第七章 量子蒙特卡罗初步
基于蒙特卡洛方法的量子海森堡模型的数值计算
基于蒙特卡洛方法的量子海森堡模型的数值计算一、引言量子力学的研究对于现代物理学的发展有着重要的意义，而其中最基础的模型之一便是海森堡模型。
该模型的研究有着广泛的应用，比如可以在电子学和量子计算领域中得到应用，同时也可用于分析量子相变等多个领域。
随着计算机技术的不断发展，数值计算已经成为物理研究不可或缺的工具。
在这篇文章中，我们将介绍一种基于蒙特卡洛方法的量子海森堡模型的数值计算方法，以及它的应用场合和限制。
二、海森堡模型海森堡模型是一种研究自旋力学的模型，在该模型中，自旋可以被描述为一个二元系统。
该模型是由维尔纳·海森堡于1926年提出的，他的研究对于后来的量子力学发展有着深远的影响。
海森堡模型的基本假设是，系统中的自旋之间存在伦敦相互作用，而这种相互作用会导致自旋倾向于互相靠近。
这一假设使得海森堡模型能够描述自旋在一个平面上的运动，同时也为进一步研究宏观物理现象奠定了基础。
三、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种重要的随机仿真方法，这种方法是通过随机抽样来求解数学问题的。
在物理学领域，蒙特卡洛方法被广泛应用于研究各种问题，比如相变、计算体系的能量等。
在海森堡模型的数值计算中，蒙特卡洛方法可以被用于模拟自旋随机翻转的情况，进而得到系统的能量以及磁矩等物理量。
这种方法的优点在于精度高、可靠性好，并且计算过程中不需要进行过多的假设。
四、数值计算与应用在实际计算中，我们可以通过蒙特卡洛法得到海森堡模型在不同温度下的能量和磁矩等物理量。
同时，我们也可以通过改变模型的参数来模拟不同的实验条件。
这种基于蒙特卡洛法的方法可以广泛应用于物理学领域的理论计算中，比如用于研究量子相变、格子系统的结构等。
此外，这种计算方法也可以用于解决其他无法通过传统方法求解的物理问题。
但是需要注意的是，这种计算方法的可靠性和精度并不一定高。
同时，由于该方法需要进行大量的计算，计算时间也会比较长，因此需要精心设计计算流程，避免浪费计算资源。
量子力学与统计力学课件第7章
电子电 荷
电子质 量
9
在任意方向上的 投影仅两个
e M sz M B （SI）子 2 (3) e M sz M B （CGS） 2c
波尔磁
说明：自旋角动量无经典对应，纯属量子效应，与坐标和动量无 关。它是电子的本身的内禀属性，是电子内部状态的表征，标志 了电子还有一个新自由度。 电子自旋值是 ， 而不是 的整数倍。 2
(9)
17
本征值
ˆ ˆ ˆ x y z 的本征值都是 1
1
2 x 2 y 2 z
(10)
反对易关系 (11)式证明：
ˆ ˆ ˆ ˆ x y y x 0 ˆ ˆ ˆ ˆ y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ z x x y 0
自旋与全同粒子是研究多体问题的基础，非常重要。
3
本章主要研究内容
7.1 7.2 7.4
7.5
7.6 7.7
7.8
电子自旋 电子自旋算符与自旋波函数 两个角动量的耦合 光谱的精细结构 全同粒子的性质 全同粒子系统的波函数 泡利原理 两个电子的波函数
4
学习要求：
1.掌握电子的自旋特性，自旋算符及自旋波函数； 2.掌握全同粒子特性，泡利原理，双电子自旋波函数； 3.理解两个角动量的耦合； 4.理解光谱的精细结构； 5.了解简单塞曼效应及氦原子（微扰法）。
所以自旋算符应为 2 2 的矩阵。
ˆ ' Sz
故可设
在 1/ 2 ˆ 是 Sz 的本征态，对应的本征值 /2 ˆ S z 1/2 1/2 2
ˆ Sz 有确定的值 /2 ，故 所描写的态中， 1/ 2
自旋动力学第七章量子力学基础
理论发展
随着量子计算和量子通信等应用的不断推进，需要进一步发展和完 善量子力学理论，以更好地解释和预测实验现象。
