高考数学三角函数考点解析知识点总结
(精心整理)高中数学三角函数专题(重要知识点和经典方法大合集)
专题复习—— 三角函数（一）知识梳理1、 角度制与弧度制的互化10.01745180180157.30rad rad rad ππ⎧=≈⎪⎪⎨⎛⎫⎪=≈ ⎪⎪⎝⎭⎩2、 扇形公式22(11=22180(=360l R R lR n R l n n R αααππ⎧=⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩①弧长弧度制为弧度)②扇形面积S ①弧长角度制为角度)②扇形面积S3、 同角三角函数恒等式22sin sin cos 1cos (sin tan cos cos sin ααααααααααα⎧⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎪⎪⎪±⎪⎩⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎧=⎪⎪⎪⎪±⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎩①其中“”由所在象限确定）②③推论其中“”由所在象限确定）4、 诱导公式sin(2)sin sin()sin cos(2)cos cos()cos tan(2)tan tan()tan sin()sin sin()sin cos()cos cos()cos tan()tan tan()tan s k k k απαπαααπαπαααπαπααααπααααπααααπαα+=+=-⎧⎧⎪⎪+=+=-⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎩-=--=⎧⎧⎪⎪-=-=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩公式一公式二公式三公式四公式五in()cos sin()cos 22cos()sin cos()sin 2233sin()cos sin()cos 2233cos()sin cos()sin 22ππααααππααααππααααππαααα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎨-=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪-=+=-⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎧⎪-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=-+=⎪⎪⎩⎩⎩公式六推论1推论25、差（和）角公式cos()cos cos sin sincos()cos cos sin sinsin()sin cos cos sinsin()sin cos cos sintan tantan()1tan tantan tantan()1tan tanαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧-=+⎪+=-⎪⎪-=-⎪⎪+=+⎨-⎪-=⎪+⎪+⎪+=⎪-⎩余余正正号相反正余余正号相同6、二倍角公式（倍角公式）22222221sin22sin cos sin cos sin22cos2cos sin1cos2cos212sin sin21cos2 cos22cos1cos22tantan21tanαααααααααααααααααααα⎧⎪=⇒=⎪⎪=-⎪⎪-⎪=-⇒=⎨⎪+⎪=-⇒=⎪⎪⎪=⎪-⎩7、正弦定理及推论2(sin sin sin2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sinsin sin sin,,sin sin sina b cR R ABCA B Ca R Ab R Bc R Ca b cA B CR R Ra b c A B Ca A a Ab Bb Bc C c C⎧===∆⎪⎪===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪=⎪⎪===⎪⎩①为外接圆的半径）②③④⑤8、余弦定理及推论222 222222 222222 2222cos cos22cos cos22cos cos2b c a a b c bc A Abca c bb ac ac B Baca b c c a b ab C Cab⎧+-=+-⇒=⎪⎪+-⎪=+-⇒=⎨⎪⎪+-=+-⇒=⎪⎩9、三角形面积公式1(21()(2111=sin sin sin222S ah aS r a b c r ABCS ab C ac B bc A⎧=⎪⎪⎪=++∆⎨⎪⎪==⎪⎩为底，h为高）为内切圆的半径）10、求最小正周期的公式sin()2= cos()tan()= y A x kTy A x ky A x k Tωϕπωϕωπωϕω⎧=++⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎩最小正周期为的最小正周期为11、正弦函数y=sinx[]maxmin111+2,2,22(2)3+2,2,.222()1;2(3)2() 1.2(4)((5)y sinRk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kxππππππππππππππ-⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎧+∈=⎪⎪⎨⎪+∈=-⎪⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=-时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：,;(6)2.Rx k k Zk k Zπππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧+∈⎪⎪⎨⎪⎪∈⎪⎩⎩为上的奇函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性②为中心对称图形，对称中心为（,0),12、余弦函数y=cosx[][][]maxmin111+2,2,(2)2,2,.2()1;(3)2() 1.(4)((5)y cos,(6)Rk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kx Rx k kππππππππππππ-⎧-∈⎪⎨+∈⎪⎩∈=⎧⎨+∈=-⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：为上的偶函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性;+.2Zk k Zππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪∈⎧⎪⎪⎪⎨∈⎪⎪⎩⎩②为中心对称图形，对称中心为（,0),13、正切函数y=tanx1|,,22-+,),.22(3)(0.(4)y tan(5),0),.2x x k k Z Rk k k Zk k Z kxkk Zπππππππππ⎧⎧⎫≠+∈⎪⎨⎬⎩⎭⎪⎪+∈⎪⎪⎪∈≠⎨⎪=⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪∈⎪⎪⎩⎩（）定义域：值域：（）单调性：在开区间（单调递增周期性：周期为且），最小正周期为奇偶性：为奇函数.