第二章 矩阵及其运算

第二章 矩阵及其运算说明与要求:此矩阵在线性代数中是一个重要而且应用广泛的概念，它是研究线性代数的基本工具，在数学的其它分支以及相关专业的理论与实际中都有重要的应用．矩阵是一个表格，作为数表的运算与数的运算既有联系又有区别．要熟练掌握矩阵的加法、乘法与数量乘法的运算规则，并熟练掌握矩阵行列式的有关性质．正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件．会用伴随矩阵求矩阵的逆．熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法．了解矩阵的分块原则，掌握分块矩阵的运算规则．注意分块矩阵在矩阵乘法及求逆、齐次线性方程组的解、向量的线性表出、线性相关及矩阵秩等方面的应用．对于几种特殊矩阵，应掌握其定义和它们的性质．。

本章重点：矩阵的运算及性质；初等矩阵；矩阵可逆的判定及求法；分块矩阵． 。

本章难点：初等矩阵的性质；求矩阵的逆；分块矩阵．§1 矩阵的概念在上一章§2.1中已给出了矩阵的定义，即由数域P 中的m ×n 个数a ij (i =1，2，…，m ；j =1，2，…，n )排成一个m 行，n 列的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为数域P 上的一个m ×n 矩阵．a ij 称为第i 行，第j 列的元素．矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念．除了我们所熟知的线性方程组的系数及常数项可用矩阵来表示外，在一些经济活动中，也常常用到矩阵．例１ 某种物资有三个产地、四个销地，调配方案如下表：调运量表(单位：千吨)则表中的数据可构成一个三行四列的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛215402134321 矩阵中每一个数据(元素)都表示从某个产地运往某个销地的物资的吨数．以后我们用字母A 、B 、C 等表示矩阵，有时为了表明A 的行数和列数，可记为 A m ×n 或( a ij ) m ×n ，为了表明A 中的元素，可简记为A =( a ij )．当m =n 时，矩阵A =(a ij )n ×n ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶矩阵或n 阶方阵． 当m =1时，矩阵A =(a ij )1×n ＝(a 11 a 11 … a 1n )称为行矩阵．当n =1时，矩阵A =(a ij )m ×1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12111m a a a M 称为列矩阵． 当矩阵中 所有元素都是零时，称该矩阵为零矩阵，记作O 或O m ×n ．即O =nm ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000ΛΛΛΛΛΛΛ 当n 阶矩阵的主对角线上的元素都是1，而其它元素都是零时，则称此n 阶矩阵为单位矩阵，记为E 或E n ．即E =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 对于矩阵A =(a ij ) m ×n ，称(–a ij ) m ×n 为A 的负矩阵，记为 –A ，即：–A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--mn m m n n a a a a a a a a a212222111211 注意：矩阵和行列式虽然在形式上有些类似，但他们是两个完全不同的概念，一方面行列式的值是一个数，而矩阵只是一个数表．另一方面行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以不等．定义１ A =( a ij )，B =( b ij )都是m ×n 矩阵，若它们的对应元素相等，即 a ij ＝b ij ，(i =1，2， …，m ，j =1，2…，n )则称矩阵A 与B 相等，记为A =B ．如，由⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-603540134z y x 立即可得x =5， y =6， z = –1．思考题：１．n 阶矩阵与n 阶行列式有什么区别?２．试确定a 、b 、c 的值，使得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a b a 0153012＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60153201c§2 矩阵的运算矩阵的运算可以认为是矩阵之间最基本的关系．下面介绍矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法和矩阵的转置．一. 矩阵的加法定义 设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n b b b b b b b b b 212222111211 是两个m ×n 矩阵，则矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n c c c c c c c c c 212222111211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++mn mn m m m m n n nn b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222221211112121111 称为A 与B 的和，记为 C =A +B ．注意：相加的两个矩阵必须具有相同的行数和列数．例１ 某种物资(单位：千吨)从两个产地运往三个销地，两次调运方案分别用矩阵A 和矩阵B 表示：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=304133 ,330412B A则从各产地运往各销地两次的物资调运总量为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+634545330340143132304133330412B A由于矩阵的加法归结为对应元素相加，也就是数的加法，因此容易验证，矩阵的加法具有以下性质：设 A ，B ，C 均为m ×n 矩阵，则有 (1) A +B =B +A ． (2) (A +B )+C =A +(B +C )； (3) A +0=A ； (4) A +(–A )=0；由矩阵的加法和负矩阵的定义，可以定义矩阵的减法：A –B =A +(–B ) 二. 矩阵的数量乘法 定义2 设有矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⨯mn m m n n nm ij a a a a a a a a a a A )(212222111211，k 是数域P 中任一个数， 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯mn m m n n nm ij ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka)(212222111211 称为数k 与矩阵A =(a ij ) m ×n 的数量乘积．记为k A ．注意：用数乘一个矩阵，就是把矩阵的每个元素都乘上k ，而不是用k 乘矩阵的某一行（列）．不难验证，矩阵的数量乘法具有以下性质：设A ，B 都是m ×n 矩阵，k 、l 为数域P 中的任意数．则有 (1)k (A +B )= kA +kB ；(2) (k +l )A = kA +lB ； (3) (kl )A = k (lA )= l (kA )； (4) 1A =A ； 0A =0．例3 求矩阵X 使2A +3X =2B ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120131,016502B A 解：由2A +3X =2B 得 3X =2B –2A =2(B –A ) 于是X =)(32A B - 即 X =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--01650212013132⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32244232 三. 矩阵的乘法矩阵乘法的定义最初是在研究线性变换时提出来的，为了更好地理解这个定义，我们先看一个例子．