圆中垂径定理
24.1.2垂直于弦的直径 垂径定理三种语言
提示：此中直角三角形AOD中只有A D是已知量，但可以通过弦心距、半径、 拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列 出方程。利用垂径定理进行的几何证明
7.2m
37.4m
C A
D
B
O
关于弦的问题，常 常需要过圆心作弦 的垂线段，这是一 条非常重要的辅助 线。 圆心到弦的距离、 半径、弦构成直角 三角形，便将问题 转化为直角三角形 的问题。
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
C M H A E D F B O N
2 2
如图所示，一座圆弧形的拱桥，它所 在圆的半径为10米，某天通过拱桥的 水面宽度AB为16米，现有一小帆船高 出水面的高度是3.5米，问小船能否从 拱桥下通过？
1.已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的中点。 2. 已知弧AB，用直尺和圆规求作这条弧的四等 分点。
N D
1.作 法 1.连接AB；
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的 距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量 中，只要已知其中任意两个量，就可 以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
a 2 ⑵ r d ( ) 2
垂径定理三种语言
3.3 垂径定理
垂径定理的应用
练习
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
作业：
P76 习题3.3
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
⌒⌒
⌒⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
A
C
·O
E B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦所对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三
种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
引申定理
• 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等 过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理 的变式：
B D O
C
O A CB
新课讲解
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
垂径定理和圆周角圆心角
一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
圆2垂径定理及其推论
1 •垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤.推论1:①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤.②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤.③平分弦所对的一条孤的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤.推论2•圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）：④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1如图AB CD是O O的弦，M N分别是AB CD的中点，且ZAMN ZCNM •求证：AB=CD A”------- 、,例2已知，不过圆心的直线l交O 0于C、D两点，AB是O O的直径，AE丄l于E, BF丄l于F。
求证：CE=DF例3如图所示，O O的直径AB = 15cm,有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D 与B不重合），且CE丄CD交AB于E, DF丄CD交AB于F。
（1）求证：AE = BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形若不是，请说明理由。
例4如图，在O O内，弦CD与直径AB交成45°角，若弦CD交直径AB于点P,且O O半径为1,试问：PC2 PD2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1. 已知O O的半径为2cm,弦AB长2 .. 3cm，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（）A . 1cm B.2cm C. .2cm D. . 3cm cm6cm AB CD为两弦，且AB丄CD垂足为点E,若CE=3cm DE=7cm贝U AB的长为（A . 10cm B.8cm C. D. 8.. 2cmCDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值,3.如图1, O O的半径为B4.有下列判断：①直径是圆的对称轴；②圆的对称轴是一条直径；③直径平分弦与弦所对的孤；④圆的对称轴有6.等腰三角形腰长为4cm,底角为30,则外接圆直径为（A . 2cm B.4cm C.6cm图17. 如图,OO的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么0P长的取值范围是8. 如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm拱高CD=4cm那么拱形的半径是9. 如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm求水的最大深度CD10. 如图，已知△ ABC中，/ ACB=90 ,B11. 已知：如图，在OO中，弦AB的长是半径OA的,3倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状，并说明理由.