THANK YOU
感谢聆听
量子纠缠的实验验证
贝尔不等式实验
通过实验验证了纠缠态的不可预测性，即无法通过局 部实在模型来解释量子纠缠现象。
延迟选择实验
通过实验验证了量子态的观测坍缩原理，即观测会导 致量子态的坍缩，从而改变结果。
量子密钥分发
利用量子纠缠实现安全的密钥分发，用于加密通信。
非局域性与量子信息传递
量子隐形传态
利用量子纠缠实现信息的传递，即通过测量一个粒子来获得另一个粒子的状态信息，而不需要直接相互作用或传递物 理粒子。
自旋动力学第七章量子力学基 础
目
CONTENCT
录
• 量子力学简介 • 薛定谔方程 • 量子力学中的算符与表象 • 量子力学中的对称性与守恒定律 • 量子力学中的纠缠态与非局域性 • 量子力学的应用与发展前景
01
量子力学简介
量子力学的起源与发展
01
02
03
04
19世纪末
经典物理理论无法解释黑体辐 射、光电效应等现象。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于某些特定的问题，薛定谔 方程可以通过分离变量法进行 求解，即将波函数分解为不同 的部分，分别求解。
近似解法
对于一些复杂的问题，无法得 到精确的解，需要通过近似解 法来求解，如变分法、微扰法 等。
数值计算
对于一些无法解析求解的问题 ，可以通过数值计算的方法求 解薛定谔方程，如有限差分法 、谱方法等。
态矢量与表象变换
第七章 光的量子性 第二节 普朗克辐射公式
由于他们的理论没有超出经典物理学的传统概念。 由于他们的理论没有超出经典物理学的传统概念。 所以没有取得完全成功。 所以没有取得完全成功。最具代表性的是维恩公式 和瑞利－金斯公式。 和瑞利－金斯公式。
维恩公式和瑞利－ 一. 维恩公式和瑞利－金斯公式
1896年，维恩根据热力学原理，并假设辐射按 年 维恩根据热力学原理， 波长的分布类似于与麦克斯韦速度分布律， 波长的分布类似于与麦克斯韦速度分布律，导 出下列公式： 出下列公式：
ε = hν
普朗克根据上述假设，由玻耳兹曼分布， 普朗克根据上述假设，由玻耳兹曼分布，得出谐振 子的平均能量为： 子的平均能量为：
ε (k , T ) =
ε0
e 1
2πhc 2
hν kT
得出黑体辐射的单色辐出度的表达式为： 得出黑体辐射的单色辐出度的表达式为：
2πhν 1 M B (ν , T ) = hν c 2 e kT 1
2. 与经典物理中能量变化是连续的概念不同，谐振 与经典物理中能量变化是连续的概念不同， 子的能量只能取某些分立值， 子的能量只能取某些分立值，这些分立值是某一最 小能量单元ε的整数倍， 小能量单元ε的整数倍，即ε，2ε，3ε等。这些允许的 ε ε 能量值称为谐振子的能级。 称为能量子。 能量值称为谐振子的能级。 ε称为能量子。所以振子 的能量是不连续的。 的能量是不连续的。 振子从一个能级跃迁到一个能级而辐射或吸收电磁 波时，能量变化也是不连续的， 波时，能量变化也是不连续的，能量的不连续变化 称为能量量子化。 称为能量量子化。 3. 能量子ε与谐振子的频率成正比。 能量子ε与谐振子的频率成正比。 h＝6.626×10－34J/s，称为普朗克常数。 ＝ × ，称为普朗克常数。
3
或
08 粒子相互作用的直接模拟 I——蒙特卡罗
22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004年春季）第八讲（2004年3月2日） 粒子相互作用的直接模拟 I——蒙特卡罗抽样统计物理和粒子输运中蒙特卡罗方法的基本概念“时间是1945年。
两个具有巨大影响力的事件发生了：在阿拉莫戈多（Alamogordo）成功实现的第一次核爆和第一台电子计算机的诞生。
这两件事情使得苏联和西方之间的关系发生了质变。
同样也在学术研究和应用科学领域造成了很大影响。