例3 设y 1， y 2和x 1， x 2， x 3是两组变量，它们之间的关系是⎩⎨⎧++=++=32322212123132121111x a x a x a y x a x a x a y (1)又t 1，t 2是第三组变量，它们与x 1， x 2， x 3的关系是⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=232131322212122121111tb t b x t b t b x t b t b x (2)我们想用t 1， t 2线性地表示出y 1， y 2，即：⎩⎨⎧+=+=22212122121111t c t c y t c t c y (3)则要求出这组系数c 11， c 12， c 21， c 22．事实上：将(2) 代入 (1)式，有y 1= a 11 ( b 11t 1 +b 12t 2 )+ a 12 ( b 21t 1 +b 22t 2 )+ a 13 ( b 31t 1 +b 32t 2 ) =( a 11b 11 +a 12b 21+ a 13b 31)t 1+ ( a 11b 12 +a 12b 22+ a 13b 32)t 2 y 2= a 21 ( b 11t 1 +b 12t 2 )+ a 22 ( b 21t 1 +b 22t 2 )+ a 23 ( b 31t 1 +b 32t 2 ) =( a 21b 11 +a 22b 21+ a 23b 31)t 1+ ( a 21b 12 +a 22b 22+ a 23b 32)t 2 与(3) 对照，得：c 11= a 11b 11 +a 12b 21+ a 13b 31 c 12= a 11b 12 +a 12b 22+ a 13b 32 c 21= a 21b 11 +a 22b 21+ a 23b 31 c 22= a 21b 12 +a 22b 22+ a 23b 32如果用矩阵 A ，B ，C 分别表示关系式 (1)，(2)，(3) 的系数矩阵，即,,323122211211232221131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b b b B a a a a a a A ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛=32232222122131232122112132132212121131132112111122211211b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a c c c cC ＝ 我们称C 是A 与B 的乘积，即A 2×3B 3×2 =C 2×2=(c ij ) 2×2，其中元素c ij 等于A 中的第i 行的元素与B 中第j 列的对应元素乘积之和．例4 某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，生产甲、乙、丙三种产品，矩阵A 表示一年内各工厂生产各种产品的数量，矩阵B 表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元)，矩阵C 表示各工厂的总收入及总利润：, , , 4241323122211211323122211211424241333231232221131211ⅣⅢⅡⅠ总利润总收入丙乙甲利润价格单位单位ⅣⅢⅡⅠ丙乙甲⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=c c c c c c c c C b b b b b b B a a a a a a a a a a a a A 其中 a ik (i =1，2，3，4； k =1，2，3) 是第 i 个工厂生产第k 种产品的数量，b k 1， b k 2分别表示第k 种产品的单位价格及单位利润，c i 1及c i 2 (i =1，2，3，4) 分别是第i 工厂生产三种产品的总收入及总利润．如果称矩阵C 是A ，B 的乘积，从经济意义上讲是极为自然的，并且有关系：2332312221121134434241333231232221131211⨯⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b b b b b a a a a a a a a a a a a ,24424132312221121124324322121241314321421141323322321231313321321131322322221221312321221121321322121211311321121111⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++++++=c c c c c c c c b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a 其中矩阵C 的元素c ij 等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列的元素的乘积之和．于是引进矩阵乘积的定义．定义3 设矩阵A = (a ik )m ×s ，B = (b kj )s ×n ，则由元素c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j +…+a is b sj (i =1，2，…，m ； j =1，2，…，n )构成的m ×n 矩阵C =(c ij )m ×n 称为矩阵A 与B 的乘积，记为C =AB ． 从这个定义，我们可看出，应注意矩阵乘法有以下三个特点：(1)左矩阵A 的列数必须等于右矩阵B 的行数，矩阵A 与B 才可以相乘，即AB 才有意义；否则AB 没有意义．(2)矩阵A 与B 的乘积C 的第i 行、第j 列的元素等于左矩阵A 的第i 行与右矩阵B 的第j 列的对应元素的乘积之和(i =1，2，…，m ； j =1，2，…，n )．(3)在上述条件下，矩阵A m ×s 与B s ×m 相乘所得的矩阵C 的行数等于左矩阵A 的行数m ，列数等于右矩阵B 的列数n ，即 A m ×S B S ×n = C m ×n ．例5 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113121032,312021B A ，求AB ．解： 因为A 的列数与B 的行数均为 3 ，所以AB 有意义，且AB 为2×3 矩阵．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=113121032312021A ⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+⨯+⨯=13)1(10213)2(132********)1(20110)2(231301221 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2714214 如果将矩阵B 作为左矩阵， A 作为右矩阵相乘，则没有意义，即BA 没意义，因为B 的列数为3 ，而 A 的行数为2 ．此例说明： AB 有意义，但 BA 不一定有意义． 例６ 设A ＝n n n n b b bB a a a ⨯⨯=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛121121),,(,ΛM ，求AB 和BA ．解：nn n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a AB ⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ΛΛΛΛΛΛΛΛM 2122212121112121),,( n n n n n n a b a b a b a b a b a b a a a b b b BA +++=+++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ΛΛM Λ221122112121)(),,(注：在运算结果中，我们可以将一级矩阵看成一个数．此例说明，即使AB 和BA 都有意义，AB 和BA 的行数及列数也不一定相同．例7 设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111， B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111，求AB 和BA ．