无数条.其中正确的判断有（)A . 0 个 B.1个 C.2个 D.35.如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D 若AB=4,径之比为( )A . 3:2 B....5 :2 C.5:2个CD=2圆心0到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半D.5:4m.长为）BAB于D,贝U AD的12. 如图所示，在O O 中，弦AB 丄AC,弦BD 丄BA AC BD 交直径 MN 于E 、F.求证：ME=NF.13•（思考题）如图，GO 与002交于点A,B ,过A 的直线分别交O0i , OO 2于M,N,C 为MN 的中点，P 为O 1O 2的中点，求证：PA=PC. 1. 已知O O 的直径AB=10cm 弦CDL AB 垂足为M 。
圆的垂径定理练习题
圆的垂径定理练习题圆的垂径定理是几何学中的重要定理之一，它给出了圆上的垂径之间的关系。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对这个定理的理解和应用。
练习题一：给定一个半径为5的圆，其中一条垂径的长度为12。
求另一条垂径的长度。
解析：根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为x，则有12 * x = 5 * 5。
解这个方程可以得到x的值，进而求出另一条垂径的长度。
练习题二：在一个半径为8的圆中，一条垂径的长度为15。
求另一条垂径的长度。
解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为y，则有15 * y = 8 * 8。
解这个方程可以得到y的值，进而求出另一条垂径的长度。
练习题三：在一个半径为10的圆中，一条垂径的长度为24。
求另一条垂径的长度。
解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为z，则有24 * z = 10 * 10。
解这个方程可以得到z的值，进而求出另一条垂径的长度。
通过以上三个练习题，我们可以看到圆的垂径定理的应用。
它告诉我们，对于一个圆来说，任意两条垂径的乘积都等于半径的平方。
这个定理在解决一些几何问题中非常有用。
除了上述练习题，我们还可以通过一些实际问题来应用圆的垂径定理。
例如，假设有一个圆形花坛，我们想在花坛中心种一棵树。
为了确保树能够均匀地分布在花坛中，我们可以利用垂径定理来确定每棵树之间的最佳位置。
另一个实际应用的例子是在建筑设计中。
如果我们想在一个圆形庭院中建造一个喷泉，我们可以利用垂径定理来确定喷泉的位置，以确保水能够均匀地喷射到庭院的各个角落。
综上所述，圆的垂径定理是一个重要的几何定理，它给出了圆上的垂径之间的关系。
通过练习题和实际应用，我们可以更好地理解和应用这个定理。
无论是解决几何问题还是在实际生活中应用，垂径定理都发挥着重要的作用。
圆及垂径定理
第一讲圆及垂径定理知识点一：圆1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA叫做。
（圆心决定圆的，半径决定圆的。
）2、圆是到定点的距离等于的点的集合。
知识点二：点和圆的位置关系点在圆内；点在圆上；点在圆外知识点三：弦、弧、同心圆、等圆和等弧1、连接圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做；（直径是最长的弦）2、圆上任意两点间的部分叫做，大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做，直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做。
3、圆心相同，半径不等的两个圆叫做。
4、能够完全重合的两个圆叫做，的两个圆是等圆。
5、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。
知识点四：圆的对称性圆既是轴对称图形，有条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是。
【典型例题】例1．下列结论正确的是（ )A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径例2. 一个点到定圆上最近点的距离为3，最远点的距离为8，则此圆的半径是 .例3．如图，AB, CD为⊙O的两条直径，E, F分别为OA, OB的中点，求证：四边形CEDF是平行四边形．例4．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数．A BCDEFO第 1 页共 3 页第 2 页 共 3 页知识点四：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
弦心距：圆心到弦的距离叫弦心距。
【典型例题】例1. 如图,DE 是⊙O 的直径,弦AB ⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.例2．（2010年河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点RD ．点M 例3．如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12例4．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得ODDE = 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【课上练习】如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82.如图，MN 是⊙O 的直径，弦 AB ⊥MN ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A ． ＝B .AN ＝BNC .AC ＝CBD .OC ＝CM3．在直径为10cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则弦AB 的长为 . 4．若AB 是⊙O 的一条弦，AB=8cm ，AB 的弦心距为3cm ，则⊙O 的半径为_____cm..5.⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，点M 在线段AB （包括端点A B ，）上移动，则OM 的取值范围是（ ）Ａ．35OM ≤≤Ｂ．35OM <≤Ｃ．45OM ≤≤Ｄ．45OM <≤6、如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm ，其中有油部分油面宽AB 为24cm ，则截面上有油部分油面高CD （单位：cm ）为 .7、如图，已知在⊙O 中，直径10MN =，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及⊙O 上，并且45POM = ∠，则AB 的长为OENN第 3 页 共 3 页8、如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB 于E 点， ⑴若AB ＝8，OE ＝3，求⊙O 的半径； ⑵若CD ＝10，DE ＝2，求AB 的长： ⑶若⊙O 的半径为13，AB ＝24，求DE 的长.9.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°, 求CD 的长.10．半径为5cm 的⊙O 中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm .则这两条弦的距离为多少?DD。
垂径定理
（1） 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.（2） 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直弦,并且平分弦所对的两条弧. （3） 圆中最长弦和最短弦问题（4）弧、弦、弦心距、圆心角关系定理:在等圆或同圆中,相等圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.（5） 弧、弦、弦心角、圆心角关系定理推论: 在等圆或同圆中 ,如果两个圆心角,两条弧,两条弦或两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（6） 圆周角定理: 在等圆或同圆中 ,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半.（7） 切线的判定定理:经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （8） 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径. （9） 在等圆或同圆中 ,同弦所对的圆周角相等或者互补.（10） 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.∙习题练习∙1. 过o 内一点M 的最长的弦为10cm,最短的弦长为8cm,求OM 的长?2. 若两圆的半径分别为３cm 和 4 cm ，则这两个圆相切时圆心距为3. 如图，已知A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若∠ACB=44°，则∠AOB 的度数为4.如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为 cm 。
5. 如图，矩形ABCD 中，BC= 2 , DC = 4．以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ，则阴影部分的面积为 (结果保留л）6. 林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示．现已知∠BAC ＝６０°,ＡＢ＝０.5米，则这棵大树的直径为 _________米．7.在o 中,90的圆心角所对的弧长是2πcm,则o 的半径是________cm.确定圆的条件不共线的三点确定一个圆三角形的外接圆 圆与圆有关的位置关系圆的定义,弧、弦等概念点和圆的位置关系点在圆上d r ⇔=点在圆外d r ⇔>点在圆内d r ⇔<判定性质 切线长定理三角形的内切圆相交d r ⇔<相切d r ⇔= 相离d r ⇔>直线与圆的位置关系基本性质垂径定理及其推论圆的对称性弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论 圆周角定理及其推论相交R r d R r ⇔-<<+ 相切的两圆的连心线过切点 相交的两圆的连心线垂直平分相交弦外离d R r ⇔>+ 内含d R r ⇔<+ 外切d R r ⇔=+ 内切d R r ⇔=-相交 相切相离圆与圆的位置关系圆内接正多边形正多边形与圆正多边形的有关计算圆内接正多边形作法----等份圆扇形的弧长、面积正多边形的半径、边心距、正多边形的内角、中心角、外角、正多边形的正三、六、十二边形 正四、八边形180n Rl π=213602n R S lR π==扇形 正多边形和圆。
圆的垂径定理的逆定理
圆的垂径定理的逆定理圆的垂径定理的逆定理，听起来是不是有点拗口？其实它讲的就是一个非常有趣的几何概念，咱们今天就来轻松聊聊这个话题，顺便也能让大家对几何有点兴趣。
想象一下，咱们生活中到处都是圆，篮球、披萨、甚至连月亮都是圆的。
圆的美，不光在于它的形状，还有它的性质。
而圆的垂径定理呢，就是说如果你在一个圆里，任意两点连接成的直线通过圆心，那这条线就是垂直的。
听上去是不是有点高深？但别担心，咱们一起来看看这个定理的逆定理，它让事情变得更加有趣。
逆定理说的是，如果你有一条线，恰好在圆内连接了两点，而且它是垂直的，那么这条线就一定能穿过圆心。
哇，这不是挺酷的吗？这就像是说，假如你能找到一个特别的标记，标记到了圆心，那这条线就能帮你找到回家的路。
人生就像这个圆，偶尔我们需要找到那条垂直的线，才能清楚地看见自己的方向。
想想看，有时候我们在生活中迷路了，可能就是因为没有找到那条垂直的线，哦，真是百感交集啊。
在几何的世界里，圆的特性简直是数不胜数，咱们也能把它们用在生活中。
比如说，大家都知道，圆是个对称的形状，就像是生活中对称的幸福。
很多时候，我们追求的其实就是一种平衡。
就像那条垂直的线，无论怎么旋转，最终都能找到一个中心点。
是不是很有哲理呢？很多人喜欢打篮球，跑起来的时候就像是追逐那个圆心，一直在寻找自己的目标。
