 在图中从某点出发找一条通路，通过每边一次 而且仅有一次，并回到原点。 而且仅有一次，并回到原点。
离散数学知识点归纳
离散数学知识点归纳
本文档旨在归纳和总结离散数学中的主要知识点。
离散数学是
一门关于离散结构和离散对象的数学学科，主要用于计算机科学、
信息技术和其他相关领域。
以下是一些常见的离散数学知识点：
1. 集合论：集合的定义、运算、子集、并集、交集和差集等。
2. 命题逻辑：命题、命题的合取、析取和否定、简介真值表和
命题等价性。
3. 谓词逻辑：量词、谓词、论域、量化和解释等。
4. 图论：图的定义、图的表示方法、连通性、树、图的着色问
题等。
5. 计数和组合：排列、组合、二项式系数、鸽笼原理等。
6. 关系论：关系的定义、关系的性质、等价关系和偏序关系等。
7. 有限自动机：状态、转移函数、状态转移图和正则表达式等。
8. 布尔代数：布尔运算、逻辑电路的设计和卡诺图等。
以上只是离散数学中的一部分知识点，这些知识点在计算机科学、信息技术和其他领域中有着广泛的应用。
深入理解和掌握离散数学的知识对于解决实际问题和进行科学研究具有重要意义。
希望本文档能够帮助您系统地了解离散数学的主要知识点，为您的研究和研究提供参考和指导。
离散数学基本公式
一、基本等值式⑴双重否定律⌝⌝A⇔A⑵幂等律 A∧A⇔A A∨A⇔A⑶交换律 A∧B⇔B∧A A∨B⇔B∨A⑷结合律 A∨(B∨C)⇔(A∨B)∨C A∧(B∧C)⇔(A∧B)∧C⑸分配律 A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)(6)德摩根律⌝(A∨B)⌝⇔A∧⌝B ⌝(A∧B)⌝⇔A∨⌝B(7) 吸收律 A∨(A∧B)⇔A A∧(A∨B)⇔A(8) 零律 A∨1⇔1 A∧0⇔0(9) 同一律 A∧1⇔A A∨0⇔A(10)排中律 A∨⌝A⇔1(11)矛盾律 A∧⌝A⇔0(12)蕴含等值式 A→B⇔⌝A∨B(13)等价等值式 A↔B ⇔(A→B)∧(B→A)A↔B ⇔(⌝A∨B)∧(A∨⌝B)A↔B ⇔(A∧B)∨(⌝A∧⌝B )(14)假言易位 A→B⇔⌝B→⌝A(15)等价否定等值式 A↔B ⇔⌝A ↔⌝B(16)归谬论 (A →B) ∧(A→⌝B) ⇔⌝A二、推理定律——重言蕴涵式1.A⇒ (A∨B) 附加律2.(A∧B) ⇒A化简律3.(A→B)∧A⇒B假言推理4.(A→B) ∧⌝B⇒⌝A拒取式5.(A∨B) ∧⌝B⇒A析取三段论6.(A→B)∧(B→C) ⇒ (A→C) 假言三段论7.(A↔B)∧(B↔C) ⇒ (A↔C) 等价三段论8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒ (B∨D) 构造性二难(A→B)∧(⌝A→B) ⇒B 构造性二难(特殊形式)9.(A→B)∧(C→D)∧( ⌝B∨⌝D) ⇒ (⌝A∨⌝C) 破坏性二难三、量词辖域收缩与扩张∀x(A(x)∨B) ⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B) ⇔∀xA(x)∧B∀x(A(x)→B) ⇔∃xA(x)→B∀x(B→A(x)) ⇔B→∀xA(x)∃x(A(x)∨B) ⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ⇔∃xA(x)∧B∃x(A(x)→B) ⇔∀xA(x)→B∃x(B→A(x)) ⇔B→∃xA(x)四、量词分配∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x)∀x(A(x)∨B(x)) ⇐∀xA(x)∨∀xB(x)∀x(A(x)∨B(x)) ⇒∀xA(x)∨∀xB(x)个体域为全体自然数; A(x): x是偶数, B(x): x是奇数; 左⇔1, 右⇔0∃x(A(x)∧B(x)) ⇒∃xA(x)∧∃xB(x)∃x(A(x)∧B(x)) ⇐∃xA(x)∧∃xB(x)个体域为全体自然数; A(x): x是偶数B(x): x是奇数; 左⇔0, 右⇔1。