解：AB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000，BA =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2222此例说明，即使AB 和BA 都有意义且它们的行列数相同，AB 与BA 也不相等．另外此例还说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．例8 设 A =⎪⎭⎫ ⎝⎛6413， B =⎪⎭⎫ ⎝⎛6412， C =⎪⎭⎫ ⎝⎛1100 ，求AC 和BC 解：AC =⎪⎭⎫ ⎝⎛6413⎪⎭⎫ ⎝⎛1100＝⎪⎭⎫ ⎝⎛6611；BC =⎪⎭⎫ ⎝⎛6412⎪⎭⎫ ⎝⎛1100=⎪⎪⎭⎫⎝⎛6611 此例说明，由AC =BC ，C ≠0，一般不能推出A =B ．以上几个例子说明了数的乘法的运算律不一定都适合矩阵的乘法．对矩阵乘法请注意下述问题：(1) 矩阵乘法不满足交换律，一般来讲 AB ≠BA(2) 矩阵乘法不满足消去律．一般来说，当AB =AC 或BA =CA 且A ≠0时，不一定有B =C ． (3) 两个非零矩阵的乘积，可能是零矩阵．因此，一般不能由AB =0推出 A =0 或B =0． 若矩阵A 与B 满足AB =BA ，则称A 与B 可交换．根据矩阵乘法定义，还可以直接验证下列性质（假定这些矩阵可以进行有关运算）： (1) 结合律：(AB )C =A (BC )；(2) 分配律：A (B +C )=AB +BC ， (A +B )C =AC +BC ； (3) 对任意数k ，有k (AB )= (k A )B =A (k B )； (4) E m 、E n 为单位矩阵，对任意矩阵A m ×n 有E m A m ×n ＝A m ×n ，A m ×n E n ＝A m ×n特别地，若A 是n 阶矩阵，则有EA =AE =A ， 即单位矩阵E 在矩阵乘法中起的作用类似于数1在数的乘法中的作用．利用矩阵的乘法运算，可以使许多问题表达简明． 例9 若记线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛ22112222212********* 的系数矩阵为 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211并记未知量和常数项矩阵分别为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X M 21，B ＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m b b b M 21 则有AX =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x M 21=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 221122221211212111 所以上面的方程组可以简记为矩阵形式AX =B ．有了矩阵的乘法，可以定义n 阶方阵的幂．定义4 设A 是n 阶方阵，规定A 0 =E ， A k+1=A k A (k 为非负整数)． 因为矩阵的乘法满足结合律，所以方阵的幂满足A k A l =A k +l ， (A k )l =A kl其中k 、l 为非负整数，又因为矩阵的乘法一般不满足交换律，所以对于两个n 阶方阵A 与B 一般来说，(AB )k ≠A k B k ．此外，若A k =0，也不一定有A ＝0．例如A =⎪⎭⎫⎝⎛--1111≠０，但A 2=⎪⎭⎫⎝⎛--1111⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111＝⎪⎭⎫ ⎝⎛0000例10 设A ，B 均为n 阶方阵，计算(A +B )2．解：(A +B )2 =(A +B )(A +B )= (A +B )A +(A +B )B =A 2+BA +AB +B 2四. 矩阵的转置 定义 5 设 m ×n 矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211将A 的行变成列所得的n ×m 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn nn m m a a a a a a a a a 212221212111 称为矩阵A 的转置矩阵，记为A T ．例如 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21530421，则 A T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--20145231矩阵的转置满足以下规律：(1) (A T )T =A (2) (A +B )T =A T +B T(3) (kA )T =kA T (k 为常数) (4) (AB )T =B T A T 我们只证明(4) 设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ms m m s s a a a a a a a a a 212222111211，B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛sn s s n n b b bb b b b b b ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 首先容易看出， (AB )T 和B T A T 都是n ×m 矩阵．其次，位于(AB )T 的第 i 行第 j 列的元素就是位于AB 的第 j 行第 i 列的元素，且等于a j 1b 1i + a j 2b 2i +…+a js b si =∑=sk ki jk b a 1而位于B T A T 的第i 行第j 列的元素位于B T 的第i 行与A T 的第j 列对应元素的乘积之和，因而等于 B 的第i 列的元素与 A 的第 j 行对应元素的乘积之和：b 1i a j 1+ b 2i a j 2+…+ b si a js = ∑=sk jk ki a b 1上面两个式子显然相等，所以(AB )T =B T A T例11 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-110211， B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-123101， 求(AB )T 和A T B T解：因为 A T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121101， B T =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130211所以 (AB )T =B T A T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4132A TB T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121101⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130211=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---552121211 注意：一般情况下 (AB )T ≠A T B T显然，(2)和(4)可以推广到n 个矩阵的情形．即：(A 1+A 2+…+A n )T =A T 1+ A T 2+…+ A T n (A 1A 2…A n –1A n )T = A T n A T n –1… A T 2 A T 1五. 方阵的行列式定义6 由n 阶方阵A =(a ij ) 的元素按原来位置所构成的行列式，称为n 阶方阵A 的行列式，记为|A |．设 A ，B 是n 阶方阵，k 是常数，则n 阶方阵的行列式具有如下性质： (1) |A T |=|A |； (2) |kA| =k n |A |； (3) |AB |=|A |.|B |．性质(1)，(2)可由行列式的性质直接得到，性质(3)的证明较冗长，此处略去． 把性质(3)推广到m 个n 阶方阵相乘的情形，有 |A 1A 2…A m |=|A 1||A 2||…||A m | 例12 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2101，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0113 验证 |A ||B |=|AB |=|BA |．