篮球飞进篮筐的那一刻，仿佛生活中的每一个努力，都在那一瞬间得到了验证。
我们再来深入一点，想象一下，当你用铅笔在纸上画一个圆时，那一圈的边界就像是我们的生活圈。
你可以在这圈内自由活动，做自己想做的事，但要记得，外面的世界也很精彩。
就像那条垂直的线，可能在你觉得找不到的时候，它其实一直都在，只是你没发现它。
我们生活中有太多的选择，有时候就是要在这条线上找到自己的方向，保持平衡，才不会走偏。
生活的节奏有时候快得让人喘不过气来，但只要找到那条垂直的线，哪怕是短暂的停顿，也能让我们重新审视自己。
再说说这条线，它不单单是几何中的一个概念，它其实可以引申到许多方面。
3.3垂径定理
C
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ④AC=BC,
A
└ M
●
B
O
如果具备上面五个条件中的任何两个，那 么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3) 平分弦（不是直径）; (4)平分弦所对优弧;(5) 平分弦所对的劣弧.
D
课堂讨论
根据已知条件进行推导：
① ② ② ④ ⑤ ① ④
③ ④ ⑤ ③ ② ⑤
① ③ ② ① ④ ④ ③ ⑤ ⑤ ② （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
解： OE AB 1 1 AE AB 8 4 2 2
A E B
在Rt △ AOE 中
2 2 2
O
·
AO OE AE = 3 +4 =5cm
2
答：⊙O的半径为5cm.
结论：
在直径，弦长，弦心距，弓形的高，这四个量 中已知任意两个量，即可根据勾股定理求出另 外两个量。
① ③
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个.
（2015中考题）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,
点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、 BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于 F,EF= 。
O
A
E
F
B
P
试一试
C
O · E D B
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C
弧：ＡＣ＝ＢＣ
⌒
⌒
，ＡＤ＝ＢＤ
和
⌒
⌒
·
E A D B
O
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
⌒ 点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ ⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
⌒
ＢＣ
直径ＣＤ平分Βιβλιοθήκη ＡＢ，并且 平分ＡＢ⌒及
ＡＣＢ
⌒
C
即ＡＥ＝ＢＥ ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ
A
⌒
⌒
⌒
⌒
·
E D B
O
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
①平分弧的直径必平分弧所对的( ②平分弦的直线必垂直弦 ( ) )
③垂直于弦的直径平分这条弦( ) ④平分弦的直径垂直于这条弦( ) ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ( ) ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ) ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ( )
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ ⌒ 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽 度为７.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于 C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方 形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此 C 货船能否顺利通过这座拱桥？
M H N
A
E
D
F
B
O
24.1垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
C
把一个圆沿着它的任意一条直 径对折，重复几次，你发现了什 么？由此你能得到什么结论？
E A
·
B D
O
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所 在直线都是它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE
A
E
B
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧．
Ｃ
Ｏ Ａ
垂径定理：
Ｅ
Ｂ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
推论：
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
⌒
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
判断下列说法的正误
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m） ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解：
OE AB
在Rt △ AOE 中
1 1 AE AB 8 4 2 2
AB
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ 的中点，CD 就是拱高． ＡＢ
解： 在图中
AB=37.4，CD=7.2， OD=OC－CD=R－7.2
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
C D R O B