至少，这些事件导致了原来称作‘统计抽样’的数学技巧的复兴；而在新条件（可以利用电子计算机）下，并且由于其特性，统计抽样的新名字‘蒙特卡罗方法’也就没人拒绝了。
”—引自“蒙特卡罗方法的开始”，N. Metropolis，Los Alamos Science , Special Issue 1987, p.125.统计物理中的蒙特卡罗抽样蒙特卡罗方法是一个非常通用的计算技巧，可以用于数值积分、实现某种概率分布的抽样等。
在它所有的应用中，都必须利用随机数。
所以也可以把蒙特卡罗方法定义为任何使用随机数的计算方法。
此方法的名字于1947年3月得来，当时N. Metropolis 的同事Stanislaw Ulam 有一个叔叔经常从亲戚那儿借钱，因为他“不得不去蒙特卡罗（位于摩纳哥，以赌场闻名）”，于是N. Metropolis 建议取了这样一个诙谐的名字。
在我们的讨论中，将利用蒙特卡罗方法来抽样给定温度下系统的原子结构。
蒙卡方法可用于三个统计计算领域。
第一个是多维数值积分，第二个是对统计力学和凝聚态物理中随机游走过程（马尔可夫链）的模拟，第三个是粒子及辐射输运过程。
蒙卡方法的本质，如同在统计物理中所用到的，是我们下面所要描述的Metropolis 抽样方法。
跟踪粒子和辐射（中子、光子、带电粒子）的输运问题是蒙卡方法的另一个重要的应用领域，在本讲结尾将对此做一个相当简要的介绍。
关于这个问题有大量文献可以参考[1-4]。
35在量子力学中的蒙特卡洛方法
3.5在量子力学中的蒙特卡洛方法量子力学中的波函数是直接与几率密度相关的量, 与波函数相关的分布密度函数具有关系式x d t x c x d t x p GG G G 2),(),(Ψ=.波函数),(t x GΨ也被称为几率幅度。
因此人们很自然地想到可以利用蒙特卡洛方法来求解量子力学问题。
3.5.1量子力学回顾量子力学的基本方程是薛定格方程ti t x H ∂∂Ψ=Ψ=G ),(ˆ . 其哈密顿量算符 H 可以写为 V mHˆ2ˆ22+∇−==. 从费曼的观点来看，一个粒子在某个时刻t ，某空间位置Gx 的波函数应当是来自所有的初始态位置“传播”到该时空点的幅度。
即()()()00000,,;,,x d t x t x t x D t x F GG G G G Ψ=Ψ∫+∞∞−.上式中的称为“传播子”。
该传播子可以表示为 (D x t x t FG G ,;,0) ()D x t x t x i H t t x F (,;,)exp G G G =G 0000=−−. 如果()x nG ψ为与时间无关的哈密顿量 H的本征态波函数，则它满足的薛定格方程为()()x E x H nnnG G ψψ=ˆ，波函数也可以用展开式表示为()()x t c t x n nn GG ψ∑=Ψ)(,.其中c 。
由这些表达式，我们得到传播子的一个精确表示为()()t x x x d t nn ,)(*GG G Ψ=∫+∞∞−ψ()()()==G G G G G G /0*0/00||0,;,t iE n nn nn t iE n F n n e x x x e x t x t x D −−∑∑===ψψψψ.假定该等式在延拓到t 为虚值时仍成立，令t i =−τ，则有()()()=G G G G /0*000,;,τψψnE n nn F e x x t x t x D −∑==.当τ足够大时，特别是在()τ>>−=/E E 10时(是基态能量，为第一激发态的能量)，(3.5.8)式的右边主要是来自能量最小的基态能量的贡献。
第七章-量子跃迁
(7.30) (7.31)
sin 2 xu/ x2 →πuδ(x)
u→ ∞
P (t) = (2 t / h ) F δ (ωmn −ω) π mn mn
2 2
(7.32) (7.33)