证：显然有|A ||B |= –2，因为 AB =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2101⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0113＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1113 |AB |=1113--= –2而BA =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0113⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0122，|BA |=0122= –2 因此|A ||B |=|AB |=|BA |．定义7 设 A 是n 阶方阵，当|A |≠0时，称A 为非奇异的(或非退化的)；当|A |=0时，称A 为奇异的(或退化的)由性质(3)可以得到定理：设A ， B 为n 阶方阵，则 AB 为非奇异的充分必要条件是A 与B 都是非奇异的． 例13 已知A 为 n 阶方阵，且 AA T 是非奇异的，证明A 是非奇异的． 证：因为AA T 非奇异的，所以|AA T |≠0，即|AA T |=|A | |A T |=|A |2≠0从而|A |≠0，即A 是非奇异的．思考题：1．已知A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100120301，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛103120001求：(1) (A +B )(A -B )(2) A 2-B 2比较(1)与(2)的结果，可得出什么结论？2．证明题(1) 若矩阵A 1，A 2都可与B 交换，则kA 1+lA 2，A 1A 2也都与B 可交换； (2) 若矩阵A 与B 可交换，则A 的任一多项式f (A )也与B 可交换； (3) 若A 2=B 2=E ，则(AB )2=E 的充分必要条件是A 与B 可交换．以下介绍几种特殊且常用的矩阵及这些特殊矩阵的运算性质及方阵乘积的行列式． 一、对角矩阵定义1 如果n 阶方阵A =(a ij )中的元素满足a ij =0，i ≠j (i ，j =1，2，… n )，则称A 为对角矩阵．即：A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a ΛΛΛΛΛΛΛ0000002211，可简记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a a a O 2211对角矩阵的运算有下列性质：(1)同阶对角矩阵的和以及数与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵． (2)对角矩阵A 的转置A T 仍是对角矩阵，且A T =A ．(3)任意两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵，且它们是可交换的．即若A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a O21， B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n b b b O 21，则 AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n b a b a b a O2211，并且有AB =BA ． (4)对角矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角线元素都不等于零．且A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a O21可逆时， 有A –1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211n a a a O 性质(1)(2)(3)可直接验证，下面只证性质(4)因矩阵A 可逆 ⇔ |A |≠0．对于对角矩阵而言， |A |≠0⇔ a 1a 2 … a n ≠0⇔ a 1≠0，a 2≠0，…， a n ≠0， 即主对角元都不为零．当主对角元都不为零时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a O21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121211a a a O =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111O 于是 A –1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---121211a a a O 特别地，当a 1=a 2= … =a n =k 时，对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛k k kO称为n 阶数量矩阵，记作kE数量矩阵具有性质：用数量矩阵左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B ，其乘积等于用数k 乘矩阵B ．即若aE 是一个n 阶数量矩阵，B 是一n ×s 矩阵，则(kE )B =B (kE )=kB ．二、三角形矩阵定义3 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ00022211211的n 阶方阵，即主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角形矩阵．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ21222111000的n 阶方阵，即主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角形矩阵．上(下)三角形矩阵具有下述性质：(1)若A 、B 是两个同阶的上(下)三角形矩阵，则A +B 、kA 、AB 仍为上(下)三角形矩阵；如 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ00022211211，B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n b b b b b b ΛΛΛΛΛΛΛ0022211211则，AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ00022211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n b b b b b b ΛΛΛΛΛΛΛ00022211211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nn b a b a b a 0*22221111O 其中*表示主对角线上方的元素；0表示主对角线下方的元素全为零．上(下)三角形矩阵可逆的充分必要条件是它的主对角元都不为零．当上(下)三 角形矩阵可逆时，其逆矩阵仍为上(下)三角形矩阵．如 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n a O a a a a a OΛΛ22211211，则 A –1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1122111*nn a O a a O． 三、对称矩阵与反对称矩阵定义4 如果n 阶矩阵A 满足A T =A ，则称A 为对称矩阵．由定义知，对称矩阵A =(a ij )中的元素a ij =a ji (i ，j =1，2，… n )，因此，对称矩阵的形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212221211211，如⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--501032121、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0221均为对称矩阵． 对称矩阵有以下性质：(1)如果A 、B 是同阶对称矩阵，则A +B ，kA 也是对称矩阵．证：因为A T =A ，B T =B ，所以(A +B )T =A T +B T =A +B ，即A +B 是对称矩阵． (2)可逆对称矩阵A 的逆矩阵A–1仍是对称矩阵．