①不是轴对称图形；对称性②是中心对称图形，对称中心为(14、简谐运动sin()y A xωϕ=+[)2=1(0,0,0,)2xA xTπωωωπωϕϕ⎧⎪⎪⎪⎪⎪=>>∈+∞⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩①振幅：A②周期：T③频率：f=其中④相位：x+⑤初相：=0时的相位2222sin cos)(tan)0)sin cos)(tan)ba xb x a b xaa aa xb x a b xbωωωϕϕωωωϕϕ⎧+=++=⎪⎪⎨>⎪+=+-=⎪⎩①其中15、三角恒等变换之辅助角公式（其中②其中辅助角公式的证明如下：证明：asin xω+bcos xω22a b+22a b+sin xω22a b+cos xω),①22a b+=cosϕ22a b+=sinϕ,则asin xω+bcos xω22a b+xωcosϕ+cos xωsinϕ)22a b+xω+ϕ) (其中tanϕ=ba)② 22a a b+=sin ϕ22b a b+ϕ,则asin x ω+bcos x ω22a b +x ωsin ϕ+cos x ωcos ϕ) 22a b +x ω-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 注：其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出；或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 例：化简32cos 2y x x =+.法一：逆用差（和）角公式3132cos 22(2cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2sin(2)2666y x x x x x x x πππ=+=+=+=+法二：应用辅助角公式32cos 22sin(2)6y x x x π=+=+ (其中3tan 363πϕϕ==⇒=)（二）考点剖析考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用 例1: 在△ABC 中，C ＝2B ，AB AC ＝43. (1)求cos B ；(2)若BC ＝3，求S △ABC . 解：(1)由C ＝2B 和正弦定理得sin C ＝2sin B cos B ＝2·AC AB sin C ·cos B ∴cos B ＝AB 2AC ＝23 (2)设AC ＝3x ，则AB ＝4x . 由余弦定理得(3x )2＝(4x )2＋32－2×4x ×3cos B ，即9x 2＝`16x 2＋9－16x ∴7x 2－16x ＋9＝0 解得x ＝1或x ＝97当x ＝1时，AC ＝3，AB ＝4 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×4×3×53＝2 5.当x ＝97时，AC ＝277，AB ＝367 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×367×3×53＝1875.考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例2:在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1) 2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C由正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ① 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A12cos cos 2bc A bc A ∴-=⇒=- 又0A π<< 23A π∴=. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C 又sin B ＋sin C ＝1 ∴sin B ＝sin C ＝12又0,022B C ππ<<<<∴B ＝C ∴△ABC 是等腰三角形．考点三：三角恒等变换之辅助角公式：sin cos )(tan )ba xb x x aωωωϕϕ+=+=其中例3：已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+，x R ∈（1） 求f(x)的最小正周期及最大值； （2） 求函数f(x)的单调递增区间； （3） 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f(x)的值域 .解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（1） f(x)的最小正周期为22T ππ==，最大值为max ()1f x =. （2） 由222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得3,88k x k k πππππ-+≤≤+∈∴函数f(x)的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（3）02x π≤≤52444x πππ∴≤+≤sin(2)14x π≤+≤ 0)114x π∴≤++≤即0()1f x ≤≤∴函数f(x)的值域为1⎡⎤⎣⎦即时训练：已知函数22(sin cos )y x x x =++x R ∈（1） 求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间； （2） 当02x π<<时，求函数f(x)的值域.【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.【方法点评】方法一 切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos θθθ=，将题设中的切化成弦的形式； 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.例1已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ） A ．41 B ．21 C ．41- D ．21- 【答案】C 【解析】试题分析：21tan =α，将原式上下同时除以αcos ，即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-αααααα，故选C.考点：同角三角函数基本关系学*科网 【变式演练1】已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（ ）A ．3 B. 52C.25- D.3- 【答案】C 【解析】考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.方法二 统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2已知,31tan ,71tan ==βα则=+)2tan(βα 【答案】1 【解析】 试题分析：212tan 3tan ,tan 231tan 4ββββ===-，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ++∴+===--⨯考点：两角和的正切公式.