ω =ωmn = Em − En > 0
故系统吸收能量发生从低能态向高能态的跃迁. 故系统吸收能量发生从低能态向高能态的跃迁 吸收能量发生从 跃迁
微扰缓慢绝热加入微扰突然加入微扰加入所需时间系统状态变化特征时间dtdtdvmnmn系统仍保留在初态但已是非定态展开可求得系统处于态的概率为
第七章 量子跃迁
本章首先介绍含时微扰方法, 然后讨论外场中定态间 定态间的 本章首先介绍含时微扰方法 然后讨论外场中定态间的跃 含时微扰方法 问题, 进而讨论光 发射与吸收等有关问题 等有关问题. 迁问题 进而讨论光的发射与吸收等有关问题
相互作用绘景及含时微扰法
相互作用绘景中的运动方程 若哈密顿算符显含时间 则薛定谔方程为 若哈密顿算符显含时间, 则薛定谔方程为: 显含时间
v v ˆ (t) (r, t) ih∂ψ(r, t) / ∂t = H ψ
ˆ ˆ ˆ H = H0 +V(t) ˆ 不含时, 且有定态解: 其中 H0 不含时 且有定态解 ˆ H0ϕm = Emϕm
利用: 利用 得:
(7.42) (7.43) (7.44) (7.45) (7.46)
采用球坐标: 采用球坐标 ∆ =[L/(2 h)]3 4 p2∆ N π π p
p2 = 2m , 有: E
p∆p = m E ∆
∆ N m3/ 2 E L 3 = ( ) ρ(E) = 2 ∆ E h 2 π
(7.46)是个常用的公式 是个常用的公式. 是个常用的公式
第七章 量子跃迁
176第七章 量子跃迁§1 含时微扰理论定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定态 Schrodinger 方程。
本章讨论的体系其Hamilton 算符含有与时间有关的微扰，即ˆˆ()()H t H H t '=+ 因为Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 Schrodinger 方程解出。
但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。
含时微扰理论可以通过0H 的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。
假定0H 的本征 函数n ψ满足00ˆˆ,n n n n nH i H tψεψ∂=ψ=ψ∂ 其中0H 的定态波函数可以写为[]exp /n n n i t ψεψ=- 。
定态波函数n ψ构成正交完备系，整个体系的波函数ψ可按n ψ展开()n n na t ψ=ψ∑代入含时Schrodinger 方程()()ˆˆ()()()n n n nn n nnnnnnd i a t i a t dt t a t Ha t H t ∂⎡⎤ψ+ψ⎢⎥∂⎣⎦'=ψ+ψ∑∑∑∑利用0ˆn ni H t∂ψ=ψ∂，消除上式左边第二项和右边第一项，得177ˆ()()()n n n nn nd i a t a t H t dt ⎡⎤'ψ=ψ⎢⎥⎣⎦∑∑ 以m *ψ左乘上式后，对全空间积分 ˆ()*()*()n m n n m nn n d i a t d a t H t d dt ττ⎡⎤'ψψ=ψψ⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ []/ˆ()()*()m n i t n mn n m nn nd i a t a t H te d dt εεδψψτ-⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰因此ˆ()()mn i t m n mn nd i a t a t He dt ω'=∑其中[]/ˆˆ*()m n i t mn mn H H t e d εεψψτ-''=⎰, []/mn m n ωεε=- 。