证：因为A T =A ，所以(A –1)T =(A T )–1=A –1，因此A –1为对称矩阵．但要注意：两个对称矩阵乘积不一定是对称矩阵．例如 A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0111，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110均为对称矩阵，但 AB =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011，不是对称矩阵．定义5 如果n 阶方阵A 满足A T =–A ，则称A 为反对称矩阵．由定义知，反对称矩阵A =(a ij )中的元素满足a ij =–a ji (i ，j =1，2，… n )．因此，反对称矩阵主对角线上的元素一定为零．即反对称的形式为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00021212112ΛΛΛΛΛΛΛnnn n a a a a a a ． 例如⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---021203130、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0220均为反对称矩阵．根据反对称矩阵的定义，容易证明以下性质：(1)若A 、B 是同阶反对称矩阵，则A +B ，kA ，A T 仍是反对称矩阵． (2)可逆的反对称矩阵的逆矩阵仍是反对称矩阵．(3)奇数阶反对称矩阵不可逆．因为奇数阶的反对称矩阵的行列式等于0． 注意：两个反对称矩阵的乘积不一定是反对称矩阵．例２ 对任意m ×n 矩阵，证明AA T 和A T A 都是对称矩阵． 证：因为AA T 是m ×m 方阵，且(AA T )T =(A T )T A T =AA T 所以由定义知 AA T是对称矩阵．同理，A T A 是n 阶方阵，且(A T A )T =A T (A T )T =A T A 所以 A TA 也是对称矩阵．例３ 已知A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，证明AB +BA 是反对称矩阵． 证：AB +BA 显然是n 阶方阵，且由对称矩阵和反对称矩阵的定义，有A T =A ， B T =–B ，于是（AB +BA )T =(AB )T +(BA )T = B T A T +A T B T =(–B )A +A (–B )= –(AB +BA ) 由反对称矩阵的定义知，AB +BA 是反对称矩阵．思考题：1．试证：对任意一个方阵A ，都有A +A T 是对称矩阵，A –A T 是反对称矩阵． 2．设A 、B 是两个反对称矩阵，试证：(1) A 2是对称矩阵；(2)AB –BA 是反对称矩阵．§3 分块矩阵一、分块矩阵的概念在理论研究及一些实际问题中, 经常遇到行数和列数较高或结构特殊的矩阵, 为了简化运算, 经常采用分块法, 使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算, 同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条横线和竖线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.例1 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=311320520131A . 则A 就是一个分块矩阵.若记11131250A -⎛⎫=⎪⎝⎭, 1202A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 21(3,1,1)A =-, 22(3)A =,则矩阵A 可表示为.22211211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A A A 这是一个分成了4块的分块矩阵. 例2 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1000001100001000001100011A , 则矩阵A 是一个分成了9块的矩阵,且A 的分块有一个特点, 若记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11012A , )1(3=A , 则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32100000A A A A , 即矩阵A 作为分块矩阵来看, 除了主对角线上的块外, 其余各块都是零矩阵, 以后我们会发现这种分块成对角形状的矩阵在运算上是比较简便的. 矩阵的分块有多种方式, 可根据具体需要而定.二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意, 运算的两矩阵按块能运算, 并且参与运算的子块也能运算. 1. 加法设同型矩阵A 与B 采用相同的分块法, 即1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L LL L , 1111t s st B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L LL L , 其中ij A 与ij B 也是同型矩阵, 1,2,i s =L , 1,2,j t =L .则11111111t t s s st st A B A B A B A B A B ++⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪++⎝⎭LLL L. 2. 数乘分块矩阵用数k 乘一个分块矩阵时, 等于用k 去乘矩阵的每一个块, 即11111111t t s st s st A A kA kA kA k A A kA kA ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L LL LL L L . 例 3 设矩阵1013012400100001A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭, 1200200063100201B ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪-⎝⎭, 用分块矩阵计算kA , A B +.解 将矩阵计算B A ,分块如下：10130124001000001EC A E ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭⎪-⎝⎭, 120020*********01DB F E ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪-⎝⎭, 则 kA =0E C k E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0kE kC kE ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=030240000k k k k k k kk ⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪-⎝⎭A B +=0E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭+0D F E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0E D C F +⎛⎫⎪⎝⎭=2213212463000200⎛⎫⎪⎪⎪⎪-⎝⎭. 3. 分块矩阵的乘法设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L LL L , 1111r t tr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L LL L , 其中pt p p A A A ,,,21Λ的列数分别等于tq q q B B B ,,,21Λ的行数, 则1111r s sr C C AB C C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭LMM L , 其中1(1,2,,;1,2,,)tpq pkkqk C AB p s q r ====∑L L .