方法三 公式活用例3 下列式子结果为3的是（ ） ①tan25tan353tan25tan35︒+︒+︒︒； ②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒；④2tan61tan6ππ-.A. ①②B. ③C. ①②③D. ②③④ 【答案】C【高考再现】1.（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 分析：由公式可得.详解：，故答案为B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.2. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．4.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D 【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．6. 【2015高考福建，文6】若5sin13α=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．125B．125-C．512D．512-【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sinα、cosα、tanα三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．6.（2018年全国卷II文）已知，则__________．【答案】.【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.学科*网点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 学#科网【反馈练习】1．【山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题】若72sin 410A π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（ ）A ．35 B ． 45 C ． 35或45 D ． 34【答案】B 【解析】5,,,4424A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 04A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，且22cos 1sin 4410A A ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以4sin sin sin cos cos sin 4444445A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选B. 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等，属于易错题.解答本题的关键是拆角，将sin A 拆成sin 44A ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.2．【山西省2018年高考考前适应性测试文科数学试题】已知tan 3α=，则sin21cos2αα=+（ ）A ． 3-B ． 13-C ． 13D ． 3 【答案】D 【解析】222sin cos 3122sin tan cos cos αααααα===+故选D3.【江西省上饶市2018届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题】000sin65sin35cos30cos35-=（ ） A ． 3-B ． 12-C ． 12D ． 3【答案】C 【解析】由题得()00000000sin 3530sin35cos30cos35sin301sin30cos35cos352+-===，故选C. 4.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题】设()0,90α∈︒︒，若()3sin 7525α︒+=-，则()()sin 15sin 75αα︒+⋅︒-= ( )A ．110 B ． 2 C ． 110- D ． 2-【答案】B【解析】()()sin 75cos 15αα-=+， 所以原式等于()()()1sin 15cos 15sin 3022ααα++=+ 而()()()()2sin 302sin 75245sin 752cos 7522αααα⎡⎤⎡⎤+=+-=+-+⎣⎦⎣⎦ ， ()75275,255α+∈ ，又因为()sin 7520α+<，所以()752180,255α+∈，可求得()4cos 7525α+=- ， 那么()()()22342sin 302sin 752cos 7525510ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+=---= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，那么()12sin 3022α+=，故选B. 5．【安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试数学理试题】已知3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】34310- 【解析】∵3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭∴4sin 5α=- ∴3143343cos cos cos sin sin 333525πππααα-⎛⎫⎛⎫-=+=⨯+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为343-. 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
高考数学复习考点知识讲解课件22 三角函数的图象与性质
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[解析] 由 2x＋π6≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π6＋k2π(k∈Z)，故函数 f (x)的定义域为 x|x≠π6＋k2π，k∈Z.故选 D．
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2．(2022·东北师大附中月考)函数 f (x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为( B )
(2)∵f (x)为偶函数， ∴－π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，得 φ＝56π＋kπ，k∈Z. 又 φ∈(0，π)，∴φ＝56π. ∴f (x)＝3sin2x＋π2＝3cos2x. 由 2x＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝π4＋k2π，k∈Z， ∴f (x)图象的对称中心为π4＋k2π，0，k∈Z.