例4 设1000010012101101A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,1010120110411120B ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭, 用分块矩阵计算AB . 解 把B A ,分块成1E O A A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 112122B E B B B ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则 111112122111211220EB E B E AB A E B B A B B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又 11121121010341024111211021111A B B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 122124133112031A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,11111211221010120124331131B E AB A B B A B ⎛⎫⎪-⎛⎫⎪==⎪ ⎪++-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.4. 分块矩阵的转置 设矩阵A 可写成分块矩阵1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L LL L , 则矩阵A 的转置矩阵T A 为1111T T s T T T t st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L LL L . 5. 分块对角矩阵设A 为n 阶方阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即1200s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O,其中),,2,1(s i A i Λ=都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵. 分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ||0(1,2,,)i A i s ≠=L , 则0||≠A , 且12||||||||s A A A A =L ；(2) 若1200s A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O, 1200s B B B B ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O, 其中i A , i B 是同阶的子方块(1,2,,)i s =L , 则1122s s A B A B A B A B +⎛⎫⎪+⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭O , 112200s s A B A B AB A B ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O, 1200k kkk s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O(k 为正整数). 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss s s A A A A A A ΛM M M ΛΛ00022211211的分块矩阵, 称为分块上三角形矩阵. 形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ss s s A A AA A A ΛM M M ΛΛ21222111000的分块矩阵, 称为分块下三角形矩阵. 如果分块上(下)三角形矩阵的主对角线上的子块ii A (s i ,,2,1Λ=)均为方阵, 那么有如下结论111211122221221122120000||||||00s s ss sss s ssA A A A A A A A A A A A A A A ==L L L LL M M M M M M LL.三、矩阵的按行分块和按列分块矩阵按行（列）分块是最常见的一种分块方法. 一般地，m n ⨯矩阵A 有m 行, 称为矩阵A 的m 个行向量, 若记第i 行为),,,,(21in i i T i a a a Λ=α则矩阵A 就可表示为12T T T m A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M m n ⨯矩阵A 有n 列, 称为矩阵A 的n 个列向量, 若第j 列记作12j j j mj a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M 则矩阵A 就可表示为12(,,,)n A ααα=L .§4 矩阵的初等变换和初等矩阵一、矩阵的初等变换定义4.1 下列变换称为矩阵的初等行变换： (1) 对调第i 行与第j 行 (记为i j r r ↔)；(2) 以非零常数k 乘矩阵第i 行每一元素 (记为i r k ⨯)；(3) 把第j 行每一元素的k 倍加到第i 行对应的元素上 (记为i j r kr +).把上述定义中的“行”变成“列”, 即得到矩阵初等列变换的定义(所用记号是把“r ”换成“c ”).矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称为矩阵的初等变换.上述三种变换分别称为矩阵的第一类、第二类和第三类初等变换, 变换前后的矩阵之间用“→”连接, 所做变换写在“→”的上方或下方. 由于矩阵的初等变换改变了矩阵的元素, 因此初等变换前后的矩阵是不相等的, 不可用“=”连接. 矩阵的初等变换可以链锁式地反复进行, 以便达到简化矩阵的目的.例如, 对下列矩阵作初等行变换: 将第一、二行互换, 再将第二行乘以-3加到第三行, 即12323123231231231123123312312057r r r r ↔-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 定义 4.2 如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B , 就称矩阵A 与矩阵B 等价, 记作A B :.不难验证, 矩阵之间的等价具有下列性质: (1) 自反性 A A :；(2) 对称性 若A B :, 则B A :； (3) 传递性 若A B :, B C :, 则A C :.利用等价关系可以对矩阵分类, 将具有等价关系的矩阵作为一类. 我们可以利用矩阵的初等变换达到简化矩阵的目的. 例如,1231212111211214112142111246224231123697936979r r r A A ↔⨯---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪=−−−→= ⎪⎪---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭23314122311214022200553603343r r r r r r A ----⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→= ⎪--- ⎪--⎝⎭ 2324225331121401110000260013r r r r r A ÷+--⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→= ⎪- ⎪-⎝⎭34434211214011100001300000r r r r A ↔--⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→= ⎪- ⎪⎝⎭ 1223510104011030001300000r r r r A ---⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→= ⎪- ⎪⎝⎭34412512343310014100000101301000001030010000000000c c c c c c c c c F ↔++--+-⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪−−−→−−−−−→= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭形如4A 和5A 的矩阵都称为行阶梯形矩阵, 其满足下列条件：(1) 若有零行（元全为0的行）, 则零行位于非零行（元不全为0的行）的下方； (2) 每个非零行的首非零元(即第一个不为0的元素)所在的列号自上而下单调递增(即首非零元下的元素全为0).形如5A 的行阶梯形矩阵还称为行最简形矩阵, 其特点是：非零行的首非零元均为1, 且非零行的首非零元所在的列的其它元都为零.形如F 的矩阵称为矩阵A 的标准形, 其特点是：F 的左上角元1ii a =, 其余元均为0，1,2,,i r =L . 用分块矩阵可将矩阵A 的标准形F 写成000rm nE F ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中r 表示行阶梯形矩阵中非零行的行数.定理4.1 任意非零矩阵A 一定可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵；进而化为行最简形矩阵.证 设非零矩阵()ij m n A a ⨯=, 分三种情形来讨论： (1) 若110a ≠, 则做初等变换1212111111,,m m a a r r r r a a --L , 把第1列的其它元素化为0, 变成形式111*0a A ⎛⎫⎪⎝⎭, 1A 为(1)(1)m n -⨯-矩阵；(2) 若110a =,但在第1列存在某元10i a ≠, 则作初等变换1i r r ↔, 可变为(1)的情形；(3) 若矩阵A 的前k 列元素全为0, 由于A 为非零矩阵, 一定存在1,0k j a +≠, 作变换11k r r +↔, 再按(1)和(2)进行变换为1,100*000k ja A +⎛⎫⎪⎝⎭L L , 1A 为(1)(1)m k n --⨯-矩阵. 对于矩阵1A 继续按上面方法进行处理, 最后即得行阶梯形矩阵. 推论1 任意非零矩阵A 经过初等行变换化成的行最简形矩阵是唯一的. 推论2 任意非零矩阵A 一定能经过初等变换化为标准形.例1 用初等变换化矩阵0241453170510230-⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为标准形. 解 1202414514502431731705100510230230r r ↔---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭313221513132425145100100024024020011220112201100510051005005100510050r r c c c c r r c c +--++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→−−−→--- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭54112322542212100100020010000000000000000000r r r r r r r +⨯+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.二、初等矩阵上面我们学习了矩阵初等变换的定义, 并且掌握了“任何一个矩阵都可用初等行变换化为阶梯性矩阵和行最简形矩阵”的结论和方法, 本节通过引入初等矩阵的概念, 建立矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的联系.定义4.3 由n 阶单位矩阵n E 经过一次初等变换得到的矩阵称为n 阶初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵.1. 对调单位阵E 的第j i ,两行(或两列), 得到的初等矩阵记为(,)n E i j ,也可简记为(,)E i j , 即11011(,)11011n i E i j j ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪← ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪← ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O L L LM M M OM M M LLL O(2) 用非零数k 乘以单位阵E 的第i 行（或第i 列）的元素得到的初等矩阵记为(())n E i k ；即1(())11n ki E i k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪←= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O O (3) 用数k 乘单位阵E 的第j 行加到第i 行上(或用数k 乘单位阵E 的第i 列加到第j列上)得到的初等矩阵, 记为(,())n E i j k , 即11(,())11n k i E i j k j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪←⎪=⎪ ⎪← ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OL OM O例如下面三个矩阵10100100000100001A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 21000030000100001A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭, 31000010020100001A ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭都是初等矩阵. 与它们相对应的初等行变换分别是“互换第1、第2行”、“以3乘第2行”、“第1行乘2加到第3行”；相对应的初等列变换分别是“互换第1、第2列”、“以3乘第2列”、“第3列乘2加到第1列”. 易知初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵，且(,)(,),(())(()),(,())(,())T T T n n n n n n E i j E i j E i k E i k E i j k E j i k ===.定理4.2 (初等变换和初等矩阵的关系) 设A 是m n ⨯矩阵, 则对A 施行一次初等行变换, 相当于用一个m 阶的同类型初等矩阵(单位阵经相同初等变换而得到的初等矩阵)左乘矩阵A ；对A 施行一次初等列变换, 相当于用一个n 阶的同类型初等矩阵右乘矩阵A . 即()()()()()()()()()(),,,,i ji j i i i j j i r rm n m m nc cm n m n n r k m n m m nc km n m n n r krm n m m nc kcm n m n n A E i j A A A E i j A E k i A A A E k i A E i j k A A A E i j k ↔⨯⨯↔⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→−−−→证 读者可利用(分块)矩阵乘法验证, 详细过程从略.例如, 令111213212223a a a A a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 111213212223221222311121301(1,2)10a a a a a a E A aa a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.1112131211133212223222123010(1,2)100001a a a a a a AE a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭. 111213111213221222321222310(2())0a a a a a a E k A a a a ka ka ka k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 1112131112133212223212223100(2())00001a a a a ka a AE k k a a a a ka a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭. 