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(1)三角函数周期的一般求法 ①公式法． ②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期． (2)对于可化为 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(或 f (x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求 f (x)的对 称轴，只需令 ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)(或令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求 x 即可；如果求 f (x)的对 称中心的横坐标，只需令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)或令ωx＋φ＝π2＋kπk∈Z，求 x 即可．
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3．函数 f (x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为( C ) A．0，56π B．0，23π C．56π，π D．23π，π
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[解析] 由 2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得 2kπ－76π≤x≤2kπ－π6，k∈Z，∵x∈[0， π]，∴56π≤x≤π，∴函数 f (x)在[0，π]的单调递增区间为56π，π，故选 C．
高考数学中的三角函数知识点概览
高考数学中的三角函数知识点概览数学是高考中的一门必修科目，而三角函数则是数学中重要的内容之一。
掌握好三角函数的知识点可以增加高考数学的成绩，本文将对高考数学中的三角函数知识点进行概览，帮助学生更好地备考。
1、三角函数的定义在平面直角坐标系中，通过将点P(x,y)沿x轴(或y轴，原点)作垂线得到点M(x,0)，点P与点M的连线与x轴的夹角为θ(0≤θ≤2π)，定义：(1)正弦函数(A是θ的集合)：f(θ)=sinθ=y/r(2)余弦函数(B是θ的集合)：f(θ)=cosθ=x/r(3)正切函数(C是θ的集合)：f(θ)=tanθ=y/x其中，r是点P到原点的距离，x和y分别是点P在x轴和y轴上的坐标。
2、基本性质(1)正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]，而正切函数的定义域是整个实数集。
(2)正弦函数和余弦函数的图像是相似的，只是在垂直方向上有不同的偏移量。
(3)正弦函数和余弦函数的图像都是关于原点对称的。
(4)正切函数的图像是周期为π的函数，其图像是关于原点对称的。
(5)三角函数与三角恒等式有关，其中最常用的是：sin^2θ+cos^2θ=1tanθ=sinθ/cosθ3、三角函数的图像(1)正弦函数和余弦函数的图像在相同的坐标系中，画出正弦函数和余弦函数的图像，可以发现：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，起伏在原点之上和之下。
它的周期是2π，在每个周期内，其最大值为1，在0、π、2π等点上取到；最小值为-1，在π/2、3π/2等点上取到。
余弦函数的图像与正弦函数的图像完全相似，只是在y轴上取值时，正弦函数是在原点上取到的，而余弦函数是在1和-1之间变化的。
它的周期也是2π，在每个周期内，其最大值为1，在π/2、3π/2等点上取到；最小值为-1，在0、π、2π等点上取到。
(2)正切函数的图像正切函数的图像是一条平移后的正弦函数图像。
其周期为π，其垂直渐近线为x=kπ（k∈Z），它的图像在x轴上有一个渐近点，在每个周期内，正切函数的值都在正无穷和负无穷之间变化。
高考数学之三角函数知识点总结
三角函数一、根底学问定义1 角，一条射线围着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是随意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的肯定值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边及x 轴的正半轴重合，在角的终边上随意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的间隔 为r,则正弦函数s in α=ry,余弦函数co s α=rx,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=y x ，定理1 同角三角函数的根本关系式， 倒数关系：tan α=,商数关系：tan α=；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （ Ⅳ）s in =co s α, co s=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，依据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式市赛课公开课一等奖省名师
sin β=sin α=3,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin
β=-
2√2
3
2
+
1 2
3
7
=-9.