11121322122231(1,2())01a a a k E k A a a a ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112112221323212223a ka a ka a ka a a a +++⎛⎫=⎪⎝⎭. 111213321222310(1,2())010001k a a a AE k a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭1112111321222123a a ka a a a ka a +⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 通过本节定理4.1及其推论2知, 对于任一m n ⨯矩阵A , 总可以经过初等行变换把它化为行阶梯形矩阵(或行最简形矩阵), 进而通过初等变换(行变换和列变换)把它化成标准形000rm nE F ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中r 表示行阶梯形矩阵中非零行的行数.由初等矩阵的性质, 利用定理4.2可以将本节的定理4.1及其推论2写成下述形式： 定理 4.1' 对任一m n ⨯非零矩阵A , 一定存在有限个m 阶初等矩阵1P ,2P ,L ,s P , 使得1s P P A L 为行阶梯形矩阵(或行最简形矩阵).推论2' 对任一m n ⨯非零矩阵A , 一定存在有限个m 阶初等矩阵1P ,2P ,L ,s P 和有限个n 阶初等矩阵1Q ,2Q ,L ,t Q , 使得11000rs t m nE P P AQ Q ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭L L . 其中r 表示行阶梯形矩阵中非零行的行数. 下面我们来证明本章定理2.1.例2 设,A B 为n 阶方阵，则AB A B =.证 先看一个特殊情形，即A 是一个对角矩阵的情形. 设1200000n d d A d ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L. 令()ij B b =，容易算出111112112212222212n n n n n n n nn d b d b d b d b d b d b AB d b d b d b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L因此由行列式的性质得12||||||||n AB d d d B A B ==⋅L .现在看一般情形. 由定理4.1与推论2知，可以通过第三种初等变换把A 化成一个对角矩阵1A ，并且1||||A A =. 矩阵A 也可以反过来通过对1A 施行第三种初等变换而得出. 这就是说，存在(,())n E i j k 型矩阵1P ，2P ，…，s P ，使得111t t s A P P A P P +=L L于是111()()t t s AB P P A P P B +=L L . 然而由行列式的性质知道，任意一个n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而有所改变. 换句话说，用一些(,())n E i j k 型的初等矩阵乘一个n 阶矩阵不改变这个矩阵的行列式. 因此，注意到1A 是一个对角矩阵，我们有11111111||||||||||||||||||t t s t s t s AB P P A P P B A P P B A P P B A B A B +++====⋅=⋅=⋅L L L L .§5 逆矩阵数的乘法存在逆运算——除法, 当数0≠a 时，逆11-=a a满足11=-a a , 这使得一元线性方程b ax =的求解可简单得到：方程两边左乘1-a , 即11x x a b -⋅==. 那么, 在解矩阵方程b AX =(此处b 为列矩阵)时是否也存在类似的逆1A -使得b A X 1-=呢？这就是要研究的可逆矩阵问题.一、逆矩阵的定义定义5.1 对于n 阶方阵A , 若存在一个n 阶方阵B , 使E BA AB ==那么称矩阵A 可逆, 并称矩阵B 为矩阵A 的逆矩阵. 若矩阵A 可逆, 则A 的逆矩阵是唯一的.假设1B , 2B 均为可逆矩阵A 的逆矩阵, 由定义5.1有E A B AB ==11, E A B AB ==22,则 ()()22212111B EB B A B AB B E B B =====. 所以一个矩阵如果可逆, 那么它的逆矩阵是唯一的.将A 的逆矩阵记为1-A ，即若E BA AB ==，则1B A -=.注意, 在定义 5.1中A ,B 的地位是平等的, 因此B 也可逆, 且A B =-1(就是11()A A --=), 即A 与B 互为逆矩阵.例1 设12diag(,,,)n A λλλ=L , 且120n λλλ≠L , 求1A -. 解 因为1212111diag(,,,)diag ,,,n n λλλλλλ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭L L1212111=diag ,,,diag(,,,)n n E λλλλλλ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭L L ,所以111212111=[diag(,,,)]diag ,,,n n A λλλλλλ--⎛⎫= ⎪⎝⎭L L .二、逆矩阵的计算什么样的矩阵才是可逆的呢？如果一个矩阵可逆, 又如何由它求到它的逆矩阵呢？下面将详细解答这一问题. 1. 利用伴随矩阵求逆矩阵 首先, 我们引入伴随矩阵的定义. 定义5.2 n 阶行列式A 中各元素ij a 的代数余子式ij A 所构成的如下的矩阵112111222212n n nn nn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L称为矩阵A 的伴随矩阵，记作*A .定理5.1 矩阵A 的伴随矩阵*A 具有如下性质：(1) **||AA A A A E ==, (2) 当0A ≠时, 1*(1)n A An -=>.证 (1) 设*()ij AA b =, 则由行列式按一行(列)展开的公式, 有10,,,nij ik jk k i j b a A A i j =≠⎧=∑=⎨=⎩(,1,2,)i j n =L则 *||||||||A A AA A E A ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭O . 类似地,*1||||||||n ki kj k A A A A A a A E A =⎛⎫ ⎪⎪=∑== ⎪ ⎪⎝⎭O. 因此, E A A A AA ==**.(2) 由性质(1)和方阵乘积的行列式性质, 可知**||||||||||n A A A A A ==,由于0A ≠, 故1*n A A-=.注意上述定理(2)中，当0A =时，*0A =.下面给出求逆矩阵的第一种方法——伴随矩阵法.定理5.2 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为||0A ≠, 且当A 可逆时，*11A AA =-. 证 必要性. 因A 可逆, 故存在1A -, 使得1AA E -=, 从而1||||A A -=1||AA -||1E ==, 所以||0A ≠.充分性. 由定理5.1 (1)知, E A A A AA ==**, 因为||0A ≠, 有**11()()A A A A E A A==, 根据逆矩阵的定义, 即有,*11A AA =-. 推论1 若n 阶方阵A ,B 满足E AB =(或BA E =), 则A 与B 互逆，即1B A -=，1A B -=.证 因1===E B A AB , 于是0≠A 且0≠B , 所以A 与B 均可逆, 且1111()()B EB A A B A AB A E A ----=====.类似可得1A B -=.利用以上推论去判断一个矩阵是否可逆, 比用定义判断减少一半的工作量.定义 5.3 如果n 阶方阵A 的行列式0≠A , 则称A 是非奇异矩阵(或非退化矩阵), 否则称A 是奇异矩阵(或退化矩阵).定理 5.2指出, 可逆矩阵就是非奇异矩阵. 同时, 它也提供了一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵求逆法.例2 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=3104252373A 的逆矩阵.解 因为13104252373=-----=A , 所以A 可逆, 且。