方法 2:由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k∈Z,
1 2
7
2
则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin α-1=2×
五
六
π
π
2
-α
余弦 cos α
-sin α -sin α
-cos α cos α
sin α cos α
-cos α sin α
正切 tan α
tan α
-tan α
正弦 sin α
-tan α
口诀 函数名不变,符号看象限
2
+α
cos α
-sin α
函数名改变,
符号看象限
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-4知识梳理
考点自测
3π
-
2
4
B.3
=
2
3
4
5
3
π
,且|θ|<2 ,则 tan θ= (
5
3
3
C.-4
D.4
)
关闭
∵cos
3π
2
3
- = 5,
3
π
∴sin θ=-5.又|θ|< 2 ,
4
3
∴cos θ=5,则 tan θ=-4.
关闭
C
解析
答案
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考点13 三角函数定义(讲解)(解析版)-2021年高考数学复习一轮复习笔记
考点13 三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为 。
【答案】180135,k k Z ⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈， 角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是 。
A ．2k π与()2k k Z ππ+∈ B ．3±k ππ与()3k k Z π∈ C ．()21+k π与 ()()41k k Z π±∈ D ．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍， 所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同； 对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=-，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与 ()()41k k Z π±∈的终边相同； 对于D 选项，显然,,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是 。
三角函数知识点归纳与题型总结
三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角， 一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称作轴线角。
3、终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.【例1】与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是 ，合 弧度。
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈. 【例2】α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.【例3】若α是第二象限角，则2α是第_____象限角。
5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.【例4】已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
6、任意角的三角函数的定义：、设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0yx xα=≠，cot x y α=(0)y ≠，【例5】（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为 。
高考数学三角函数知识点总结
高考数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点总结：锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina高中数学三角函数知识点总结：帮助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，此中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))高中数学三角函数知识点总结：推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/ 2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)高中数学三角函数知识点总结：半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cos γ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sin γ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tan γ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)高中数学三角函数知识点总结：两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-t anβ)/(1+tanα·tanβ)高中数学三角函数知识点总结：和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)高中数学三角函数知识点总结：积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2高中数学三角函数知识点总结：诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，标记看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]高中数学三角函数知识点总结：别的公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)敷衍恣意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该干系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C /2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3 /n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n) +……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。
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高考数学三角函数考点解析知识点总结
【摘要】：高三第一轮复习正如火如荼的上演，小编和大家一样希望每一位同学都
通过第一轮复习可以牢固的掌握相关知识点，为今后的复习打下良好的基础。以
下是为大家带来的高考数学三角函数考点解析 一文，希望为大家的紧张复习带来
稍许帮助，小编在这里与你一同加油!
周帅老师对历年高考真题中数学三角函数考点解析如下，希望能对广大考生有
所帮助。
周帅老师表示，在每年考试中，三角函数都是一个要考的东西，这个东西难度
虽然较低，但是还是保留下来了。就____北京卷15题来说，出题人想法是很清楚
的，在之前如果单纯考三角函数，我们知道重点是什么?一定是把这个函数化解之
后去求值域，因此有的同学看到题之后真的求值域，很多时候大家是会做题的，
但是由于我们太会做题，但是由于题目发生变化，就会出现问题，这个题问定义
域，化解完之后只求了一个正周期，连定义域都忘了。
各位，这和我们考试能力没有任何关系，完全是平时良好的答题、解题、读题
习惯，很多同学是没有看题就解题了，很多时候是跟同学强调更多的。
这个题目是定义域及最小正周期，这个题目化解完之后还挺容易，求单调递增
区间，单调递增区间是重点考的。
就三角函数而言有几个东西是重点考的，一个单调性，一个对称性，一个周期
性。
在____考前考试预测的时候，我跟北京全北京市同学都讲过，如果考试考三角
函数，它很有可能考对称性和周期性，如果大题不考对称性和周期性，求单调递
增区间一定要考，而很多同学认为求单调递增区间比较容易，没有重视，我们说
单调递增区间，应该是把我们最后求出来的三角函数，让它成为3_的增区间，然
后大家再加上周期，考前我们专门讲过这个，大家觉得比较简单，导致考试的时
候做题比较慢了，三角函数是它本身的性质，而不是它的题型。
【总结】高考数学三角函数考点解析到这里就结束了，希望大家好好复习，未
来是属于你们的。